Некоторые вариационные задачи, определенные на множестве почти периодических функций Воронецкая Марина Александровна

Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат - бесплатно, доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Воронецкая Марина Александровна. Некоторые вариационные задачи, определенные на множестве почти периодических функций : диссертация ... кандидата физико-математических наук : 01.01.02.- Ижевск, 2006.- 97 с.: ил. РГБ ОД, 61 07-1/219

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Основные свойства среднего значения почти периодического лагранжиана 19

1. Основные свойства почти периодических функций 19

2. Свойства среднего значения почти периодических функций 23

3. Свойства минимума функционала в виде среднего значения 32

Глава 2. Некоторые вариационные задачи, определенные на множестве почти периодических функций 48

4. Задача с ограничениями в виде равенств и неравенств 48

5. Необходимые условия слабого минимума для задачи Больца 52

6. Необходимые условия решения в сильном смысле задачи Больца 60

7. Необходимые условия второго порядка 70

Глава 3. Среднее значение квадратичной формы и условия второго порядка 75

8. Необходимые и достаточные условия неотрицательности среднего значения квадратичной формы 75

9. Условия строгой положительности среднего значения квадратичной формы 79

10. Условия строгой положительности квадратичной формы в одномерном случае 84

11. Достаточные условия второго порядка решения простейшей задачи вариационного исчисления 87

Список литературы 92

Свойства среднего значения почти периодических функций
Необходимые условия слабого минимума для задачи Больца
Необходимые условия второго порядка
Условия строгой положительности среднего значения квадратичной формы

Введение к работе

Почти периодические (п. п.) функции широко используются в различных областях математики и ее приложениях. Одной из важных областей применения теории п. п. функций является теория колебаний, описывающая колебательные процессы физических систем., рассматриваемых, например, в механике, теоретической физике, небесной механике, теории электрических цепей, электро- и радиотехнике.

Важной сферой применения п. п. функций является теория систем дифференциальных уравнений с п. п. коэффициентами. К настоящему времени число работ в этом направлении стало трудно обозримым. Поэтому отметим лишь работы [1]-[13] монографического характера, в которых приведены основные методы исследования п. п. решений таких систем, и содержащих комментарии работ, посвященных теории дифференциальных уравнений с п.п. коэффициентами и ее приложениям. Отметим также работы [14]-[21], в которых на основании вариационного принципа Лагранжа получены необходимые и достаточные условия существования п. п. (по Бору) решений уравнения Эйлера-Лагранжа с функцией L є C^T](R" х M^U,IR).

В работе [14] Blot J. указал, что множество п. п. решений этого уравнения совпадает с совокупностью стационарных точек функционала

т x{-)^j{x{_:)) = M{L{x(t),x{t))}± lim І І L(x{t),x{t))dt,

J. ? -ЗО J_ і

определенного на множестве В¹ = i^fK, JR"), состоящем из функций, принадлежащих вместе со своей производной пространству В(Ш, К") п. п. по Бору [8, 9] отображений. В этой и последующих своих работах, основываясь

на этом утверждении, для задачи ./(ж(-)) —> inf, х(-) Є В¹, названной им простейшей задачей вариационного исчисления в среднем, он указал необходимые условия первого и второго порядков решения в слабом смысле (то есть по норме IJ j|#i пространства В¹) этой задачи. Эти результаты, а также доказанные им утверждения о свойствах среднего значения квадратичной формы, отвечающей второй производной (по Фреше) функционала J, позволили указать необходимые, а также достаточные условия существования п. п. решения уравнения Эй л ера-Лагранжа, и привести ряд утверждений о структуре множества таких решений.

В работах [19]-[21], также используя вариационный принцип, авторы указали достаточные условия существования п. п. (по Бору) решений уравнения Эйлера-Лагранжа, отвечающих неавтономной функции Лагранжа специального вида, и которая по временной переменной является п. п. по Бору функцией. Сказанное определяет актуальность исследования вариационных задач, определенных на множестве п. п. функций.

Целью работы является изучение ряда экстремальных задач с функционалами, определенными на множестве н. п. по Бору функций, производная которых принадлежит пространству ограниченных (в существенном) п. п. по Степанову отображений.

* ^ 5JS

Диссертация состоит из введения, трех глав, И параграфов (нумерация параграфов сквозная), и списка литературы.

В первом параграфе приведены определения и используемые в дальнейшем свойства банаховых пространств S(M, R") и 5(И, Е'^г) п. п. по Во-

ру и, соответственно, по Степанову функций |8]> а также пространства 5_ОТ(М, Ш^п) "-' пространства ограниченных (в существенном) п. п. по Степанову функций.

Напомним [8], что каждой п. п. по Степанову функции / можно поставить в соответствие ряд Фурье J2 с(А,/)е'^ш.

В первом параграфе доказана следующая

Теорема 0.1. Если ряд Фурье ^ с(А,/)е^гЛ/;, отвечающий функции

Аєі / Є ^ooflR, К^п), совпадает с формально продифференцированным рядом

Фурье Y^ с(Л,р)е для функции g Є (M,Rⁿ), то функция g принад-лежит пространству В (Ж, Ж'¹), и при почти всех {п. в) і Є I имеет место равенство g(t) — f(i).

Результаты второго параграфа носят вспомогательный характер. В нем введено в рассмотрение пространство В(Ш. х U,IP), U Є сотр(К^п), состоящее из непрерывных отображений (t,u) н> /('',и), которые п.п. по і є Ш в смысле Бора равномерно по и Є U [13]. а также пространство 5(М, С(U, Ж⁷¹)) п. п. по Степанову функций, состоящее из таких отображений (, и) н- f(t.u). что для любого множества [a, b] х U это отображение удовлетворяет условиям Каратеодори (см. [23], с. 212), и для любого є > О

множество Es(f.e)== f] E$(f(- ,гі),є) относительно плотно.

Обоснована корректность определения на множестве 6^ (Ж, U) функционала и () и- 3 (и ()) = М { g (t, и (і))}, отвечаю ще го з ад анн ой фу н кци и g Є S[R, C(U, Щ), и указан ряд свойств этого функционала, используемых далее.

В третьем параграфе вводится в рассмотрение отображение

(t,x,u) н» L(t,x,u) Є R, (i,z,u) Є M x V x Rⁿ, (V - область в Ж^п), удовлетворяющее условию:

А) для любых фиксированных множеств V Є comp(V) и U Є cornp(R^ri) отображение L принадлежит пространству S[M.,C(V х С/,М)).

Показано, что на множестве В = {х Є Q5(R, R"), огЬ(ж) С V}, где 93(R,Rⁿ) = {х є В(ЕД") : х Є S^I^R")} - нормированное пространство с нормой ||ж|[щ = ||ж||я + \\x\\s, х Є Q3(R,M^r''), корректно определен функционал

х{-) Ч- I(x{-)) = M{L{t₇x(t),x{t))}, х{-) Є В. (0.1)

Заметим, что в случае, когда рассматривается отображение, принадлежащее при любых V,U Є comp(IP) пространству В (Ж х V х /, Ж), то для каждой функции ж Є 5¹ = {х Є В^М,!^) : отЪ(х) С V} отображение і И- (, ж(і),ж(і)) будет п.п. по Бору, и, стало быть, на этом множестве функционал / определен. В рассматриваемом же случае, возможность определения функционала (0.1) требует, вообще говоря, обоснования.

В начале параграфа доказан ряд свойств функционала (0.1). и обоснована целесообразность рассмотрения следующей задачи:

1{х(-)) -+inf, х(-) Є Б, (0.2)

которая называется простеМшей задачей вариационного исчисления, определенной на множестве п. п. функций. В этой задаче функция х(-) Є В называется решением в силъком (слабом) смысле, если для всех х из множества В таких, что ||ж — х\\в < 7 (соответственно, \\х — жЦщ < 7) ^вы_полнено неравенство /(#()) ^ /(()).

Если функция х(-) В доставляет сильный минимум в задаче (0.2), и при этом х(-) Є В¹, то эта функция будет решением в слабом смысле. Поэтому необходимые условия решения в слабом смысле являются необходимыми условиями решения и для сильного минимума. При этом, если ж(-) Є В , то {в силу утверждения, доказанного в начале параграфа) х(-) будет решением в слабом смысле задачи l(x{-)) —> inf, х(-) Є В¹. Следовательно, необходимые условия решения задачи (0.2) будут также необходимыми для решения в слабом смысле задачи, рассмотренной в работе [14]. В диссертации при рассмотрении задач вариационного исчисления и в более общей постановке, определенных на множестве 25 (R, Е^п), исследуются необходимые условия решения в сильном и слабом смысле.

Отметим также, что задача (0.2) может быть переписана в виде задачи оптимального управления п. п. движениями (см., например [24, 25]). Вместе с тем, как показано в [24], при получении необходимых условий оптимальности допустимого процесса (в в.иде принципа максимума Понтрягина) в задаче оптимального управления п. п. движениями существенно, что однородная система уравнений в вариациях, отвечающая, этому оптимальному процессу, должна обладать свойством экспоненциальной дихотомичности. В задаче оптимального управления п.н. движениями, отвечающая задаче (0.2), однородная система уравнений, в вариациях для уравнения х = и{1) имеет вид: х ~ 0, и, очевидно, не является экспоненциально дихотомичной. Следовательно, при получении необходимых условий решения в сильном смысле задачи (0,2), вообще говоря, нельзя воспользоваться необходимыми условиями оптимальности допустимого процесса, приведенными в [24].

Поэтому при получении необходимых условий решения в сильном смысле вариационных задач, определенных на множестве 05 (R, Ш^а), используются другие методы, отличные от методов, применяемых при изучении задач оптимального управления п. п. движениями, и которые представляют самостоятельный интерес.

Основным утверждением третьего параграфа является следующая теорема, в которой AC(ja_} а + Т],М^П) — пространство абсолютно непрерывных функций, заданных на отрезке [а, а + Т] со значениями в Ж^п.

Теорема 0.2. Нуст,ъ отображение L : Ex VxMⁿ —> Ж удовлетворяет условию А) и ограничено. Функция х является решением, задачи (0.2) в сильном смысле тогда и только тогда, когда для любого Т > 0 найдется такое 7 = j(T) > 0, что для всякого а Є R и всякой фунщгш х из пространства АС ([а, а + Т],Е") такой, что \\х — Щ_г(, _Т] _й,л < 7, будет выполнено неравенство

а+Т а+Т

/ L(t,x{t),x{t))dt^ / L(t,x{t),ic{t))di

а а

В четвертом параграфе рассматривается функция L : R х V X К^п —> R, удовлетворяющая следующим условиям:

в каждой точке (t,x,u) Є R х V х W^l существуют производные L'_x, L'_u по переменным х и, соответственно, и;
для любых фиксированных множеств V Є comp(V) и U Є comp(Mⁿ) LeS(R₇C(V х U,R)), и L'_x,L'_ueS(R,C{V х U,К'¹*)).

Всюду далее будем использовать обозначения: Lf_x{t) = L'_x(t, з; {),#()),

%(i) = !(*, ЗД.ЗД), ієЖ.

В силу результатов о дифференцируемости, приведенных во втором параграфе, функционал І (см. (0.1)) будет иметь в каждой точке х(-) Є В первую вариацию по Лагранжу SI(x{-); ).

Теорема 0.3. Пусть функция х(-) Є В такова, что 51{х(-); ) = 0. Тогда если п. п. по Степанову функции t И- L'_x(t) і >-» L'Jt) ограничены в существенном, то отображение і и- L'_a(t) принадлеоісит пространству 95(R,K"), и при п. в. єЕ

-p_u(t) + L>_x(t) = 0. (0.3)

Далее рассмотрим функции Lj :ЕхУхМ"-»1К, j = Q,...,k+m_} удовлетворяющие условию, аналогичному условию А), и определим следующую задачу

k(x{-)) ~>іпї, х{-) є Д (0.4)

ще D ± {х Є В : Ij(x(-)) ^0,,7 = 1,...,^, /.^(-))=0, j = к+1,...,к+т}.

Эта задана называется п. п. задачей с ограничениями на средние значения типа равенств и неравенств., в которой функция х(-) называется решением в слабом смысле, если найдется такое 7 > 0, что Iq(x(-)) ^ /о (#()) для всякой функции х(-) Є D, удовлетворяющей неравенству \\х — x\\rg ^ 7-

Теорема 0.4. Пусть в задаче (0.4) отображения Lj : R х V х М^п -> М, j = 0,..., & + m. удовлетворяют условиям, аналогичным условиям 1), 2) для лагранжиана L. и функция х(-) Є -D является решением в слабом

смысле задачи (0.4). Тогда найдутся такие числа Aq ^ 0, Лі,..., A&_+m, не равные пулю одновременно, что будут, выполнены соотношения: Л_?- ^ О, X_:jlj(x(-)J = О, j = 1,..., к. Кроме того, еслгі п. п. по Степанову функции

і ^ ЦхІЇ) = Цхі^Щ^Щ)^ ^ Циі*) = Циі^ЩіЩ) ограничены на № е существенном, то функция і і—> ^] XjL^_u(t) принадлежит про-ст/ранству 05 (М, Е^п*), и при и. е. і Є Е имеет место равенство:

В параграфах 5-7 исследуется п. п. задача Больца. Для постановки этой задачи наряду с функцией L : 1 х V х fi'¹ ~> 1_; удовлетворяющей условию А), фиксируются константа а > 0 и п. п. последовательность [32] а также отображение (, ж) ы p(t ж) є R, (t, ж) Є R х V, удовлетворяющее условиям:

I) в каждой точке (і, х) Є К х У существует

II) для всякого У Є comp(V) функции (t,x) Н> f/(/\ж) и (і, ж) Н> ^_;(t,x')
принадлежат пространствам Б(ЕхУД) и В(МхУ, К^п*), соответственно.

Показано, что в этом случае на множестве В корректно определен функционал

1 ^q~^lх(-) 1-у G(x{-)) = ^-^5(f_m,i(ma)),

а также показано, что он будет непрерывно дифференцируемым по Фреше на Б.

Сказанное выше позволяет¹ рассмотреть задачу, которая называется п. п.

задачей Болъца

l(x{-)) = I(x(-)) + G(x{-)) -> inf, і(0 Є В, (0.5)

и функция х(-) Є > называется (локальным) решением в слабом, (сильном) смысле, если найдется такое 7 > О, ^чт0 ^ (()) ^ "(я С")) Д^ля йс^якой функции ж(-) Є Я, удовлетворяющей неравенству ||ж — х\\% ^ 7 (соответственно \\х — х\\в ^7)-

Основным утверждением параграфа 5 является следующая Теорема ОА.Пустъ функции L : 1 х V х fⁿ ^ R ug : R х V -У М удовлетворяют условиям 1). 2) г/, I), II), соответственно, и функция х из множества В является решением в слабом смысле задачи (0.5).

Тогда, если функция і \—> p(t)== ] L'_x(s) ds Є Mⁿ*, і Є Ж, п. п. по Бору, то

а) отображение Ь'_и принадлежит пространству QS(E,Rⁿ*);

б) x{i) при п. в. f;l удовлетворяет системе уравнений (0.3);

в) имеет место равенство lim ^ ^ ^.(t_m,x(ma)) = 0.

Шестой параграф посвящен получению необходимых условий решения в сильном смысле задачи (0.5). Для получения этих условий введены в рассмотрение п. п. иголки Вейерштрасса., которые определяются следующим образом. С фиксированной точкой В Є (0,a) (a > 0) связывается множество А={А > 0 : д -\- є < а}, где є = є(А)=А + у А, и. по заданной п. п. последовательности {v_m}_m<=z С М" строится функция х(-,Х) Є C(ll,W^l) (А Є Л), определенная на каждом полуинтервале [та, (т + l)a), m Є Z

равенством

О, і є [та, (m 4- 1)а) \ [та -\~ $, та + д + є), я&А) = < {t-ma~-d)v_m} і Є [ma + tf,ma + tf + Л),

\v_m-yX{t—та — її — X)v_m, t є [та И-1? +А, та+$-!-є), Показано, что множество функций {#(-,А), А Є Л}, которое названо семейством п. п. иголок Вейерштрасса, принадлежит пространству 93 (М,R"), ограничено по норме )[ |)яз, и является равностепенно почти периодичным..

Для функции Вейерштрасса

{t,x,u,v) = L{t,x,v) — L{t_}x, и) — (v — и) L'_u{t, х, и)

доказано следующее утверждение:

Лемма 0.1. Пусть отображение L : М х V х М" -> R помимо условий 1), 2) удовлетворяет условию:

3) для любых V Є comp(V) и U Є comp(Mⁿ)

lim(esssupw₇[iu(tf,-,-), V х Щ) = -

7-Ю ІЄК

Тогда, если функция ж(-) Є ІЗ гар« n. є. f R удовлетворяет уравнению (0.3)j mo екя каэ/сс^го компакта U=orh(x)-\-O^[0], N Є N, найдутся, такие последовательности (} С N, lim ^ = оо, (} С (0, а), lira т = 0, и измеримое множество 5 С [0, a], mesS^a, ч?гш е каз/с-(9оії точке 'д Є Е и для, любой фиксированной п. п. последовательности {ь'_т}тєі С 0дг[О] будет иметь место предельное равенство

j-^oo Tjj

= Iim y2(^ma ⁺ ^>^W,^maW,^maW +).

t-юо O/O ^—'

Лемма 0.1 используется при доказательстве следующего утверждения.

Теорема 0.5. Пусть функции L : 1 х V х Г ч I wp:RxV^R удовлетворяют условиям 1)-3) и 1),11), соответственно, и функция х из множества В является решением задачи (0.5). Тогда

а) если функция t н- p{t)= J L'_x(s) ds Є БГ*, і Є IS, п. п. гао Лору, mo

о для каоїсдой функции и из 5^(Ж, R⁷ⁱ) выполнено неравенство

м{г{ь_}щ,щ,щ + u{t))} > о, (о.б)

б) если функция L дополнительно удовлетворяет условию: для любой

ограниченной области U С Ж^а, содержащей orb (ж), ess sup /(і) < сю,

__ tf-Ж

где l(t) = m.cix\L^f_u(t,x(t)^u)\, U=U, то неравенство (0.6) выполнено в

u*EU

том и только том случае, если при п. в. і Є Ж и каждом v Є М^п(t,x{t),x(t),ic{t) + v) ^0.

В седьмом параграфе указаны при некоторых ограничениях на функции L и о необходимые условия второго порядка решения в сильном смысле задачи (0.5): если функция х(-) Є В является решением в сильном смысле этой задачи, то при п. в. t єШ. и всяком v Є Ш'¹ справедливо неравенство

Восьмом параграф посвящен необходимым и достаточным условиям, неотрицательности среднего значения п. п. квадратичной формы, В этом параграфе фиксируются отображения P,Q,R Є S_w (Е, Hom(Eⁿ)), удовлетворяющие следующим условиям:

для п. B.teR P{t) = P*(t), R(t) - #*(*);
v*P(t)v > 0 для всех отличных от пуля uGM" и п. в. і eR, Указанным отображениям P,Q,R ставится в соответствие оператор

К : Q3(R,Mⁿ) -> 5оо(Е, М"), определенный следующим равенством:

K[x](t)=x{tyP(t)x(t) + 2x{t)*Q{t)x(t) + x(tyR{t)x{t), t є R,

по которому определятся функционал

х{-) н- K(x{-))=M{K[x]{t)}_t х{-) Є 93(КД^П),

который называется неотрицательным, если К(х{-)) ^ 0 для всех функций #(), принадлежащих 93(R,]R⁷¹).

В следующем утверждении используется понятие отсутствия сопряженных точек у линейной (п. п. по Степанову) системы дифференциальных

уравнений

-(P{t)x + Q*{t)x) = Q(t)x + R(t)x_t хеШ^п., t(ER. (0.7)

(Ль

Следуя определению, приведенному в |31| стр. 454, будем говорите что система уравнений (0,7) является системой без сопряоюепних точек на интервале J, если каждое нетривиальное (не обязательно почти периодическое) решение не более одного раза обращается в нуль на этом интервале.

В этом параграфе доказана следующая

Теорема 0.6. Для неотрицательности функционала К необходимо, чтобы система уравнений (0,7) не имела сопряо/сенных точек на М, и достаточно, чтобы эта система не имела сопряженных точек на интервале (0, -foo).

Девятый параграф посвящен необходимым условиям строгой положительности функционала /С. Этот функционал называется строго положительным, если найдется такая константа к > 0, что для всех х Є ЯЗ (К, R") будет выполнено неравенство /С(ж(-)) ^ xM{ja:()|²+ |s(i)|²}.

Теорема 0.7. Пусть функционал К, строго положителен. Тогда си-стема уравнений (0.7) не имеет ограниченных решений.

Отметим далее, что система уравнений (0.7) может быть записана в виде линейной системы уравнений z(t) = F(t)z(t), в которой

аЛ / A(t) B(t)

xj \C(t) -A*(t)

где A(t) = P-\t)R(t), B{t) - p-\t), C{t) - Q{t) - W{i)P-^l{i)Bii). Утверждение 0.1. Если функционал К ст,рого положителен, то система уравнений z(t) = F(t)z(t), отвечающая системе уравнений (0.7), является экспоненциально дихотомичной.

В десятом параграфе при рассмотрении условий строгой положительности квадратичной формы в одномерном случае функционал /С записывается в виде

К(х{-)) = M{p{t)x²{t) + 2q{t)x(t)x(t) + r(t)x²(t)},

и предполагается что функции p,q принадлежат пространству 23(11,Ж), и infp(i) > 0, а функция г принадлежит пространству S^ (М, Е).

На множестве »²(ЕД) = {х Є B'^RAi) : х Є 5_да(ЕД)} рассмотрим оператор L : 2S²(R,E) ~> 5^(^,1^), определенный равенством

L[x](t) ЩЇ) + Ща*) + ~~^ ft^~~Wi *ЄЖ.

Теорема 0.8. Функционал /С, определенный на множестве 93(1LR), строго положителен тогда и только тогда, когда найдется функция z є 93²(КД), что mlz{t) > 0, и для п. в. t Є Ш L[z](t) . 0, при этом L[z](t) 0.

В начале одиннадцатого параграфа указаны необходимые условия второго порядка решения в слабом смысле задачи (0.2), полученные из теоремы 0.6.

Теорема 0.9. Пусть функция х Є В является решением задачи (0.2) в слабом смысле, и при п. в, t Є R и всяком v Є Ж^п (v ф 0) выполнено неравенство v*L'!_au{l)v > 0. Тогда система дифференциальных уравнений

**- -"^ *"*-*,

(0.7) при Р(/;) = L'uuit), Q(t) == ін_Ж(і), -R(t) == L",_x(t), не имеет сопряженных точек па Ж.

Приведен также пример, показывающий, что в отличие от достаточных

условий решения в слабом смысле простейшей задачи вариационного исчисления, аналогичные по формулировке условия для экстремали х не являются достаточными.

В заключение параграфа приведены достаточные условия решения задачи (0.2) в одномерном случае.

Теорема 0.10.Пусть функция х Є 2S(E,R) удовлетворяет следующим условиям:

для п. в. і Є М выполнено равенство (0.3);
Ц_т,Ц_;иеЩЖЛ) 0;
найдется такая функция z Є 2S²(E,R), что inf z(t) > 0, и для п. в.

і Є Ж оператор L, отвечающий лагранжиану задачи (0.2), удовлетворяет

неравенству L[^](i) ^ 0 (при этом LjY](") ф 0).

Тогда функция х является решением задачи (0.2) е слабом смысле.

Основные результаты диссертации докладывались на городском семинаре по дифференциальным уравнениям и теории управления (Ижевск, 1998-2006 годы), научной конференции молодых ученых (МГУ, Мехмат, май 1998 года), семинаре кафедры прикладной математики УрГУ (Екатеринбург, 2003 год), конференции "Четвертые Богдановские чтения по обыкновенным дифференциальным уравнениям"; (Минск, 2005 год), научной конференции "теория управления и математическое моделирование", посвященная 50-ти летию Ижевского государственного технического университета и 30-ти летию кафедры, прикладной математики информатики ИжГТУ (Ижевск, 2006 год), научной конференции "теория управления и математическое моделирование", посвященная 75-ти летию Удмуртского государственного университета (Ижевск, 2006 год), и опубликованы в

[431 - [47|-

Выражаю глубокую признательность Иванову А. Г. за постановку интересных задач, внимание и помощь в работе.

Свойства среднего значения почти периодических функций

В работе [14] Blot J. указал, что множество п. п. решений этого уравнения совпадает с совокупностью стационарных точек функционала определенного на множестве В1 = i fK, JR"), состоящем из функций, принадлежащих вместе со своей производной пространству В(Ш, К") п. п. по Бору [8, 9] отображений. В этой и последующих своих работах, основываясь на этом утверждении, для задачи ./(ж(-)) — inf, х(-) Є В1, названной им простейшей задачей вариационного исчисления в среднем, он указал необходимые условия первого и второго порядков решения в слабом смысле (то есть по норме пространства В1) этой задачи. Эти результаты, а также доказанные им утверждения о свойствах среднего значения квадратичной формы, отвечающей второй производной (по Фреше) функционала J, позволили указать необходимые, а также достаточные условия существования п. п. решения уравнения Эй л ера-Лагранжа, и привести ряд утверждений о структуре множества таких решений.

Диссертация состоит из введения, трех глав, И параграфов (нумерация параграфов сквозная), и списка литературы. В первом параграфе приведены определения и используемые в дальнейшем свойства банаховых пространств S(M, R") и 5(И, Е г) п. п. по Во ру и, соответственно, по Степанову функций 8] а также пространства 5ОТ(М, Шп) "- пространства ограниченных (в существенном) п. п. по Степанову функций. Напомним [8], что каждой п. п. по Степанову функции / можно поставить в соответствие ряд Фурье J2 с(А,/)е ш. В первом параграфе доказана следующая Теорема 0.1. Если ряд Фурье с(А,/)егЛ/;, отвечающий функции Аєі / Є ooflR, Кп), совпадает с формально продифференцированным рядом Фурье Y с(Л,р)е для функции g Є (M,Rn), то функция g принад-лежит пространству В (Ж, Ж 1), и при почти всех {п. в) і Є I имеет место равенство g(t) — f(i).

Результаты второго параграфа носят вспомогательный характер. В нем введено в рассмотрение пространство В(Ш. х U,IP), U Є сотр(Кп), состоящее из непрерывных отображений (t,u) н /( ,и), которые п.п. по і є Ш в смысле Бора равномерно по и Є U [13]. а также пространство 5(М, С(U, Ж71)) п. п. по Степанову функций, состоящее из таких отображений (, и) н- f(t.u). что для любого множества [a, b] х U это отображение удовлетворяет условиям Каратеодори (см. [23], с. 212), и для любого є О множество Es(f.e)== f] E$(f(- ,гі),є) относительно плотно.

Необходимые условия слабого минимума для задачи Больца

Обоснована корректность определения на множестве 6 (Ж, U) функционала и и- 3 (и = М { g (t, и (і))}, отвечаю ще го з ад анн ой фу н кци и g Є S[R, C(U, Щ), и указан ряд свойств этого функционала, используемых далее. В третьем параграфе вводится в рассмотрение отображение (t,x,u) н» L(t,x,u) Є R, (i,z,u) Є M x V x Rn, (V область в Жп), удовлетворяющее условию: А) для любых фиксированных множеств V Є comp(V) и U Є cornp(Rri) отображение L принадлежит пространству S[M.,C(V х С/,М)). Показано, что на множестве В = {х Є Q5(R, R"), огЬ(ж) С V}, где 93(R,Rn) = {х є В(ЕД") : х Є S I R")} - нормированное пространство с нормой ж[щ = жя + \\x\\s, х Є Q3(R,Mr ), корректно определен функционал х{-) Ч- I(x{-)) = M{L{t7x(t),x{t))}, х{-) Є В. (0.1)

Заметим, что в случае, когда рассматривается отображение, принадлежащее при любых V,U Є comp(IP) пространству В (Ж х V х /, Ж), то для каждой функции ж Є 51 = {х Є В М,! ) : отЪ(х) С V} отображение і И- (, ж(і),ж(і)) будет п.п. по Бору, и, стало быть, на этом множестве функционал / определен. В рассматриваемом же случае, возможность определения функционала (0.1) требует, вообще говоря, обоснования.

В начале параграфа доказан ряд свойств функционала (0.1). и обоснована целесообразность рассмотрения следующей задачи: 1{х(-)) -+inf, х(-) Є Б, (0.2) которая называется простеМшей задачей вариационного исчисления, определенной на множестве п. п. функций. В этой задаче функция х(-) Є В называется решением в силъком (слабом) смысле, если для всех х из множества В таких, что ж — х\\в 7 (соответственно, \\х — жЦщ 7) вы_ полнено неравенство Если функция х(-) В доставляет сильный минимум в задаче (0.2), и при этом х(-) Є В1, то эта функция будет решением в слабом смысле. Поэтому необходимые условия решения в слабом смысле являются необходимыми условиями решения и для сильного минимума. При этом, если ж(-) Є В , то {в силу утверждения, доказанного в начале параграфа) х(-) будет решением в слабом смысле задачи l(x{-)) — inf, х(-) Є В1. Следовательно, необходимые условия решения задачи (0.2) будут также необходимыми для решения в слабом смысле задачи, рассмотренной в работе [14]. В диссертации при рассмотрении задач вариационного исчисления и в более общей постановке, определенных на множестве 25 (R, Еп), исследуются необходимые условия решения в сильном и слабом смысле.

Отметим также, что задача (0.2) может быть переписана в виде задачи оптимального управления п. п. движениями (см., например [24, 25]). Вместе с тем, как показано в [24], при получении необходимых условий оптимальности допустимого процесса (в в.иде принципа максимума Понтрягина) в задаче оптимального управления п. п. движениями существенно, что однородная система уравнений в вариациях, отвечающая, этому оптимальному процессу, должна обладать свойством экспоненциальной дихотомичности. В задаче оптимального управления п.н. движениями, отвечающая задаче (0.2), однородная система уравнений, в вариациях для уравнения х = и{1) имеет вид: х 0, и, очевидно, не является экспоненциально дихотомичной. Следовательно, при получении необходимых условий решения в сильном смысле задачи (0,2), вообще говоря, нельзя воспользоваться необходимыми условиями оптимальности допустимого процесса, приведенными в [24]. Поэтому при получении необходимых условий решения в сильном смысле вариационных задач, определенных на множестве 05 (R, Ша), используются другие методы, отличные от методов, применяемых при изучении задач оптимального управления п. п. движениями, и которые представляют самостоятельный интерес.

Основным утверждением третьего параграфа является следующая теорема, в которой AC(ja} а + Т],МП) — пространство абсолютно непрерывных функций, заданных на отрезке [а, а + Т] со значениями в Жп..

Необходимые условия второго порядка

Эта задана называется п. п. задачей с ограничениями на средние значения типа равенств и неравенств., в которой функция х(-) называется решением в слабом смысле, если найдется такое 7 0, что IQ(X(-)) /о (#()) для всякой функции х(-) Є D, удовлетворяющей неравенству \\х — x\\rg 7 Теорема 0.4. Пусть в задаче (0.4) отображения Lj : R х V х Мп - М, j = 0,..., & + m. удовлетворяют условиям, аналогичным условиям 1), 2) для лагранжиана L. и функция х(-) Є -D является решением в слабом смысле задачи (0.4).

В десятом параграфе при рассмотрении условий строгой положительности квадратичной формы в одномерном случае функционал /С записывается в виде К(х{-)) = M{p{t)x2{t) + 2q{t)x(t)x(t) + r(t)x2(t)}, и предполагается что функции p,q принадлежат пространству 23(11,Ж), и infp(i) 0, а функция г принадлежит пространству S (М, Е). На множестве »2(ЕД) = {х Є B RAi) : х Є 5да(ЕД)} рассмотрим оператор L : 2S2(R,E) 5 ( ,1 ), определенный равенством L[x](t) ЩЇ) + ЩА ) + ft Wi ЄЖ. Теорема 0.8. Функционал /С, определенный на множестве 93(1LR), строго положителен тогда и только тогда, когда найдется функция z є 932(КД), что mlz{t) 0, и для п. в. t Є Ш L[z](t) . 0, при этом L[z](t) 0. В начале одиннадцатого параграфа указаны необходимые условия второго порядка решения в слабом смысле задачи (0.2), полученные из теоремы 0.6.

Если функционал К строго положителен, то система уравнений z(t) = F(t)z(t), отвечающая системе уравнений (8.3), является экспоненциально дихотомичиой. Доказательство. Квадратичная форма К. находится во взаимно однозначном соответстви с функцией F. Через 71(F) обозначим за-мыкание в метрике S множества сдвигов функции F, т. е. F Є 71(F), если найдется последовательность \tj\f-i С К, что lim 1 (- + -)-- (-)115 = О J j- oo

Каждой функции F, принадлежащей 71(F), поставим в соответствие оператор К, определяемый аналогично оператору К., отвечающему функции F, и рассмотрим последовательность {tj} , удовлетворяющую приведенному выше предельному равенству.

Отсюда следует, что соответствующий каждой функции F Є H(F) функ ционал ж(-) i-i )С(х(-)) == М{Щх]{к)} будет строго положительным. По теореме 11 получаем, что система уравнений z(t) = F(t)z(t) не будет иметь ограниченных решений на R кроме тривиального, а значит (см. [31],[7]). уравнение z{t) = F(t)z(t) экспоненциально дихотомічно. А 10 Условия строгой положительности квадратичной формы в одномерном случае.

В этом пункте исследуются условия строгой положительности функционала /С(ж(-)) == М{К[ж](і)}, определенного на множестве Q3(R,R), и для краткости изложения отображения P Q,R, входящие в определение оператора К : 93(М,М) — 5co(Ej3R), обозначим через р}д,г соответственно, т. е. считаем, что Щх)(і) = p(t)x2(t) + 2q(t)x{t)x{t) + r(t)x2{t). При этом в дальнейшем предполагаем, что функции р7 q принадлежат пространству SS(R,M), функция г из пространства (МД), и infp(t) 0. Для функции х из множества (см. (3.5)) 032(ЕД)- {яєВ КД) :xeS, рассмотрим оператор L : Q32(M,1R) — Soo(E,R), определенный равенством L[x]{t) =x{t) + Щх{і) + 7?ф)} t Є R. (10.1) Если функционал /С, отвечающий оператору К, является строго положительно определенным, то согласно теореме 11 дифференциальное уравнение (8.3) не будет иметь ограниченных решений. Уравнение (8.3) можно переписать в виде Цж]() =0, і Є R, поэтому система линейных дифференциальных уравнений, отвечающая уравнению Ь[ж]() = 0, будет экспоненциально дихотомичиой. Поэтому для оператора L определена функция Грина (см. [7]) Git, s), t,s Є їй, которая называется неполооїсительиой (неотрицательной), если для всех , s Є Ж G{t,s) 0 (соответственно, (?(/;,s) 0), и знакопостоянной, если она неположительна или неотрицательна.

Условия строгой положительности среднего значения квадратичной формы

Если функционал /С строго положителен, то функция Грина G неполооїсительна. Доказательство. По теореме 10 уравнение L[s](i) = 0 не имеет сопряженных точек на Ж, и в силу утверждения 3 соответствующая система линейных уравнений является экспоненциально дихотомичиой. Поэтому [7] функция Грина G этого уравнения знакопостоянна. Рассмотрим далее п. п. по Бору решение x{t) = JG(tts)f(s)ds ж уравнения L[rc](t) = /(), отвечающее произвольной фиксированной функции / є B(R,M) такой, что inf fit) 0, которое в силу знакопостоянства функции Грина будет также знакопостоянной функцией на Ж. Отсюда в силу строгой положительности функционала К, и равенства М{К[а#)} = -M{p(t)b[x]{t)x{t)} = M{p(t)f(t)x{t)} получаем, что ее(i) = 0 для всех і Є Е, а значит в силу выбора функции / для всех t, s є Ш G(t, s) 0. А Теорема 12. Функционал /С, определенный па мнооїсестве 55(К, Ж), строго положителен в том и только в том случае, если найдется та,кая функция z, что 1) гЄ052(Е,Е) и infz(t) 0, 2) для п. в. і Є К 4z](t) 0 (h[z](t) ф 0) Доказательство. Предположим, что существует функция z с указанными в теореме 12 свойствами. Покажем, что функционал К строго положителен. Действительно, при п.в. і Є Е для функции (см, (10.1)) справедливо неравенство it v(} К ) v{t) причем для некоторого множества положительной меры Лебега это неравенство является строгим. Поэтому (см. [7. стр. 140) при всех достаточно малых д Є (0,1) уравнение t,[x](t) + fj,x{t) = 0 не будет иметь сопряженных точек на Ш.. Кроме того, при к = a inf pit) оно будет являться мажорантой Штурма (см. [31], стр. 395) для уравнения (p(t)-x)x+p(t)x+(q(t)-r(t))x + xx = 0, teR, откуда данное уравнение также не будет иметь сопряженных точек на Последовательно, по теореме 10 функционал x{-)v- !C(x{-))-xM{\x{t)\2+\x(t)\2} будет неотрицателен, что равносильно строгой положительности функционала К. Обратно, предположим, что функционал К строго положителен. То гда в силу утверждения 4 функция Грина будет неположительна, откуда из теоремы 9.9, приведенной в [7] вытекает существование функции z с указанными свойствами 1) и 2). Л Замечание 7. Пусть и(-) — такое нетривиальное решение уравнения L[x](t) = х + q(t)x + p(t)x = 0, і Є IR, что и(а) = 0. Обозначим через г (о) первый нуль функции и(-) (г (а) а). Отметим, что критерий отсутствия сопряженных точек на отрезке [а,,в] (т.е. /3 г (а)) представлен в утверждении Валле-Пуссена [38], переоткрытом в последствии Н.В. Азбе левым [39]: /3 г (а) тогда и только тогда, когда на отрезке [а.р] существует функция z(t), обладающая абсолютно непрерывной производной и удовлетворяющая свойствам: Г) z{t) 0 па [a, PI 2) L[z](t) 0, но L[z](t) ф 0 на [а,/3]. Но специфика рассмотрения п. п. функций предполагает рассмотрение свойств функций, определенных на всей вещественной оси. Поэтому усло вие Г) заменяется на более сильное 1). В этом случае условия 1) и 2) эк вивалентны неположительности функции Грина ([7], теорема 9.9). Л 11 Достаточные условия второго порядка решения простейшей задачи вариационного исчисления. В данном параграфе будем предполагать, что для функции L выполнены условия 2),5) и 6), указанные в главе 2. Тогда (см. замечание 2) для функционала / (см. 3.4) в силу сделанных ограничений на L в каждой точке ж є [By [ щ) определена вторая вариация по Лагранжу 521(х(-); ). Причем для каждого х(-) Є Ш(М,]Й") 621(х(-); ) совпадает с К[х{-)) (см. (8.2)) при P(t) = L"Jt), Q(t) = LlM Щ) = ЧЛі), (U.l) где Щи(і) = Ц т{к,"(),ж()). и аналогичным образом определены L x(t) Отметим, что определенные выше функции P,Q.R принадлежат пространству 5(M,Hom(Rn)). Теорема 13. Пусть функция х Є В является решением в слабом смысле задачи (3.11), и при п. в. t Є Ж и всяком v Є Жп (v ф 0) выполнено неравенство v Lf (t)v 0. (11.2) Тогда система уравнений (8.3) при P,Q и R, определенных равенством (11.1), не умеет сопряоюенных точек на Ж. Отметим, что специфика рассматриваемой задачи (3.11) не позволяет, вообще говоря, непосредственно использовать резуль таты исследований условий положительности второй вариации простейшей задачи вариационного исчисления и отвечающей ей квадратичной фор мы (см., например [35],[36].[37], [42] и приведенную там библиографию).

Некоторые вариационные задачи, определенные на множестве почти периодических функций Воронецкая Марина Александровна

Свойства среднего значения почти периодических функций

Необходимые условия слабого минимума для задачи Больца

Необходимые условия второго порядка

Условия строгой положительности среднего значения квадратичной формы

Похожие диссертации на Некоторые вариационные задачи, определенные на множестве почти периодических функций