Содержание к диссертации
6 в е н и е 3
ГЛАВА I. РАЗЛИЧНЫЕ ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧИ СТЕФАНА 15
I, Постановка двухфазной нестационарной задачи . .
Стефана 15
2. Задача Стефана для цилиндрических областей 22
3, Квазистационарная задача Стефана . 28
4. Одномерные задачи Стефана ..... 34
ГЛАВА II. КВАЗИСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА СТЕФАНА 40
1,0 существовании квазистационарного состояния
. для специальной одномерной тепловой задачи 40
2. Двумерная-двухфазная.квазистационарная задача
. Стефана 57
3. Приближенное решение двумерной.однофазной ква -
зистационарной задачи Стефана 68
ГЛАВА III. ОДНОМЕРНАЯ НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА СТЕФАНА 79
I. Задача Стефана для полуограниченной области 79
1.1. Упрощенные математические модели . 79
1.2, Приближенные методы решения задачи Стефана . 84
2. Двухфазная нестационарная задача Стефана в огра
ниченной области 92
-
Интегральный метод теплового баланса ....... 93
-
Метод осреднения функциональных поправок ... 101
-
Метод подвижных источников 108
3. Однофазная задача Стефана III
ДОПОЛНЕНИЕ I 118
ДОПОЛНЕНИЕ II 126
Литература 130
Введение к работе
Изучение теплофизических процессов при наличии подвижных границ фазовых превращений является достаточно трудной задачей и до настоящего времени все еще малоразработанной. Успехи в ис -следовании данной проблемы имеют большое значение для самых различных технических приложений: кристаллизации слитков, горения, испарения , роста новой фазы, плавления и т.д.
Так, в металлургической практике основными процессами в технологической цепи являются процессы плавления и затвердевания. Оптимальное управление режимами мартеновской и конверторной плавки , а также формирование качественной структуры кристаллизующегося слитка в изложнице с помощью электрошлакового переплава или установке непрерывной разливки стали в большой степени зависит от уровня решения данного круга задач.
Процессы сварки и электрошлакового переплава значительным образом опираются на теоретические исследования явлений теплового переноса при фазовых превращениях. Создание общей теории выращивания кристаллов также невозможно без решения указанной проб -лемы. В основе электронной обработки материалов , а также плаз -менной резки лежат те же процессы. При испарении и конденсации важной характеристикой является скорость протекания данных процессов, определение которой является результатом анализа такого же типа задач.
Математическое моделирование таких технологических процессов связано с анализом задач теплопроводности с учетом подвиж -ности границ , на которых осуществляется фазовый переход. Исследование таких задач в значительной мере усложняется тем , что математические модели этих процессов представляют собой нелинейные краевые задачи теории теплопроводности. Вообще , все задачи, - 4 -характеризующиеся наличием искомых перемещающихся границ - задачи Стефана, относятся к числу нелинейных задач с разрывом гра -диента температуры на фронте раздела фаз.
Впервые постановка задачи Стефана и ее решение были исследованы в классической работе Ж. Ламе и Б.П. Клайперона [103]по замерзанию жидкости. При получении решения задачи авторами был использован принцип автомодельности , то есть сведение диффе -ренциальных уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Основным свойством автомодельных ре -шений является то , что фронт фазовых превращений движется по закону квадратного корня от времени . Позднее этот подход при -менялся к более усложненным задачам Стефаном [107] , отечествен -ными математиками Б.Я. Любовым[55-57] , Г.А. Тирским [80], С.С. Григоряном [21] и др. Круг решаемых с помощью этого принципа задач весьма узок , но в теоретическом плане они представляют большую ценность как точные решения проблемы Стефана.
В 1931 году Л.С. Лейбензон [4б] предложил , нашедший широкое практическое применение , приближенный метод решения задачи Стефана. Суть этого метода состоит в задании функции температурного распределения внутри каждой фазы , удовлетворяющей стационарному уравнению теплопроводности и граничным условиям.Подста -новка температурного распределения в условие Стефана приводит к дифференциальному уравнению для определения подвижной границы, которое обычно легко разрешается относительно переменной, характеризующей положение фронта. Для учета теплоемкости обеих фаз С.Л. Лейбензон предложил второй метод [47], заключающийся в удовлетворении заданного температурного распределения не ус -ловию Стефана , а уравнению баланса тепла. Этот метод можно рассматривать как частный случай проекционно-сеточного метода [59], в котором выбирается кусочно-линейная аппроксимация приб- лиженного решения с одной точкой разбиения области , совпадаю -щей с подвижной границей фазового перехода. В дальнейшем метод С.Л. Лейбензона был применен в работах С.С. Ковнера[4-1-42], А.Н. Тихонова и Е.Г. Швидковского [82], И.А. Чарного [86] для усложненных граничных условий.
Широкое распространение при решении задачи Стефана в пос -леднее время находят различные приближенные аналитические методы. К числу таких методов следует отнести метод последователь -ной смены стационарных состояний [86], методы , основанные на представлении окончательного решения в виде степенных рядов [55-57], методы сведения к системе обыкновенных дифференциаль -ных уравнений [62,63] , редукции с помощью теории потенциала к интегральным уравнениям [72], интегральный метод [22 , 58,64], метод малого параметра [43] и др. В ряде работ[89,90,83] для решения задачи Стефана применяется вариационный метод Био [88], основанный на введении термодинамического эквивалента функции Лагранжа в механике и связанный с понятием термичесого слоя. При этом профиль температуры аппроксимируется степенной функцией. Вариационным методом Боли [91] для полуограниченного тела в работе [98] получен явный вид функции скорости движения гра -ницы раздела фаз.
Благодаря успехам в развитии новых быстродействующих ЭВМ, проблема Стефана на сегодня трактуется и как проблема вычис -лительной математики. Различными исследователями предлагаются решения с применением как явных , так и. неявных схем, "связанных" с подвижным фронтом. "Связывание" производится с использованием метода дробных шагов и "ловли" фронта в узел сетки \<36, 76-78]. Экономичные разностные схемы сквозного счета к задаче со многими пространственными переменными и произвольным числом фазовых переходов применены в работе [75]. Широкое распростране -ние для численного решения задачи Стефана получили такие методы как метод сеток [43,66,77], метод прямых[43,77] . Следует отме -тить , что для задач теплопроводности с подвижным фронтом фазовых превращений одним из наиболее эффективных методов является численный метод, когда последний реализуется на быстродействующих ЭВМ.
Наряду с вопросами построения решения задачи Стефана,важное значение имеют вопросы ее разрешимости. В этом плане фундаментальные результаты по вопросам существования и единственности реше -ния получены в работах А.Н. Тихонова и А.А. Самарского 81] ,О.А. Олейник [67-69], С.Л. Каменомостской [34,35], Л.И. Рубинштейна [72], И.И. Колондера [I00,10l], А.Фридмана [84] , Г.В.Ивенса[94], Дж.Дугласа [92-93], С.Сестини [Ю5-Юб]и др. [8, 33 , 45 , 54 , 87 , 95-.97, 99, 102] , в случае большого числа переменных Л.С. Каме-номостская и О.А. Олейник ввели понятие обобщенного решения задачи Стефана , существование и единственность которого обеспечи - вается в классе измеримых функций. Доказательству существования классического решения многомерной задачи посвящены работы [18, 61]. Проблема разрешимости квазистационарной задачи Стефана в значительной степени исследована в работах И.И. Данилюка [23-28] , И.И. Данилюка , В.Е. Кашкахи [29,38] , И.И. Данилюка ,А.С. Ми-ненко [ЗО], Б.В. Базалия , В.Ю. Шелепова[l-7], М.А. Бородина [16,17]и др.[12,13,ЗІ,32,39, 40, 60, 74] . В этих рабо -тах квазистационарная задача Стефана сводится или к вариационной ' задаче для некоторого интегрального функционала с переменной областью интегрирования или к вариационному неравенству и на этой основе доказываются теоремы существования и единственное -ти.
Данная диссертационная работа посвящена разработке и исследованию приближенных аналитических и численно-аналитических методов решения практически важных нестационарных и квазистацио -нарных задач Стефана. Основное внимание уделяется построению алгоритмов отыскания приближенных решений , а также их численной реализации.
Диссертация состоит из введения , трех глав и списка лите -ратуры.
В первой главе рассматриваются различные эквивалентные постановки нестационарной и квазистационарной задачи Стефана.Основные трудности , возникающие при решении задачи Стефана, связа -ны с удовлетворением условию сопряжения на неизвестной границе раздела фаз. Применение , получившего в последнее время широкое распространение, аппарата обобщенных функций позволяет подойти к проблеме Стефана совершенно с другой стороны. Именно, рассматривать задачу Стефана как обычную начально-краевую задачу для дифференциального уравнения теплопроводности с источниками,сосредоточенными на неизвестной границе фазовых превращений. Как показано в I, дифференциальное уравнение
ЯТ ЯФ dw(A pad Т) - с(Т) jjf=PJjf S-СФ), О) где Р - скрытая теплота кристаллизации , Ф(х,и,3t,t)-0 -поверхность фазового перехода , включает в себя как само дифференциальное уравнение теплопроводности , так и условие Стефана на поверхности Ф Это уравнение совместно с начальным и краевым условиями , а также дополнительным условием для определения поверхности Ф Т , и 2±\сф = Т » представляет собой начально-крае-. вую задачу относительно пары функций Т (х, у, х, t) и Ф(х,у,Ь\ Эта задача , в свою очередь , эквивалентна начально-краевой задаче для дифференциального уравнения теплопроводности с разрывными коэффициентами вида ят cUvChqradT)* [с(Т) + РШ-Т*)]-~ , (2) где Т*- температура фазового перехода . Такая постановка зада -чи Стефана была предложена в 1953 году А.Н. Тихоновым и А.А.Са -марским [81]. Несколько позднее С.Л. Каменомостская [34- ,35] и 0.А.0лейник[б7-69] независимо от А.Н. Тихонова и А.А. Самарского также пришли к такой трактовке проблемы Стефана. Они рассмотрели ее как краевую задачу для уравнения вида дк(и) (3) где - а
С CLfC&dZ + Р , LL > U к(и) = " с. p. W L Ju* Ч
Разнообразие таких постановок позволяет расширить круг ме -тодов исследования проблемы Стефана.
При монотонной зависимости температуры T(ttx,u, &) от какой-либо из координат , например, , в ряде случаев ( 2), полезным оказывается осуществить переход с помощью специального преобразования типа Мизеса 7(ttx,u,)***~ я(,х9и,Т) к новой иско -мой функции (ttx,u,T) При этом изотерма фазового перехода определяется уравнением л = A (t,sc,u, і) . Такое преобразование в задачах Стефана впервые было использовано в работах И.И. Данилюка и В.Е. Кашкахи [29,38] для сведения интегрального функ -ционала по переменной области интегрирования к функционалу с фик -сированной областью. Во втором и третьем параграфах рассмотрен -ные постановки распространяются на случай квазистационарной и одномерной нестационарной задач Стефана.
Во второй главе , состоящей из трех параграфов , рассматривается квазистационарная задача Стефана . Одним из основных вопросов , возникающих при исследовании задач такого типа , является вопрос о стабилизации при определенных условиях решения нестационарной задачи к решению соответствующей квазистационарной задачи , то есть вопрос о существовании квазистационарного состояния Проблема заключается в доказательстве существования такого автомодельного решения вида Т(х,и,&- іґі) , которое при -*-о стабилизируется и стремится к решению uCjc', и'', «г') » где хг=х, иг= и, &'=&-vt, квазистационарной задачи. Из анализа одномерных математических моделей [32,44] следует , что существование квазистационарного состояния возможно только при одном значении скорости zr . Как показано в работе А.Н. Колмогорова , И.Г. Петровского , Н.С. Пискунова [44] на примере решения задачи диффузии для одной биологической проблемы определения скорости наступления гена , такое состояние возможно только при одном' единственном значении скорости V
В первом параграфе исследование существования квазистационарного состояния для специальной тепловой задачи , моделирующей теплофизические процессы зонного рафинирования , получения тонкой проволоки и др. , проведено до конца. При этом получена формула для вычисления скорости v » при которой такое состояние возможно . Доказательство этого результата проводится в соответствии с методикой, разработанной в работе [44].
Во втором параграфе рассматривается двумерная двухфазная квазистационарная задача Стефана с постоянными коэффициентами в постановке О.А. Олейник - С.Л. Каменомостской. В такой постановке задача Стефана сводится к обычной краевой задаче для уравне -ния эллиптического типа ^-fccf -±lm-keui, (5) где к = const >0 ,a k(u) имеет вид (З). С помощью функции Грина краевая задача редуцируется к эквивалентной системе нелинейных интегрального и функционального уравнений относительно искомых функций и(х,) и кривой фазового перехода Ф(х,з) . При этом решение ц,(х,) ищется только в одной фазе , а во второй фазе представляется в виде квадратуры от уже найденного в первой фазе решения. Для построения приближенного решения этой системы применяется метод последовательных приближений и проекционно-сеточный метод. [59]. В проекционно-сеточном методе используется кусочно-линеиная аппроксимация приближенного решения , а в качестве проекционного базиса выбирается система функций , построенных на основе 6 -сплайнов нулевой степени. Если теплофизические параметры в обеих фазах одинаковы, то краевая задача для уравнения (5) редуцируется к краевой задаче для уравнения с источниками, сосредоточенными на неизвестной гра -нице фазового перехода Ф(х, ) All-k^L ^Рїї^_НФ). (б)
Эта задача с помощью той же функции Грина сводится к функциональному уравнению относительно функции ФСх,&) и квадратуре для определения функции и.(х,.) . Для построения приближенного решения функционального уравнения применяются метод последовательных приближений и проекционно-сеточный метод,
В третьем параграфе рассматривается приближенное решение двумерной однофазной квазистационарной задачи Стефана в области 0<ос<1 , 0< < {(х) і где f(x) - кривая фазового перехода. Проекционно-сеточным методом эта задача сводится к сие- - II - теме двух одномерных краевых задач относительно функции В(х) -значения безразмерной температуры 9 (х,&) в некоторой фиксированной точке =*, 0<*<() , то есть 6(х) = &(х,*) , и функции f (х) . Причем, коэффициенты в дифференциальных уравнениях являются нелинейными функциями от 9(х) и -F(x) .Приближенное решение этой системы также строится с помощью проекцион' но-сеточного метода, который приводит задачу к системе алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения прибли -женного решения . При этом, если решение 6(х) аппроксимируется кусочно-линейной функцией
В (х) = Z 6іУсСх)> (7) где <л (х) - функции-крышки [59], то кривая фазового перехо-да fcx) является гладкой , если же fcx) аппроксимируется кусочно-постоянной функцией А (X) , то приближенное решение
6(х) будет дважды непрерывно дифференцируемой функцией. Третья глава посвящена приближенным решениям одномерной нестационарной задачи Стефана. Так как точное решение задача Стефана допускает только в одномерном случае и на полуоси х,> 0 (решение Неймана [37]), то особое значение приобретает разработка упрощенных математических моделей и приближенных,численно реализуемых , методов решения задач типа Стефана. В первом параграфе на примере одномерной задачи Стефана для полуограни -ченной области х>0 исследуются различные упрощения задачи на уровне ее физической постановки . Сравнение решения упрощенных задач с точным позволяет судить об уровне допустимости того или иного упрощения . Здесь же рассматриваются и приближенные аналитические методы решения задачи Стефана такие , как интегральный метод теплового баланса [2Z\ и метод осреднения функциональных поправок [70,79].
Применение этих методов основано на понятии .термического слоя [9,10]. Б теории теплопроводности эти методы используют такую модель процесса, при которой предполагается , что тепло -вой поток постепенно проникает, в глубину нагреваемого тела.Толщина pit) термического слоя при этом непрерывно увеличивается и только через определенный отрезок времени, t*>0 тело про -греется по всему сечению. Как показывают результаты численных расчетов (1), приближенные решения , полученные этими метода - ' ми уже в первом приближении достаточно хорошо согласуются с точ -ным решением.
Во втором параграфе этими же методами решается задача Стефана в ограниченной области 0 < г < R , моделирующая тепло-физические процессы кристаллизации расплавленных струй полиме -ров и длинных цилиндрических слитков. При этом задача Стефана сводится к задаче Коши относительно коэффициентов аппроксимирующего приближенное решение полинома. Из результатов численных расчетов следует , что выбор аппроксимационного многочлена в интегральном методе теплового баланса играет существенную роль для получения приближенного решения , близкого к точному. Если тепло-физические параметры в обеих фазах одинаковы , то задачу Стефана можно трактовать как задачу об остывании бесконечного цилиндра , подогреваемого подвижным источником тепла, выделяемого при кристаллизации в точке г = ,(Ь) - фронта кристаллизации. С помощью функции Грина эта задача редуцируется к эквивалентному нелинейному интегральному уравнению типа Вольтерра относительно функции (i) и квадратуре от (t) для определения тем -пературы net,г)
В третьем параграфе показывается , что приближенные решения однофазной задачи Стефана , полученные методом осреднения функциональных поправок и интегральным методом теплового баланса,прак - - ІЗ - тически совпадают, если аппроксимационные полиномы в каждом ме -годе имеют один и тот же вид.
На защиту выносятся следующие результаты: исследование вопроса о существовании квазистационарного состояния для специальной тепловой задачи и определение значе -ния скорости 1У , при котором такое состояние возможно ; получение приближенного решения двумерной двухфазной квазистационарной задачи Стефана методом сведения к эквивалентной системе нелинейных интегральных уравнений с последующим применением метода последовательных приближений или проекционно-се-точного метода; построение проекционно-сеточным методом приближенного решения однофазной квазистационарной задачи Стефана ; построение приближенных численно-аналитических решений однофазных и двухфазных нестационарных задач Стефана интегральным методом теплового баланса и методом осреднения функциональных поправок; численный анализ практически важных нестационарных задач Стефана.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [14,15,48-53] . По материалам диссертации сделаны доклады на кон -ференции молодых математиков Института математики АН УССР (1982 г.) . Республиканской конференции по нелинейным задачам математичес -кой физики (Донецк, 1983 г.). Результаты диссертации докладывались на научных семинарах сектора прикладной математики (руко -водитель академик АН УССР B.C. Королюк) и отдела математической физики и теории нелинейных колебаний (руководитель академик АН УССР Ю.А. Митропольский) Института математики АН УССР , на сов -местном семинаре отделов нелинейного анализа и математической физики (руководители член-корреспондент АН УССР И.В. Скрыпник и член-корреспондент АН УССР И.И. Данилюк ) Института прикладной математики и механики АН УССР.
В заключение выражаю искреннюю признательность моему научному руководителю кандидату физико-математических наук Арнольду Анатольевичу Березовскому за постоянное внимание и помощь в работе.
Г Л А В A I РАЗЛИЧНЫЕ ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧИ СТЕФАНА
I. Постановка двухфазной нестационарной задачи Стефана
При изучении тепловых процессов с фазовыми переходами ве -щества из одного состояния в другое приходится сталкиваться с решением краевых задач с подвижной границей. К такому типу за -дач относится известная задача Стефана. Общая постановка задач типа Стефана состоит в следующем. Требуется найти распределение температуры внутри тела , физическое состояние которого изменя -ется при изменении температуры в заданных пределах , то есть при определенной температуре происходит переход из одной фазы в другую » как например, процесс плавления металла или кристаллизация. При этом на поверхности фазового перехода происходит поглощение или выделение тепла. Тело в различных фазах обладает различными физическими свойствами, имеет различные коэффициенты теплопроводности , теплоемкости и т.д.
Рассмотрим следующий вариант теплофизической задачи Стефана. Пусть в физическом пространстве переменных (хм,&) имеется среда, проводящая тепло посредством теплопроводности и находящаяся в двух фазовых состояниях , характеризуемых температурами Т. , коэффициентами теплопроводности # , удельными теплоем -костями C-L и плотностями p. (L = l,2) Предположим, что <8{± - область, занятая в момент времени і жидкой фазой, )2t - область занятая твердой фазой. ^ - граница раздела Sbl^ и >2 + Будем считать , что поверхность F^. , при переходе через которую происходит разрыв теплофизических характеристик Л- » , jD. , является гладкой и на ней задана температура Т* фазо- вого перехода. В тех частях области Q =60,, U<0«j.)* ( О,*) , где температура Т(хм,,і) не принимает значение Т* , она должна удовлетворять уравнению C(T)J(T)|f s div(R frad Т) 9 . (I.I) с-(с*'т>т*. 0_|Л>Т>Т*> , М, т>т", С Ь2. т<т», ^1рг,т<т», А=Ъгт<т\ «-2>
В момент времени t s 0 задано начальное распределение тем -пературы TL(X,ij,3L,0) - Т0 (х,у,&)9 (1.3) где Т^х,^,^- непрерывная функция , определенная в начальной области QQ .
Предположим также , что на боковой поверхности д&± области Gl t имее^ место конвективный теплообмен с внешней средой по закону Фурье-Ньютона a.-iL + oCz(TrTCp) = 0 на 0(Ц , (ІЛ) где уъ - внешняя нормаль к 0ЕЦ , oi-L - коэффициент теплопередачи в соответствующих фазах СІ- 4,2) * Тср - температура окружающей среды.
Температурные поля 1{ и Т« при переходе через поверхность
