Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Разложение функций в ряд полных интегральных вычетов решений спектральных задач, соответствующих некоторым задачам уравнений математической физики 13
1.1. Формула разложения в случае спектральной задачи,соответствующей смешанной задаче для уравнения колебаний струны 13
1.2. Формула разложения в случае спектральной задачи,соответствующей смешанной задаче для уравнения стержня 32
1.3. Изучение спектральной задачи для уравнения 4-го порядка с переменными коэффициентами .. 62
ГЛАВА II. Решение некоторых смешанных задач математической физики 69
2.1. Решение смешанных задач для уравнения колебаний струны 69
2.2. Решение смешанных задач для уравнения колебания стержня 83
2.3. Решение смешанных задач колебаний прямоугольной мембраны 102
2.4. Решение одной задачи колебаний прямоугольной пластинки .: 112
Литература 130
- Формула разложения в случае спектральной задачи,соответствующей смешанной задаче для уравнения стержня
- Изучение спектральной задачи для уравнения 4-го порядка с переменными коэффициентами
- Решение смешанных задач для уравнения колебания стержня
- Решение одной задачи колебаний прямоугольной пластинки
Введение к работе
В связи с многочисленными линейными задачами уравнений в частных производных , не поддающихся по той или другой причине решению известным классическим методом Фурье, в работах М.Л.Расулова [і - б] был разработан вычетный метод решения широких классов задач: I) одномерных смешанных задач для системы уравнений с разделяющимися переменными с коэффициентами, зависящими только от пространственной переменной, имеющими точки разрыва первого рода, при граничных условиях, не содержащих производных по времени;
2) одномерных смешанных задач для системы уравнений с неразделя-ющимися переменными с коэффициентами, зависящими только от пространственной переменной, имеющими разрывы первого рода, при граничных условиях, не содержащих только производной по времени старшего порядка;
3) многомерные смешанные задачи для уравнений с разделяющимися переменными.
В цитированных выше работах получены вычетные представления решений классов задач 1)-3) в виде полных интегральных вычетов мероморфных функций, конструируемых с помощью решений соответствующих спектральных задач и задач Коши с комплексным параметром. Следует подчеркнуть, что наподобие методу Фурье, все эти представления получены с помощью формул разложения функций пространственных переменных в ряды полных интегральных вычетов решений спектральных задач, на чем базируется вычетный метод.
При решении задач класса I) вспомогательным средством является формула разложения типа Биркгофа-Тамаркина [7 - 10] для случая спектральной задачи для системы уравнений с разрывными коэффициентами.
Что касается задач класса 3) , то для получения вычетного представления их решений необходима была формула разложения типа Биркгофа-Тамаркина для случая многомерных спектральных задач, что сделано в работе [5] .
Таким образом, основой вычетного метода в каждом отдельном случае задач D-3) является спектральная теория для соответствующей спектральной задачи, для которых установлены легко проверяемые условия (регулярности), при выполнении которых доказана справедливость необходимой формулы разложения. Однако в силу достаточной общности рассматриваемых задач проверка выполнения упомянутых условий сопровождается соответствующими трудностями,обусловленными в первую очередь общностью рассматриваемых задач.
В связи с этим применение вычетного метода к задачам математической физики, эффективное решение которых возможно только вычет-ным методом, потребовало прежде всего упрощения условий (регулярности) за счет сужения класса рассматриваемых задач, при выполнении которых справедлива соответствующая формула разложения.
В настоящей работе для смешанных задач колебаний струны,стержня, прямоугольной мембраны и прямоугольной пластинки найдены легко проверяемые условия, при выполнении которых доказана справедливость соответствующих формул разложения, на базе которых в главе П получены вычетные представления решений соответствующих смешанных задач при линейных граничных условиях общего вида.
Следует отметить, что из доказанных теорем во второй главе следует, что решения всех рассматриваемых задач единственны, и вычетные представления их решений могут быть использованы для доказательства теорем существования их решений. Для этой цели достаточно доказать, что ряды, представляющие их формальные решения, допускают почленное дифференцирование нужное число раз.
Формула разложения в случае спектральной задачи,соответствующей смешанной задаче для уравнения стержня
В связи с многочисленными линейными задачами уравнений в частных производных , не поддающихся по той или другой причине решению известным классическим методом Фурье, в работах М.Л.Расулова [і - б] был разработан вычетный метод решения широких классов задач: I) одномерных смешанных задач для системы уравнений с разделяющимися переменными с коэффициентами, зависящими только от пространственной переменной, имеющими точки разрыва первого рода, при граничных условиях, не содержащих производных по времени; 2) одномерных смешанных задач для системы уравнений с неразделя-ющимися переменными с коэффициентами, зависящими только от пространственной переменной, имеющими разрывы первого рода, при граничных условиях, не содержащих только производной по времени старшего порядка; 3) многомерные смешанные задачи для уравнений с разделяющимися переменными. В цитированных выше работах получены вычетные представления решений классов задач 1)-3) в виде полных интегральных вычетов мероморфных функций, конструируемых с помощью решений соответствующих спектральных задач и задач Коши с комплексным параметром. Следует подчеркнуть, что наподобие методу Фурье, все эти представления получены с помощью формул разложения функций пространственных переменных в ряды полных интегральных вычетов решений спектральных задач, на чем базируется вычетный метод. При решении задач класса I) вспомогательным средством является формула разложения типа Биркгофа-Тамаркина [7 - 10] для случая спектральной задачи для системы уравнений с разрывными коэффициентами. При решении задач класса 2) формулы разложения типа Биркгофа--Тамаркина оказались недостаточными. В связи с этим в работах МД.Расулова впервые установлены так называемые формулы кратных разложений. Что касается задач класса 3) , то для получения вычетного представления их решений необходима была формула разложения типа Биркгофа-Тамаркина для случая многомерных спектральных задач, что сделано в работе [5] . Таким образом, основой вычетного метода в каждом отдельном случае задач D-3) является спектральная теория для соответствующей спектральной задачи, для которых установлены легко проверяемые условия (регулярности), при выполнении которых доказана справедливость необходимой формулы разложения. Однако в силу достаточной общности рассматриваемых задач проверка выполнения упомянутых условий сопровождается соответствующими трудностями,обусловленными в первую очередь общностью рассматриваемых задач. В связи с этим применение вычетного метода к задачам математической физики, эффективное решение которых возможно только вычет-ным методом, потребовало прежде всего упрощения условий (регулярности) за счет сужения класса рассматриваемых задач, при выполнении которых справедлива соответствующая формула разложения. В настоящей работе для смешанных задач колебаний струны,стержня, прямоугольной мембраны и прямоугольной пластинки найдены легко проверяемые условия, при выполнении которых доказана справедливость соответствующих формул разложения, на базе которых в главе П получены вычетные представления решений соответствующих смешанных задач при линейных граничных условиях общего вида. Таким образом, выделены все разрешимые линейные смешанные задачи для уравнений струны, стержня, прямоугольной мембраны и прямоугольной пластинки. Работа состоит из двух глав. Глава I посвящена вопросу разложения функций в ряды полныхинтегральных вычетов решений спектральных задач (I.1.1),(1.1.2); (1.2.1) ,(1.2.2) ;(І.З.І) ,(1.3.2),соответствующих задачам (2.I.D-(2.1.3),(2.2.1)-(2.2.3),(2.3.1)-(2.3.4),(2.4.1)-(2.4.4).
Изучение спектральной задачи для уравнения 4-го порядка с переменными коэффициентами
В І.І доказывается , что при выполнении условия Р спектральная задача (I), (2) имеет бесконечное множество собственных значений Ais (2=1,2) , пронумерованных в порядке возрастания их модулей и имеющих асимптотические представления (1.1.28) Внє некоторой -окрестности собственных Значений 4jS функция Грина G( 3l,X) спектральной задачи (I) , (2) имеет асимптотическую оценку при больших X , и любую непрерывно-дифференцируемую на [о,1] функцию h(.?c ) можно разложить в ряд полного интегрального вычета по формуле(I.1.48) (см. теоремы I -3 главы I).
Аналогичные результаты получены в 1.2,1.3 для спектральных задач (1.2.1),(1.2.2) и (1.3.1),(1.3.2) (см.теоремы 4-8). (3) (4) В 1.2 рассматривается спектральная задача: Лчч ч при граничных условиях где ol K f -постоянные числа. Составляются многочлены Предполагается выполнение условия : ffi,.Определители В 1.2 доказано, что при выполнении условия J2 задача (3), (4) имеет бесконечное множество собственных значений X ($ = 1 2.) пронумерованных в порядке возрастания их модулей и допускающих асимптотические представления (1.2.38) в каждом из секторов Т7 , образованных биссектрисами координатных углов X -плоскости. Вне о -окрестности собственных значений функция Грина Gr(c,37 ) задачи (3) , (4) имеет асимптотическую оценку QOc,?, ) = 0("\? ) ю ая непрерывно-дифференцируемая функция W (ж) может быть разложена в ряд полного интегрального вычета: где Gr( c,3 ) -функция Грина задачи (3), (4), е., простой замкнутый контур, окружающий только один полюс подынтегральной функции, и сумма по -? распространена на все полюсы (см. теоремы 4-6). I4 ч J4"Ku olx4 =і Совершенно такие же результаты получены в 1.3 для спектральной задачи для уравнения 4-го порядка с переменными коэффициента J ч-к А 9 - к М при граничных условиях вида (4) , где Рк( 0 -непрерывны на СИД (см.теоремы 7,8). Глава П посвящена получению вычетных представлений решений смешанных задач для уравнений струны, стержня, прямоугольной мембраны и прямоугольной пластинки при выполнении соответствующих условий ,. а главы I. В 2.1. рассматривается смешанная задача Доказано, что, если фк (х) (к = о, 0 (ее і -непрерывно-дифференцируемы и если при выполнении условия рл задача (7)- (8) имеет решение и.(х,4) 9 то оно представимо формулой где С , G и сумма по V имеют те же смыслы, что и для спектральной задачи (1),(2), IL(jlj ) -решение задачи Коши В этом же параграфе по формуле (9) рассчитано решение частной задачи нахождения решения уравнения (6) при граничных условиях U(0,i) 0 , (0,4)- (1 )=0 , і 0 и начальных условиях (8) характерной тем, что все собственные значения имеют вторую кратность, за исключением Л= О ,которое является простым полюсом подынтегральной функции (9) (см.формулу (2.1.48)).
Решение смешанных задач для уравнения колебания стержня
Заметим, что всякое значение Л из полосы (I.1.17) может быть представлено в виде где и. 6 По , - -некоторое целое число. По формулe(1.1.30) прямоугольник П0 взаимно однозначно отображается в прямоугольник П.при этом Aolc (к=1,2) пере-ходит в к- ок"4"2- 1; и внутренность круга Ks ( AOJC) радиуса с центром в точке Л0 переходит во внутренность круга К& ( к) радиуса б1 с центром в точке AVl . Следовательно, если из полосы(1.1.17) удалить внутренности всех кругов Ks (Х к") радиуса с центрами в нулях Д к .функций (I.I.I8) , то в оставшейся части будут иметь место неравенства где V-j—некоторое положительное число, зависящее только от Г . Из этих рассуждений видно, что если из полосы 1.1.17) удалить внутренности всех кругов Іч С ) радиуса & с центрами в нулях Х к функций Г (Х)) К (Л), то в оставшейся части при достаточно больших \ будем иметь
Из неравенств (1.1.16) и (1.1.32) следует существование такого положительного числа "&$ , что если из плоскости комплексного параметра X удалить внутренности всех кругов К s ( Х к ) (9 0» -) Радиуса с центрами в нулях XV) функций TftX) ТС Х) » то в оставшейся части будут иметь место неравенства Таким образом,доказана Теорема I. При выполнении условия для задачи (1.1 л),(if.2) существует бесконечное множество нулей ХчК характеристического определителя Д. (.V) функции Грина G («Л, X) =Д («Л, X) /Д (А) пронумерованных в порядке возрастания их модулей, и допускающих асимптотические представления (1.1,28) t не сближающихся при Если из плоскости комплексного параметра А удалить внутренности кругов Kg (Д-ак ) достаточно малого радиуса S4 с центрами в точках \ у , то в оставшейся части имеют место неравен» ства Теперь займемся получением асимптотических представлений числителя / С ЛД ) функции Грина G С Л Х) Л (ос,3 Х) /Д (Х-) , и ее самой. Для этой цели преобразуем определитель (I.I.8) так: второй и третий столбцы определителя (1.1.8) помножим соответ-ственно на -J- о — е. - 22 -и сложим с первым столбцом при R . А й о , вычтем из первого столбца при Re А 7 0 Элементы первого столбца таким образом полученного определителя Л0 (зс,Ь 0 обозначим соответственно через (зг,,Л),3 (і,Л), J (з,Л?. Очевидно,будем иметь: 1.44) В этих обозначениях вне некоторой S -окрестности нулей Д(л} в левой полуплоскости комплексного параметра X Для функции Грина получаем следующее асимптотическое представление: Л0(хД,А) где согласно теореме І все Ф СХ Ск=13Ч ) суть аналитические и ограниченные функции при достаточно больших \ вне некоторой - 25 - -окрестности нулей / (Х") . Точно также из (I.1.40) для функции Грина в правой полуплоскости X получаем асимптотическое представление
Решение одной задачи колебаний прямоугольной пластинки
При отображении (1.2.29) сектор 1 плоскости Л отображается в сектор ИГ" плоскости 2. , при этом луч к переходит в положительную половину мнимой оси плоскости комплексного переменного 2
При выполнении условия У-1 легко видеть, что все нули показательного многочлена расположены в некоторой полосе ограниченной ширины 2 К . Очевидно , при выполнении условия показательный многочлен имеет бесконечное множество нулей двух серий Пусть є такое, что числа находятся внутри прямоугольника В силу аналитичности Т10(г) на замкнутом прямоугольнике П0 существуют положительные числа 6 , а у ,такие, что,если из прямоугольника П0 удалить внутренности кругов Kg-С"окМ =1» ) достаточно малого радиуса 6" с центрами в точках о1С (к-1, }, то в оставшейся части П0 - K0i")- Ks (?ва) имеет место неравенство Обозначим через П прямоугольник Из (1.2.33) видно,что внутри всякого прямоугольника П имеется два нуля функции К0(2)» Кроме того, функция о ) не обращается в нуль на границах прямоугольников \\ . Далее,из асимптотического представления (1.2.30) , имеющего место в секторе Т1 ,следует ницах прямоугольников П где Е СгО -ограничено в общей части полосы (1.2.31) с сектором Т . Следовательно, при достаточно больших на гра имеет место неравенство
Из (1.2.37) согласно теореме Руше [ 13] следует, что внутри ГЦ при достаточно больших -) функции (ъ) и К0(2) имеют одинаковое число нулей. Таким образом, доказано существование бесконечного числа нулей % (к-4,і") функции \(.ъ) ,тем самым согласно (1.2.27) существует бесконечное множество нулей \ (vc«4,2.j -Js i .J функции Л(А7 в секторе Т . Для получения асимптотического представления этих нулей достаточно решить уравнение получим
Принимая во внимание (1.2.28) где С -некоторое постоянное. Неравенство (1.2.39) показывает, что при достаточно больших нули 1 функции A (г 7 и нули % функции K t iJ оказываются внутри круга К ( ) достаточно малого радиуса $ с центром в точке 2
Далее заметим, что всякое значение % из полосы (1.2.31) может быть представлено в виде где Чу П0 } -0 -некоторое натуральное число. По формуле (1.2.40) прямоугольник П0 взаимно однозначно отображается в прямоугольник П , при этом % С к-"-I,2? переходит ви внутренность круга К С?,, ") радиуса 5 с центром в точке %0 переходит во внутренность круга (;Г J радиуса & с центром в точке .следовательно, если из полуполосы (1.2.31) удалить внутренности всех круговJC( ) радиусас центрами в нулях ФУНКЦИИ о 2. J то в оставшейся части будет иметь место неравенств согласно (1.2.34).
Из этих рассуждений видно, что если из полуполосы (1.2.31) удалить внутренности всех кругов Кг- (Д к) радиуса Г с цен-трами в нулях 9Ц функции Зі СО » то в оставшейся части при достаточно больших будем иметь неравенство
