Введение к работе
Актуальность темы исследования. Начиная со второй половины прошлого века интенсивно развивается теория устойчивости для уравнений с частными производными.
Основы теории устойчивости для уравнений параболического типа построены в работах Т. И. Зеленяка, В. С. Белоносова, М. М. Лаврентьева (мл.), М. П. Вишневского, получены приложения этих результатов к задачам химической кинетики. В работах П. А. Кучмента и А. И. Мюгославского распространена теория мультипликаторов Флоке-Ляпунова на линейные уравнения параболического типа с периодическими коэффициентами.
Первые результаты по теории устойчивости для уравнений гиперболического типа получены в работах М. А. Рутмана, Р. К. Романовского [1] - [4], где доказаны спектральные признаки устойчивости и дихотомии решений задач Гурса и Коши для подклассов гиперболических систем с постоянными и медленно меняющимися коэффициентами. В работах Р. К. Романовского [5] -[7], исследовано асимптотическое поведение — устойчивость, дихотомия, экспоненциальная расщепляемость — решений задачи Коши для гиперболических систем первого порядка с двумя независимыми переменными с гладкими коэффициентами на основе свойств фундаментальной матрицы системы. В частности в [7] получен признак устойчивости решений задачи Коши для гиперболической системы с периодическими по времени коэффициентами в терминах спектра оператора монодромии, в пространственно-однородном случае вычислены резольвента и спектр этого оператора. В работе Н. А. Елтышевой [8] установлен спектральный признак устойчивости решений смешанной задачи для автономных систем этого класса. В последние годы в работах Г. Крейсса, А. Ширикяна, Л. Р. Волевича, С. Г. Гиндикина, М.И. Вишика и других авторов получен ряд результатов по анализу асимптотического поведения различных классов гиперболических уравнений с многими пространственными переменными. В книге К. Чиконе и Ю. Латушкина [9] исследуется асимптотическое поведение решений задачи Коши для линейных эволюционных уравнений в банаховом и гильбертовом пространстве методами теории полугрупп.
В указанных работах по теории устойчивости для гиперболических систем
исследования проводились главным образом на основе первого метода Ляпунова. Представляет интерес распространение второго (прямого) метода Ляпунова на этот класс динамических систем. Особый интерес для приложений к теории колебаний, теории автоматического управления представляет случай систем, параметры которых периодически или почти периодически зависят от времени.
Первые результаты по прямому методу Ляпунова для гиперболических уравнений получены в последние годы в работах Е. В. Воробьевой, Р. К. Романовского и И. Д. Макаровой. Диссертационная работа является продолжением этих исследований.
Цель диссертационной работы - дальнейшее развитие теории устойчивости для гиперболических систем с двумя независимыми переменными на основе прямого метода Ляпунова. Эта задача включает в себя построение класса функционалов Ляпунова, в терминах которых формулируются признаки устойчивости, и разработку специального варианта прямого метода Ляпунова для систем с периодическими и почти периодическими по времени коэффициентами с ослабленным условием на производную функционала Ляпунова вдоль траекторий системы.
Из сказанного следует актуальность и новизна темы диссертации.
Общая методика исследования. В работе используется аппарат функционального анализа, теории гиперболических уравнений, теории почти периодических функций.
Научная новизна. В работе получены следующие основные научные результаты.
Разработан вариант прямого метода Ляпунова для динамических систем, описываемых краевыми задачами для гиперболических систем с двумя независимыми переменными с гладкими коэффициентами. На этом пути получены достаточные признаки экспоненциальной устойчивости в Ь2-норме решений задачи Коши и смешанной задачи в терминах матричных неравенств.
Эффективно построен класс решений основного матричного неравенства, отвечающего за устойчивость.
В случае систем с периодическими по времени коэффициентами получе-
ны признаки экспоненциальной устойчивости задачи Коши и смешанной задачи в Ь2-норме с ослабленным условием на производную функционала Ляпунова вдоль траекторий системы.
4. Эти результаты распространены на системы с почти периодическими по времени коэффициентами.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты представляют собой дальнейшее развитие метода функционалов Ляпунова для гиперболических систем с двумя независимыми переменными. Предложенные подходы к расчету на устойчивость могут быть использованы в конкретных задачах теории колебаний, теории автоматического управления.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на международной конференции по Дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2006г.), на международной конференции "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения" (Новосибирск, 2007г.), на IX Международной Четаевской конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" (Иркутск, 2007г.).
Публикации автора. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [12] - [18].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 113 наименований, включая работы автора. Объем диссертации составляет 95 страниц машинописного текста.
