Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Вспомогательные понятия и утверждения 15
3. Ляпуновские преобразования 15
4. Формула для мажоранты показателя Ляпунова 20
5. Классы Бэра и лебеговские множества функционалов 34
6. Верхнепредельные функционалы 37
Глава II. Эффективные множества возмущений 41
7. Равнокусочно постоянные возмущения для кусочно постоянных уравнений 41
8. Равнокусочно липшицевые возмущения 47
9. Кусочно постоянные возмущения 54
Глава III. Классификация Бэра некоторых показателей 57
10. Миноранты верхнепредельных функционалов 57
11. Нижние показатели Изобова 59
Список литературы 64
- Формула для мажоранты показателя Ляпунова
- Верхнепредельные функционалы
- Равнокусочно липшицевые возмущения
- Нижние показатели Изобова
Введение к работе
1. Формулировки основных результатов
Для заданного натурального числа п рассмотрим множество Л4п линейных уравнений вида x = A(t)x, xeRn, teR+, (1.1) с кусочно непрерывными и ограниченными на полупрямой R+ оператор-функциями A:R+ ->-EndRn.
В дальнейшем, пользуясь вольностью речи, будем отождествлять уравнение (1.1) с оператор-функцией А, фигурирующей в записи этого уравнения.
Множество Л4п наделим структурой линейного пространства с естественными для оператор-функций операциями сложения и умножения на действительное число.
Определение 1.1. Будем обозначать через Л4 топологическое пространство, получаемое из Л4п введением в нем равномерной топологии при помощи нормы
И1= ^р |A(t)|, (1.2) где обозначено \A(t)\= sup \A{t)x\, (1.3)
И = уя?+ .-- + ^2, х = (хи...,хп). (1.4)
Через ЛЛсп будем обозначать топологическое пространство, получаемое из М.п введением в нем компактно открытой топологии, задаваемой счетным набором полунорм Pk(A)= sup \A(t)\, keN. (1.5) te[k-l,k]
Для всякого уравнения А Є ЛЛп условимся обозначать через Хд(Ь, г), где t, т Є R+, его оператор Кошщ т.е. линейный оператор, действующий из Rn в Rn и для каждого решения х уравнения А удовлетворяющий условию
Ха{і,т)х(т) = х(і). (1.6)
Существование и единственность такого оператора доказана в [17, с. 72]. Определение 1.2 [24, 27]. Показателями Ляпунов а уравнения (1.1) называются числа Xi(A)= inf Hm iln|XA|F(*,0)|, (1.7) где і = l,...,n, /; — множество г-мерных подпространств пространства Rn, a X^|f — сужение оператора Коши уравнения (1-1) на подпространство F С Rn.
Из формулы (1.7) следует, что показатели Ляпунова занумерованы в порядке нестрогого возрастания:
Х1(А)<\2(А)<...<Хп(А).
Число Xi(A) назовем младшим показателем уравнения Л, число Хп(А) — старшим показателем уравнения А, а числа А;(А), і = 2,...,п — 1, — промежуточными показателями.
Показатели Ляпунова названы по имени русского ученого А. М. Ляпунова, который ввел их [24] в связи с изучением устойчивости по первому приближению. Так, если старший показатель Ляпунова уравнения А Є Мп отрицателен, то нулевое решение этого уравнения асимтотиче-ски устойчиво, а если положителен — то неустойчиво. Аналогично, г'-й показатель характеризует условную устойчивость относительно г'-мер-ного подпространства.
Показатели Ляпунова уравнений из пространства М.п будем рассматривать как функционалы, определенные на этом пространстве:
А;: М-п —> R, і = 1,..., п.
Из результатов работы О. Перрона [48] следует, что старший показатель Ляпунова, рассматриваемый как функционал на пространстве Л4, имеет точки разрыва. Этот факт делает актуальными два направления исследований в теории характеристических показателей. Одно состоит в изучении устойчивости показателей Ляпунова при различных возмущениях коэффициентов уравнения, для чего рассматриваются соответствующие этим возмущениям нижние и верхние границы подвижности показателей Ляпунова. Другое направление, начало которому положил В. М. Миллионщиков [27], состоит в использовании классификации Бэра разрывных функций [10] для выяснения степени разрывности функционалов, возникающих в теории характеристических показателей.
Определение 1.3 [23, с. 401]. Пусть М — топологическое пространство. Для каждого а Є N0 = NU{0} определим класс Фа функционалов, действующих из Л4 в R, называемый а-м классом Бэра, следующим образом: класс Фо состоит из непрерывных на Л4 функционалов; класс Фа, а > 0, состоит из функционалов ip, допускающих представление вида <р(А)= lim ірт(А), АєМ, га—>- + оо где каждый из функционалов (рт, т Є N, принадлежит какому-либо классу Ф^, < а.
Скажем, что функционал <р: М. —) R принадлежит в точности а-му классу Бэра, если для некоторого а Є N выполняются условия: <^єФа и $^.
Класс Бэра произвольного функционала на пространстве ЛЛсп тесно связан с классом Бэра того же функционала, рассматриваемого на семействе уравнений, зависящих от параметра. Более точно, если задано уравнение вида x = A(t,fj)x, х Є Rn, /ie[o,b]cR, t Є R+, с непрерывной и ограниченной оператор-функцией A: R+ х [а, Ь] —> —> End Rn, то сужение функционала <р: М.сп —> R на это семейство можно рассматривать как функцию ф параметра /і, задаваемую формулой ф(ії) = (р(А(;Ц)), /іЄ[й,6].
И если функционал (р принадлежит некоторому классу Бэра, то функция ф принадлежит тому же классу Бэра (но, возможно, и меньшему).
Определение 1.4. Для всякого функционала <р:Ліп ~^ R обозначим через <р мТр максимальную полунепрерывную снизу миноранту и, соответственно, минимальную полунепрерывную сверху мажоранту этого функционала в смысле равномерной топологии, т. е. функционалы, определяемые в каждой точке А Є Л4п равенствами (р(А) = \їт inf (р(А + С) и ЩА) = lim sup р(А + С). — є-Ю||С||< є-*\\С\\<є
Для каждого г = 1,..., п миноранта Х{(А) и мажоранта Аг-(А) осуществляют соответственно точные нижнюю и верхнюю границы подвижности показателя Ляпунова А;(А) уравнения Л Є Л4П при равномерно малых возмущениях.
Величины А-(Л) и Аг(А), г = 1,...,п, отвечают за стабилизируе-мость и дестабилизируемость уравнения А Є М.п- Например, если для уравнения А Є Л4п миноранта Хп(А) неположительна, то оно стабилизируемо равномерно малыми возмущениями, т. е. в сколь угодно малой (в смысле равномерной топологии) окрестности этого уравнения существует уравнение с устойчивым нулевым решением. Если же миноранта АП(Л) положительна, то уравнение А не стабилизируемо такими возмущениями. С другой стороны, если величина \п{А) неотрицательна, то уравнение А дестабилизируемо равномерно малыми возмущениями, а если мажоранта Хп(А) отрицательна — то не дестабилизируемо. Аналогичную роль, но по отношению к условной устойчивости уравнения А Є Л4п, играют величины Аг-(А) и Аг-(Л), г = 1,..., п — 1.
В докладе В. М. Миллионщикова [30] была поставлена задача о точном классе Бэра, которому принадлежит каждый из функционалов Аг-, і = 1,...,71, на пространстве Мп (заметим [10, с. 77-78], что на пространстве Л4" для любого функционала <р: М.п — R функционалы ipwTp принадлежат первому классу Бэра). А. Н. Ветохиным [11] установлено, что при п > 1 функционалы Лг-, г = 1,..., п, не принадлежат второму классу Бэра на пространстве М.сп (при п = 1 функционал Лі принадлежит второму классу Бэра на .Mf). Из результатов Р. Э. Винограда [15] и В. М. Миллионщикова [29] вытекает принадлежность миноранты Хг младшего показателя Ляпунова для произвольного п третьему классу Бэра. И. Н. Сергеевым [42, 43] была установлена принадлежность величин Ап при п = 3 и Л2 для произвольного п третьему классу Бэра на А4, исходя из полученных выражений для значений этих величин в точке А через семейство операторов Коши уравнения А. В. В. Быковым [3] доказано, что миноранта Лп старшего показателя Ляпунова для произвольного п принадлежит третьему классу Бэра. В диссертации установлена следующая (здесь и ниже в скобках после номера теоремы указаны соответствующие утверждения, изложенные в тексте диссертации)
Теорема I (следствие 10.3). Для любых п Є N и і — 1,..., п функционал Аг- принадлежит третьему классу Бэра на пространстве ЛЛсп.
Таким образом, с учетом результата А.Н.Ветохина [11], получаем, что при п > 1 миноранты Лг-, г = 1,...,п, принадлежат в точности третьему классу Бэра на пространстве М.сп. Теорема I содержится в работах [7] и [35] (см. также [34]).
Для любого і = 1,...,п миноранта (Лг)(Л) осуществляет нижнюю границу подвижности мажоранты Лг-(А) уравнения А Є Л4п при равномерно малых возмущениях.
О. Г. Илларионовой [21] получено выражение для величины (Лп) через семейство операторов Коши уравнения А, содержащее три предельных перехода, однако функционалы семейства, от которого берутся эти предельные переходы, не являются непрерывными (и даже полунепрерывными) на М,сп. В работе [13] А. Н. Ветохиным установлено, что функционал (Лп) для произвольного п > 1 не принадлежит второму классу Бэра на пространстве 7И^, а В. В. Быковым [5] доказана принадлежность ве- личины (Ап) для всякого п > 1 третьему классу Бэра на пространстве М-п- Аналогичный факт для остальных показателей (Аг), г = 1,..., п — 1, устанавливает
Теорема II (следствие 10.4). Для любых п N иг = 1,...,тг функционал (Лг) принадлежит третьему классу Бэра на пространстве Мс.
Теорема II опубликована в работе [39].
Определение 1.5 [20]. Нижним і-м а -показателем Изобова уравнения (1.1) называется величина
АІ(А)= inf А,-(А + Я), где г' = 1,...,п, c>0, аст — множество оператор-функций В, каждая из которых для какой-нибудь константы С > 0 удовлетворяет условию \B(t)\
Нижние сг-показатели Изобова отвечают за стабилизируемость и не-стабилизируемость уравнения экспоненциально убывающими (с фиксированным показателем — а) возмущениями. Так, если для уравнения А Є Мп величина Д (А) отрицательна, то это уравнение стабилизируемо возмущениями В Є а, а если положительна — то не стабилизируемо.
В.В.Быковым [4] установлено, что функционал Д для произвольного п принадлежит второму классу Бэра на М.сп. Вопрос для остальных показателей Ага, г = 1,..., п — 1, решает
Теорема III (следствие 11.2). Для любых п Є N, г = 1,... , п и сг > 0 функционал Ага принадлежит второму классу Бэра на пространстве М,сп.
Теорема III напечатана в работе [36].
Определение 1.6 [20]. Нижним і-м показателем Изобова уравнения (1.1) называется величина
Аг(А) = Ы\{(А + В), где і = 1,. .., n, a — множество оператор-функций J5, каждая из которых для каких-нибудь С > О и а > 0 удовлетворяет условию \B(t)\
Нижние показатели Изобова, подобно нижним сг-показателям Изобова, отвечают за стабилизируемость и нестабилизируемость уравнения экспоненциально убывающими (но уже с произвольным показателем — а) возмущениями.
В.В.Быковым [3] доказано, что функционал Ап для произвольного п принадлежит второму классу Бэра на М.сп. Аналогичный результат справедлив и для остальных показателей Аг,г = 1,...,п — 1.
Теорема IV (следствие 11.5). Для любых п Є N и і = 1,..., п функционал Аг принадлежит второму классу Бэра на пространстве Мс.
Из результата [12] А. И. Ветохина следует, что нижние ст-показатели Изобова и нижние показатели Изобова не принадлежат первому классу Бэра на М.сп (и даже на Ad при п > 1). Таким образом, с учетом теорем III и IV, получаем, что при п > 1 нижние сг-показатели Изобова и нижние показатели Изобова принадлежат в точности второму классу Бэра на пространстве М.сп-
Определение 1.7. Пусть М. — топологическое пространство. Для каждого а Є N0 обозначим через Ф^г и Ф^ир классы функционалов, действующих из М. в R, получаемые следующим образом: класс Ф{ состоит из функционалов ср, представимых в виде ip(A) = inf (рт(А), А є М, а класс Ф^ир — из функционалов ср, представимых в виде р(А) = sup <рт(А), АеМ, где каждый из функционалов <рт, т Є N, принадлежит какому-либо классу Ф^, < а.
Для каждого а Є No классы Ф1^ и Ф^ир, введенные в определении 1.7, являются промежуточными между классами Бэра Фа и Фа+і в следующем смысле:
Фа С фг С Ф«+і, Фа С Ф8аир С Ф«+1, Фа = Ф1^ П Ф8аир.
Такая уточненная классификация рассматривалась ранее для показателей Ляпунова Аг-, і = 1,..., п. Из результата А.Н. Ветохина [14] вытекает, что для любого п>1иг' = 1,...,п показатель Ляпунова Аг-принадлежит в точности классу Ф11ПҐ на пространстве Л4-
Формулируемые ниже теоремы уточняют результаты, полученные в теоремах I—IV.
Теорема V (следствие 10.1). Для любых п Є N и і = 1,..., п функционал Аг- принадлежит классу Ф^р на пространстве Мсп.
Теорема VI (следствие 10.2). Для любых п Є N и і = 1,...,п функционал (Аг) принадлежит классу Ф^р на пространстве Л4сп.
Теорема VII (следствие 11.1). Для любых п Є N, г = 1,..., п и о > 0 функционал Агст принадлежит классу Ф1^ на пространстве М.сп.
Теорема VIII (следствие 11-4)- Длл любых п Є N и і = 1,..., п функционал Аг принадлежит классу Ф1^ на пространстве М.сп.
Теоремы V, VII и VIII в иной формулировке опубликованы в [38] и [37].
Определение 1.8. Скажем, что уравнение А Є М.п ляпуновски эквивалентно уравнению В Є М.п, если справедливо равенство B = LAL~1+LL-\ где L: R+ —> Aut Rn — непрерывная и кусочно непрерывно дифференцируемая оператор-функция, удовлетворяющая условиям ||L|| <+оо, ||-1|| <+оо.
С точки зрения теории характеристических показателей, ляпуновски эквивалентные уравнения устроены практически одинаково. По- этому многие авторы (см., например, обзоры [18, с. 235-236] и [19, с. 95-96]) решали задачу о замене произвольного уравнения ляпуновски эквивалентным ему уравнением, которое в каком-то смысле удобнее для исследования. Так, О. Перрон доказал [49], что любое уравнение ляпуновски эквивалентно некоторому уравнению с треугольной оператор-функцией. Д. М. Гр обманом [16] и Ю.С.Богдановым [1] установлено, что для всякого уравнения существует ляпуновски эквивалентное ему кусочно постоянное уравнение. Ю. С. Богдановым [2] доказано даже более сильное утверждение о том, что всякое уравнение ляпуновски эквивалентно уравнению с кусочно постоянной матрицей, коэффициенты которой принимают лишь два значения. С. А. Мазаник [25] уточнил этот результат, показав, что для любого уравнения найдется такое число Т > О, что это уравнение ляпуновски эквивалентно некоторому уравнению с кусочно постоянной матрицей, ненулевые коэффициенты которой принимают только два значения и терпят разрывы разве лишь в точках tk = кТ,ке N.
При доказательстве теорем I—VIII потребовалось решить следующую задачу: по заданному уравнению и его произвольному возмущению построить специальное, в определенном смысле малое, кусочно постоянное или хотя бы кусочно липшицевое возмущение такое, что уравнения, полученные из исходного с помощью произвольного возмущения и соответствующего ему специального возмущения, — ляпуновски эквивалентны. Эта задача решена в теоремах IX и X, формулируемых ниже.
Для всякого R > О и уравнения А Є М.п через Ur(A) будем обозначать множество таких уравнений В Є Л4п, что \\B-A\\ В случае, если оператор-функция А тождественно равна нулевому оператору, вместо Ur(A) будем писать Ur. Обозначим через Т множество последовательностей чисел О = t0 < Ч < t2 < . . ., 11 удовлетворяющих условию lim tk = +00. к— + оо Для всяких R > О, последовательности г Є Т и уравнения А Є Ліп обозначим через Ct,r{A) множество уравнений В = A + Q, где Q Є Ur, таких, что на каждом полуинтервале [tk-i,tk), tk-i,tk Є т, к Є N, оператор-функция (^ постоянна. Теорема IX (теорема 9.1). Для каждого R > 0 найдется такая последовательность т Є 7", nmo d/гл любого є > 0 существует такое 5 > О, ішго всякое уравнение В Є Г/^А), где А Є /д, ляпуновски эквивалентно некоторому уравнению С Є СТ)Є(А). Для всяких /,Г,І? > 0 и уравнения А Є .Мп через Ыр/ТЙ(Л) обозначим множество уравнений В = А + Q, где Q Є f/д, таких, что для каждого к Є N и любых і,І2 Є [(& — 1)ї\ &Т") справедливо неравенство |Q(*2)-Q(*i)| Теорема X (теорема 8.1). Для каждого R > 0 найдутся такие числа /,Т > 0, что для любого є > О существует такое S > 0; ігто всякое уравнение В Є / Следует отметить, что из теоремы IX не следует теорема X, так как для последовательности т Є Т из формулировки теоремы IX, вообще говоря, не существует такого числа Т > О, что tk-tk-\=T, tk-i,tkT, к Є N. Автор глубоко признателен доктору физико-математических наук Игорю Николаевичу Сергееву за научное руководство, постоянное внимание и помощь в работе, а также кандидату физико-математических наук Владимиру Владиславовичу Быкову за ценные замечания и помощь в подготовке текста диссертации. 2. Используемые обозначения В данной работе принята двойная нумерация формул, свойств, определений, замечаний, теорем и лемм: первое число обозначает номер параграфа, второе число — это, соответственно, номер формулы, свойства, определения, замечания, теоремы или леммы. Приведем список наиболее часто используемых обозначений с указанием мест, где они определены. п — натуральное число; N — множество натуральных чисел; N0 = N U {0}; R — множество действительных чисел; R+ее [0,+ос); [а] — целая часть числа aER; М.п — формула (1.1); М.%, Мп — определение 1.1; ||А||, А Є Мп — формула (1.2); \Х\ ее sup \Хх\, где X Є EndRn — формула (1.3); 1*1=1 \х\, х Е Rn — формула (1.4); Pk(A), к Є N — формула (1.5); Е(А) — пространство решений уравнения А; UR(A) — формула (1.8); Lip/,T,/(A) — определение 8.1; Ct,r(A) — обозначение на странице 12; Ха(і, т) — формула (1.6); Лг-(А) — определение 1.2; 99(A), Тр[А) — определение 1.4; Аг(7(А) — определение 1.5; Аг(А) — определение 1.6; Фа — определение 1.3; Ф1^, Ф^р — определение 1.7; Ка — определение 6.2; Fa, Ga — определение 5.1; AL = LAL'1 - LL-1 — формула (3.1); C(ei,..., е/е) — линейная оболочка векторов ei,. .., е/~ некоторого векторного пространства; вА(а, є) — в условии леммы 4.1; / — тождественный оператор на пространстве Rn; Z(#,y) Є [0,7г] — угол между ненулевыми векторами х и у из пространства Rn; l(M,N)= inf l(x,y)—угол между множествами M,N С Rn. В докладе [44] И. Н. Сергеева содержится формула (требующаяся в дальнейшем), дающая выражение для значения в точке А Є Л4п минимальной полунепрерывной сверху мажоранты показателя Ляпунова (в смысле равномерной топологии) через семейство максимальных сингулярных функций (см. определение 4.3 ниже) уравнения А. Ввиду того, что формула приведена в докладе без доказательства, докажем ее в этом параграфе. Сформулируем вначале необходимые определения и свойства. Пусть х Є Е(А) — ненулевое решение уравнения А Є Мп- Введем обозначение что х 0) лишенным смысла. Определение 4.1 [40, с. 118]. Подпространство F С Е(А) назовем инвариантным, если для всех t Є R+ Пусть задано разбиение (разложение) некоторого подпространства Ео С Е(А) в прямую сумму подпространств для какого-то числа г. Под характеристиками разбиения (4.1) будем понимать число г ненулевых подпространств и их размерности: dim 2?!,... ,dim.Er. Определение 4.2 [40, с. 119]. Скажем, что разбиение (4.1) является: 1) инвариантным, если все пространства Ej, j = 1,...,г, инвариантны; 2) ортогонализуемым, если 3) ортогональным, если при каждом t R+ все подпространства Ej(t), j = 1,..., г, взаимно ортогональны, т. е. выполнение условие (4.2) при а = 7г/2; 4) интегрально разделенным, если для всех решений жг- Є Ef, Xj Є Ej (1 j і г) справедливо В случае г = 1 разбиение (4.1) считаем по определению ортогонали-зуемым, ортогональным и интегрально разделенным. Из работ [8], [40, с. 119-123] и определения 4.2 следует справедливость свойств 4.1-4.3. 4.1. Если разбиение (4.1) интегрально разделено, то оно ортогона-лизуемо. 4.2. Свойство, состоящее в существовании ортогонализуемого или интегрально разделенного разбиения с заданными характеристиками, является инвариантным относительно ляпуновских преобразований. 4.3. Если разбиение ортогонализуемо, то некоторым ляпуновским преобразованием оно переводится в ортогональное и инвариантное разбиение. Определение 4.3 [44]. Пусть фиксировано уравнение А Є Мп 1. Для оператора X Є AutRn и вектора а Є Rn введем обозначение Назовем логарифмическими сингулярными числами оператора X величины 6{(Х) = inf maxl(a,X), і = 1,...,п, MeGi аєм где Qi — множество всех г -мерных подпространств М С Rn, и для любого а 0 обозначим 2. Пусть заданы числа є, Т 0 и fc Є N. ДЛЯ данного уравнения А скажем, что в момент кТ имеет место j -отделенноспгъ, если либо j = го, либо = 1,...,71-1, и тогда l(Uj(XA{(k + l)T1№),eT),Un-j(XA{(k-l)T,kT)ieT)) e. 3. По заданному номеру г построим по индукции серию индексов j(k), к Є N, следующим образом: j(l) = г, a j(k + 1) — наименьшее зна чение j j(k), для которого в момент кТ имеет место j-отделенность. Определим максимальную сингулярную функцию Фг-,є,т,т: М-п R фор мулой Замечание 4.1. Заметим, что для любого уравнения А Є -Мп, любого ненулевого решения х Є Е(А) и любых чисел Т 0 и /с Є N справедливо равенство Определение 4.4 [45, с. 1388-1389]. Для заданных чисел Т О, к Є No и уравнения А Є А4п назовем начальным сингулярным базисом оператора X = Хд((& + 1)Т,кТ) любой ортогональный базис е ,..., е, удовлетворяющий условиям /(ef, X) = 5{(Х), і = 1,..., n, a базис Д" "1 = Хві,..., f%+1 = -Х"е — конечные сингулярным базисом этого оператора. Для числа г = 1,...,п определим начальное сингулярное подпространство оператора X: Е{(к) = (е,..., е ), а также конечное сингулярное подпространство этого оператора: Fn-i(k + 1) = Лемму 5.4 из [40, с. 133] можно переформулировать в терминах логарифмических сингулярных чисел и подпространств оператратора Коши ХА уравнения А Є А4п (см. также [45, с. 1389]) следующим образом: Лемма 4.1. Пусть дано уравнение А Є М.п- Тогда для заданных чисел є 0 и а Є (0, f) существует такое число вА(а,є) = —lnsin а, что для любых чисел Т 0 (а,є), к Є No и і = 1,...,п — 1 и любого вектора а Є Rn выполнены следующие утверждения: 1) из неравенства вытекает неравенство 2) из неравенства Лемма 4.2. Пусть задано интегрально разделенное разбиение пространства решений уравнения А Є М.п Тогда существуют такие числа Єо Є (0,1) и То 0, -что если є Єо иТ тах{ у4(:, є),То} (ел , лемму i.l) , то для данного уравнения А и любого к Є N в момент кТ имеет место j -отделенность. Доказательство. Пусть задано интегрально разделенное разбиение (4.3). Из свойства 4.1 вытекает существование числа а 0 такого, что Кроме того, из определения интегральной разделенности следует (см. п. 4) определения 4.2) существование таких положительных констант а и То, что для всех решений Х\ Є М, Х2 Є N и всех t, т Є R+ таких, что t — т TQ. Зададимся числом Q = min{, } и фиксируем произвольные числа є є0, Т тах{0А(є,є),То} и к Є N0. Разобьем доказательство на ряд пунктов. А. Пусть решение хо Є М такое, что Определение 6.1 [6]. Функционал р: М. — R назовем верхнепредельным, если он принадлежит классу Ф11пґ. Таким образом, из определений 1.7 и 6.1 вытекает, что для верхнепредельного функционала р справедливо представление где {(ры, к, І Є N} — семейство непрерывных на М. функционалов. Замечание 6.1. Из свойства 5.9 и леммы 5.3 следует, что если функционал (р: М — R представим в виде предела последовательности полунепрерывных снизу функционалов { fcjfc Є N}, то он верхнепредельный. Обозначим через d\(Y) ... dn(Y) сингулярные числа оператора Y GEndR". Укажем теперь несколько примеров верхнепредельных на пространстве М.сп функционалов, используемых для описания асимптотического поведения решений уравнений вида (1.1): 1) показатели Ляпунова \І\АІСП — R, і = 1,...п (см. определение 1.2), ибо из формул, полученных в [28] для более общего случая, вытекает представление вида (6.1) где XA\L — сужение оператора Копій уравнения А на подпространство F С Rn, a Qi — множество г -мерных подпространств Rn; 2) верхние показатели Боля ${\М.сп — R, г = 1,...,п, задаваемые формулами 3) величины af. Л4 — R, г = 1,..., n, задаваемые формулами 4) мажоранты Аг:Л4 — R, г = 1,... ,n, ибо из формулы (4.21) (см. лемму 4.7) для любого і Є {1,..., п} вытекает представление из которого, а также из леммы 4.8, свойства 5.7 и замечания 6.1 следует верхнепредельность этих функционалов. Пользуясь свойствами 5.5-5.9, можно конструировать новые верхнепредельные функционалы из перечисленных в примерах 1)-4). По аналогии с функционалами из класса Ф11пґ, функционалы из класса Ф ир можно назвать нижнепредельными. Тогда, пользуясь свойством 5.10е из функционалов, перечисленных в примерах 1)-4), легко получить нижнепредельные функционалы. Ниже приведем доказательства двух важных лемм, заимствованных у В.В.Быкова [3]. Обозначим через 0 отображение из М.сп х Л4 в Л4, задаваемое для всяких А, В Є Мп формулой Определение 6.2. Множество, представимое в виде счетного объединения компактных множеств, будем называть множеством типа К,. Лемма 6.1. Пусть X С Аісп является множеством типа Fa, а У С М-п — множеством типа Ка. Тогда образ множества X хУ при отображении 0 есть множество типа Fa. Доказательство. По условию где Afc, к Є N, — замкнутые, а Уі, І Є N, — компактные множества. Согласно свойствам декартова произведения и образа множества имеем Покажем, что для всяких fe,l 6 N множество 0(A х Уі) замкнуто. Действительно, пусть {АІ} — сходящаяся последовательность элементов множества Q(Xk х У і): Пользуясь компактностью множества Уі, выберем из последовательности {СІ} сходящуюся подпоследовательность {Cis}. Тогда подпоследовательность {Bis} будет тоже сходящейся в силу (6.3) и (6.2). Благодаря замкнутости множеств Хк и ЭД, будем иметь, соответственно, причем А = В — С в силу (6.3) и (6.2). Таким образом, А Є 0( х Уі), и замкнутость множества 0(А& х Уі), а вместе с ней и утверждение леммы установлены. Лемма доказана. Лемма 6.2. Пусть функционал ср: Л4 —) R лвллется верхнепредельным, и пусть V С М-п — произвольное множество типа Ка. Тогда функционал ср:Л4 — R; определяемый в каждой точке А Є М.сп формулой является верхнепредельным. Доказательство. Покажем вначале, что для всякого г Е R множество {А р(А) г} является множеством типа Fa. Действительно, справедлива цепочка равенств откуда, в силу верхнепредельности функционала (р и леммы 6.1, получаем требуемое. Из свойства 5.1 следует, что для любого г Є R лебеговское множество {А (р(А) г} является множеством типа Gs как дополнение к множеству {А (р(А) г}. Применяя лемму 5.2, получаем верхнепредельность функционала ф{А). Лемма доказана. В этом параграфе приведено доказательство того, что для любого уравнения равнокусочно липшицевые возмущения являются эффективными во множестве возмущений, определяемых некоторой кусочно постоянной функцией (теорема 8.1). И на основе этого утверждения показано, что для любого уравнения в качестве эффективного множества возмущений можно взять множество типа Ка, которое никак не зависит от исходного уравнения (следствие 8.1). Определение 8.1. Для всяких /,Т 0, функции /: R+ — R+ и уравнения А М.п обозначим через Lip;Ty(A) множество уравнений В = A + Q, где Q U/, таких, что для любого А; Є N и любых ti,t2 [(к — 1)Т, кТ) справедливо неравенство т. е. возмущение Q — равнокусочно липшицево. В случае, если оператор-функция А тождественно равна нулевому оператору, вместо LiplT f(A) будем писать LipiTj. Теорема 8.1. Пусть заданы число R 0; уравнение А UR и невозрастающая функция /: R+ — R+, постоянная на каждом полуинтервале [к — 1,к), к N, удовлетворяющая условию Тогда для любого уравнения В Є U/(A) существует Ляпуновски эквивалентное ему уравнение С Є LiplTrf(A), где I = l(R) О, Т = г8Деяі+1 ur = 2e2R+9. Доказательство. Пусть выполненны условия теоремы. Пользуясь леммой 7.4, построим уравнение AL Є Л4П, постоянное на каждом полуинтервале [(к — 1)Т,кТ), Т = г8Деді+1? к N и получаемое из уравнения А с помощью некоторого ляпуновского преобразования L:R+ -+ AutRn. Из неравенств (3.4) леммы 3.3, учитывая, что получаем Фиксируем произвольное уравнение В Є U/(A). Обозначим через BL уравнение, в которое перейдет уравнение В при преобразовании Ляпунова L. Используя свойство 3.2, имеем Теперь, находясь для уравнений AL И BL В условиях леммы 7.5, построим кусочно постоянное уравнение (7, ляпуновски эквивалентное уравнению BL И удовлетворяющее неравенству Из свойства 3.3 следует, что уравнение С = CL-± ляпуновски эквивалентно уравнению В. Используя свойство 3.2 и оценки (8.1), получим оценку где г = 2e2R+9. Покажем, что найдется число / 0 такое, что оператор-функция С — А для каждого к Є N липшицева с константой Липшица / на полуинтервале [(к — 1)Т, кТ). Заметим, что в силу кусочной непрерывности и ограниченности производных L и (Ь г) оператор-функции L и L"1 липшицевы на R+. Соответствующая константа, в силу условия (3.4), зависит от числа R. Обозначим ее через JCL = К,ь(Щ 0. Фиксируем произвольное А; Є N. Учитывая неравенства (8.1), для всяких Поскольку уравнения AL И CL постоянны на рассматриваемом полуинтервале, получим Как обычно, при задании расстояния с помощью счетного семейства полунорм, наделим Мп метрикой р по формуле Кроме того, в дальнейшем для установления полноты некоторых подпространств пространства М.сп нам понадобится метрическое пространство Еп, точками которого являются всевозможные оператор-функции A: R+ — EndRn, ограниченные на каждом отрезке [а,Ь] С R+, а расстояние задается формулой (8.3). Непосредственно проверяется, что Е„ полно. Пусть заданы полуинтервал [а, Ь) С R и для некоторого т Є N совокупность точек ti, і = 0,..., га, отрезка [а, 6] таких, что Если m то назовем эту совокупность точек разбиением полуинтервала [а, 6) и обозначим ее через %, а полуинтервалы [г-_х,г-), г = 1,... ,га, назовем полуинтервалами разбиения Ті. Лемма 8.1. Для всяких l,R 0 иТ = 1/пг, где m Є N, множество Ілрг т д компактно в пространстве М.сп. Доказательство. Множество 1лрг т д лежит в полном метрическом пространстве Sn, поэтому для доказательства его компактности достаточно проверить [22, с. 104], что оно замкнуто и вполне ограничено. А. Вначале докажем его замкнутость. Пусть оператор-функция А Є М-п такая, что где А{ Є Lip; Т R, і Є N. Тогда из принадлежности оператор-функций А{, і = 1,2,..., множеству UR вытекает принадлежность оператор-функции А тому же множеству. Фиксируем натуральное число к. Для любого г Є N верно неравенство с учетом которого, справедлива цепочка неравенств Устремляя в последней оценке і к бесконечности, получим оценку из которой следует, что оператор-функция А Lip; т R. Таким образом, замкнутость множества Ілрг т R доказана. В. Перед доказательством полной ограниченности множества Ілрг т R, докажем полную ограниченность некоторого вспомогательного множества WR, которое определим ниже. Фиксируем произвольное число є 0. Пользуясь сходимостью ряда 2 2 +1\ выберем такое натуральное число д, чтобы 3=0 Для каждого к {1,..., mq} на полуинтервале [{к — 1)Т, кТ) зададим разбиение Н{к) = {tik) s = 0,... ,р}, причем число р G N подберем так, чтобы длина полуинтервалов разбиения была меньше - г Обозначим через UR множество таких операторов А Є EndRn, что \А\ Л, а через WR обозначим множество оператор-функций В Є UR, каждая из которых представима в виде Так как множество UR компактно, существует конечная -сеть UR этого множества. Покажем, что множество WR оператор-функций D WR, предста-вимых в виде -сетью множества WR. Действительно, пусть дана произвольная оператор-функция В Є WR. ИЗ формулы (8.4) видно, что она однозначно определяется ператорами Bs Є UR S = 0,... ,p, к = 1,..., mq. Подберем такие (к) — операторы Dl Є UR, что Теперь, замечая, что множество W/г состоит из конечного числа оператор-функций, получаем, что оно действительно является конечной f-сетью множества WR. С. Докажем, что множество WR является конечной є-сетью для множества Ілр т R. Пусть дана произвольная оператор-функция С Є Ілргтіг. Определим В Є WR по формуле Теперь, опираясь на результат пункта В, для оператор-функции В подберем оператор-функцию D Є VVR такую, что выполняется соотношение (8.6). Для оператор-функций С и D из соотношений (8.6) и (8.8) получим р(С,D) р(С,В) + р(В,D) +- e. Лемма доказана. Лемму 8.1 можно доказать существенно короче, если заметить, что для любых l,T,R 0 множество LipiTi? гомеоморфно тихоновскому произведению [23, с. 154] компактных множеств Jj Хь, где Хк — наде fceN ленное равномерной топологией пространство липшицевых (с константой Липшица /) оператор-функций Х:[(к — 1)Т,кТ) — EndR", удовлетворяющих условию sup \X(t)\ R. te[(k-l)T,kT) И затем применить теорему А.Н.Тихонова о компактности тихоновского произведения компактов [33, с. 63]. Пользуясь случаем, выражаю В теореме 11.1 установлена верхнепредельность функционалов, являющихся точными нижними границами подвижности верхнепредельных функционалов при убывающих к нулю заданным образом возмущениях. И на ее основе проведена классификация Бэра нижних показателей Изобова. Теорема 11.1. Пусть функционал (p:J\Acn — R является верхнепредельным и инвариантным относительно Ляпуновских преобразований, a /;:R+ —) R+, / 6 N, — семейство функций постоянных на каждом полуинтервале [к — 1,к), к Є N, удовлетворяющее условиям: 1) для любого / Є N справедливо lim fi(t) = 0; l—V + OO 2) для любого г Є R+ существует т N такое, что Тогда функционал ср, задаваемый в каждой точке А Є Л4„ формулой является верхнепредельным. Доказательство. Покажем сначала, что в каждой точке А Є Мп справедливо равенство где /С — множество из утверждения следствия 8.1. Неравенство выполнено в силу включения Vf Э Р/П/С, поэтому остается установить обратное неравенство. Для этого проверим, что для всякого В Є Vf найдется В Є T j П /С такое, что Выберем произвольную оператор-функцию В Є Vf, т. е. такую, что найдется / N, для которого силу 1) существует такое То 0, что Из инвариантности функционала р относительно ляпуновских преобразований следует его остаточность (см. лемму 3.2). Поэтому, без ограничения общности, на отрезке [0, То] можно считать, что оператор-функция В тождественно равна нулю и для функции fi неравенство (11.3) выполнено на всей полупрямой R+. Теперь, находясь в условиях следствия 8.1, определим такое В Є /С, что справедливо неравенство и уравнение А + В переводится в уравнение А + В некоторым ляпунов-ским преобразованием. В силу 2) найдется такое т Є N, что Тогда равенство (11.1) выполнено в силу инвариантности ip относительно ляпуновских преобразований. Покажем теперь, что множество Vf f] 1С является множеством типа Ка. Действительно, имеет место представление где Vft — множество оператор-функций ?, удовлетворяющих условию причем множества T ft, / Є N, замкнуты. Поэтому для множества VfDlC получаем следующее представление в виде счетного объединения компактных множеств где Kk — компактные множества, объединение которых дает /С. Применяя теперь лемму 6.2 к правой части формулы (11.1), получаем требуемое. Теорема доказана. Теорема 11.2. Для заданного числа о 0 обозначим, через а множество оператор-функций В, каждая из которых при некотором С О удовлетворяет неравенству Пусть функционал ср\М.сп — R является верхнепредельным и инвариантным относительно ляпуновских преобразований. Тогда функционал р\ М.сп — И, определяемый в каждой точке А Є М.%, формулой является верхнепределъным. Доказательство. Определим семейство функций //:R+ — R+, / Є N, следующим образом: для всякого / Є N положим Из того, что для любого С О найдется / Є N такое, что и цепочки неравенств следует, что Еа — Vf, откуда имеем равенство Семейство функций /;, / Є N, удовлетворяет условиям теоремы 11.1. Поэтому, применяя теорему 11.1 к правой части равенства (11.4), получаем требуемое. Теорема доказана. В частности, применяя теорему 11.2 к показателям Ляпунова Аг-, г = = 1,..., п, получаем следующее Следствие 11.1. Для любых ст 0мг = 1,...,гг функционал Ага является верхнепределъным на пространстве М.сп. А, учитывая свойство 5.3, получаем Следствие 11.2. Для любых о 0 и г = 1,... ,п функционал Ага принадлежит второму классу Бэра на пространстве ЛА. На основании теоремы 11.2 легко получить утверждение о верхнепре-дельности функционала, который осуществляет точную нижнюю границу подвижности произвольного верхнепредельного функционала при экспоненциально убывающих возмущениях с произвольным показателем. Следствие 11.3. Обозначим через 8 множество оператор-функций В, каждая из которых при некоторых С 0 и о О удовлетворяет неравенству Пусть функционал р: }Лсп — R лвллетсл верхнепредельным и инвариан-теным относительно Ляпунов ских преобразований. Тогда функционал (р: ] Лсп — R, определяемый в каждой точке А ЛЛп формулой является верхнепредельным. Доказательство. Из представленияФормула для мажоранты показателя Ляпунова
Верхнепредельные функционалы
Равнокусочно липшицевые возмущения
Нижние показатели Изобова
Похожие диссертации на Классификация Бэра показателей Ляпунова линейных систем
