Содержание к диссертации
Введение
1.0. Введение
1.1. Метод двумерных систем сравнения при качественном исследовании неавтономных систем второго порядка . 75
1.2. Метод двумерных систем сравнения при качественном исследовании автономных и неавтономных многомерных систем . 94
1.3. Семейства вырожденных двумерных систем как системы сравнения
1.4. Метод двумерных систем сравнения при качественном исследовании дискретных динамических систем ЮО
Глава II. Критерии существования сложных структур траекторий конкретных динамических систем
2.0. Введение
2.1. Гомоклинические структуры неавтономных систем второго порядка
2.2. Бифуркации гомоклинических траекторий неавтономного кусочно-^линейного уравнения второго порядка 119
2.3. Гомоклинические траектории многомерной системы с медленно меняющейся переменной 126
2.4. Странный аттрактор двумерного разрывного ото бражения 132
Глава III. Качественное исследование конкретных автономных и неавтономных дифференциальных уравнений на цилиндре 140
3.0. Введение 140
3.1. Качественное исследование динамической системы на цилиндре 142
3.2. Качественные структуры для уравнения сверхпро водящего джозефсоновского контакта в автоном ном режиме 163
3.3. Качественные структуры для уравнения сверхпроводящего джозефсоновского контакта в неавтономном режиме . 191
Глава Качественные структуры и бифуркации конкретных систем дифференциальных уравнений порядка три и выше
4.0. Введение 191
4.1. Качественные структуры, порождаемые системой уравнений фазовой синхронизации в трехмерном фазовом пространстве 192
4.2. Качественное исследование многомерной фазовой системы 222
4.3. Бифуркации сепаратрис седла системы Лоренца
Глава V. Качественное исследование конкретных разностных уравнений (точечных отображений) 244
5.0. Введение 244
5.1. Качественное исследование отображения цилиндра из теории фазовой синхронизации 247 5.2. Бифуркации траекторий конкретного отображения окружности 258
5.3. Качественное исследование разностных уравне ний динамики цифровых систем фазовой синхрони зации 269
5.4. Исследование функционально-разностных уравнений статистической динамики цифровых систем
фазовой синхронизации 291
Приложение. Некоторые сведения из теории бифуркаций многомер ных динамических систем 305
Литература
- Метод двумерных систем сравнения при качественном исследовании автономных и неавтономных многомерных систем
- Гомоклинические структуры неавтономных систем второго порядка
- Качественные структуры для уравнения сверхпро водящего джозефсоновского контакта в автоном ном режиме
- Качественное исследование многомерной фазовой системы
Введение к работе
Актуальность проблемы. В работе рассматриваются проблемы, возникающие в двух важных направлениях: качественная теория конкретных многомерных динамических систем и нелинейная динамика систем синхронизации с автоподстройкой фазы колебаний и со сверхпроводящими джозефооновскими контактами. Актуальность развития качественной теории конкретных многомерных систем - задачи, отнесенной А.А.Андроновым к числу основных математических проблем теории нелинейных колебаний еще полвека назад, сильно возросла в последние годы, когда благодаря качественным методам стало возможным объяснение сложных нелинейных явленигь возникающих в различных областях естествознания. Актуальность задачи нелинейной динамики рассматриваемых систем синхронизации связана, во-первых, с их широким распространением в современной радиоэлектронике и, во-вторых, с тем, что уравнения, описывающие эти системы, встречаются в целом ряде других важных задач нелинейной теории колебаний.
Цель работы состоит в разработке метода двумерных систем сравнения для исследования глобального поведения траекторий и бифуркаций многомерных динамических систем, в создании критериев существования сложных структур с гомокпиническими кривыми и в развитии бифуркационной теории непрерывных, дискретных и цифровых систем фазовой синхронизации и систем со сверхпроводящими джозефсоновскими контактами.
Общие методы исследования. В работе широко используются методы качественной теории и теории бифуркаций динамических систем, развитые в работах А.Пуанкаре, А.МЛяпунова, Д.Биркгофа, А.А.Андронова, Л.С.Понтрягина, Е.А.Леонтович, А.Г.Манера, Н.Н. Баутина, Э.Хопфа, С.Смейла, Д.В.Аносова, В.U.Алексеева, В.И.Арнольда, Ю.И.Неймарка, В.А.Плисса, Я.Г.Синая, Л.П.Шильникова, А.Н.Шарковского и др. При исследовании частных видов уравнений используются первый и второй методы Ляпунова, методы систем сравнения, усреднения, малого параметра при старшей производной, интегральных многообразий, точечных отображений, критерии глобальной устойчивости и дихотомии, принципы кольца и тора и др. При исследовании дискретных систем синхронизации используется бифуркационная теория кольца и теория эндоморфизмов. При исследовании цифровых систем используется теория отображений перекладывания отрезков.
Новые научные результаты. В диссертации впервые получены следующие результаты:
- разработан метод двумерных систем сравнения для исследования нескольких классов многомерных динамических систем, позволяющий определять глобальное поведение траекторий и бифуркации интегральных многообразий, петель сепаратрис и гомоклиничес-ких траекторий, - предложены критерии существования I) грубых гомоклинических траекторий системы с медленно вращающейся фазой; 2) сохраняющейся гомоклинической структуры периодически неавтономной системы второго порядка; 3) странного аттрактора разрывного отображения плоскости;
- определены качественные структуры и бифуркации I) гладких, кусочно-гладких и разрывных автономных и неавтономных систем на цилиндре; 2) многомерных систем с цилиндрическим фазовым пространством; 3) гладких, кусочно-гладких и разрывных отображений цилиндра и окружности; 4) системы Лоренца;
- для перечисленных систем
1) доказано существование а) поверхностей коразмерности I, ,соответствзгщих бифуркациям периодических и гомоклинических ,траекторий, петель сепаратрис седловых СОСТОЯНИЙ равновесия;
б) недостижимых бифуркационных пленок и бесконечных последовательностей бифуркаций; в) нетривиальных предельных множеств со счетным числом периодических движений;
2) получены достаточные условия существования различных
глобальных качественных структур, а при некоторых ограничениях для систем размерности п г 2 даны разбиения цилиндрического
фазового пространства на траектории и пространства параметров
на области, соответствующие различным качественным структурам;
3) определены условия существования и отсутствия периодических и гомоклинических траекторий;
4) даны оценки расположения бифуркационных множеств в пространстве параметров и расположения интегральных многообразий в фазовом пространстве;
5) установлены существование нормированных инвариантных мер разрывных отображений окружности и цилиндра и их связь с
К ним относятся предположения, которые редко удается избежать даже в двумерном случае, например, о рассмотрении циклов по mod2, об однозначности бифуркационных поверхностей и т.п. вероятностными мерами для соответствующих статистических процессов.
Практическое значение работы» Несколько научно-исследовательских разработок, выполненных на основе результатов диссертации, внедрены на предприятиях с общин экономическим эффектом более 250 тыс. руб.
Результаты работы могут использоваться при расчете непрерывных, дискретных и цифровых систем фазовой синхронизации и систем со сверхпроводящими джозефооновскими контактами, распространенных в современных радиоэлектронных устройствах.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались автором на IX Международной конференции по нелинейным колебаниям (Киев, 1981); Всесоюзном симпозиуме с международным участием "Синеpreтика«83й (Пущино, 1983); Всесоюзных конференциях по качественной теории дифференциальных уравнений (Свердловск, Рязань, 1971, Самарканд, 1973, Рязань, 1976); I, П, Ш Научно-технических семинарах по системам фазовой синхронизации (Горький, 1973, 1975, 1977); І, П Всесоюзных конференциях по проблемам повышения эффективности и качества систем синхронизации (Горький, 1979, Каунас, 1982); I Всесоюзной конференции -"Теория и техника сложных сигналов" (Минск, 1979)симпозиуме "Помехоустойчивость и эффективность радиотехнических систем" (Москва, 1978); Всесоюзном семинаре "Автостохастические явления и системы" (Горький, 1980); П Всесоюзной школе по методу функций Ляпунова и его приложениям (Иркутск, 1982); итоговых научных конференциях Горьковского госуниверситета (Горький, 1972 -1983), семинарах Московского, Ленинградского, Горьковского, Датского технического университетов и института математики АН ЗрССР.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из Введения, пяти глав, объединяющих 18 параграфов и Приложения. Диссертация занимает 338 страниц машинописного текста, 48 рисунков. Список литературы с 227 наименованиями содержит 22 страницы, приложение - II страниц.
Метод двумерных систем сравнения при качественном исследовании автономных и неавтономных многомерных систем
На случай системы (2.8) распространяются следствия I.2.I и 1.2.2, а также замечания о единственности ограниченных траекторий (пункт 4) и бифуркациях (пункт б).
Топологический критерий абсолютной УСТОЙЧИВОСТИ. Пусть функция Ф(іД) удовлетворяет условию Фкиьо, ад/1 г,1 \иг сало означающему, что график функции Т- -Ф(і,Т) расположен в "угле", а система (2.8) имеет единственное состояние равновесия и\ U , и , U ) В этом случае ставится задача определения условий абсолютной устойчивости системы (2.8), которые обычно записываются [90J в виде частотных критериев. Приведем критерий, с помощью которого абсолютная устойчивость системы (2.8), (2.II) устанавливается по однопараметрическому семейству фазовых кар-тин системы сравнения А + . Введем функцию фо (l,t) вида Ф(їЛ , IIKJJ Ф/х.П (2.12) е(0,оо) где В - некоторое число, В і В силу (2.II) эта функция ограничена: (2.13) , диссипатив-. Систе а система (2.8), где функция Ф заменена на Ф Р на по и с областью притяжения U -ilUl! L (6) ма сравнения Д для системы (2.8), (2.II) при Ф=Фр, имеет - 93 устойчивый предельный цикл L + » ограничивающий на плоскости ( Т » 1 ) область притяжения &+ . Обозначим амплитуду этого цикла по і через I . Очевидно, =lclLi) .
Теорема 1.2.4. (Критерий). Если при любых В и имеет место неравенство it (L(ji)l ji, сало то система (2.8), (2.II) абсолютно устойчива. Доказательство. По теореме 1.2.3 система (2.8), (2.II) при Ф = Ф имеет в и притягивающую область Gr+ , ограничен ную циклом [ , содержащую ограниченную траекторию1 3 + = 0 &
Так как по условию (2.14) [ є { ! ja , область {j с (х) і іЩ ll jb , eR\ е & } при любых р 0 . Тогда, учитывая, что в силу (2.12) Фа = Ф при Х & получаем, что при любых В 0 область и является областью притяжения ИСХОДНОЙ системы (2.8), (2.II). Но так, как при В- D согласно (2.13) Фа 0 и, следовательно, L () —0 , область (j при $- и сжимается в точку 0 . Это и означает, что система (2.8), (2.II) абсолютно устойчива. Теорема доказана. 7 2 производные которых в силу системы А имеют вид Замечание. Для проверки условия (2.14) требуются оценки амплитуды X. цикла С и константы L(B) . Покажем, как эти оценки можно получить. I) Рассмотрим функции Ляпунова вида Ф (S)cL5 V - 94 Тогда, очевидно, 2) При о(.= 0 оценка L(6) получается с помощью квадратичной формы по переменным іг , а при РС 0 - по переменным а . Другой способ состоит в оценке интеграла t 4 ,1,,,0=1 l A(t"T фй (1W.0 dT, (2.15) -оо который, в силу гурвицевости матрицы Д , т.е. оценки II Бір At II N ЄІр (-it) , t 0 , и согласно (2.13) ограниченности то , удовлетворяет неравенству Iult,T0,U0) N -JJ= l[p). C2.I6)
Если в условии (2.II) заменить функцию т (о: ,t ) на --ф (l,t) » а под Tt(t) понимать максимальное значение а: для седловой области Q, , то неравенство (2.14) аналогично теореме І.2Л будет обеспечивать дихотомичность системы (2.8), (2.II).
СЗемейства вырожденных двумерных систем как системы сравнения. I. Введение. Рассматривается трехмерная система вида і= у О іг), tf-Vtop), (з.і) где (І, у., U) є R , функции , а также - 95 ее обобщение -система (2.1). Исследование системы (3.1) проводится с помощью вырожденной системы [ІЗ, 63, 73, 48, 35] = У = СІ (М. 1 , = 0. С3.2) где ty - константа (в случае (2.1) ty -ПОСТОЯННЫЙ вектор). Устанавливаются условия, при которых интегральная поверхность системы (3.2) служит поверхностью без контакта для системы (3.1). Указывается способ построения областей и , \j » и » и » ана логичных седловой и притягивающей областям и сепаратрисным руслам из 1.2, с помощью интегральных поверхностей систем вида (3.2). Рассматривается также трехмерная система вида (3.1) при V = СО = COast , Q (X, у,Я/)-Q (T,U ЯІ+2її) , эквивалентная неавтономной системе (Н), 2.1, в периодическом по t случае . 2. Вырожденная система как система сравнения. Рассмотрим; автономную систему вида (2.1), где X , li , Q - \\- векторы, ЯГ» V - га- векторы, Q , VG [К ( к г О . Компоненты вектора a в вырожденной системе (3.2) - константы.
Гомоклинические структуры неавтономных систем второго порядка
Если система (4.8) имеет грубое состояние равновесия, корни характеристического уравнения для которого есть Я і 1=1,2,... , d , ( RB Я 0 )» то при достаточно малых JU отображение Т имеет грубую неподвижную точку с мультипликаторами 5р1 + 1хЯ , 1 = 1,2,... , Л, , SjJ 1. . - Ill 2) Если система (4.8) имеет грубый предельный цикл 3 п » то при достаточно малых JU отображение Т имеет одномерную замкнутую инвариантную кривую J , близкую к циклу 1 и имеющую тот же характер устойчивости, что и цикл 3Q ; 3) Если система (4.8) является системой Морса-Смеила, и, следовательно, структурно устойчива, то сепаратрисные инвариантные многообразия седловых неподвижных точек отображения Т имеют такое же взаимное расположение в (j , как и сепаратрисные интегральные многообразия соответствующих седловых СОСТОЯНИЙ равновесия системы (4.8).
Нетрудно заметить, что утверждения теоремы 1.4.2 полностью аналогичны известным результатам [l5, 32, 144, 153] о связи качественных картин грубой автономной системы (4.8) с качественными картинами отображения последования за период по траекториям периодически неавтономной системы, близкой к (4.8), вида а также результатам [78, 137] о соответствии решений усредненной системы вида X=JllXlX) -1) и ИСХОДНОЙ, периодически неавтономной системы частного вида X=JllX (X)+Jll U/И , С -ID эквивалентных, с точностью до замены времени (lit -+ t » системам (4.8), (4.9) соответственное В связи с этим возникает Задача. Найти функцию u(x,t) периода 1 по f такую, чтобы отображение сдвига по траекториям системы (4.II) за время Т= 1 (отображение по след ования) совпадало с отображением
Такая задача, по-видимому, имеет решение (например, ее можно изучать методом последовательных приближений [134] ). Если предположить, что ее решение есть конструктивный алгоритм нахождения функции о (it) , то в качестве следствия будет вытекать, что а) если система (4.8) является системой Морса-Смей-ла, то в пространстве отображений всюду плотны [l5j структурно устойчивые диффеоморфизмы Т ; б) если система (4.8) двумерна и имеет петлю сепаратрисы, то можно построить функцию В.К.Мельникова [l34] , нули которой определят гомоклинические траектории отображения Т .
В последние годы в литературе уделяется большое внимание динамическим системам, содержащим бесконечное число периодических движений. .
Определение 0.1. Компоненту множества неблуждающих траек торий динамической системы (непрерывной или дискретной), содержащей счетное число периодических траекторий, будем называть сложной структурой.
Сложные структуры, например, с гомоклинической траекторией - траекторией, двоякоасимптотической к седловому периодическому движению, известны давно (А.Пуанкаре, Д.Биркгоф, см. 148 ). В 40-х годах М.Картрайт и Д.Литтвуд обнаружили сложную структуру в конкретной системе - уравнении Ван-дер-Поля с внешней силой (см. . 153 ). Интерес к сложным структурам возрос после примера ССмейла (1961 г.) - знаменитой подковы Смейла, показавшего, что сложные структуры могут быть структурно устойчивы, т.е. могут реализовываться в конкретных системах.
В дальнейшем сложные структуры изучались в задачах об отображении отрезка [190-192I , о структуре окрестности петли сепаратрисы седло-фокуса [201-204] и гомоклинической кривой 134, 145, 198, 174, 9 J , об инвариантных множествах дис-сипативных систем [154, 17, 18 , в Y - системах Аносова -8, 92, 149 J , в системах со странными аттракторами 157, 159, 16, 131J и др.. Из указанных работ следует целый ряд критериев существования сложных структур: функция В.К.Мельникова [l34, I99] , порядок А.Н.Шарковского 190 , принцип кольца [I6-I8J , существование грубой гомоклинической кривой, петли сепаратрисы седло-фокуса и др.. Эти критерии будут использоваться в последующих главах.
В настоящей главе рассматриваются новые критерии существования гомоклинических кривых в системах с непрерывным временем ( 2.1-2.3) и устанавливается существование странного аттрактора двумерного разрывного отображения ( 2.4), Конкретный вид рассматриваемых систем для краткости приводится непосредственно в 2.1-2.4. Следует отметить, что к задаче о сложных структурах примыкают также результаты исследования конкретных систем из приложений, приводимые в последующих главах. Наиболее отличительным из них является пример притягивающего множества положительной меры разрывного отображения плоскости ( 5.3).
Качественные структуры для уравнения сверхпро водящего джозефсоновского контакта в автоном ном режиме
Большинство недавних теоретических работ, связанных с применением сверхпроводящих контактов Джозефсона основаны на резистивно-емкостной модели контакта по той причине, что эта модель находится в хорошем соответствии с большим множеством экспериментальных результатов. Модель состоит из следующих параллельно соединенных элементов: I) идеальный джозефсоновский элемент с током ]_л =-[Q S T-Ц5 » где 10 -критический ток контакта, а П) - разность фаз макроскопических волновых функций на обеих сторонах контакта; 2) линейная проводимость Q с током I - и V ї 3) элемент с то Обширная библиография по этому вопросу содержится в монографиях [126, 178J и др. - 164 :„= с dV/df .р3 нием V на контакте соотношением ком, зависящим от фазы, вида I« = и COS ip V ; 4) ток сме щения I , - С cLY/cL"t . Разность фаз связана с напряже l = 2eV/h, (2-і) clt содержащем только фундаментальные константы. Если к контакту подключен внешний источник тока, то этот ток должен быть равен сумме токов 1, -т- 1 ц , и если внешний ток состоит из постоянной составляющей - - cLc и переменной с частотой. Co/Zst и амплитудой lnr - » то поведение системы при учете (2.1) описывается нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка вида TF Ф (1+c:os +I0sm Idc+Ias,aUV. (г.г)
Уравнение (2.2) обсуждалось во многих работах как в отсутствии, так и при наличии переменной составляющей тока возбуж дения 209, 211, 215, 217, 220 . Однако, полная, качествен ная картина поведения контакта в рамках.модели (2.2), особенно в случае .Ф Q .. , а также связь (2.2) с моделью системы фазовой синхронизации.до появления работ [56J отсутствовала. Ниже на конкретном примере этой интересной физической задачи иллюстрируются результаты предыдущего параграфа, дается описание вольт-амперной характеристики (ВАХ) контакта при I.. = и и приводятся, приближенные количественные данные. При замене времени и параметров по формулам: - 165 уравнение (2.2) преобразуется к системе вида ВАХ контакта есть зависимость тока У от среднего по времени І напряяшия: V . Согласно (2,1) V пропор » ционально 1 , и, следовательно, среднее напряжение определяется средним значением решения (іР (Л)ІРо U0 0 1[\ Ц (t, Lf0 ф 0 , j)) Уравнения (2.4) так, что (Коэффициент CJQ появился при замене времени). Решения (2.4) можно представить в виде где LL C !) определяется стационарным двизшием, к которому притягивается траектория с начальными условиями ( LPQ U 0 ), a Ш-, ( ) характеризует процесс установления и поэтому Bum. 11. (t j ) = 0 , Так как 1 ( ) =0, формула среднего напряжения преобразуется к виду v = f istaM)to,fK С2 б) При оС = 0 согласно 1,1 стационарные движения системы (2.4) - 166 есть состояния равновесия и предельные циклы 0 и tp -ти па. В результате при = О ветви ВАХ определяются формулой (2.6), где Ц + ( ) либо ноль для состояний равновесия и 0-циклов, либо среднее периодической функции для устой чивого, ф -цикла. . .
2. Разбиения. Согласно теореме 3.1.3 разбиение пространства параметрів ( г , В = Я ,Є = Q. Я )в сечении .= COnst на области, соответствующие различным картинам разбиения цилиндра на траектории, при 1 определяются кривой -петли f = {р і Є-Jb ) и прямой слияния состояний равновесия У = I, при I - дополнительно кривой полу устойчив ого Ц -цикла У = Уи ( В , Є, В ), а при - I - дополнительно кривыми \ T[S $ Р О» (Т = (Гг ) и = К ь ( ) смены устойчивости, 0-петли и п) -петли соответственно. Качественный вид.это-, го разбиения в плоскости = cori.SU представлен на рис.3.2.1: рисунок I - для 1 , рис. 2 - для 1 и рис. 3 - для . 3 (при - 3 t \ кривые Уг и У 3 сечений = С0П.5Х не дают, т.к. В 0 лежит на, бесконечности). Пронумерованным областям параметров рис.,3.2.1 соответствуют фазовые картины, изображенные на рис. 3.1.6 с той же нумерацией.
Качественное исследование многомерной фазовой системы
Таким образом, с увеличением частоты у с размеры области существования гомоклинической структуры: 1 У У,,4" уменьшаются (см. (3.20) и (3.23)). Размеры этой области при средних значениях з могут быть оценены с помощью результатов 2.1.
Теперь дадим качественное описание вольт-амперных характеристик джозефсоновского контакта при средних и больших значениях параметра a
1). При средних значениях В с увеличением параметра 7 (постоянной составляющей тока) т нуля (см. рис. 3.3.1) траектории системы (3.2) попадают в окрестность устойчивого ко лебательного движения, т.е. перемещение изображающей точки про исходит по нулевой ветви ВАХ. Изображающая точка остается на этой ветви до значения X = X » ПРИ котором происходит перескок (в области (5)) на инвариантный тор и дальнейшее поведение ВАХ определяется числом вращения на этом торе. При изменении У в обратную сторону сначала изображающая точка остается по-прежнему на ветви ВАХ, определяемой числом вращения на торе, затем при прохождении области (3) - на ветви ВАХ, определяемой либо устойчивым периодическим, либо сложным рекуррентным движением в кольце с гомоклинической структурой. При попадании в область (2), при Y- % появляется вероятность скачка на нулевую ветвь. При УСЕ {У ) У? ) траектории системы (3.2) ведут себя сложным образом. Одни из них могут попадать в окрестность вращательных сложных устойчивых периодических движений, другие "запутываются" в гиперболичес ком множестве, а третьи могут "просочиться" и попасть в окрест ность устойчивого колебательного движения. Так что в области (2), во-первых, так же, как и в области (3) может наблюдаться эффект "рассеивания вращения" за счет малости зон устойчивости (по параметру У ) периодических движений. Во-вторых, ги перболическая структура в окрестности гомоклинических траекто рий может порождать случайность распределения асимптотических траекторий по различным притягивающим множествам, т.е. приво дить к возвращению изображающей точки БАХ на нулевую ветвь при разных значениях параметра Г случайно в зависимости от испытания. Качественный вид БАХ в этом случае изображен на рис. 3.3.б (гистерезисы соответствуют перекрытию зон устойчивости различных периодических движений). Заметим, что эксперименталь ное построение БАХ, проведенное в [56] для туннельного кон такта Sri-jJilU - Sn, при температуре 3, 69 К и часто те возбуждения 9,9 Ггц подтвердили все описанные выше особен ности ВАХ.
2). При больших Значениях Р поведение ВАХ похоже на описанное выше для средних значений Р со следующими особенностями. Во-первых, срыв с нулевой ветви с V - U d может произойти раньше, чем /Г достигнет значения Ъ a , поскольку в областях (0, 20, 30, 40) существует вероятность перехода к устойчивым вращательным движениям из-за наличия сложной структуры траекторий. Значение У , соответствующее срыву с нулевой ветви может случайно зависеть от испытания. Во-вторых, возвращение на нулевую ветвь при уменьшении У может произойти при У У+ также, как при средних значениях ft , но с сохранением вероятности обратного скачка на ненулевые ветви в областях (0 и 20). Наконец, существование различных колебательных движений с С( =0 и р I не оказывает влияния на нулевую ветвь БАХ, но изменяет частотный спектр колебаний фазы контакта.
