Введение к работе
Актуальность темы. Современный этап развития теории дифференциальных уравнений характеризуется как стремлением к анализу и переосмыслению огромного количества накопленного научно-практического материала, так и созданием новых, более общих и содержательных точек зрения, разработкой новых качественных и приближенных методов исследования дифференциальных уравнений, направленных на решение сложных задач теории и практики. Указанным направлениям исследования посвящена обширная литература.
Современные методы качественного анализа дифференциальных уравнений берут свое начало в работах А.Пуанкаре, А.М.Ляпунова, А.А.Андронова и др. Эти методы условно можно разбить на две группы. Первая группа методов ориентирована на изучение нелокальной теории дифференциальных уравнений, когда решения изучают либо во всем фазовом пространстве, либо в существенной ее части. Вторая группа ориентирована на изучение локальной теории дифференциальных уравнений, когда решения изучают, например, в окрестностях особых точек, периодических решений, инвариантных многообразий и т. п.
Методы нелокальной теории развивались по ряду направлений. Упомянем лишь некоторые из большого числа методов, показавших свою эффективность при решении многих задач теории и практики. Были разработаны методы инвариантных многообразий, методы построения вполне непрерывных операторов, неподвижные точки которых определяют периодические решения систем дифференциальных уравнений, методы теории абсолютной устойчивости, с наибольшей полнотой разработанные в нелокальных проблемах теории управления, и многие другие. Особую роль в задачах о периодических решениях систем, близких в том или ином смысле к резонансным линейным системам, играет метод гармонического баланса.
При изучении локальной теории дифференциальных уравнений возникают две принципиально различные ситуации.
Первая ситуация связана с тем, что линеаризованное уравнение в окрестности особой точки является невырожденным. Поведение решений таких уравнений хорошо изучено, здесь разработан ряд эффективных методов, таких как метод малого параметра, метод усреднения, метод аналитического продолжения (Н.Н.Боголюбов, А.Н.Крылов, А.А.Митропольский, И.Г.Малкин, М.Розо, И.З. Штокало и другие).
Вторая ситуация возникает в задачах исследования поведения решений дифференциальных уравнений, когда линеаризованное уравнение является вырожденным. При этом, как правило, диффе-
ренциальные уравнения содержат различные параметры. Возникающие здесь задачи приводят к необходимости исследования эволюции поведения системы в окрестностях особых точек в зависимости от значений параметров. Типичными здесь являются такие эффекты как ветвление решений и различные бифуркации (положений равновесия, периодических или почти периодических колебаний и т.п.). Существенный вклад в развитие теории бифуркаций и теории ветвления решений нелинейных уравнений внесли В.И.Арнольд, Р.И.Богданов, В.В.Вайнберг, Н.К.Гаврилов, Дж.Гукен-хеймер, Д.Джосеф, Ю.С.Ильяшенко, Ж.Йосс, Ю.А.Кузнецов, М.Мак-Кракен, Дж.Марри, Дж.Марсден, Ф.Такенс, М.Т.Терехин, В.А.Треногий, Ф.Холмс, Л.П.Шильников, А.Н.Шошитайшвили и др.
Важный раздел локальной теории дифференциальных уравнений составляют задачи о рождении малых циклов из положений равновесия автономных и неавтономных систем при изменении параметров системы. Этой проблематике, восходящей к классическим работам А.Пуанкаре, А.А.Андронова и Е.Хопфа, посвящена обширная литература. Методы исследования бифуркаций Андронова-Хопфа в системах с гладкими нелинейностями основаны на использовании аналитической теории, теорем о центральном многообразии, нормальных форм. Негладкая ситуация впервые изучена М.А.Красносельским, который предложил и использовал специальный метод функционализации параметров.
В задачах исследования поведения решений дифференциальных уравнений в окрестностях особых точек широкое распространение получил подход, основанный на применении методов функционального анализа, алгебры и геометрии. Этот подход, который можно называть операторным, показал свою эффективность в работах В.И.Арнольда, П.П.Забрейко, М.А.Красносельского, Э.М.Мухамадиева, Е.Н.Розен-вассера, В.А.Треногина и многих других математиков. На основе разработанных методов удалось решить ряд важных для теории и практики задач, в частности, классифицировать основные типы локальных бифуркаций в нелинейных динамических системах, получить эффективные признаки различных ветвлений и бифуркаций, провести анализ устойчивости решений, предложить методы построения решений и др.
Многие вопросы современной теории дифференциальных уравнений и многочисленные приложения требуют дальнейшего развития операторных методов. Здесь особо актуальны следующие основные направления исследований. Первое связано с разработкой методов, приводя их не только к признакам ветвления или бифуркации решений, но и к возможности приближенного построения решений, получения
асимптотических (по параметрам) формул, проведения анализа устойчивости решений и т.д..
Второе направление связано с разработкой методов, учитывающих специфику данного дифференциального уравнения для различных классов динамических систем, в частности, для задачи о возникновении вынужденных и свободных колебаний, для дифференциальных уравнений теории управления и др.
Третье направление относится к приложениям, в частности, к разработке алгоритмов и программ численного исследования поведения решений дифференциальных уравнений. Сложное поведение решений дифференциальных уравнений в окрестностях особых точек часто выдвигает на первый план именно компьютерное моделирование системы. В этой связи особый интерес вызывает разработка операторных методов, которые могут быть доведены до алгоритмов и программ численного исследования системы.
Цель работы. Разработка новых общих операторных методов исследования поведения решений нелинейных дифференциальных уравнений в окрестностях особых точек, приводя их к качественным и количественным характеристикам решений.
Конструирование семейств операторных уравнений, определяющих основные сценарии поведения решений широкого класса дифференциальных уравнений в окрестностях вырожденных особых точек. Разработка итерационных процедур приближенного исследования операторных уравнений.
Получение новых признаков бифуркаций периодических и почти периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений, основанных на анализе эффективно вычисляемых спектральных характеристик особых точек.
Исследование сценариев бифуркационного поведения систем с медленно меняющимися и слабоосциллирующими параметрами в окрестностях особых точек.
Разработка пакета программ компьютерного моделирования поведения решений дифференциальных уравнений, основанных на итерационных процедурах численного построения решений эквивалентных операторных уравнений.
Методы исследования. В работе использовались методы общей и качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории нелинейных колебаний, теории устойчивости, теории бифуркаций и ветвления решений операторных уравнений, теории управления, теории приближенного решения операторных уравнений, метод функ-ционализации параметра, методы усреднения и малого параметра.
Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты.
-
Разработан новый операторный метод исследования поведения решений нелинейных дифференциальных уравнений в окрестностях особых точек, близких к линейным резонансным системам. В основе метода положено конструирование семейств операторных уравнений, решения которых позволяют исследовать основные сценарии бифуркационного поведения дифференциальных уравнений. Предложена схема итерационного построения решений операторных уравнений, определены асимптотические формулы для решений.
-
Предложена новая схема исследования бифуркации нелинейных колебаний в дифференциальных уравнениях теории управления, основанная на эффективном использовании аппарата импульсно-частотных характеристик и функций Грина, что позволило получить новые необходимые и достаточные условия существования периодических колебаний.
-
Предложены новые условия бифуркации малых автоколебаний, основанные на вычислении характеристик специально конструируемых векторных полей. Полученные результаты являются новыми для широкого класса динамических систем и дифференциальных уравнений теории управления.
-
На основе предложенных методов получены новые результаты в задачах исследования различных модельных уравнений (уравнение Льенара, Ван-дер-Поля, Лоренца и др.)
-
Получены новые результаты в задаче об основных сценариях бифуркационного поведения нелинейных систем с медленно меняющимися и слабоосцилирующими параметрами. Установлено, что при достаточно об их предположениях бифуркация двукратного равновесия преобразуется в бифуркацию вынужденных колебаний, а бифуркация свободных колебаний в бифуркацию почти периодических колебаний.
Теоретическая и практическая ценность. Диссертация в значительной степени носит теоретический характер. В ней на основе функционально-операторного подхода изучаются вопросы локальной теории нелинейных дифференциальных уравнений, зависящих от параметров, разработаны методы исследования периодических колебаний в окрестностях особых точек, их приближенное построение, анализ устойчивости, исследованы основные сценарии бифуркационного поведения динамических систем, предложена и обоснована новая итерационная процедура численного исследования бифуркации автоколебаний. Полученные результаты доведены до расчетных формул, составлены и отлажены соответствующие программы. Предложенная
итерационная процедура позволяет эффективно строить бифурциру-ющие решения, а также позволяет в новых условиях обнаруживать возникновение периодических колебаний при изменении параметров. Полученные результаты важны в задачах локальной теории дифференциальных уравнений, в задачах приближенного построения периодических колебаний нелинейных динамических систем теории управления. Предложенные методы итерационного построения решений могут быть использованы при составлении алгоритмов и программ численного исследования колебаний.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной памяти И.Г. Петровского (Москва, МГУ, 2007 г.); на Международной конференции "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения", посвященной 100-летию И.Н. Векуа (Новосибирск, 2007 г.); на Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения"(Душанбе, 2002 г.); на Международной конференции " 7 th International Pure Mathematics conference"(Пакистан, Исламабад, 2006 г.); на Международной конференции "International Congress on Gliiyath Al-Din Jamshid Kashani (ICGK, 2000 r.)"(Kashan, I.R. Iran); на Второй Международной конференции по проблемам управления, (Москва, ИПУ РАН 1999 г.); на Второй и Третьей Всероссийских научных конференциях "Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB" (Москва, ИПУ РАН, 2004 г. и Санкт-Петербург, СПбГУ, 2007 г.); на Второй Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи"(Самара, 2005 г.); на семинаре ICTP, Триест (Италия, 2005 г., руководитель - профессор - Д. Ли); на семинаре в Институте проблем управления Российской академии наук (Москва, 2002 г., руководитель - профессор Н.А.Бобылев); на семинарах Сибайского института Башгосуниверситета (2004-2007 гг., руководитель - профессор М.Г.Юмагулов); на семинарах в Институте математики АН Республики Таджикистан (2000-2007 гг.);
Публикации и личный вклад. Основные результаты диссертации получены автором самостоятельно. Теоремы 1, 6 и 7 получены совместно с М.Г.Юмагуловым.
По теме диссертации опубликовано более 20 научных статей. Список основных публикаций приведен в автореферате.
Структура диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав и приложения. Главы разбиты на параграфы. Список литературы содержит 103 наименований.
