Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Однородное интегральное уравнение второго рода с эргодическим оператором 11
1.1. Эргодический линейный интегральный оператор в пространстве счетно-аддитивных функций множества 11
1.2. Достаточный признак эргодичности интегрального оператора 19
1.3. Ядерные функции 26
1.4. Достаточный признак эргодичности интегрального оператора специального вида . ZS
1.5. Теорема существования и единственности неотрицательного нормированного решения однородного интегрального уравнения второго рода 44
ГЛАВА 2. Сведение специальной системы интегральных урав нений к однородному' интегральному уравнению второго рода 46
2.1. Специальная система интегральных уравнений относительно счетно-адцитивных функций множества 46
2.2. Теорема существования и единственности неотрицательного нормированного решения специальной системы интегральных уравнений 47
ГЛАВА 3. Исследование системы интегральных уравнений, возникащей в теории массового обслуживания 70
3.1. Счетная система интегральных уравнений, возникающая в теории массового обслуживания 70
3.2. Теорема существования и единственности неотридательного нормированного решения рассматриваемой счетной системы интегральных уравнений 77
3.3. Счетная система интегральных уравнений относительно плотностей 8 і
3.4. Примеры 88
3.5. Одно семейство функционалов на решениях рассматриваемой счетной системы интегральных уравнений 100
3.6. Примеры 115
3аключение 119
Литература 42.
- Достаточный признак эргодичности интегрального оператора
- Теорема существования и единственности неотрицательного нормированного решения однородного интегрального уравнения второго рода
- Теорема существования и единственности неотрицательного нормированного решения специальной системы интегральных уравнений
- Теорема существования и единственности неотридательного нормированного решения рассматриваемой счетной системы интегральных уравнений
Достаточный признак эргодичности интегрального оператора
Поскольку всякая ограниченная борелевская функция интегрируема /в смысле Лебега/ по всякой счетно-аддитивной функции множества, заданной на борелевских множествах и имещей конечную полную вариацию, то интеграл в определении Д. 15/ существует для любых функций M -3(J,Z) t eC&CTZ") Из линейности интеграла Лебега относительно функции срб ccu Z.) следует линейность функционалов QeGtyZ). Далее, если %CQ,(T,Z)TS. 90ФО . то существует множество А06Y, . Для которого %(А0)фО . Взяв для множества А0 соответствующую характеристическую функцию т0Ё){Т}) вида /1.7/, для функционала Q0 G(%Z) вида /I.I5/ получим соотношение
Следовательно, линейное пространство является тотальным подпространством пространства всех заданных на сл( Х) линейных функционалов [27,c.IIoJ. Отсюда в пространстве са( 2")М0ЖН0 вве ста GQ0- топологию [і, с.453-455].Из оценки [27,с.55] следует, что все функционалы (XeG(3]H) вВДа /1.15/ непрерыв ны в нормированном пространстве ccu( Z) , т.е. Q( Z) образу ет подпространство пространства ССи ( ) всех заданных на C6L C Z) непрерывных линейных функционалов. Отсюда &( 2) -топология пространства CCu(TZ) оказывается слабее слабой то пологии пространства Cd( Z) /заметим, что, по-видимому, не известно никакого вполне удовлетворительного описания всего пространства ca C Z) [I, с.408] /. Для краткости всюду да лее сходимость элементов пространства С& (5 27) в G(J Z) -топологии называем слабой сходимостью и обозначаем — , а соответствующие пределы называем слабыми пределами.
Поскольку топологическое пространство удовлетворяет второй аксиоме счетности, то борелевская б-алгебра. 2 является се-парабельной, и каждая точка Те-У принадлежит единственному неразложимому атому ArtlL измеримого пространства У (29,с.373]. На каждом таком неразложимом атоме всякая борелевская функция постоянна. Следовательно, если обозначить через у г неотрицатель -нуго нормированную функцию из пространства са-(Т}%) , сосредоточенную на атоме Ат , то из определений Д. 15/ - Д. 16/ следует справедливость оценки: 6 & чеТ ref Д.І8/ Из /І.І7/, Д. 18/ следует, что осуществляемое в соответствии с определением Д. 15/ отображение пространства B(T,Z) в пространство G( "Z) является линейной изометрией [27,0.124] , т.е.
Следовательно, поскольку пространство D(T Z) С нормой //га// -банахово [I, с.280] , то в силу Д.19/ пространство G( Z) с нормой //Q//6 - банахово.
Для интегрального оператора U , заданного определением Д.І/, естественным образом введем в рассмотрение сопряженный оператор U , заданный в пространстве G-QKZ) определением: для любого функционала aeG(%X) значение f-UO" есть Функционал, заданный на пространстве С&(Х ) Формулой Лемма 1.2.1. Если ядро К(А?) интегрального оператора U удовлетворяет всем условиям (с) -(HI) , то сопряженный оператор U является линейным непрерывным оператором, отображающим про странство в себя.
Доказательство. Линейность и непрерывность сопряженного оператора U следуют из линейности и непрерывности оператора (J , установленных в лемме I.I.I [27,с.327] . Убедимся теперь, что сопряженный оператор U отображает пространство в себя. Пусть Q G Zj. По определениям /I.I/, Д. 15/справедливы равенства
При доказательстве леммы I.I.3 была установлена справедливость равенств Д. 12/ для любых фиксированных А 2І Заменим в равенствах Д.12/ ядро К\А} 6) при фиксированном /4eZ функцией пъ() из равенств Д.21/, а ядро A (d& J - ядром KfuS TJ из равенств Д.21/. Проведя точно такие же рассуждения, как при доказательстве справедливости равенств Д.12/ и как в заключительной части доказательства леммы I.I.2, можно установить, что справедливо равенство и что фигурирушцая в правой части равенства Д.22/ функция является элементом пространства о(У Z.) . Подставим функцию tfl V) вида Д.23/ в правую часть равенства Д.22/, которую затем подставим в правую часть равенства Д.21/. В результате получим равенства
Теорема существования и единственности неотрицательного нормированного решения однородного интегрального уравнения второго рода
Замечание. В тривиальном случае, когда множество .Q являет-ся атомом меры Р , множество л2 является атомом меры Р в силу определения Д.55/. В этом случае не существует множества T)tJD , для которого справедливо условие Д.78/, и для доказательства существования ненулевой функции 64 удовлетворяющей равенствам Д.82/ при всех Те J , достаточно дополнительно потребовать, чтобы для г -почти каждого семейство JL (ш) вида Д.67/ не зависело от отображения T0:5?— J .
Теорема существования и единственности неотрицательного нормированного решения однородного интегрального уравнения второго рода
Рассмотрим однородное интегральное уравнение второго рода с эргодическим ядром K\Af) вида /1.58/. Согласно определению I.I совокупность решений уравнения /1.86/ образует в пространстве OOu(jTy2) одномерное пространство. Достаточные условия эргодичности ядра К{А$) вида /1.58/ сформулированы в теореме 1.4. Эти же ус ловия являются достаточными для существования и единственности неотрицательного нормированного решения уравнения /1.86/.
Теорема 1.5. Пусть справедливы все условия теоремы 1.4. Тогда решение интегрального уравнения /1.86/ с ядром Л(4,Г/ вида /1.58/ существует и единственно в классе неотрицательных нормированных функций ytc& Z) .
Доказательство. По теореме 1.4 справедливо соотношение /1.85/, в котором о - неотрицательная нормированная функция из пространства сл.( Х) , а также справедливы неравенства /1.84/. Из соотношений /1.84/ - Д.85/ следует справедливость условий /1.29/ - Д.30/ теоремы 1.2. При доказательстве теоремы 1.2 было установлено, что пространство решений уравнения /1.86/ исчерпывается функциями вида с % , где С - вещественные числа, а % еах Z) - неотрицательная нормированная функция, фигурирующая в /1.85/. Отсюда неотрицательное нормированное решение уравнения Д.86/ существует , единственно и равно функции настоящей главе исследуется вопрос существования и единственности решения счетной системы линейных интегральных уравнений. Все относящиеся к этому вопросу утверждения остаются в силе и в частном случае, когда число уравнений конечно.
Специальная система интегральных уравнений относительно счетно-аддитивных функций множества Пусть [cfi\i=0)iy.] - счетное семейство непересекающихся множеств, на каждом из которых введена своя топология. Пусть все топологические пространства 51 удовлетворяют второй аксиоме счет-ности и пусть L L - борелевская & -алгебра в пространстве Jl . Рассмотрим счетную систему линейных однородных интегральных уравнений вида
Здесь каждый интегральный оператор Ul% задан в пространстве са(% 2г) определением: для любой функции угесаС 2L%) значение J. г есть функция множества,заданная на 6-алгебре Z формулой
Цравая часть формулы /2.2/ представляет собой интеграл Лебега [27,с.55] от функции Ki%(fi?) по счетно-аддитивной функции множества ?ieax(5f 2t) Будем полагать, что ядра 1{1г(А,х) . /= ... , "2=0,1,... удовлетворяют трем условиям: удовлетворяют второй аксиоме счетности и не имеют общих точек, следовательно, объединение счетных базисов пространств Si может служить счетным базисом топологии в пространстве j . В результате введенное таким образом топологическое пространство ff удовлетворяет второй аксиоме счетности. Следовательно, правые части равенств /2.4/, /2.7/ совпадают, и справедливы равенства Таким образом, в силу определения /I.I/ функция АИ ?У вида /2.5/ является ядром интегрального оператора [] вида /2.4/. Ц
Лемма 2.2.2. Если ядра интегральных операторов Uiz удовлетворяют всем услозиям (к)-(kick) , то оператор JJ вида /2.4/является линейным непрерывным оператором, отображающим пространство ca (7 2.) в себя.
Теорема существования и единственности неотрицательного нормированного решения специальной системы интегральных уравнений
Итак, по определению 2.2.2 і/г - частные ядерные функции.! Лемма 2.2.8. Если lltiPiftjS) - частные ядерные функции, и функция I(J\Xpb) определена формулой /2.30/, то функции 1п( со) вида /1.40/ - Д.41/ определяются при каждом 1 0,1,... равенствами справедливыми одновременно для Р -почти всех cOG$2 .
Доказательство. По лемме 2.2.7 Функции ii7r являются частными ядерными функциями. Следовательно, по лемме 2.2.6 функции 1 вида /2.33/ - ядерные. Индукцией по KV докажем, что повторные ядерные функции 1 вида /1.40/ - А.41/ связаны с частными повторными ядерными функ Г (Yt) циями 11г вида /2.31/ - /2.32/ равенствами /2.33/. При а = 0 эта связь следует из определений Д.41/, /2.32/. Пп-1)
Предположим, что Функция і вида /2.33/ является повторной ядерной функцией вида /1.40/. При доказательстве леммы 2.2.5 было установлено, что если справедливы условия (к)-(kick) для ядер Кіг то для ядра вида /2.5/ соответствующие повторные ядра/\ (4}г) вида /1.5/ - /1.6/ определяются равенствами /2.15/. Аналогично может быть установлено, что если справедливы условия (l)-{Ut) определения 2.2.2 для функций 11% , то для ядерной функции 1(А&сд) вида /2.30/ соответствующая повторная ядерная функция 1 вида /1.40/ определяется равенствами /2.33/, в которых фигурируют част-ные ядерные функции ±Сг вида /2.31/ - /2.32/. Чтобы в этом убедиться, достаточно в соответствующих рассуждениях доказательства леммы 2.2.5 заменить условия (к)-(ккк) на условия определения 2,2.2, ядра Ккг (А$9 1% (А) ) - на соответствующие функции I (A ,6 ) , ПАгМ ҐЛ (А, ) ,ЩА,о,») ,7/Г Яг, ) , lit (А,?,00) . а ссылку на лемму 2.2.4 - ссылкой на лемму 2.2.7. Определение 2.2.3. Система частных ядерных функций LzfA oo) , c-0,dr.. Ъ-0;1У.. называется одноатомной, если ядерная функция КА со) вида /2.30/ одноатомная.
Лемма 2 2.9. Если частные ядерные функции ЛЬ (Чг 4) » - 2 - 2 г=о ,.„образуют одноатомную систему, то при Р -почти каждом о)е5? для любого г-О у.ъ любого г 7 существует такой индекс 1(т ы), что Функция Л(с, г 0 , ) ( ) является неотрицательной нормированной функцией, имекщей единственный класс эквивалентных атомов, и Ііг ( , Ъ}со)=0 для всех Ф &(FjCj).
Доказательство. В силу одноатомности системы ядерных функций ункция /(4з со) вида /2.30/ является ядерной по лемме 2.2.6 и одноатомной по определению 2.2.3. Следовательно, в силу определения 1.3.2 и равенства /2.30/ из одноатомности ядерной функции 1(А ?)( }) следует неотрицательность всех функций ЛгС 03) ,is$ j-в правой части равенства /2.30/ при Р-почти каждом oJtQ для всех 1=otiy.. и всех бй .Из предположения о том, что в правой части равенства /2.30/ хотя бы две неотрицательные функцииЛг( Я w), I/г0 ft ) являются ненулевыми (ifp , следует, что множества Ті , - являются атомами функции і оГ//6СаЦ/. В силу равенства это противоречит единственности класса эквивалентных атомов одноатомной ядерной функции . Следо вательно, для г-почти каждого си є-Sd при всех %-, ... и всех среди функций 1і7,(- &ы) t і = 0,1,..- в правой части равенства /2.30/ только одна функция it cz z С у )Са-(Щгыу XL Іотлична от нуля. Следовательно, в силу одноатомности ядерной функции вида /2.30/ Функция Ьъ гС уЪ СЫ&ъа) Litou)) является неотрицательной нормированной функцией, имекщей единственный класс эквивалентных атомов.
Лемма 2.2.Ю. Если функции Lz(Ajco) , 0,1,... ,?= %... образуют одноатомную систему частных ядерных функций, то при любом п-о,і,... система функций /6-г (fi u) , i = Ofir.. ,ъ=о,4,... вида /2.31/ - /2.32/ также является одноатомной системой частных ядерных функций.
Доказательство. По леше 2.2.6 функция І\Дуг}оувя№ /2.30/ является ядерной. По определению 2.2.3 эта функция является, кроме ..того, одноатомной. Следовательно, по лемме 1.3.3 все повторные ядерные функции /Л(л, со) вида /1.40/ - /I.4I/ - тоже одноатом ные. По лемме 2.2.7 для любого К-0,1,... функции 1;г (Аде ) являются частными ядерными функциями. По лемме 2.2.8 и в силу установлен ной одноатомности повторных ядерных функций система частных ядерных функций ±i% H ej) , 1-0 у.. ,1=0,1,... при лю бом п-Oyly является одноатомной согласно определению 2.2.3. Цусть Ъс - произвольное v/э- измеримое отображение. В силу лемм 2.2.9, 2.2.Ю для любого Z=6 iy.. и любого а А- прн Р-почти каждом cutT GZ) среди одноатомной системы частных ядерных функций I;г ( ,T0(TCO),GJ) ,t = OJ,... одна функция является неотрицательной нормированной функцией с единственным классом эквивалентных атомов и -V% ( ) %(Тео) CJ)=0 для всех
Теорема существования и единственности неотридательного нормированного решения рассматриваемой счетной системы интегральных уравнений
Согласно предположениям относительно меры Р и по построению меры г для Р-почти каждого соє$2 соответствующая подпоследовательность од вида /3.4/ является тем, что называют нормальной реализацией стационарной случайной последовательности [ ВО, с.8J /термин предложил А.Н.Колмогоров/.
В работе fsi] на примере бесконечноканальной системы массового обслуживания рассмотрен вариант теории, в которой исходным объектом служит вполне распределенная [ЗО, с.б] по функциям Ffc) и грШ последовательность {( (s;;(pcs))s=...-i;o,i,...} двумерных векторов (ts), n(S) , а конечным продуктом являются расчетные формулы для мизесовских /т.е. определяемых по Р.фон Мизесу в терминах частоты/ вероятностных характеристик системы обслуживания. Упоминание о возможности изучения систем обслуживания на основе мизе-совского "более широкого понимания вероятности" /в терминологии А.А.Боровкова/ сделано в [18,/с.29] . при начальных условиях q0(pc,oS) 0 ,х 0 , со .Г2 .
Как отмечалось в [2q\ , все функции Оп(х}и}) ,гъ=0,4}... при любом фиксированном од -Г2 являются неотрицательными целочисленными невозрастающими непрерывными справа функциями на полуоси эс О , а их значения образуют монотонно неубывающую числовую последовательность { и, бх, cj) / и. - о, ,...} при любых 5С? О , сое 2. Следовательно, для всех эс О t coe--Q существует /быть может, бесконечный/ монотонный предел Согласно построению мер справедливы равенства в которых для каждого С-0;1У . символ /-/(«WIT- v-) обозначает норму в пространстве са(Т 2с) всех счетно-аддитивных функций, имеющих конечную полную вариацию и заданных на борелевской -алгебре %с пространства J І вида /3.12/ или /3.13/. При условии /3.7/Функция Я(х,(й) конечна Р-почти всюду, следовательно, по определению /3.15/ справедливо равенство 2P(fiL)=l из кото с-о рого в силу /3.22/ следует равенство оо
Все характеристики системы обслуживания с очередью, которыми обычно интересуются на практике /например, вероятности состояний, функция распределения времен ожидания и др./, являются функциями от Р-мер множеств /3.14/, /3.15/. Вычисление этих мер путем непосредственного интегрирования по мере Р малоэффективно из-за сложной структуры самих множеств /3.14/, /3.15/ /хотя для некоторых систем обслуживания сделать это и удается [3lJ /. Поэтому практическая задача расчета системы обслуживания с очередью диктует следующую схему исследования: рассмотреть равенства /З.І9/ - /3.21/ как счетную систему интегральных уравнений отно сительно неизвестных функций tft. & ах ( S ) , і=о, і,...., затем исследовать пространство решений этой системы уравнений и указать правило отбора того решения, у которого Функции у- , =(?,...являются образами меры Р при соответствующих отображениях и) - $1 » построенных выше. Роль такого правила отбора выполняют рассмотренные ниже различные варианты теоремы существования и единственности. Согласно этой теореме рассматриваемая система уравнений имеет единственное неотрицательное нормированное решение Ці , c = 0)li... , у которого функции eou( 2j как раз и являются образами меры Р при соответствующих отображениях Та)х&- $} Вывод самой системы уравнений /3.19/ - /3.21/ был намечен в [23 ] .
В формулах /3.29/ - /3.31/ символ П используется в дво яком смысле: для обозначения параллелепипедов /7(?А"] и для обозначения произведений характеристических функций. По определениям 2.2.2, 2.2.3 Функции Ііг(-,Ті%)ісО , с=0,г..,7=0 у.. вида /3.27/ - /3.31/ образуют одноатомную систему частных ядерных функций вида /2.45/. Следовательно, ядра /3.26/ имеют тот же вид, что и ядра /2.46/, фигурирующие в теореме 2.2.2. Чтобы воспользоваться теоремой 2.2.2, убедимся в справедливости фигу-рирующего в этой теореме условия Д Р(/:-Го) 0 при любом & -измеримом отображении %:Q- J , где У= U9 .
Как отмечалось в І20] , Функции Qh(x cj) ,п,=о,1 . однозначно определяются координатами точек, в которых эти функции имеют скачки. Следовательно, при каждом і -і,2,... все плотности /-/ ) ,п=4,г}... вида /3.50/ являются элементами /неотрицательными/ пространства L \Jtt2 iNi) . При доказательстве теоремы 3.2 было установлено, что из справедливости условия /3.7/ следует справедливость всех условий теоремы 2.2.2. Следовательно, по теореме 2.2.3 из слабой компактности плотностей {\cL п () //W,2,...J с: /, (JT следует, что решение системы уравнений /3.24/ - /3.25/ существует и единственно в классе неотрицательных абсолютно непрерывных функций #еса {Щ} 2_,с) , і = о,і}... , удовлетворяющих условию нормировки /2.21/.
Система уравнений /3.24/ - /3.25/ эквивалентна системе /3.19/ - /3.21/, которая - при абсолютной непрерывности функции / Cv и функций &, , t=i,г,... - эквивалентна системе уравнений /3.40/ - /3.42/ относительно плотностей -е Z, ( ЕгМ А- Следовательно, решение системы уравнений /3.40/ - /3.42/, удовлетворяющее условию нормировки /3.51/, существует и единственно в классе неотрицательных функций В некоторых случаях на практике может быть полезно следующе
