Содержание к диссертации
Введение
I Свойства траекторных воронок 8
1. Аксиоматический метод s.k. zaremba и в.в. филиппова 8
2. Связь между аксиоматиками s.k. zaremba и е.а. барбашина 9
3. Свойства траекторных воронок 13
II Свойства траекторий на плоскости 19
1. Траекторные воронки на плоскости 19
2. Предельные множества траекторий 22
III Строение окрестности особой точки 43
1. Секторы 43
2. Строение окрестностей нестационарной и стационарной точек 48
IV Индексы 55
1. Определение и свойства индексов 55
2. Отыскание индексов особых точек 57
- Связь между аксиоматиками s.k. zaremba и е.а. барбашина
- Свойства траекторных воронок
- Предельные множества траекторий
- Строение окрестностей нестационарной и стационарной точек
Введение к работе
Актуальность темы. В теории динамических систем, намеченной Пуанкаре и получившей широкое развитие в работах Биркгофа, уже изучались свойства решений дифференциальных уравнений при условии единственности решений без рассмотрения самих уравнений. М. Бебутов доказал существование локального сечения динамической системы в локально-компактном метрическом пространстве в окрестности нестационарной точки. В.В. Немыцкий рассматривал множества кривых с единственностью, но без дифференцируемости. А.Ф. Андреев и Ю.С. Богданов также рассматривали динамические системы с единственностью и показали для них, что из существования и единственности решений в предположении локальной компактности следует непрерывная зависимость решений от начальных данных. Их доказательство верно и для негладких динамических систем.
Польский математик Zaremba m рассмотрел еще более общие множества, кривых, для которых ни единственность, ни дифференцируемость не предполагаются. Он сформулировал в виде четырех аксиом наиболее общие свойства решений дифференциальных уравнений и включений и на их основе предложил новый подход к изучению дифференциальных уравнений и включений.
С иной точки зрения подошел к аксиоматической теории дифференциальных уравнений и включений Е.А. Барбашин. Он рассматривает' обобщенную динамическую систему, заданную в полном метрическом пространстве с помощью своих множеств достижимости f(t. А). Для такой системы он определяет множество кривых, играющих роль, аналогичную траекториям динамической системы Биркгофа.
В последние годы аксиоматическая теория активно разрабатывалась в МГУ В.В. Филипповым " и позволила получить ряд существенно новых результатов, в том числе существование решений для уравнений с особенностями, не удовлетворяющими условиям Каратеодори. Введенное В.В. Филипповым понятие «сходимости пространств решений» позволило
111 Zaremba S.K Sur certaines families de courbes en relations avec la teorie des equations differentielles.- Ann. Soc. polonaise de Mathem., 1936, v. 15, p. 83-100.
Филиппов В.В. Пространства решений обыкновенных дифференциальных уравнений. - М., 1993.
рос. і-ацнпялмімЗ"
SНИЛМОГЕКА
, ОЭ Wjjw ЩХ)
исследовать зависимость решений от параметра и асимптотические свойства решений в окрестности стационарной точки или при t —* оо, включая теоремы устойчивости по первому приближению в более общих формулировках, чем классические результаты.
Для автономных систем дифференциальных уравнений с гладкими правыми частями на плоскости интенсивно развивалась качественная теория, позволившая получить многие свойства решений, не рассматривая самих уравнений ( Пуанкаре, Бендиксон, Андронов и другие ). По качественной теории дифференциальных включений на плоскости известны лишь отдельные результаты ( работы А. Г. Бутковского и сотрудников Института проблем управления, работы А.А. Давыдова и А.И. Панасюка ). А.Ф. Филиппов '' применил основные методы качественной теории к исследованию дифференциальных включений вида х'е F (х), где F (х) -непустое, ограниченное, замкнутое, выпуклое множество и функция F полунепрерывна сверху относительно включения.
Ввиду наличия приложений дифференциальных включений к теории управления, исследование свойств дифференциальных включений является актуальной задачей. Аксиоматическая теория позволяет изучать общие свойства дифференциальных включений независимо от их вида.
Цель работы. В.В. Филиппов *' распространил многие важные свойства автономных систем на плоскости на множества Z кривых, удовлетворяющих аксиомам Zaremba. В частности, он обобщил теорему Пуанкаре -Бендиксона, доказал, что предельное множество ограниченной полутраектории содержит стационарную точку или замкнутую траекторию, дал определение индекса стационарной точки на плоскости. В данной диссертации ставилась задача перенести на множества Z насколько возможно и другие свойства автономных систем на плоскости.
Научная новизна. Основные результаты работы заключаются в следующем:
Большинство результатов качественной теории дифференциальных уравнений на плоскости с необходимыми изменениями обобщаются на семейство Z кривых, удовлетворяющих аксиомам Zaremba;
Изучена структура окрестностей стационарной и нестационарной точек в терминах разбиения окрестности на секторы определенных типов;
131 Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью.-М., 1985.
3. Пользуясь определением индекса, предложенным В.В. Филипповым, получены формулы для вычисления индекса изолированной особой точки на плоскости. Эти результаты являются новыми.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. В работе выясняются минимальные предположения, при которых семейство кривых на плоскости обладает многими из тех свойств, которыми обладают решения дифференциальных уравнений и дифференциальных включений на плоскости. В частности, свойство единственности кривой, проходящей через данную точку, и свойство дифференцируемости кривых не являются обязательными.
Результаты работы дают также представление о том, как меняются свойства траекторий на плоскости при переходе от дифференциальных уравнений к дифференциальным включениям х'є F(x) с замкнутым выпуклым множеством F.
Апробация работы. Основные результаты доложены автором на кафедре дифференциальных уравнений (октябрь 2001), а также на:
семинаре им. П.С. Александрова кафедры Общей Топологии и Геометрии под руководством профессоров В.В. Филиппова, В.В. Федорчука, Б.А. Пасынкова, В.И. Пономарева (май 2001);
девятой международной конференции «Математика. Компьютер. Образование», г. Дубна (январь 2002).
Публикации. По теме диссертации опубликованы 3 работы. Их список приведен в конце автореферата. Работ, написанных в соавторстве, нет.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и четырех глав, разбитых на параграфы. Общий объем работы составляет 69 страниц. Список литературы включает 26 наименований.
Связь между аксиоматиками s.k. zaremba и е.а. барбашина
В [3] Е.А. Барбашин ввел понятие обобщенной динамической системы. Пусть заданы полное метрическое пространство R\ и некоторое семейство (неоднозначных) отображений R\ на себя. Это семейство отображений определяет обобщенную динамическую систему, если выполнены следующие условия [3]: 1. Каждой точке р Є R\ и моменту времени і, —со t оо, соответствует непустое компактное множество f(pyt) С R\. Множеству А соответствует множество f{A,t) = Yl f(p t) и f(Riit) — Ri ПРИ любом множества А от множества В называется где р — расстояние. Отклонением (по Хаусдорфу) множеств А и В называется 3. а) Для точки р и положительного числа є найдется такое 5, что при \t \ 5 a(f(p,t),f(p,t )) e. b) Для точки р, промежутка [—ti, i], 0 t\ со и числа є 0 найдется такое 0, что при р{р}р ) 5, \t\ t\, будем иметь Определение 1 [3]. Интегральной воронкой, выходящей из точки р Є R\, называется множество точек, принадлежащих хотя бы одному множеству f(p,t), —со t со. Отрезком [а,Ь] интегральной воронки называется часть воронки при а t b. Определение 2 [3]. Назовем некоторую непрерывную кривую, проходящую через данную точку пространства R\, дугой траектории в обобщенной динамической системе, если всякая точка этой дуги лежит в интегральной воронке всякой другой точки той же дуги, то есть p(t) — траектория обобщенной динамической системы, если p(ti + 2) Є f( ( 1), 2) для любых tiytz. Теорема 2.1 [3]. Если точка q содержится в интегральной воронкер, то существует дуга траектории, проходящая через точки р и q. Теорема 2.2 [3]. Пусть R\ — полное локально компактное метрическое пространство. Если последовательность точек {pi} сходится к точке р и через точки pi проходят дуги траекторий временной длины г, то из этой последовательности можно выбрать подпоследовательность, равномерно сходящуюся к дуге траектории временной длины г, проходя-щей через точку р. Утверждение. Если Z Ат и каждая функция из Z определена при —со t оо, то множества достижимости f(p,to), то есть множества всех точек, в которые мы можем попасть из точки р, двигаясь по траекториям функций z Є Z, через промежуток времени tQ, определяют обобщенную динамическую систему. Обратно, траектории х = z(t) = f(p,), р Є Лі, t\ t І2) t\,t2 Є R обобщенной динамической системы составляют множество Z Є А , в котором каждая функция из Z + определена при — оо t оо. При доказательстве этого утверждения нам понадобятся следующие теоремы, доказанные S.K. Zaremba для Z Лсе(1У) {Rce — множество всех Z, удовлетворяющих аксиомам 1 — 4, но, вообще говоря, неавтономных). Теорема 2.3 [1]. Пусть: 1) компакт А лежит в той части области W, где а t Ь; 2) для каждой функции z Є Z +f график которой имеет общую точку с А, [а,Ь] Є TT(Z). Тогда множество точек графиков всех таких функций, определенных на [а, Ь] (то есть отрезок интегральной воронки множества А), является компактом в Rn+1; множество таких функций — компакт в С[а, Ь]. Теорема 2.4 [1].
Пусть компакты А и Л»(г = 1,2,...,) лежат в части а t b области W, (3(АІ, А) — 0 при г — оо и для А выполнено требование 2 теоремы 2.3. Тогда при всех достаточно больших і это требование выполнено и для A\f и при і — оо f3(V(Ai),V(A)) —» 0, где V(A) — отрезок [а,Ь] интегральной воронки множества А. Перейдем к доказательству утверждения. Пусть Z Є Ace(W) и каждая функция из Z + определена при —со і со. Тогда из аксиом 3, 1, автономности Z и того, что каждая функция из Z + определена при —oo t со, следует, что для любых р Є W и t} —со t со, множество достижимости f(p, t) непусто. Компактность f(p,t) следует из теоремы 2.3. Из автономности Z и аксиомы 2 следует аксиома 2. Из равностепенной непрерывности функций из Z (аксиома 4) следует аксиома 3а. Из теоремы 2.4 следует аксиома 3Ь. Обратно, пусть в полном локально компактном метрическом пространстве І?і, в частности, в Л", задана обобщенная динамическая система, удовлетворяющая аксиомам Барбашина. Из аксиомы 1 следует, что каждой точке р Є Ri соответствует интегральная воронка произвольной временной длины. Согласно теореме 2.1, существует траектория L обобщенной динамической системы, проходящая через точку р, то есть выполняется аксиома 3. Согласно определению 2 траектории, каждая точка на L также принадлежит интегральной воронке точки р, следовательно, любая часть L является траекторией и выполнена аксиома 1. Пусть q\p и pq — дуги траекторий обобщенной динамической системы. Тогда, согласно аксиоме 2, определению 2 и тереме 2.1, кривая q\pq также является траекторией и выполнена аксиома 2. Из теоремы 2.2 следует локальная компактность семейства траекторий на любом конечном отрезке изменения t. Тогда, согласно следствию леммы V.2.1 [2] и теореме V.4.1 [2], выполняется аксиома 4. По определению 2, ip(t) является траекторией обобщенной динамической системы, если ffi(ti,t2) 6 /( ( ),) Для любых ti,t2] тогда для любого с также (p(ti + іг + с) Є f{ p(ti + с), г), то есть ip(t + с) тоже является траекторией. Этим доказано условие автономности. Доказанное утверждение позволяет перенести свойства обобщенных динамических систем, в частности, относящиеся к минимальным множествам и рекуррентным траекториям, на Z Є Лсеу где каждая функция из Z определена при —со t со. Множество М называется минимальным, если оно не пусто, замкнуто, состоит из целых траекторий и не содержит никакого собственного подмножества, обладающего теми же свойствами. Траектория Т называется рекуррентной, если для любого є 0 существует такое г (є), что є-окрестность любой дуги траектории Т, пробегаемой за время т(є), содержит всю траекторию Т. Теорема 2.5 [3]. Любое непустое компактное множество, состоящее из целых траекторий, содержит минимальное множество. Теорема 2.6 [3]. Каждая целая траектория, содержащаяся в компактном минимальном множестве, рекуррентна. Теорема 2.7 [3]. Замыкание рекуррентной траектории, содержащей-ся в ограниченной области, является компактным минимальным множеством.
Свойства траекторных воронок
Приведем некоторые известные свойства пространства Z Ace(W), W С Rn, из [2] и [5]. Лемма 3.1. Пусть MQ — компактное подмножество W, diam Mo = со. Тогда существует компактное подмножество М множества MQ, для которого diamz М = со и которое не содержит собственных компактных подмножеств бесконечного относительно Z диаметра (то есть М — минимальное множество) (лемма IX. 1.4 [2]). Замечание. Компакт М состоит из целых траекторий и является замыканием любой своей траектории (в силу пункта I доказательства леммы Х.1.1 [2]; пункт I справедлив и для Rn). Пусть р — стационарная точка пространства Z. Лемма 3.2. Пусть Zi є Zti = 1,2,-.. ,Zi(t) С D с W (D — компакт) при to t tt, U —» oo, Zi{to) — p. Тогда из последовательности {z{} можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся (равномерно на каждом конечном отрезке) к функции, z Є Z+,z(t) С D при to і оо (следует из леммы IX.1.1 [2] или леммы 4 [5]). Лемма 3.3. Пусть для г = 1,2,... функции zi Є Z, дуга аф{ пробегается точкой Zi(t) при 0 t ti,Zi(0) = а — p,Zi(ti) = b{ - b ф p, афі С D С W, D — компакт. Тогда из последовательности дуг афі или их частей можно выбрать подпоследовательность, сходящ существует параболическая траектория, то есть траектория, при убывании (возрастании) t стремящаяся к р, а при возрастании (убывании) t выходящая на Г (лемма 7 [5]). Следствие. Если существуют точки ai — р(і —ї оо), через которые проходят гиперболические (то есть выходящие на Г обоими концами) траектории, то в D существуют параболические траектории, одна из которых стремится к р при возрастании t, а другая при убывании t. Они являются пределами частей гиперболических траекторий (следствие 1 [5]). Лемма 3.5. Если в D имеются как параболические траектории, стремящиеся к р при убывании t, так и параболические траектории, стремящиеся к р при возрастании t, то сколь угодно близко к р есть точки, через которые проходят гиперболические траектории (лемма 9 [5]). Лемма 3.6. Пусть q — нестационарная точка и K(q,e) — ее замкнутая є-окрестность, не содержащая целых траекторий, K(q, е) С W С J2. Тогда каждая траектория, проходящая в K(q, є), выходит из K(q, є). Для любой меньшей окрестности Ki(q) С К(с[уб) существуют постоянные тг,т2 такие, что время т пребывания в K(q,e) каждой траектории, проходящей через K\(q), лежит между т1 и т2; 0 т1 г т2 оо. Доказательство. Допустим, что имеется последовательность дуг траекторий, время пребывания которых в K(q,e) неограничено: т — со. По лемме 3.2 из нее можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к полутраектории, целиком лежащей в K(q,e). Но тогда, согласно лемме 3.1 и замечанию, в K(q,z:) лежит целая траектория, что противоречит условию леммы. Значит, т т2 со. Предположим, что имеется последовательность дуг траекторий х = Zi(t), проходящих через Кі(д,єі),єі є, для которых т = п — 0.
Пусть р] — точки входа этих дуг в K(q ), р\ — их точки входа в K\{q,e{),i — 1, 2,.,. . Очевидно, уюся (равномерно на каждом конечном отрезке) к полутраектории Т С D функции у Z , —оо t 0,2/(0) = b (следует из леммы 5 [5]). В леммах 3.4, 3.5 и следствии D — замкнутая ограниченная область (D С W), в которой нет целых траекторий из Z +, кроме стационарной точки р, Г — граница области D. Лемма 3.4. Пусть ai -4- р(г — со). Если из каждой точки а, выходит полутраектория Т (или Т из каждой а ), достигающая Г, то в D существует параболическая траектория, то есть траектория, при убывании (возрастании) t стремящаяся к р, а при возрастании (убывании) t выходящая на Г (лемма 7 [5]). Следствие. Если существуют точки ai — р(і —ї оо), через которые проходят гиперболические (то есть выходящие на Г обоими концами) траектории, то в D существуют параболические траектории, одна из которых стремится к р при возрастании t, а другая при убывании t. Они являются пределами частей гиперболических траекторий (следствие 1 [5]). Лемма 3.5. Если в D имеются как параболические траектории, стремящиеся к р при убывании t, так и параболические траектории, стремящиеся к р при возрастании t, то сколь угодно близко к р есть точки, через которые проходят гиперболические траектории (лемма 9 [5]). Лемма 3.6. Пусть q — нестационарная точка и K(q,e) — ее замкнутая є-окрестность, не содержащая целых траекторий, K(q, е) С W С J2. Тогда каждая траектория, проходящая в K(q, є), выходит из K(q, є). Для любой меньшей окрестности Ki(q) С К(с[уб) существуют постоянные тг,т2 такие, что время т пребывания в K(q,e) каждой траектории, проходящей через K\(q), лежит между т1 и т2; 0 т1 г т2 оо. Доказательство. Допустим, что имеется последовательность дуг траекторий, время пребывания которых в K(q,e) неограничено: т — со. По лемме 3.2 из нее можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к полутраектории, целиком лежащей в K(q,e). Но тогда, согласно лемме 3.1 и замечанию, в K(q,z:) лежит целая траектория, что противоречит условию леммы. Значит, т т2 со. Предположим, что имеется последовательность дуг траекторий х = Zi(t), проходящих через Кі(д,єі),єі є, для которых т = п — 0. Пусть р] — точки входа этих дуг в K(q ), р\ — их точки входа в K\{q,e{),i — 1, 2,.,. . Очевидно,
Предельные множества траекторий
Многие свойства предельных множеств траекторий автономной системы дифференциальных уравнений сохраняются и для траекторий в Z Є Асе. Прежде всего это относится к свойствам, которыми обладают предельные множества любых непрерывных кривых в пространстве Я, заданных в виде х = (),Q t oo [4]. Точка q Є Rn называется UJ-предельной для кривой L {х — cp(t),to t со), если существует такая последовательность ti — со, что ip(ti) — 7, г — со. Множество всех w-предельных точек траектории L называется допредельным множеством и обозначается QL. Аналогично определяются а-пределъная точка (при ti - —оо) и сопредельное множество Ai. Следующие известные утверждения относятся к предельным множествам любых непрерывных кривых в Rn [4]. 1. Пусть L — кривая х = y(t),to t оо, Ьк — ее часть tk t оо и tk - со. Тогда QLcLkC L, QL = n =lLk. 2. Множество QL замкнуто. 3. Множество QL пусто тогда и только тогда, когда \ p{t)\ —) со при і — со. 4. Множество QL ограничено тогда и только тогда, когда часть L кривой L содержится в ограниченной области. 5. Если множество QL ограничено, то p( p(t),Qi,) — 0 при t — со. Лемма 2.1 [4] Если QL ограничено, то оно связно; если QL не ограни чено, то QL не может содержать ограниченных компонент. Лемма 2.2 [4] Если QL не имеет общих точек с L, то L содержится в одной из компонент G открытого множества RU\QL, QL нигде не плотно в Rn, QL является границей области G. Лемма 2.3 Пусть Z Є A iW), L — траектория. Через каждую точ-ку q Є QL С W проходит траектория Lo (х = ip(t),—oo t со , содержащаяся в QL (следствие теоремы IX.2.1 [2]). В [2] многие важные свойства предельных множеств траекторий автономных систем дифференциальных уравнений на плоскости обобщаются на Лсе в R2. Теорема 2.1 Пусть Z Є Ace(W), W С R2, и WQ — ограниченное множество, границей которого является простая замкнутая кривая, являющаяся траекторией Z, WQ С W. Тогда в WQ есть стационарная точка пространства Z (теорема Х.1.1 [2]). В лемме 2.4 и теореме 2.2 предполагается, что траектория L (х = z(i), —со t оо) ограничена и не имеет самопересечений, то есть z{t\) ф z{t2), если ! ф t2, z Є Z +, Z Є Acek(W), W С Я2. Лемма 2.4 Пусть QL С W содержит нестационарную точку. Тогда через каждую нестационарную точку из QL проходит одна и только одна траектория из QL и существует окрестность этой точки, содержащая одну простую дугу этой траектории и не содержащая других точек из QL (лемма Х.4-2 [2]). Следующее утверждение является обобщением на Acek известной тео ремы Пуанкаре-Бендиксона. Теорема 2.2 Пусть Q С W не содержит стационарных точек пространства Z. Тогда найдется такая функция z\ Є Z, что QL = Im(zi) и z\(t) — простая замкнутая кривая (следствие теоремы Х. Л [2]). Пусть Т — ограниченная траектория Z Є Асе-, возможно, имеющая самопересечения. Теорема 2.3 Предельное множество 1г, г С W, траектории Т, не содержащее стационарных точек, не односвязно.
Доказательство. Согласно лемме 1.1, множество Qj содержит замкнутую траекторию Л. В области D, ограниченной траекторией Л, содержится стационарная точка р (в силу теоремы 2.1). Если допустить, что Q? односвязно, то вся область D содержится в 1?, а это значит, что р є Фг- Противоречие. Всюду в дальнейшем до леммы 2.9 включительно L{x = z(t),— со t об) — ограниченная траектория без самопересечений, z i?" +, Z А (И0, W С Д2, ПЬ с ИЛ Пусть траектория Л лежит в ,. Возьмем замкнутую окрестность K(q) произвольной нестационарной точки q Є Л, не содержащую стационарных точек, замкнутых траекторий и других дуг траектории Л (кроме указанной в лемме 2.4). Дуга траектории Л, лежащая в K(q), разобьет ее на две области — U\ и 1/%. Обозначим через Li(x — z(t),t} t ti),i = 1,2,... последовательность максимальных связных дуг траектории L, проходящих через K\{q) С K(q) (здесь K\{q) — такая окрестность как в лемме 1.2) и лежащих в K{q),t\ — со при і — со, и если і j, то tf thz(t\) s ,z(tf) Є s+. Здесь s (s+) — минимальная связная дуга границы S окрестности K(q), содержащая все точки входа в K{q) (выхода из K(q)) и не содержащая точек выхода из K{q) (входа в K(q)) дуг траекторий, проходящих через K\(q) (лемма 1.2), s П s+ = 0. Определение 3 (обобщает определение из [6], стр. 51). Скажем, что траектория L спиралевидно приближается к траектории Л ( в точке q) при t — оо, если в любой сколь угодно малой окрестности точки q Є Л лежит бесконечно много дуг траектории L, есе они лежат либо в V\, либо в ІІ2, и для любого і дуга L{, определенная выше, разбивает K{q) на две области; при этом дуга Li+\ находится в той же области, что и точка Лемма 2.5 Пусть множество Vti содержит нестационарную точку. Тогда множество L(1QL не содержит нестационарных точек. Доказательство. Пусть нестационарная точка q Є LC\Q,L- ДЛЯ ТОЧКИ q построим окрестности K{q) и Ki(q), интервалы s и s+, как в лемме 1.2. Пусть Lo — дуга траектории L, содержащая точку q и лежащая в K{q)\ L\ — следующая после LQ дуга L, лежащая в K(q) и проходящая через Ki(q). Дуга L\ делит K\(q) на области, в одной из которых лежит точка q. Пусть bo и Ь\ — ближайшие друг к другу на дуге s+ точки выхода дуг LQ И LI ИЗ K{q) Ь0,Ь\ Є s+. Рассмотрим область Di, ограниченную дугами 60Ьі с L и &о&1 С s+. Так как q — предельная для L, то после прохождения дуг Lo и L\ траектория L должна подходить сколь угодно близко к q. Если q Є Di (рис. За), то траектория L, пройдя дугу L\, выйдет из D\ и не сможет вновь войти в K\{q) П Z?i, так как не может пересечь себя, а интервал &о&1 С s+ не содержит точек, из которых можно попасть в K\{q). Если q . D\ (рис. 36), то траектория L, пройдя дугу L\, войдет в D\ и не сможет попасть из нее в K\{q)\D\ по тем же причинам. В обоих случаях L+ не может подходить сколь угодно близко к точке q. Противоречие. Лемма 2.6 Пусть q — нестационарная предельная точка для L+. Тогда L+ приближается к ней спиралевидно. Доказательство. Построим для точки q окрестности K(q) и Ki(q)t интервалы s и s+, как в лемме 1.2. Так как q — нестационарная предельная точка для L+, то в окрестное
Строение окрестностей нестационарной и стационарной точек
Теорема 2.1. Если траектория LQ без самопересечений примыкает к точке q и при t - а(а —со) и при t — (3(а Р со), и область D, ограниченная этой траекторией, не содержит замкнутых траекторий и стационарных точек, то через каждую внутреннюю точку области D проходит эллиптическая траектория и точка q — стационарная. Доказательство, Пусть L{x = z(t), а t /3) — произвольная траектория, проходящая через внутреннюю точку р области D. Тогда возможны следующие случаи: 1) траектория L примыкает к точке q обоими концами; 2) траектория L выходит обоими концами на границу области D — возникает либо замкнутая траектория, что противоречит условию теоремы, либо траектория, примыкающая к точке q обоими концами; 3) траектория L входит одним концом в точку q} а другим — выходит на траекторию LQ и вдоль нее также попадает в точку q\ 4) полутраектория L+ навертывается изнутри на границу области D. Тогда L не может приближаться к границе области D, так как, в силу леммы II.2.8, AL П QL = 0. Значит, Ai лежит строго внутри D. Но это противоречит условию, так как множество А содержит стационарную точку или замкнутую траекторию (леммы 1.3.1 и П.1.1). Во всех случаях, которые остаются возможными, траектория L примыкает к точке q обоими концами, то есть является эллиптической траекторией. Допустим теперь, что точка q — нестационарная. Точка z(t), двигаясь по эллиптической траектории, может сделать по ней любое число оборотов ( допускается аксиомой 2 ). Следовательно, может оставаться в любой окрестности точки q сколь угодно долгое время. Это противоречит лемме 1.3.6. Значит, точка q — стационарная. Следующая теорема распространяет полученные в 1 главы II результаты на случай, когда точка q может быть некнезеровской. Теорема 2.2. Пусть q — нестационарная точка. Тогда в ее окрестности K {q e) (определенной в 1) входящие и выходящие воронки череду-ются, а области между ними заполнены лишь гиперболическими траекториями. Число воронок конечно. В Ko(q,e) нет эллиптических траекторий. Доказательство. В силу теоремы 2.1 в KQ(qte) нет эллиптических траекторий. Пусть F — множество точек на С, через каждую из которых проходит хотя бы одна дуга траектории, примыкающая к точке q. Это множество замкнуто (следует из аксиомы 4). Смежные к F интервалы аЪ можно разбить на два типа 1) из а и Ъ выходят параболические дуги aq V (qte) и qb Є V+(q,e) (или наоборот) и в области между ними нет других траекторий, выходящих из аЬ С С и примыкающих к точке q. В Ko(q,e) нет дуги траектории, идущей от 6 к а (иначе образовалась бы эллиптическая траектория qbaq, а таковых нет, как было показано выше). Дуги aq и qb ограничивают гиперболические сектора. Согласно лемме 1.1 их может быть лишь конечное число; 2) из а и 6 выходят параболические дуги aq и bq V (q,e) (или qa и qb Є V+(q,e)). Согласно лемме 1.2, они являются продолжением друг друга. Ограниченная дугой ah траектории и дугой аЬ С С область называется ложной гиперболической областью [6]. На основании леммы 1.1, таких областей, проникающих на глубину d О, может быть лишь конечное число.
Из того факта, что гиперболических секторов может быть лишь конечное число следует, что входящих и выходящих воронок, разделяющих эти сектора, также может быть лишь конечное число. Покажем, что в Ко(д,є) входящие и выходящие воронки чередуются. Допустим, что между соседними выходящими воронками Vi+(q, є) и V jfg, є) нет входящей воронки У (д,є). Пусть П — область между VJ+( 7, є), 1 ( , ) и дугой 7, лежащей на С между дугами sf и sf+l и не содержащей дуг типа s+ или s [st —дуга типа s+ для воронки \ +(д,е)). В области П возьмем последовательность точек UJ - д. Рассмотрим последовательность дуг траекторий б о;, идущих от точек Ь{ 7 к ai-Из b{Qi можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к параболической дуге b q траектории (лемма Ї.3.7), точка Ь — предельная для bi, b q Є V (q, є). Противоречие. D Будем в дальнейшем предполагать, что д — изолированная стационарная точка Z Є Acek{W), К0(д,є) CW — ее окрестность, не содержащая других стационарных точек и замкнутых траекторий. Теорема 2.3. Пусть q и Ko(q,e) — определенные выше точка и окрестность. Тогда либо в Ко(д, є) имеется хотя бы две полутраектории (или две дуги траектории), одна из которых примыкает к точке q при возрастании t, а другая — при убывании t7 либо каждая полутраектория, зашедшая в некоторую окрестность точки q, примыкает к точке q при возрастании t (или каждая — при убывании t).
