Введение к работе
Актуальность темы. Работа посвящена исследованию классических реакций нелинейных многомерных ^алач с неизвестными (свободными) границами Стефана и Флорина дня линейных и квазилинейных параболических уравнени й второго порядка.
Задачи Стефана и Флорина возникают при математическом описании тепловых процессов, связанных с изменением агрега гного состояния вещества, движения жидкости в пористой среде. D связи с этим они находят широкое применение в металлургии, при изучении процессов сварки, электронной и плазменной обработки материалов, в теории электрических контактов, в геотермии, мерзлотоведении, теории фильтрации и т. д.
Одномерная задача Стефана изучена достаточно полно в работах Л.И.Рубинштейна, А.Фридмана, И.И.Данилюка, Б.В.Базалия и В.Ю. Шелепова, А.М.Мейрманова, В.В.Пухначева, С.В.Салея, А.Фазано и М. Яримичерио и др.
Новый этап в изучении проблемы Стефана связал с интенсивным развитием теории краевых задач в 50 - 60 г.г. В работах О.А.Олейник (1960 г.), С.Л.Каменомостской (1961 г.), О.А.Ладыженской, В.А.Солон-иикова, Н.Н.Уральцевой (1967 г.), А.Фридмана (1968 г.) были доказаны существование и единственность обобщенного решения многомерной задачи Стефана, а также показано, что всякое классическое решение задачи является и обобщенным, и тем самым устанавливалась единственность классического решения многомерной задачи Стефана.
Дальнейшее продвижение в изучении многомерной задачи Стефана связано с развитием теории вариационных неравенств. В 1975 г. А.Фридманом и Д.Киндерлерером была установлена липшицевость свободной границы в однофазной задаче Стефана. Используя результа-
ты Л.Каффареллм о гладкости свободной границы, Д.Киндерлерер и Л.Нирелберг в 1978 г. доказали аналитичность свободной границы в однофазной задаче Стефана и, следовательно, существование классического решения задачи. Другим методом, привлекал е~регуляриэацию условия Стефана и переменные Мизеса, А.М.Мейрманов в 1980 г. доказал существование классического решения многомерной двухфазной задачи Стефана. При помощи теоремы о неявной функции Мозера-Нэша аналогичный результат для однофазної ^aдaчц Стефана установил в 1981 г. Е.И.Ханзава. Большое продвижение многомерная задача Стефана получила в работах Б.В.Базалия (1982, 1983, 1986 гл.). Исследуя двухфазные и однофазные двумерные задачи Стефана для уравнений теплопроводности в случае, когда свободная граница является графиком функции на отрезке прямой, он уточнил понятие решения многомерной задачи Стефана, выделил и изучил линейные модельные задачи с производной по времени в граничном условии и условии сопряжения, кмеюпше принципиальное значение при решении многомерных задач Стефана, доказал в пространстве Гсльдера для малых времен существование решения двумерной однофазной задачи Стефана, а совместно с С.П.Дегтяревым (1987 г.) - трехмерной двухфазной задачи Стефана с конвекцией. Бри помощи метода Роте и вариационных методов классическая разрешимость трехмерной задачи Стефана для уравнения теплопроводности в областях специального вида на произвольном промежутке времени исследовалась М.А.Бородиным (1992 г.). Отмстим также, что в исследованиях А.М.Мейрмалова и Е.И.Халзавы был допущен большой "зазор" между гладкостью решений и заданных функций, уменьшенный или сведенный к нулю в работах Б.В.Базалия, С.Н.Дегтярева и М.А.Бородина, в которых, однако, рассмотрены задачи в менее общей постановке. Сопсем короткую историю имеет задача Флорина, сфориулироэан-
-}
нал ь 19,'jJ і', л одномерном олпофлмиш варианте российским учении Л. В.Флор иным. Это связано прежде псе го с "амрожденноетыо" дифференциального ураинения на свободной ірляице (условия Флорина) и отсутствием общих иегодов решения многомерных задач со свободными границами. Одномерная іадача Флорина исследовалась Т.Д.Веатнсль, И.И.Ьочаровой, Нгуеном Лином Чи, А.Фазани л М.Прими черно. Классическая разрешимость многомерных однофазных задач Флорина для кьалллньейных и линейных параболических уравнений второго порядка изучалась А.М.Мейрманош.ш (Ш1 г.) в случае, когда свободная граница яюшелся графиком функции на отрезке прямой, и А.Фазано, М ІІрнміічерио и К.Н.Радкевмчем (\9У2 г.), при этом ими была допущена большая поіерм гладкости 'заданных функций.
При линеаризации однофазной и двухфазной многомерных задач Стефана возникают содержательные линейные задачи с производной по времени и граничном условии и условии сопряжения. Они не вкладываются п общую теории) кроеных задач для параболических уравнений, так как для них не выполняется условие дополнительности. Как было показано С.И.Темирбулатовым, такие задачи, вообще говоря, не являются корректными по Лдамару. Для их однозначной разрешимости необходимо, чтобы ь граничном условии и условии сопряжения лрисутствова-ли также наклонные (некасательные) производные строго определенного направлении. Б.ГІ.Вадалием били изучены в гельдероаскнх пространетах функций задачи для уравнений теплопроводности с производной но времени в граничном условии и условии сопряжения а полупространств и пространстве в двумерном случае, а трехмерном - сопмесно с С.П.Дегтяревым. В.Л.Солошідкозші получены оценки решения модельной задачи с производной по времени з граничном условии э геяьдерсв-скнх нормах при помсїц.і теоремы о мультипликаторах а интегралах Фу-
рье - Лапласа. '
Все задачи, линейные и нелинейные, изучаются в весовых гельлеров-
i і ских пространствах функций C7J(Qr) с весом в виде степени t, что позволяет рассматривать решения, производные которых DktDv, при s < < 2k+\m\ < I могут иметь особенность при t = 0 порядка i'-^17 . Это дает возможность понизить гладкості, заданных функций, умеиьишть или свести к пулю порядок условий согласования начальных и краевых данных, а в случае з = / получить результаты, как следствие, для аниэотрол-
[ - - і'
иых пространств Гельдера Cyj(Qr)- Пространство C$1(Qt) было введено в рассмотрение В.С.Белоносовым. 2 Начально - краевые задачи для параболических уравнений и систем в весовых пространствах Гельдера исследовались В.С.Белоносовым, Т.И.Зеленяком, В.А.Солонникооым, А.Г.Хачатряном, В.В.Пухиачсвым и др. Отметим, что другие весовые пространства функций, например, с весом в виде отрицательной степени t, рассматривались И.И.Данилюком, СВ.Салеем, М.О.Отелбаевым, Т.Е.Омаровым, Е.К.Кимом и Г.И.Бижановой и др.
Цель работы. Доказать существование и единственность решений в малом по времени в весовых гельдеровских пространствах функций многомерных двухфазных и однофазных задач Стефана и Флорина для линейных и квазилинейных параболических уравнений второго порядка в ограниченных звездных областях, получить коэрцитивные оценки решений в нормах этих пространств. Изучить в весовых гельдеровских пространствах функций возникающие при линеаризации многомерных однофазных и двухфазных задач Стефана начально-краевые задачи с производной по времени и граничном услолни и условии сопряжения для параболических уравнений второго порядка в ограниченных областях на
'Здесь ухыыы тодькс рь/оты, в которых ifcwu рьсс*»тризм)гсі s регулярных области к в
срсстрадстяіх Гельдеро.
гБ««их;оа B.C., Зегохх Т.Н. Н'еохпль^ы» upo'Vua з т?ог*х к»алж«жхеіхих иірийолпеские
урмаґкї*. Нойосїбяр:к, 1575, 155 -.
произвольном промежутке времени. Получить годные результаты для рассматриваемых задач.
Научная новизна и теоретическая ценность. Получены точные результаты для нелинейных многомерных задач Стефана и Флорина и связанных с ними линейных начально-краевых задач с производной по времени в граничном условии и условии сопряжения.
Доказаны в весовых гельдеровских пространствах функций, в частности, в пространствах Гельдера существование и единственность решений в малом по времени многомерных двухфазных и однофазных задач Стефана и Флорина для линейных и квазилинейных параболических уравнений второго порядка в ограниченных звездных областях, получены коэрцитивные оценки решений в нормах этих пространств. Показано, что в задачах со свободными границами в результате преобразования неизвестных областей в фиксированные заданные функции Jm(x,t) в правых частях уравнений становятся коэффициентами /гао? квазилинейных параболических уравнений, где \Р-функция, описывающая свободную границу, аналогичную роль играют заданные функции дт{х, t) в правых частях условий на свободной границе. Вследствие этого не представляется возможным при наличии функций fm{x,t) и gm(x,i),m = 1,2, получить точные результаты в пространствах С, *"' {Qt) для минимальных показателей Гельдера / Є (0,1).
Доказаны в весовых гельдеровских пространствах функций, в частности, в пространствах Гельдера существование и единственность решений на произвольном промежутке времени начально-Краевых задач с производной по времени в граничном условии и условии сопряжения для параболических уравнений второго порядка, получены коэрцитивные оценки решений в нормах этих пространств.
Для произведений и суперпозиций функций из весовых гельдеровских
пространств C'iQj-) установлены опенки, из которых, в частности, вытекают оценки произведений и суперпозиции функций ил пространен! Гельдера.
Нсследонаннс задач п весоных ічдьдсрпнскнх пространствах функций позволило понизить гладкость заданных функций, уменьшить или свести к нулю порядок условий согласования начальных и краевых данных, которые, как известно, ограничивают произвол заданных функций в пределах тех множеств, которым они принадлежат.
Методика исследпвпніія к степень достоверности. В работе применяются методы теории дифференциальных уравнений с частными производными и методы функциональною анализа и теории функций. При решении начально-краевых задач с производной по времени в граничном условии и условии сопряжения строятся функции Грина модельных задач п полупространстве и пространстве соответственно п явном вида, устанавливаются оценки в весовых гсльдеровсклх номах лотендм-алов, порожденных этими функциями. При помощи решений модельных задач строятся регуляриэаторц и доказывается однозначная разрешимость задач в ограниченных областях на произвольном промежутке времени. Нелинейные задачи со свободными границами (в неизвестных областях) слодятся к нелинейный задачам в фиксированных областях. После обращения линейных частей они преобразуются к задачам, для которых становится возможным применение принципа сжимающих отображений при малых значениях промели.
Все результаты работы сформулиравыаны в виде теорем, лемм и их слсг<.:твий и строго доказаны.
Повложешш. Работа косит теоретический характер. Результаты ис--лглопалик могут найти применение в линейных и нелинейных задачах *;л1-смзтяческой физики, в частности, при рассмотрении задач со свобод-
ньши границами. Кроме того, задачи Стефана v Флорина могут быть использованы при изучении теплових процессов с изменением агрегатного состояния вещества, в металлургии, мерзлотоведении, геотермии, теории фильтрации и так далее.
Что выносится на защиту. Доказательства теорем существования и единственности в весовых гельдеровских пространствах функций и, в частности, в пространствах Гельдера для малых значений времени решений нелинейных многомерных двух- и однофазных задач Стефана и Флорина для линейных и квазилинейных параболических уравнений второго порядка.
Доказательства теорем существования и единственности в весовых гельдеровских пространствах функций и, в частности, в пространствах Гельдера для произвольных промежутков времени решений линеаризованных многомерных двух- и однофазных задач Стефана - задач с производной по времени в условии сопряжения и в граничном условий.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на конференциях по нелинейным задачам математической физики (г.Донецк, 1987, 1989, 1991, 1993 г.г.); на совместном заседании семинара им.И.Г.Петровского и Московского математического общества (г.Москва, январь 1994 г.); на Международном математическом конгрессе (г.Цюрих, Швейцария, август 1994 г.); на научных семинарах под руководством: академика НАН РК В.М. Амербаева; чл.-корр. НАН РК Н.К.Блиева; академика НАН КР, чл.-корр.РАН М.И.Иманалиева; чл.-корр. НАД РК Е.И.Кима, чл.-корр. НАН РК С.Н.Харина и доцента М.О.Орынбасарова; академика РАН О.А. Ладыженской (г.Санкт-Петербург, семинар им.В.И.Смирнова); чл.-корр. НАН РК М.О.Отелбаева и академика ИА РК ЇЇІ.С.Смагулова; профессора В.В.ІІухначева (г.Новосибирск); чл.-корр. НАН РК Д.У.Умбетжанова.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[9].
Объем и структура работы. Диссертация выполнена на 266 страницах машинописного текста и состоит из введения, двух глав, которые разделены на 8 параграфов. Список литературы содержит 140 наименований.
