Введение к работе
Актуальность темы. Важное место в качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений занимает изучение линейных систем — как однородных так и неоднородных, постольку к их рассмотрению приводят многие вопросы, связанные с нелинейными системами.
Во многих задачах, посвященных изучению свойств решений светец дяфференпнальных уравнений, используется понятие характеристических показателей, введенное А.М.Ляпунозьш [1].
Одним из направлений исследования линейных систем, начало которому положил Перрон {2], является изучение связи между свойствами решений одЕюродной и неоднородной систем. В работе (3] ЮЛДалецпш и М.Г.Крешюи были найдены условия на решения линейной однородной системы, необходимые и достаточные для суше-ствозанпя у соответствующей неоднородной системы ограниченного решения при любой ограниченной неоднородности.
В докладе [4] была поставлена задача о нахождении условий на решения линейной однородной системы с непрерывными и ограниченными на положительной полуоси коэффициентами, необходимых и достаточных для существования у соответствующей неоднородной системы решения с неположительным характеристическим показателем при лэбой неоднородности с неположительным характеристическим ч показателем.
jl] Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л., Гостехнздат, 1950.
[2] Perron О. Die sstabilitatsfrage bei DiffereHtialgleicInmgen, Math/ Zs. 32 (1930), 703-728.
[3] Далеякпй ЮЛ., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифферен-цзаяьнкх уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970.
[4] МЕялиовщагов В.М. Две задачи о показателях Ляпунова неоднородных лишенных систем. — Дифференп. уравнения. 1992. Т. 28. N б. С. 1085-1086.
Ранее, в работе [5], было получено неготорое достаточное условие на однородную систему, при выполнении которого эта система удовлетворяет указанному выше свойству.
Цель работы состоит в нахождении критерия, позволяющего однозначно ответить, в какой случае линейная неоднородная система дифференциальных уравнений имеет решение с неположительный характеристическим показателем при любой неоднородности с неположительным характеристическим показателем.
Методы исследования, используемые в диссертации, опираются на методы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений: представление ретпепий динейиой неоднородной системы в интегральном виде через оператор Копта [6], сведение линейной однородной системы к системе треугольного вида [7], метод верхних функций [7].
Научная нозязпа. В диссертации получены следующие новые результаты:
1. Найдены условия ва решения линейной однородной системы дифференциальных уравнений с непрерывными н ограниченными на
[5] Сергеев ИЛ. О существовании решения с малым ростом для ба-регулярнык дшрференшаальных систем со случайным возмущением. — Дифференп, уравнения. 1977. Т.13. N 11. С. 2088-2092.
[6] Демидович Б Л- Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1987.
[7] Былав Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман ИМ., Неыыгшш В Л.
Теория показателен Ляпунова и ее приложение к вопросам устойчивости. М-- Наука, 19Є6.
положительной полуоси коэффициентами, необходимые и достаточные, чтобы для любой неоднородности с характеристическим показателей, не превосходящий заданного действительного числа, существовало хотя бы одно решение соответствующей неоднородной системы, также имеющее характеристический показатель, не превосхо-. дащхй данного числа.
-
Установлено еще одно характеристическое свойство правильных систем, связаннее с наличием у неоднородной системы решения с характеристическим показателем, не превьппающяи характеристического показателя неоднородности.
-
Получена оценка старшего показателя Ляпунова треугольной системы через ее диагональные коэффициенты, которая в некоторых случаях улучшает уже известные оценки.
Приложения. Диссертация носит теоретичесгнй характер. Ее результаты могут найти применение в решении задач качественной теории дифференциальных уравнении.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались в Московском государственном университете на семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений (руководители проф. В.А.Кондратьев, В.М.Мнллионпшкав, Н.Х.Розов), на семинаре по теории устойчивости (руководитель доц. И.Н.Сергеев) и на совместных заседаниях семинара им. ШГЛетровсхого и Московского математического общества.
Публикации. Основные результаты диссертации излажены в 3 работах автора. Спесое этих работ приложен в конце автореферата.
Структура и обьек диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, включающих в себя 12 параграфов и списка литературы, содержащего 14 наименований. Общий обьем диссертации— 104
страницы.
