Введение к работе
Актуальность темы исследования. В последние десятилетия в теории устойчивости интенсивно изучается тип поведения динамических систем, получивший название экспоненциальная дихотомия. Получены приложения к теории нелинейных колебаний, проблеме усреднения дифференциальных операторов с быстро осциллирующими коэффициентами, проблеме обратимости дифференциальных операторов.
Одна из проблем теории устойчивости - разработка эффективных методов анализа асимптотического поведения - устойчивости, дихотомии -динамических систем, параметры которых почти периодически зависят от времени. В последние годы в цикле работ группы сотрудников и аспирантов ОмГТУ (см.1 и ссылки к этой работе) получены прямым методом Ляпунова признаки экспоненциальной устойчивости для различных классов почти периодических уравнений с существенно ослабленным, по сравнению с общим случаем, условием на производную функции Ляпунова вдоль траекторий системы. Представляет теоретический и практический интерес получение аналогов этих результатов для исследования более сложного типа поведения решений - экспоненциальной дихотомии (э-дихотомия).
Цель работы - разработка варианта прямого метода Ляпунова с ослабленным условием на производную функции Ляпунова вдоль траекторий системы для исследования э-дихотомии решений трёх классов линейных систем с почти периодическими коэффициентами: обыкновенных дифференциальных, обыкновенных разностных, гиперболических с двумя независимыми неременными.
Методика исследований. Основные результаты диссертации получены с использованием методов теории дифференциальных уравнений, функционального анализа, теории почти периодических функций.
1 Добровольский, СМ. Прямой метод Ляпунова для почти периодической разностной системы на компакте / СМ. Добровольский, А.В. Рогозин// Сиб. матем. журн. - 2005. -Т. 46, #1.-С. 98-105.
Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты.
-
Разработан вариант прямого метода Ляпунова для исследования э-дихотомии решений системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с почти периодическими (п.п.) коэффициентами. Получен критерий э-дихотомии с ослабленным условием на производную функции Ляпунова вдоль траекторий системы.
-
Получен аналог этого результата для системы обыкновенных линейных разностных уравнений с п.п. коэффициентами.
-
Разработан вариант прямого метода Ляпунова для исследования э-дихотомии решений задачи Коши для гиперболической системы с двумя независимыми переменными с гладкими ограниченными коэффициентами. Получен достаточный признак э-дихотомии в Ьг-норме.
-
В случае п.п. по времени коэффициентов получен достаточный признак э-дихотомии с ослабленным по сравнению с общим случаем условием на производную функционала Ляпунова вдоль траекторий системы.
-
Предложен подход к построению класса индефинитных функционалов Ляпунова, отвечающих за свойство э-дихотомии.
Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты представляют собой дальнейшее развитие прямого метода Ляпунова для п.п. систем. Предложенные подходы к расчету на э-дихотомию могут быть использованы при исследовании асимптотического поведения динамических систем, встречающихся в задачах теории колебаний.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на конференциях: на международной по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (г. Суздаль, 2006, 2008), на IX международной Чстаев-ской "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" (г. Иркутск, 2007), на Российской "Математика в современном мире" (Новосибирск, 2007), на VI и VII международной научно-технической "Динамика
систем, механизмов и машин" (г. Омск, 2007, 2009), на VI международной практической "Повышение конкурентоспособности российской экономики в современных условиях: управленческие, финансовые, коммерческие аспекты" (Омск, 2008), на всероссийской "Математика в приложениях" (Новосибирск, 2009), на Российской молодежной научно-практической "Прикладная математика и фундаментальная информатика" (Омск, 2011).
Публикации автора. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]—[16]. Из совместных публикаций [1]—[15] в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие лично автору.
Работы [5], [8], [13]—[15] соответствуют списку ВАК РФ для кандидатских диссертаций.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, разделенных на параграфы, заключения и списка литературы из 116 наименований. В каждой главе и во введении использована своя нумерация параграфов, лемм, теорем и формул. Общий объем диссертации - 117 страниц.
