Введение к работе
Актуальность темы. Одной из важных задач теории нелинейных колебаний является изучение периодических или ограниченных (в том числе рекуррентных) решений нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Но прежде чем изучать такие решения нужно быть уверенным в том, что они действительно существуют.
С физической точки зрения назначение решений указанного вида (стационарных, периодических, почти периодических, рекуррентных) весьма серьезно: они образуют основу той картины развития процесса, которую описывает изучаемая система нелинейных дифференциальных уравнений. Будучи стационарными в широком смысле этого слова (т.е. с неизменными относительно сдвига и предельного перехода такими характеристиками как среднее значение или спектр), они таковы, что к ним, вообще говоря, стремятся все остальные решения изучаемой системы при неограниченном возрастании времени. Выскажем последний тезис более четко: каждое решение диссипативной нелинейной системы дифференциальных уравнений или является определенным на всей вещественной оси стационарным в широком смысле решением соответствующим так называемым установившимся режимам, или отвечая переходным режимам, стремится к некоторому стационарному решению при неограниченном возрастании времени.
Для исследования периодических и ограниченных решений было разработано несколько методов (метод интегральных уравнений, вариационный метод, метод направляющих функций, метод функций Ляпунова, топологический метод Важевского). Метод направляющих функций служит для доказательства существования периодических или ограниченных решений нелинейных систем дифференциальных уравнений. Этот метод в своей топологической части существенно опирается на классическое понятие степени отображения, введенное и изученное в ряде работ Кронекера Л., Брауэра Л. и Хопфа X, и связанных с нею понятиями (гомотопные отображения, индекс Пуанкаре особой точки и т.п.). В дальнейшем эти понятия были развиты в трудах Ю.Г. Борисовича, В.Г. Звягина, МА Красносельского, В.В. Обуховского, Ю.И. Сапронова и других исследователей. Сами направляющие функции по свойствам напоминают функции Ляпунова, но они используются в задачах не связанных с устойчивостью, и во многих случаях важную роль играет степень соответствующего градиентного отображения. Метод направляющих функций был опубликован МА Красносельским и АИ. Перовым в совместном сообщении в 1958 году. По методу направляющих функций опубликованы десятки работ (НА. Бобылев, ЕА Ганго, М.С. Константинов, СВ. КорНЄв, И.ДгКоструб, А;Б. Ку-
ь,.і,Л ПОТЕКА
щев, МА Красносельский, AM. Красносельский, Э.М. Мухамадиев, В.В. Обуховский, АИ. Перов, АИ. Поволоцкий, В.В. Покровский, Д.И. Рачин-ский, Б.Н. Садовский, В.В. Стрыгин, В.В. Филиппов, L. Gorniewicz, А Fonda, J. Mawhin).
Результаты, полученные методом направляющих функций, нашли приложения в теории дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом (МА Красносельский, П.П. Забрейко, Э.М. Мухамадиев), при изучении некоторых задач автоматического регулирования и уравнений с нелинейностями гистерезисного типа (Д.И. Рачинский). Они нашли развитие и обобщение при изучении дифференциальных уравнений с многозначной правой частью ( ЕА Ганго, АИ. Поволоцкий, L. Gorniewicz).
Настоящая диссертационная работа посвящена развитию топологических методов в теории нелинейных колебаний в рамках развития и уточнения метода направляющих функций.
В работе последовательно изучаются системы обыкновенных дифференциальных уравнений следующего вида: стационарные, периодические, ограниченные, рекуррентные. В каждом из указанных выше случаев акцент делается на изучение решений определенного типа: стационарных, периодических, ограниченных, рекуррентных.
Цель работы. Дальнейшее развитие метода направляющих функций.
Методика исследований. В работе используются топологические методы анализа; результаты качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Научная новизна.
1. Даны новые теоремы топологического характера, использующие по
нятие степени отображения и гарантирующие существование периодиче
ских или ограниченных решений.
2. В развитие метода направляющих функций даны новые теоремы
аналитического характера существования периодических или ограничен
ных решений, обобщающие ранее известные.
-
Дана полная картина поведения в целом решений систем указанного выше вида, обладающих направляющей функцией.
-
Предложены новые признаки диссипативности систем, основанные на использовании направляющих функций, дифференцируемых по Иоши-заве и удовлетворяющих условию Барбашина-Красовского.
Теоретическая и практическая значимость. Основные результаты работы носят теоретический характер. Полученные результаты применяются при исследовании периодических, ограниченных и рекуррентных
решений нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Международной конференции "Математика. Образование. Экология. Тендерные проблемы"(Воронеж, 2003); Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения - XTV" (Воронеж, 2003); Воронежской зимней математической школе (Воронеж, 2004), Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения - XV" (Воронеж, 2004); Международной школе-семинаре "Современные проблемы механики и прикладной математики"(Воронеж, 2004); семинаре "Нелинейные колебания"под руководством профессора А.И. Перова (НИИ математики, ВГУ, 2002,2003, 2004).
Исследования, включенные в настоящую диссертацию, выполнены в рамках проекта YZ-010 "Волновые процессы в неоднородных и нелинейных средах"Минобразования РФ и CRDF (США).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[14], список которых приведен в конце автореферата. В совместных публикациях [1], [2], [5], [6], [13] научному руководителю принадлежит постановка проблемы и указание на способ, которым она может быть решена, а соискателю - тщательная проработка деталей доказательства.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и библиографического списка, содержащего 74 наименования. Общий объем работы - 136 страниц.
