Введение к работе
Актуальность теми. Диссертация посвящена изучению астш-ітического поведения и устойчивости решений дискретных и диф-ренцнальных уравнений, описывающих нелинейные импульсные :стеш.
Одно из современных направлений в теории устойчивости -звигие первого метода Ляпунова, основанного на теории харак-ристнческих показателей. Основные результаты по теории пока-.телей Ляпунова для обыкновенных дифференциальных систем с блнографией до 1974 года приведены в обзоре Н.А.Иэобова. дальнейшее развитие связано с работами В.М.ыжджонщжкова, А.Изобова в их последователей.
Первыми работами по распространению первого метода Ляпуно-, для изучения асимптотики решений дискретных уравнений явдя-ся работы Перрона и Та Ли. Правильные линейные дискретные сис-ш изучались В.Б.Деыидовнчэм.
В последнее десятилетпа показано, что классическая теория рвого метода Ляпунова распространяется а на системы дифферен-альныт уравнений с импульсным воздействием. *ч Следует от-тить, что несмотря на многочисленные приложения," теория этих авнений развивается сравнительно медленно в силу сложности ьекта исследования.
Известно, что приложение метода характеристических показа-лей к конкретным задачам встречает существенные трудности, язанные, в частности, с тем, что задача о вычислении характе-стичэских показателей в общем случае не разрешена. Поэтому строение оценок характеристических показателей и критериев тойчивости со линейному приближению остается актуальной зада-й. Большой интерес при этом представляют результаты, которые ается сформулировать в терминах коэффициентов системы.
йзобов Н.А.. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений //Итоги науки и техники. Сер. Математический ана-лизТ- М.: ВИНИТИ. -1974. - Т.І2: - С.71-76.
Самойленко A.U., Пересток Н.А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. - Киев: Вища школа, 1987. - 208 с.
Байнов Д.Д., Симеонов П.С. Теория показателей Ляпунова для
систем с импульсным воздействием //ZtUfci oLiaam, rUeeC*,.—
Г989. -23.- C.6I-82. <Г <Г^
Пелъ работы:
-
Для дискретных систем 2 систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием построить новые оценки характерно гаческюс показателей.
-
Для указанных систем установить критерии устойчивости по линейному приближение при возмущениях различных типов.
Методы исследования. В работе применяются дискретные неравенства и теория матриц.
Научная новизна. В диссертации установлены следующие новы результаты.
-
Доказан дискретный аналог теоремы Р.Э.Винограда - Н.А.И бова о необходимых и достаточных условиях асимптотической устой чивости по первому приближению дискретной системы с возмущениям порядка больше единицы.
-
Найдены достаточные условия притяжения решений дискретных систем в дифференциальных систем с импульсным воздействием с'возмущениями порядка меньше единицы.
-
На основе идеи метода замораживания установлены достаточные условия равномерной экспоненциальной устойчивости в целом нулевого решения нелинейной дискретной системы с ведущей линейной частью, матрица которой медленно меняется.
-
Найдены двусторонние оценки характеристических показате лей линейных дискретных систем в методе замораживания и доказан неулучшаемость полученных оценок по параметру, характеризующем? скорость изменения матрицы системы.
-
Развивается первый метод Ляпунова для дифференциальных систем с импульсным воздействием в фиксированные моменты времени. Найдены оценки характеристических показателей линейной треугольной системы. Установлены условия равномерной экспоненциал ной устойчивости решений нелинейной системы, выраженные через собственные значения и скорость изменения некоторой матрицы, oi ределяемой по линейной части.
Приложение. Результаты работы имеют теоретический харак-). Они могут быть использованы для дальнейшей разработки тео-[ устойчивости решений дискретных систем и дифференциальных :тем с импульсным воздействием, а такхе при решении прикладных іач, возникающих при изучении колебательных систем, подвержен-: кратковременным возмущениям импульсного типа.
Апробадия. Результаты диссертации докладывались на сеыина-по качественной теории дифференциальных уравнений (рук. l.Кондратьев, В.М.І&ллионщиков, Н.Х.Розов) и семинаре по асимп-лческим методам математической физики (рук. М.Ы.Хапаев) в :ковском государственном университете.
Публшсапщ. Результаты диссертации опубликованы в работах 12/, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Работа состоит пз введения, четы-: глав и списка литературы, содержащего 72 наименования; объ-работы -165 страниц машинописного текста.
