Содержание к диссертации
Введение
1 Одновременная достижимость центральных показа телей маломерных линейных гамильтоновых систем 15
1.1 Основные понятия и факты 15
1.2 Вспомогательные утверждения 28
1.3 Одновременная достижимость центральных показателей двумерных и четырехмерных систем 56
2 Условная стабилизируемость и дестабилизируемость линейных гамильтоновых систем 61
2.1 Определения условной стабилизируемости и дестаби-лизируемости 61
2.2 Одновременная условная стабилизируемость и дестабилизируемость бесконечно малыми возмущениями 64
2.3 Одновременная условная экспоненциальная стабилизируемость и дестабилизируемость равномерно малыми возмущениями 68
3 Об эффективности возмущений в классе линейных гамильтоновых систем 71
3.1 Спектры показателей 71
3.2 Эффективность гамильтоновых возмущений 73
Список литературы
- Вспомогательные утверждения
- Одновременная достижимость центральных показателей двумерных и четырехмерных систем
- Одновременная условная стабилизируемость и дестабилизируемость бесконечно малыми возмущениями
- Эффективность гамильтоновых возмущений
Вспомогательные утверждения
Симплектическое произведение является билинейной кососиммет-рической невырожденной формой. Билинейность вытекает из билинейности скалярного произведения и линейности оператора J, а кососимметричность следует из кососимметричности оператора J :
Векторное пространство М2п с заданным на нём симплектиче-ским произведением называется симплектическим векторным пространством.
Подпространство, инвариантное относительно оператора J, называется симплектическим (с индуцированным симплектическим произведением). Базис е\,..., Є2п в М.2п называется симплектическим, если
Оператор X называется симплектическим, если он сохраняет сим-плектическое произведение (Хх,Ху) = (х,у), x}yeR2n. Наконец, отметим некоторые свойства симплектической структуры. 5. Справедливы равенства (ж,у) = — (у}х) и (х}х) = 0. 6. Существуют ортогональные симплектические базисы (содержащие в качестве первого вектора любой наперед заданный ненулевой вектор), причем каждый из них можно нормировать с сохранением симплектичности. 7. Если операторы X, Y симплектичны, то таковыми являются и операторы X , Х-1, XY, причем detX = 1. 8. Линейная система (1.1) с ограниченной кусочно непрерывной оператор-функцией А гамильтонова тогда и только тогда, когда ее оператор Коши Х (, s) симплектичен при всех t, s Є Ш+.
Оператор Коши системы А, согласно лемме 2.2 из [52], допускает полярное разложение Хд(Т, 0) = US, в котором как ортогональный оператор U, так и положительный симметрический оператор S являются симплектическими. По лемме 2.1 из [52] S имеет собственный ортонормированный симплекти-ческий базис {ві} (і = 1,...,2п) с собственными значениями вида «і,..., ап, а 1,..., сх[ соответственно. Без ограничения общности будем считать, что
Следовательно, Ц Ц = (S nl, а в силу ортогональности оператора?/ логарифмические сингулярные числа оператора ХА(Т, 0) симметричны, относительно нуля, причем векторы Хд(Т, 0)ві (і = 1,..., 2n) образуют ортогональный базис в М.2п и Х (Т, 0) = \ХА(Т, 0)е2П-Базис {е } (i = 1,...,2п) назовем сингулярным базисом оператора ХА(Т,0), а через Х{ обозначим решения, для которых ХІ(0) = Є{. Рассмотрим возмущение
Докажем, что CFT Є пгп. Для этого необходимо и достаточно, чтобы JQ ЯВЛЯЛСЯ симметрическим оператором, т. е. для любых вектор-функций х и у выполнялось равенство
Легко убедиться в том, что вектор-функция у\(t) = e tX\{t) является решением возмущенной системы (1.20). Проверим это, подставив вектор-функцию у\ в возмущенную систему (1.20) (e-tXly = {А- єРфі) + ePAJxi))e-etxx. Раскрывая обе части равенства и учитывая, что Х\ является решением системы А, получаем верное равенство: -ее іхл + e txi = e tAxi - ee tx\. Следовательно, у системы Су есть такое решение у\, что ХоЫ =Хо(хі)-є. Отсюда вытекает, что 5[ 5\—єТ, а в силу симметрии $ n 52п+еТ. Таким образом, утверждение 1) доказано. Докажем утверждение 2). Из равенства (1.20) и свойств нормы следует, что sup \\A(t) -CT(t)\\ 2є. Лемма 3 доказана. ЛЕММА 4. Для любых последовательностей 0 = to t\ ... , е\)е2)... 0 и любой системы А Є Н2 существует система С Є H2, удовлетворяющая при каждом j = 1,2,... условиям:
В качестве системы Су возьмем систему, построенную в лемме 3. Будем использовать обозначения, введенные в лемме 3, с поправкой на размерность системы. Далее во всех рассуждениях считаем, что t Є [0,Т].
Заметим, что если решения возмущенной системы Су, равно как и невозмущенной системы А, начинались во множестве L±( 7жі(0)), то они для любого t остаются во множестве L (JX\(t)). Докажем это сначала для системы А.
Пусть х - такое произвольное решение системы А, что х(0) Є L (Jxi(0)). Поскольку для любых двух решений линейной гамильтоновой системы остается постоянным их симплектическое произведение (см. свойство 9), то С учетом этого равенства с другой стороны получаем (xi(t),x(t)) = (Jxi(t),x(t)) = О, Так как для любого решения х системы А, удовлетворяющего условию х(0) Є М(0), верно неравенство
Предположим противное: 6 2 5[ + аТ. Пусть тогда = JJ +«0Т, «о Є [0,а]. Тогда существует такая двумерная плоскость Р(), что Р(0) = ( 2і, 22) (натянутая на два самых медленных вектора а\ и 0-2 сингулярного базиса), в которой для любого значения/: симплек-тическое произведение любых двух векторов равно нулю, а росты всех ее решений лежат на отрезке
Одновременная достижимость центральных показателей двумерных и четырехмерных систем
Функционал А, определенный на пространстве Л4т, назовем остаточным, если для каждой пары оператор-функций A(t), Bit) Є Мт} совпадающих на всей полуоси t Є Ж. , кроме, быть может, некоторого отрезка конечной длины, выполнено равенство
Заметим, что показатели Ляпунова, а также верхний и нижний центральные показатели являются остаточными.
Следующая лемма показывает, что бесконечно малые возмущения можно считать равномерно малыми, когда речь идет о каких-либо остаточных функционалах. - остаточный функционал. Тогда для любого положительного числа є существует такая система Вє Є Л4т} что Из доказательства леммы следует, что она справедлива и в случае, когда В Є Но(А), а В є Н2п. Утверждение изложенной ниже теоремы, возможно, распространяется и на линейные гамильтоновы системы произвольного порядка. теоремы использует технику доказательства теоремы 8.1 [50].
Возьмем rrik Є N такое, что rrik тах{т ,т 2} и Щ - = І к Є N (заметим, что І к 4)- Теперь положим На этом индукционный переход, а с ним и построение последовательности {tj} закончены. Применяя к построенной последовательности {tj} лемму 6, взяв 8 з = i Эк Э Эк+ii и учитывая обозначения (1.27), получим существование такой системы С Є Н2п, что для каждого к = 0,1, 2,.. . выполнены условия: причем система С удовлетворяет условиям леммы 11. Тогда по лемме 11, учитывая неравенства (1.52) и взяв 8 з = аз = Wi Эк Э JAH-Ъ получим существование системы Є 7i2n и решений 6 и s этой системы, что для каждого к = 0,1, 2,... выполнены условия:
Условная стабилизируемость и дестабилизируемость линейных гамильтоновых систем Настоящая глава посвящена доказательству того, что любая линейная гамильтонова система одновременно условно (относительно подпространства половинной размерности) стабилизируема и дестабилизируема бесконечно малыми гамильтоновыми возмущениями, а также одновременно условно экспоненциально стабилизируема и дестабилизируема равномерно малыми возмущениями.
Система А Є %2п при некотором к Є N называется: 1) к-мерно устойчивой, если существует такое к-мерное подпространство S решений системы А, что для любого є 0 найдется такое 5 0, при котором любое решение х Є S, удовлетворяющее неравенству ж(0) 5, удовлетворяет и неравенству \x(t)\ є при всех ІЄК+; 2) к-мерно неустойчивой, если существуют такое /с-мерное подпространство S решений системы А и такое є 0, что для любого 5 0 найдется такое Т Є Ш+, при котором любое решение х Є S, удовлетворяющее равенству ж(0) = 5, удовлетворяет и неравенству
Система А Є Н при некотором А; Є N называется: 1) к-мерно устойчивой, если существует такое к-мерное подпространство S решений системы А, что для всякого решения X Є S и любого є 0 найдется такое S О, при котором из неравенства \х(0)\ S следует неравенство \x(t)\ є при всех t Є М+; 2) к-мерно неустойчивой, если существуют такое /с-мерное подпространство S решений системы А и такое є О, что для любого # 0 и каждого ненулевого решения х Є S, удовлетворяющего неравенству ж(0) S, найдется такое t Є Ш+, при котором выполнено неравенство
Определения 15 и 16 эквивалентны, т. е. для линейных систем требования на подпространство 5вп. 1) или п. 2) определения 15 эквивалентны тому, что сразу все ненулевые решения х Є S просто ограничены или неограничены соответственно.
Докажем, что из п. 1) определения 16 следует п. 1) определения 15. Возьмем любую такую фундаментальную систему решений Х\,... , Xk подпространства S системы А, что #i(0),... , Xk(0) попарно ортогональны и #i(0) = ... = ж&(0). Из п. 1) определения 16 следует, что для каждого решения Х{ (і = 1,... , к) и любого є О найдется такое Si 0, при котором из неравенства #j(0) Si следует неравенство #г() є, t Є М+. Возьмем S = min{#i,... , Sk}. Получим, что для каждого Х{ (і = 1,... , к) и любого є 0 нашлось такое S 0, что из неравенства #j(0) S следует неравенство \x{(t)\ є, te R+.
Таким образом, для любого є 0 нашлось такое 5 0, при котором любое решение х Є S, удовлетворяющее неравенству ж(0) 5, удовлетворяет и неравенству \x(t)\ є при всех t Є М+, а это и есть п. 1) определения 15.
Для доказательства того, что из п. 2) определения 16 следует п. 2) определения 15 воспользуемся идеей доказательства леммы 5.2 п. Б из [50].
Предположим противное, что п. 2) определения 15 не выполнен, т. е. для любого є 0 и последовательность ненулевых решений , удовлетворяющих условию #j(0) = S, что выполнено неравенство
Тогда из последовательности векторов Xj (0) Є S(0) выберем подпоследовательность, сходящуюся к ненулевому вектору а Є S (O) (по теореме 2 [28, с.99] это можно сделать в силу компактности множества 5 (0)\0) и сохраним для этой последовательности обозначение
Решение х Є S с начальным условием х(0) = а удовлетворяет для каждого к = 1, 2,... неравенству так как этому неравенству удовлетворяют все решения Xj с номерами j к, а поскольку \x(t)\ - непрерывная функция (в силу непрерывности x(t)), то оценка не нарушится, если перейти к пределу при Тогда из неравенства (2.2) вытекает неравенство \x(t)\ є, t Є М+, которое противоречит условию (2.1). Получили противоречие с нашим предположением. Утверждение 3 доказано.
Одновременная условная стабилизируемость и дестабилизируемость бесконечно малыми возмущениями
Спектр характеристического показателя Ляпунова любой системы А Є Л4т устойчив при равномерно малых возмущениях коэффициентов системы (т. е. hj Sp A) = Spx(A)) тогда и только тогда, когда все одновременно показатели Ляпунова системы А Є Л4т устойчивы при равномерно малых возмущениях коэффициентов системы.
Заметим, что из устойчивости спектра следует устойчивость его минимального элемента Ai. Тогда, согласно теореме 11.8 из [50], имеем, что существует интегрально разделенное разбиение пространства решений Е(А) = Е\(А) 0 2( 4), причем ШЕ1 = Е Тогда если dimEi(Л) = к, к 1, то uEl = Xi(A) = ... = Хк(А) = ПЕі и показатели Аі(Л),... , Хк(А) устойчивы, a dim Е2(А) = п — к п.
Если пространство решений системы А Є Л4т допускает интегрально разделенное разбиение Е(А) = Е\(А) 0 Е2(А), то некоторым ляпуновским преобразованием система А переводится в такую систему Ауі у которой система скалярных уравнений (в определенном базисе) имеет блочно-треугольный вид с интегрально разделенной диагональю (см. свойство 3.18 [50] и теорему 1 из [10]). Следовательно, подпространства решений Е\{Ау) и Е2(Ау) ляпунов-ски эквивалентной системы Ау инвариантны и можно рассмотреть сужение системы на подпространства Е\{Ау) и Е2(Ау) и работать с ними независимо друг от друга.
Рассмотрим сужение системы Ау на подпространство Е2(Ау). Тогда Ау\Е Є Л4т к. Проводя те же рассуждения, что и в пп. 1, 2, получим для некоторого р Є N Xk+l(Ay) = ... = Xk+p(Ay) -устойчивы. А в силу того, что системы А и Ау ляпуновски эквивалентны, то их показатели Ляпунова равны. Отсюда получаем, что Xk+i(A) = .. . = Xk+P(A) - устойчивы. Продолжая этот процесс далее, получим устойчивость всех одновременно показателей Ляпунова системы А.
В обратную сторону доказательство устойчивости спектра характеристического показателя Ляпунова системы А Є Л4т непосредственно следует из устойчивости всех одновременно показателей Ляпунова системы А.
Спектр характеристического показателя Ляпунова любой системы А Є Л4т устойчив при бесконечно малых возмущениях коэффициентов системы (т. е. M.Qpx(A) = $р (А)) тогда и только тогда, когда все одновременно показатели Ляпунова си стемы А Є М.т устойчивы при бесконечно малых возмущениях коэффициентов системы.
Включение LnSpM(A) с LMSpM(A) является прямым следствием включения Н.т С Л4т. Докажем включение LHSp„(A) Э LMSpx(A).
Возьмем произвольные /і Є L Spx(A) и є 0. Для данного є возьмем 5 = g 0 (см. доказательство леммы 16). По определению равномерно мало предельного спектра для данного 5 найдутся система В Є Ais(A) и решение х Є S (B), удовлетворяющие неравенству \я{х) — /І
Согласно лемме 16, для любой системы В Є Л4$(А) и любого решения х Є S (B) существует система С Є Н.Є(А), также имеющая решение х Є S (C).
Получили, что для произвольного є нашлись система С Є Не(А) и решение х Є S (C), удовлетворяющие неравенству \я{х) — /І 5 є. Отсюда вытекает условие /І Є L%Spx(A), а с ним и доказываемое включение.
Для любого четного числа т все одновременно показатели Ляпунова гамильтоновой системы А Є W71 устойчивы при равномерно малых возмущениях тогда и только, когда они устойчивы при равномерно малых возмущениях в классе гамильтоновых систем.
ИЗ включения %т с Мт следует, что если показатели Ляпунова гамильтоновой системы А Є гКт устойчивы при равномерно малых возмущениях, то они устойчивы и при равномерно малых возмущениях в классе гамильтоновых систем.
Докажем, что из того, что все одновременно показатели Ляпунова гамильтоновой системы А Є гНт устойчивы при равномерно малых возмущениях в классе гамильтоновых систем следует, что они устойчивы и при равномерно малых возмущениях. Предположим противное: найдется такое і Є {1,.. . , ш}, что ХІ(А) не устойчив в классе равномерно малых возмущений. Тогда по лемме 18 LMSpX(A) = Spx(A), а по теореме 4 L%Spx(A) = Lj Sp(A). Следовательно, L%Spx(A) = Spx(A). Получили противоречие с тем, что показатели Ляпунова системы устойчивы при равномерно малых возмущениях в классе гамильтоновых систем. Значит, всеА (Л) устойчивы при равномерно малых возмущениях.
Теорему 6 можно получить и из явно сформулированных критериев устойчивости всех показателей Ляпунова в общем [34, 9] и в гамильтоновом [11] случаях (подчеркнем, что в последней работе этот критерий доказан логически независимо от предыдущих).
Для любого четного числат все одновременно показатели Ляпунова гамильтоновой системы А Є l Lm устойчивы при бесконечно малых возмущениях тогда и только, когда они устойчивы при бесконечно малых возмущениях в классе гамильтоновых систем.
Эффективность гамильтоновых возмущений
Установлено совпадение множества всех предельных значений показателей решений линейной гамильтоновой системы при равномерно малых ее возмущениях с аналогичным множеством, получаемым при равномерно малых гамильтоновых возмущениях той же системы. Кроме того, установлено совпадение множества всех значений показателей решений линейной гамильтоновой системы при бесконечно малых ее возмущениях с аналогичным множеством, получаемым при бесконечно малых гамильтоновых ее возмущениях.
МтэВ А таких значений /І Є Ш, для каждого из которых при любом є О найдутся система В Є А4Є(А) и ее решение х Є S (B), удовлетворяющие неравенству \х{х) — ц\ е. Кроме того, в случае четного т назовем гамильтоново равномерно предельным спектром показателя к системы А Є Тіт аналогичное (с заменой всюду Л4 на Ті) множество
Наряду с введенным выше понятием равномерно предельного спектра будем рассматривать бесконечно мало возмущенный спектр. Бесконечно мало возмущенным спектромио-казателя к (3.1) системы А Є Л4т назовем множество M0SpK(A)= (J SpK(B) (3.4)
ВеМо(А) таких значений /І Є Ш, для каждого из которых найдутся система В Є Л4о(А) и ее решение х Є S (B) удовлетворяющие равенству я(х) = /І. Кроме того, в случае четного т назовем гамилътоново бесконечно мало возмущенным спектром показателя к системы А Є Тіт аналогичное (с заменой всюду Л4 на Ті) множество
В случае, когда ж = \ - характеристический показатель Ляпунова, множество (3.2) или (3.3) совпадает с объединением по г = 1,...,т множеств hw\{A) или Ь-цХ А) всех предельных значений в точке А Є Л4т или А Є ТІт в отдельности каждого из показателей Ляпунова \\ ... Хт, рассматриваемых как функционалы в пространстве Л4т или Тіт соответственно.
Включение X 1Э Л выполнено в силу того, что Лі(Л) Є Sp (А) при любом і = l,...,m. Докажем включение X С Л. Возьмем произвольное ц Е X. По определению равномерно предельного спектра для любого є 0 найдутся система В Є Л Є(А) и ее решение х Є S (B), удовлетворяющие неравенству \х(%) — МІ Возьмем бесконечно убывающую последовательность Sk = J? 0 (fc Є N). Тогда для любого А; Є N найдутся система В Є А4Єк(А) и ее решение Xk Є S (Bk), удовлетворяющие неравенству \x(xk) МІ & Поскольку число показателей Ляпунова системы В], конечно, то найдутся такие і Є {l,...,m} и подпоследовательность индексов &/ (/ Є N), что выполнено неравенство \Xi(Bkl) — /і &,, а это означает, что /і Є Л. Следовательно, включение X С Л также выполнено. случае, когда к = х характеристический показатель Ляпунова, множество (3.4) или (3.5) совпадает с объединением по г = 1,..., m множеств Л4О\І(А) или TioXi(A) всех бесконечно мало возмущенных значений в точке А Є Л4т или А Є l Lm в отдельности каждого из показателей Ляпунова Х\ ... Хт, рассматриваемых как функционалы в пространстве Л4т или W71 соответственно.
Зафиксируем произвольное решение х Є S (B). Обозначим r± = e(t) = (e1(t),...,e2n(t)). Из того, что решение х Є S (B) и x(t) непрерывно по t Є М+, следует непрерывность ЄІ(-) на Ш+ для каждого і = 1,.. . , 2п, причем \e(t)\ = 1, Є М+. Поэтому для каждого t Є М+ найдется такой номер i(t) Є {1,... , 2п}, что е )() -4=, и найдется такое число ОД О, что eiW(r) 2 , Г Є %)( ).
По лемме о конечном покрытии из всякой бесконечной системы интервалов, покрывающей отрезок числовой прямой, можно выбрать конечное подпокрытие. Следовательно, найдется rrik Є N, что каждого промежутка [tj-\,tj), j = 1,2,..., найдется такой номер i(j) Є {1,..., 2п}, что ej(j)(r) =? t Є fo-ь А?)- Не ограничивая общности для каждого j = 1,2,... будем считать i(j) = 1.
Для каждого j = 1,2,... рассмотрим промежуток [tj-\,tj) и построим на нем кусочно непрерывную систему С Є Tie (А). Для упрощения записи аргумент t Є [tj-\,tj) будем опускать. Поскольку мы строим систему С, для которой х является решением, то должно выполняться равенство
