Содержание к диссертации
Введение
1. Некоторые особенности поведения решений системы уравнений Ланга-Кобаяши 16
1.1. Постановка задачи 16
1.2. Исследование устойчивости стационарного решения 17
1.3. Построение нормальной формы уравнений траекторий на интегральном многообразии 22
2. Параметрическое возбуждение хаотических колебаний в одном дифференциальном уравнении второго порядкасзапаздывающим аргументом 31
2.1. Постановка задачи 31
2.2. Анализ линейной части 32
2.3. Построение нормальной формы уравнения 37
2.4. Анализ нормальной формы уравнения 42
2.5. Хаотические колебания генератора электромагнитных колебаний 45
3. Нелинейные колебания одной распределенной динамической системы с бесконечным запаздыванием 49
3.1. Постановка задачи 49
3.2. Анализ линейной части 51
3.3. Построение нормальной формы 55
3.4. Численный анализ 58
4. Некоторые вопросы колебаний ротора из материала с нелинейно наследственными свойствами 60
4.1. Постановка задачи 60
4.2. Анализ устойчивости нулевого решения уравнения 61
4.3. Построение нормальной формы 63
4.4. Анализ нормальной формы краевой задачи 67
4.5. Случай невырожденного параметрического резонанса 71
Заключение 73
Литература
- Исследование устойчивости стационарного решения
- Построение нормальной формы уравнений траекторий на интегральном многообразии
- Построение нормальной формы уравнения
- Анализ устойчивости нулевого решения уравнения
Введение к работе
Актуальность работы
Диссертация посвящена исследованию установившихся колебательных решений некоторых нелинейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, возникающих при изучении прикладных задач. Изучаются установившиеся решения бифурцирующие из состояния равновесия при изменении параметров уравнения. В качестве основного метода исследования используется метод интегральных (инвариантных) многоообразий, позволяющий сводить изучение поведения установившихся решений исходного уравнения (системы уравнений) с бесконечномерным фазовым пространством к исследованию поведения решений на критическом инвариантном конечномерном многообразии. Поведение решений на критическом инвариантном многообразии может быть описано некоторой системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Эта система обыкновенных дифференциальных уравнений может быть построена в нормализованном виде и носит название нормальной формы исходного дифференциального уравнения. Установившиеся решения нормальной формы во многом определяют установившиеся решения исходного уравнения с начальными условиями из некоторой фиксированной окрестности изучаемого состояния равновесия.
Указанный подход в исследовании уравнений с запаздывающим аргументом стал возможен в связи с построением теории инвариантных (центральных) многообразий для полугрупп нелинейных ограниченных операторов в банаховом пространстве, позволяющей сформулировать принцип сведения в исследовании нелинейных дифференциальных уравнений. Понятие инвариантного многообразия было введено А. Пуанкаре1 при изучении отображений, порождаемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. Принцип сведения использовал A.M. Ляпунов2 при изучении устойчивости решений в критических случаях, хотя понятие инвариантного многообразия он не использовал. Различные вопросы теории инвариантных многообразий и принципа сведения для систем обыкновенных дифференциальных уравнений рассматривали Д.В. Аносов3, В.А. Плисе4, S. Sternberg5, A. Kelley6, Ю.Н. Бибиков, Дж. Хейл7.
1 Пуанкаре, А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями / А. Пуанкаре — М.-Л.: Гостехиздат, 1947. — 392 с.
2Ляпунов, A.M. Общая задача об устойчивости движения / A.M. Ляпунов — М.-Л.: Гостехиздат, 1950. - 473 с.
^Аносов, Д.В. Многомерный аналог одной теоремы Адамара / Д.В. Аносов // Науч. докл. высшей школы (физ.-мат. н.). - 1959. - Ж 1. - С. 3-12.
4Плисе, В. А. Принцип сведения в теории устойчивости движения / В.А. Плисе // Изв. АН СССР. Сер. матем. - 1964. - Т. 28, Вып. 6. - С. 1297-1324.
5Sternberg, S. Local constructions and a theorem of Poincare / S. Sternberg // Amer. J. Math. — 1957. — V. 79 - P. 175-187.
eKelley, A. The stable, center-stable, center-instable, unstable manifolds / A. Kelley // J. Diff. Equat. — 1967. - V. 3 - P. 546-570.
7Хейл, Дж. Колебания в нелинейных системах / Дж. Хейл. — М.: Мир, 1969. — 232 с.
Эти результаты систематизированы в монографиях Ф. Хартмана , Ю.А. Митропольского и О.Б. Лыковой9, а также A.M. Самойленко10 во введении которой имеется достаточно подробный обзор по указанной тематике.
Начиная с 70-х годов, вопросы, связанные с изучением инвариантных многообразий, получили свое дальнейшее развитие в связи с распространением полученных ранее результатов на динамические системы с бесконечномерным фазовым пространством (банаховым, гильбертовым). Это было связано с запросами качественной теории дифференциальных уравнений с частными производными, дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом, вызванные необходимостью исследования устойчивости стационарных решений, обобщением бифуркационной теоремы Андронова-Хопфа на соответствующие классы дифференциальных уравнений. В связи с этим значительный интерес представляло построение теории инвариантных многообразий для полугрупп нелинейных ограниченных операторов, действующих в банаховых и гильбертовых пространствах. Этому посвящены работы А.Н. Куликова, М. Hirch, С. Pugh11. Систематизированное изложение данных вопросов можно найти в монографиях Дж. Марсдена, М. Мак-Кракена12, Д. Хенри13, Б. Хэссарда, Н. Казаринова, И. Вэна14. Там же можно найти многочисленные приложения указанной теории.
Метод построение системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих поведение траекторий на критическом инвариантном многообразии (нормальной формы) для уравнений с запаздывающим аргументом был впервые предложен Ю.С. Колесовым15. Построение ведется в амплитудной форме (полярных координатах). В работе Е.П. Кубышкина16 предложен более удобный способ построения нормальных форм уравнений с запаздывающим аргументом. Этот метод также использовался в работе С.Д. Глызина, Е.П. Кубышкина17. С различных позиций в квазилинейной постановке ко-
8Хартман, Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Хартман — М.: Мир, 1970. — 720 с.
9Митрополъский, Ю. А. Интегральные многообразия в нелинейной механике / Ю.А. Митропольский, О.Б. Лыкова - М.: Наука, 1973. - 512 с.
10Самойленко, А. М. Элементы математической теории многочастотных колебаний. Инвариантные торы / A.M. Самойленко — М.: Наука, 1987. — 301 с.
11Hirch, М. Stable manifolds and hyperbolic sets / M. Hirch, C. Pugh // Proc. Symp. Pure Math., XIV, Am. Math. Soc. - 1970. - V. 14 - P. 133-163.
12Марсден, Даю. Бифуркация рождения цикла и ее приложения / Дж. Марсден, М. Мак-Кракен — М.: Мир, 1980. - 368 с.
13Хенри, Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений / Д. Хенри — М.: Мир, 1985. - 376 с.
ыХэссард, Б. Теория и приложения бифуркации рождения цикла: Пер. с англ. / Б. Хэссард, Н. Каза-ринов, И. Вэн - М.: Мир, 1985. - 279 с.
15Колесов, Ю.С. Метод нормальных форм для систем с запаздыванием / Ю.С. Колесов // Литовский математический сборник. — 1980. — Т. 20, Ж 4. — С. 73-78.
16Кубышкин, Е.П. Некоторые вопросы динамики распределенных роторов / Е.П. Кубышкин // Математика в Ярославском университете: Сборник обзорных статей к 25-летию математического факультета. - Ярославль. - 2001. - С. 157-182.
17Глызин, С.Д. Нелинейная динамика одного дифференциального уравнения второго порядка с периодически возмущенным запаздыванием / С.Д. Глызин, Е.П. Кубышкин // Моделирование и анализ
лебательные решения уравнений с запаздывающим аргументом изучались в работах А.Д. Мышкиса, С.Н. Шиманова18, В.П. Рубаника19, В.Н. Фодчука20. В диссертации сформулированные подходы применяются для изучения поведения колебательных решений некоторых дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом.
Цель работы
Основной целью работы является исследование колебательных решений, возникающих при изменении параметров, некоторых нелинейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, являющихся математическими моделями важных прикладных задач.
Методы исследования
В диссертации использованы метод интегральных многообразий нелинейных систем дифференциальных уравнений с распределенными параметрами, теория нормальных форм дифференциальных уравнений на интегральных многообразиях, теория бифуркаций, асимптотические и численные методы исследования обыкновенных дифференциальных уравнений.
Научная новизна работы
В диссертации выявлены условия возникновения колебательных решений математической модели Ланга-Кобаяши полупроводникового лазера с запаздывающей обратной связью; выявлены условия возникновения хаотических колебаний в зоне комбинационного параметрического резонанса в математической модели генератора электромагнитных колебаний с запаздывающей обратной связью; исследованы условия возникновения хаотических колебаний в математической модели распределенного ротора из материала с нелинейно наследственными свойствами, одна из опор которого испытывает вибрацию; изучена в нелинейной постановке задача двухчастотного параметрического воздействия, в случае основного резонанса. В этом случае выявлены условия генерации хаотических колебаний.
Положения, выносимые на защиту
1) Исследованы условия возникновения периодических и двухчастотных решений системы дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом Ланга-Кобаяши, предложенной в качестве математической модели полупроводникового лазера. Построены асимптотические формулы указанных колебательных решений.
информационных систем. — 2005. — Т.12. № 1. — С. 40-45.
18Шиманов, С.Н. Некоторые вопросы теории колебаний систем с запаздыванием / С.Н. Шиманов // Пятая летняя математическая школа. Киев: Ин-т матем. АН УССР. — 1968. — С. 473-549.
19Рубаник, В.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием / В.П. Рубаник - М.: Наука, 1969. - 287 с.
20 Фодчук, В.Н. О непрерывной зависимости решения дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом от параметра / В.Н. Фодчук // Укр. мат. журн. — 1964. — Т. 16, Ж 2. — С. 273-279.
Выявлены условия возникновения хаотических колебаний в нелинейном уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом, являющимся математической моделью генератора электромагнитных колебаний с элементом запаздывания в цепи обратной связи.
Исследована математическая модель динамики распределенного ротора из материала с нелинейно наследственными свойствами, одна из опор которого испытывает периодическое воздействие. Выявлены условия возникновения колебательных решений, в том числе и хаотических.
Исследовано влияние двухчастотного параметрического воздействия на нелинейную динамическую систему, в случае основного параметрического резонанса. Выявлены условия генерации хаотичесих колебаний.
Теоретическая и практическая значимость работы
Работа носит теоретический характер. Полученные в диссертационной работе результаты могут быть использованы при исследовании математических моделей распределенных динамических систем, возникающих в различных областях радиофизики, механики.
Результаты диссертации могут быть использованы при получении научно-обоснованных рекомендаций при проектировании генераторов хаотических электромагнитных колебаний.
Апробация работы
Основные результаты работы были представлены на Второй Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2005), Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (ММТТ-20) (Ярославль, 2007), Воронежской зимней математической школе С.Г. Крейна (Воронеж, 2008), Воронежской зимней математической школе С.Г. Крейна (Воронеж, 2012), Международной научной конференции, посвященной 35-летию математического факультета и 25-летию факультета информатики и вычислительной техники Ярославского гос. университета им. П.Г. Демидова (Ярославль, 2012).
Кроме того, результаты диссертации неоднократно докладывались на семинаре кафедры математического моделирования Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова, а также обсуждались на семинаре научно-образовательного центра «Нелинейная динамика» Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова.
Публикации
По теме диссертации опубликовано 13 работ, список которых приведен в конце автореферата. Из совместных публикаций в диссертационную работу включены результаты, полученные автором.
Структура и объем диссертации
Исследование устойчивости стационарного решения
Асимптотическая устойчивость решений уравнения (1.5) при больших отрицательных значениях A следует непосредственно из вида характеристического уравнения (1.6).
Из приведенных рисунков следует, что при изменении параметров А и г через мнимую ось комплексной плоскости может проходить один либо одновременно два корня характеристического уравнения (1.6). На рисунках граница области устойчивости решений уравнения (1.5) выделена жирной линией. Область устойчивости находится ниже указанной линии.
Изучим характер поведения корней характеристического уравнения (1.6) в окрестности границы области устойчивости. Положим в (1.6) г = т0 + етъ А = А0 + єАи (О є 1), где (T0,AQ) - некоторая точка границы области устойчивости и обозначим при этом левую часть (1.6) через Р(\;є).
Эта точка может соответствовать одному со либо двум о\ и а2 значениям параметра о. При этом всегда ох ф а2. Действительно, пусть га - двукратный корень уравнения (1.6). Тогда
Из приведенной таблицы видно, что движение корней характеристического уравнения (1.6) при изменении параметров А\ и т\ может происходить как из левой ком плексной полуплоскости в правую, так и наоборот. Следует отметить, что характер движения корней уравнения (1.6) через мнимую ось комплексной плоскости при изменении параметров уравнения весьма сложный.
Отметим также следующее. С физической точки зрения в параметре А варьируемой величиной является ток накачки J. Поэтому в дальнейшем будем считать, что A0 = k(Jo-l), Ax = kJx.
Фазовым пространством уравнения (1.5) является пространство комплекснознач-ных функций С(-т,0). Сопряженным с (1.5) уравнением [50] будет уравнение решения которого определены в сторону убывания времени. Фазовым пространством (1.11) является пространство комплекснозначных функций С(0,т). Характеристическим уравнением (1.11) будет уравнение Отметим, что между решениями x{t) уравнения (1.6), определенными при Г Ті, и решениями у {Ї) уравнения (1.11), определенными при г Т2 выполняется равенство x(t + s),y(t + s) = const, если n г r2.
Ниже считаем, что А = А0 + єАг = k(J0 - 1) + ekjb т = т0 + єтг и А0 и т0 выбраны таким образом, что характеристическое уравнение (1.6) имеет пару корней Аі(є) и Х2(є) вида Аі(0) = %аъ А2(0) = %о2. При этом остальные корни уравнения (1.6) имеют отрицательные вещественные части. Характеристическое уравнение (1.12) также будет иметь пару корней вида рг(є) = -Х і(є), р2(є) = -А (є), вещественные части остальных корней будут положительными. Обозначим eJ(t;e) = exp(AJ(e)t)/PA(AJ(e);e)1/2, hfae) = eMM t)/QP(pM )1/2 (i-i3) (j = 1,2) решения уравнений (1.5) и (1.11), отвечающие корням Л,(є) и -(є) характеристических уравнений (1.6) и (1.12) соответственно. Здесь Qp(pj;e) - правая часть (1.12) при выбранных А и т. Так же полагаем, что при определении ej(t;e) и hj(t;e) выбрана одна и та же ветвь квадратного корня. Как легко проверить, между функциями (1.13) выполнены следующие условия ортогональности
Обозначим через Е+(є) подпространство C(-h,0), являющееся линейной оболочкой функций ej(s;e), (J = 1,2); через Я_(є) подпространство С(-/г,0), состоящее из функций x(s) Є C{-h,0), x{s),hj{s;) = 0, (j = 1,2). В силу условия (1.14) C{-h,0) = Е+(є)Е_(є). При это решения уравнения (1.5) с начальными условиями x0(s) Є Е-(є) в силу сделанных предположений относительно расположения корней характеристического уравнения (1.6), экспоненциально стремятся к нулю при t — оо. 1.3. Построение нормальной формы уравнений траекторий на интегральном многообразии
Изучим характер поведения решений системы уравнений (1.3)-(1.4) в окрестности нулевого состояния равновесия в случае потери устойчивости последнего, связанной с прохождением двух корней характеристического уравнения (1.6) через мнимую ось комплексной полуплоскости. При этом считаем, что А = k(J0 + eJi - I), т = то + єті, XJ{e) = iaJ+e\f + ..., ji т2 и, дополнительно, 7і/ 72І ф 1/2; 1/3.
Положим u{s,t) = col{uW{s,t),uW{t)) = col{E{t + s),N{t)). Перейдем от системы уравнений (1.3)-(1.4) к эквивалентной краевой задаче для следующей гибридной системы дифференциальных уравнений
Производящим оператором полугруппы линейных операторов T(t; є) будет оператор Пространство Е+(є) является корневым подпространством оператора (1.18), отвечающим собственным значениям Лі (є) и А2(є). Остальные собственные значения оператора (1.18) имеют отрицательные вещественные части, отделенные от нуля при малых е. Представим элементы u+{s) Є Е+{є) в виде u+{s) = z s-e) + z2e2(s;e), (Zj Є C,j = 1,2). При сформулированных условиях краевая задача (1.15)-(1.17) имеет в окрестности нуля фазового пространства локальное инвариантное экспоненциально устойчивое четырехмерное многообразие (центральное многообразие) Ф(и+,й ;є) = Ф(г1,г2,г1,г2;є) : Е+(є) Ё\(е) Є [0,є0] - Е_(є). При этом поведение решений краевой задачи (1.15)-(1.17) с начальными условиями из S(RQ) определяется поведением решений на этом инвариантном многообразии. Здесь Ф( ) - гладкий по совокупности переменных оператор. которая описывает поведение траекторий краевой задачи (1.15)-(1.17) на инвариантном многообразии (1.19). Уравнения для Zi и z2 могут быть получены сопряжением уравнений (1.20)-(1.21). В (1.19)-(1.21) в явном виде приведены „главные“ слагаемые разложений по соответствующим переменным. Точками обозначены слагаемые, имеющие по соответствующим переменным более высокий порядок малости. Функции u (s) и постоянные d подлежат определению. Систему уравнений (1.20)-(1.21) будем называть нормальной формой системы уравнений (1.15)-(1.17).
Построение нормальной формы уравнений траекторий на интегральном многообразии
Уравнения вида (2.1) возникают при моделировании электронных устройств с активными нелинейными элементами и запаздывающей обратной связью [29,52].
Будем интересоваться возможностью возбуждения за счет периодического запаздывания сложных, в том числе хаотических колебаний. При этом будем предполагать, что при а = 0 уравнение (2.1) имеет лишь нулевое асимптотически устойчивое решение. В качестве метода исследования используется метод интегральных многообразий и теория бифуркаций. Отметим, что похожая задача изучалась в [53]. Однако там предполагалось, что в уравнении (2.1) при а = 0 нулевое решение неустойчиво и в окрестности нулевого решения существует асимптотически устойчивый инвариантный тор. 2.2. Анализ линейной части
Рассмотрим дифференциальное уравнение x(t) + Ax(t)+x(t)+Bx(t-h) = 0, (2.2) полученное из (2.1) в результате линеаризации в окрестности решения x{t) = 0. Характеристическое уравнение (2.2) будет иметь вид Р(Л) = Л2 + АЛ + 1 + БЛехр(-Л/г). (2.3) Расположение корней характеристического уравнения изучалось в [54,55]. Изложим основные моменты этого анализа. Будем интересоваться условиями потери устойчивости решений уравнения (2.2). Воспользуемся для этого методом -разбиений [31]. Положим в (2.3) Л = га, а Ои выделим вещественную и мнимую части. Получим следующие уравнения
Доказательство. При малых h утверждение леммы очевидно. Конфликтная ситуация возникает, когда тг h 2тг. В этом случае необходимо выяснить, будет о Л Є (тг, Зтг/2) или аЛ Є (5тг/2, Зтг). В свою очередь, это зависит от величины tgah, так как от нее зависит величина В. В пограничном случае tga\h = — tgc /i, т.е. o\h = тг + а, аг Л- = 37г — а. Это означает, что Пусть при А = А0,В = B0,h = ho характеристическое уравнение (2.3) имеет корни ±г т , а 0. Обозначим через Х(є) = т(є) + га (є) аналитически зависящий от малого параметра є корень характеристического уравнения
Выражения (2.14)-(2.15) определяют в плоскости (В, К) при различных значениях А параметрические уравнения границ области "Р-разбиений.
Из проведенного анализа расположения корней характеристического уравнения (2.3) в зависимости от входящих в него параметров и картины "Р-разбиений следует, что при определенных значениях параметров характеристическое уравнение (2.3) может иметь две пары комплексно сопряженных корней вида ±ioj{pj 0, j = 1,2). При этом остальные корни уравнения (2.3) имеют отрицательные вещественные части.
Ниже предполагаем, что параметры уравнения (2.2) выбраны таким образом, что характеристическое уравнение (2.3) имеет корни ±7 7j (aj 0, j = 1, 2), а2 = 2 ті. При этом остальные корни уравнения (2.3) имеют отрицательные вещественные части. Это реализуется при выборе h0,A0,B0 согласно (2.16).
Краевая задача (2.20)-(2.21) (соответственно и уравнение (2.1)) имеет [30] в окрест ности нуля фазового пространства Я = C(-h(t,e);0) 0 C(-h(t,e);0) четырехмерное 2п/ш периодическое локальное асимптотически устойчивое гладкое интегральное многообразие Ф(т, Zi, Zi,z2, z2, s; є) (г = cut, Zj Є С), поведение решений на котором определяет поведение решений краевой задачи (2.20)-(2.21) с начальными условиями из некоторого фиксированного шара S(R0) с центром в нуле фазового пространства. Здесь Ф( ) гладкий по совокупности переменных оператор, 2тг-периодический по т. Систему обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающую поведение траекторий на интегральном многообразии Ф( ) и определяющую поведение решений краевой задачи (2.20)-(2.21) будем называть нормальной формой уравнения (2.1). Изложим методику построения нормальной формы и приведем ее явный вид. Введем в рассмотрение разложение для определения функций и коэффициентов, входящих в (2.23)-(2.25). Приравнивая теперь в (2.26)-(2.27) коэффициенты при одинаковых степенях ezu ezu ez2, ez2, Z\Z2, ..., будем получать на каждом шаге краевую задачу вида
Построение нормальной формы уравнения
Уравнение (3.2) является уравнением с бесконечным запаздыванием аргумента. Прежде чем дать определение решения начально-краевой задачи для уравнения (3.2), сделаем следующие ограничения относительно функций а(() и 6(C), обусловленные постановкой задачи и введем некоторые функциональные подпространства. Ввиду того, что амплитуды колебаний ротора незначительны по сравнению с его длиной, в дальнейшем будем считать функции а«) и 6(C) бесконечно дифференцируемыми, совпадающими с (3.6) при С Со и а«) = а0,&«) = 1 при С ь где Со Сі - некоторые фиксированные числа, выбором которых можем распорядиться. На (Со, Ci), «(С) и 6(C) считаем гладко стремящимися к ЙО и 1 соответственно, конкретный их вид при этом существенного значения не имеет.
Рассмотрим оператор Bv = vIV, действующий в Я = W22(0,1), с областью определения D{B) = {v(s) Є C6(0,l),v(0) = v (0) = vIV(0) = v"(l) = v "(l) = vVI(l) = 0}. Скалярное произведение и норму в Я определим как (u,v)H = (u"(s),v"(s))L2{0 1), \\и\\н = (м,м)я/2, ( , )L2(O,I) - скалярное произведение в L2(0,1). Оператор является, очевидно, симметричным и положительно определенным. Энергетическим скалярным произведение и энергетической нормой оператора В будут соответственно выражения (u,v)B = (vIV(s),uIV(s))L2{0,1) и u(s)B = iu,ufi2. Энергетическое пространство оператора В определяется замыканием в норме Б множества функций D(B) [58]. В результате имеем Нв = {v(s) Є W24(0,1),v(0) = v (0) = v"(l) = v "(l) = 0}. Обозначим через Я1/2 - положительный корень из оператора Я. Его область определения Нві,2 = {v(s) Є W23(0, l),w(0) = г/(0) = v"(l) = 0}. Обозначим через Я7 (0 7 То) -пространство непрерывных функций вида {v(s, т) : 0 s 1, -оо г 0, v(s, т) Є Нв (поs), \\V(S,T)\\D = sup (ехр(7т)Іф,т)IЯв) оо}. Введем в рассмотрение простран -оо т 0 ство HX{QT) функций v(s,t) определенных в QT = {0 s 1, 0 t Т}, Hi{QT) = {v{s,t) Є W 2(QT),v(Q,t) = vs(0,t) = vss(l,t) =
Исследуем устойчивость решений краевой задачи (3.10)-(3.11). Отметим [59], что собственными значениями и собственными функциями оператора В, определенного в Нв, будут величины и)\ = /3 (п = 1,2,...), где /Зп положительные корни уравнения ch/3n cos/3n + 1 = 0 и функции e„(s) = wn(s)/\\wn(s)\\L2, где wn(s) = (sh(3n + smf3n)(ch(f3ns) - cos((3ns)) - (ch(3n + cos/3n){sh{/3ns) - sin(/5„s)). Положим un(s, t) = en(s) exp(At). В результате получим последовательность характеристических уравнений о /ra(A)-EA2 + aoA + u; (l- I Д(т) ехр((А - ifi)r)dr) = 0, (3.12) n = 1,2,..., расположение корней которых определяет устойчивость решений краевой задачи (3.10)-(3.11). Отметим, что ввиду расходимости в (3.12) интеграла при Re Л —7о, уравнение (3.12) имеет смысл лишь при Re Л —7о.
Изучим расположение корней последовательности уравнений (3.12). Воспользуемся методом -разбиений [31]. Положим для этого в (3.12) Л = %о и выделим вещественную и мнимую части. В результате будем иметь
Отметим, что согласно условию (3.1) при а 0, 0 Rc(a),Rs(a) 1, Rc(a), Rs(a) - 0 при а - оо. Для Д(г), удовлетворяющих условиям (3.1), функции (3.15) качественно имеют вид, представленный на рис.3.1. В соответствии с этим, кривые на плоскости (ао, П), соответствующие корням характеристического уравнения (3.10), расположенным на мнимой оси, качественно имеют вид, представленный на рис.3.2. При этом каждая кривая является границей области устойчивости (неустойчивости) решений (3.10)-(3.11) по n-ой собственной функции оператора B. Области неустойчивости заштрихованы. При этом Qn0 = un(l-Rc(0))1/2. Как следует из рис. 3.2, потеря устойчивости решений краевой задачи (3.10)-(3.11) может происходит по одному или по двум собственным функциям (формам) оператора В. В последнем случае каждая форма имеет собственную частоту колебаний. 3.3. Построение нормальной формы
Рассмотрим случай потери устойчивости решений краевой задачи (3.10)-(3.11) по двум собственным функциям оператора В. Точку пересечения кривых, исходящих из Пп0 и Пп+10 обозначим (ап, Пп), а соответствующие им значения а через ап и ап+1. Будем изучать поведение решений начально-краевой задачи (3.2)-(3.5),(3.9) при изменении параметров в окрестности указанных точек. Введем для этого параметр 0 є 1 и положим Изучим характер установившихся колебательных решений краевой задачи (3.6)-(3.7) возникающих в окрестности нулевого решения при потере его устойчивости в предположениях (3.16). Для этого воспользуемся методом интегральных многообразий и теорией нормальных форм - уравнений, описывающих поведение траекторий на интегральных многообразиях.
Анализ устойчивости нулевого решения уравнения
Уравнение вида (4.1) возникает при математическом моделировании ряда физических задач. В частности, ДС-генератора с запаздывающей обратной связью [60], импульсного нейрона [61], механизма производства красных кровяных телец (модель Мэки-Гласса) [62] и др.
Ниже изучается возможность и условия возникновения в уравнении (4.1) сложных, в том числе хаотических, колебательных решений, принадлежащих некоторой фиксированной окрестности нулевого решения уравнения (4.1) и обусловленных двухчастотным изменением запаздывания малой амплитуды. 4.2. Анализ устойчивости нулевого решения уравнения В уравнении (4.1) положим сначала о,- = 0, (j = 1, 2) и рассмотрим его линейную часть. x(t)+x(t) + kx(t-h) = 0, (4.2) Поведение решений уравнения (4.2) определяется расположением корней его характеристического уравнения Р(Л) = Л + 1 + к ехр(-Afr) = 0. (4.3) Изучим расположение корней уравнения (4.3). Воспользуемся для этого методом Д-разбиения [63]. Положим в (4.3) Л = ia, (а 0) и выделим вещественную и мнимую части 1 + к cos(ah) = 0, а-к sm(ah) = 0. (4.4) Минимальное к = к0, при котором система уравнений (4.4) имеет решение, определяется равенством ко = его/ sm(aoh), где со корень уравнения —со = tg(aoh). При этом к0 1 и а0 = y/fcg - 1.
Положим к=ко + екхи рассмотрим поведение корней Х(є),Х(є), (Л(є) = га0+єЛ! + ..., і = л/ ї) характеристического уравнения Р(Л; є) = Л + 1 + (к0 + єкі) ехр(-Л/і) = 0. Отметим, что А(є) аналитически зависят от є при малых є. При этом остальные корни характеристического уравнения при малых є будут находиться в левой открытой комплексной полуплоскости. Из тождества Р(Х(є),є) = 0 находим
Из (4.5) имеем, что при к\ 0 корни характеристического уравнения А(є),А(є) переходят из левой комплексной полуплоскости в правую. При этом, как показано в [56], в уравнении (4.1) может происходить рождение устойчивого цикла (бифуркация Хопфа).
В дальнейшем считаем, что h 0. Пусть теперь щ ф 0, (j = 1,2). Положим ujj = 2 7о + e5j, (5j l,j = 1,2), т.е. рассмотрим случай двухчастотного параметрического резонанса. В соответствии с принятой терминологией [64], рассматриваемый резонанс является вырожденным. В работе [65] показано, что в пространстве параметров (61,62) в случае вырожденного резонанса, может существовать счетное число областей устойчивости и неустойчивости линейной части уравнения (4.1). В настоящей работе эта задача изучается в нелинейной постановке. 4.3. Построение нормальной формы
Краевая задача (4.6)- (4.7) в окрестности нуля фазового пространства имеет локальное экспоненциально устойчивое интегральное многообразие вида Ф(ть т2, z,z, s; є), [jj = Wjt,j = 1,2, z Є С,Ф(тьт2,0,0,з;є) = 0) 2тг-периодическое по п и r2 , поведение решений на котором определяет поведение решений краевой задачи (4.6)- (4.7) в окрестности нуля фазового пространства (см., например, [13]). Здесь Ф(-) гладкий по совокупности переменных оператор, действующий в C(-h(t,e),0). Двумерную систему обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих поведение решений краевой задачи (4.6)- (4.7) на интегральном многообразии принято называть нормальной формой краевой задачи (4.6)- (4.7) (уравнения (4.1)).
Представим оператор Ф(-) в виде разложения Ф(гь т2, z,z, s; є) = (UQ(S) + єщіп, та, s) + .. )z + (uo(s) + ЄЙі(7ї, 72, S) + ...)Z+ (U20(s) + . . )Z2 + (ui_i(s) + .. .)zz + (u02(s) + .. .)z2 + .... (4.8) Здесь uo(s) = ехр(га08);щ(-) - гладкие по совокупности переменных функции, 2тг -периодические по т\ и 72, подлежащие определению. Точками обозначены слагаемые, имеющие более высокий порядок малости по переменным z, z. Нормальную форму краевой задачи (4.6)- (4.7) будем искать в следующем виде z = (га0 + eX z + є(Аг ехр(гп) + А2 ехр(гг2))г + d\z\2z + ... = Z{T1,T2,Z,Z;) (4.9) l - —— 2а0 + є63, (j = 1,2), (4.10) где Ai, А2, d - комплексные постоянные, подлежащие определению. В (4.9) в явном виде приведены лишь „главные“ слагаемые нормальной формы, которые определяют поведение ее решений.
