Содержание к диссертации
0.1 Структура диссертации 4
0.2 Случайные динамические системы 5
0.3 Аттракторы 7
1 Динамика слоений 11
1.1 Введение 13
1.1.1 Результаты для случая слоения 14
1.1.2 Структура доказательства 18
1.1.3 Другие примеры динамических систем 22
1.2 Отрицательный показатель Ляпунова 24
1.2.1 Сжатие 24
1.2.2 Похожесть броуновских движений на разных слоях 27
1.2.3 Доказательство теоремы А 32
1.2.4 Примеры: голоморфные слоения комплексных поверхностей . 33
1.3 Симметрический случай 36
1.3.1 Дихотомия: доказательство теоремы В 36
1.3.2 Доказательство основной теоремы 50
1.3.3 Примеры: С2-слоения коразмерности один 53
1.3.4 Контрпример в несимметричном случае 56
1.4 Подвижные слоения 59
1.4.1 Несколько примеров 59
1.4.2 Нерасхождение слоев 60
1.4.3 Применение к строгой эргодичности 63
1.5 Приложение: доказательства технических утверждений 67
1.5.1 Закон больших чисел: оценка дискретизации 67
1.5.2 Доказательство леммы 1.2.4 68
1.5.3 Коразмерность, большая единицы 78
1.5.4 Неположительность показателей Ляпунова 78
2 Атіп ф Astat 84
2.1 Введение 84
2.2 Определения 86
2.3 Основной результат 86
2.4 Динамика: идеи доказательств 88
2.5 Доказательства 88
2.6 Замечания 95
3 Аттракторы для ячейки Черри 96
3.1 Введение 96
3.2 Определение ячейки Черри 98
3.3 Основной результат 99
Введение к работе
Главной целью данной диссертации является исследование различных феноменов типа притяжения в динамических системах.
В главе 1 мы, следуя определениям, предложенным Л. Гарнетт [38], исследуем динамические свойства слоений. Более точно, пусть на некотором компактном многообразии задано слоение, слои которого снабжены римановой метрикой. Тогда можно рассмотреть броуновское движение вдоль его слоев и задать вопрос о поведении соответствующих отображений голономии. Для таких систем, в случае трансверсально конформных слоений (в частности, для слоений коразмерности 1), в настоящей работе получена следующая альтернатива. Показано, что либо существует трансверсально инвариантная мера (вырожденный случай, встречающийся исключительно редко), либо отображение голономии вдоль типичного пути экспоненциально сжимает. Отсюда выводится, в частности, строгая эргодичность такой системы на любом минимальном подмножестве.
Также исследуются свойства соответствующего послойного уравнения теплопроводности, для которого, как следствие, получена теорема стабилизации.
Использованная техника может быть применена во многих других случаях: "словарь Салливана" позволяет переносить полученные результаты на случай конформного действия групп и конформных соответствий.
Главы 2 и 3 посвящены исследованию различных типов аттракторов для обычных динамических систем. Существует много определений того, что следует считать аттрактором системы: максимальный аттрактор, предельное множество, неблуждающее множество, центр Биркгофа, милноровский, статистический и минимальный аттракторы. Иерархия (т.е. свойства включения) таких аттракторов уже широко исследовались, в частности, в работах Рюэлля [90], Городецкого и Ильяшенко [47], Городецкого [44].
В главе 2 мы приводим пример динамической системы, для которой минимальный и статистический аттракторы не совпадают. Тем самым, получен отрицательный ответ на вопрос А.С. Городецкого и Ю.С. Ильяшенко, поставленный ими в работе [47]. Это первый пример, различающий эти два аттрактора.
Этот пример получается модификацией примера Боуэна: одно из сёдел заменяется на седлоузел. Для полученной системы, итерации меры Лебега стремятся к мере Дирака, сосредоточенной в седлоузле. Напротив, все точки при этом время от времени уходят от седлоузла на протяжении значительного (и разного для разных точек) промежутка времени, проводя это время в окрестности седла. В результате, минимальный аттрактор состоит из одной точки (седлоузла), а статистический из двух: седла и седлоузла.
В главе 3, мы исследуем динамику ячейки Черри. Ячейка Черри — гладкое векторное поле на двумерном торе, имеющее исключительное (т.е. канторово) квазиминимальное множество, проходящее через седловую особую точку. Мы показываем, что почти всякая (по мере Лебега) точка тора проводит почти всё время в окрестности этого седла; соответственно, статистическим аттрактором является это седло. С другой стороны,, милноровский аттрактор совпадает с квази-минимальным множеством. Следовательно, милноровский и статистический аттракторы для ячейки Черри не совпадают.
В типичном однопараметрическом семействе векторных полей на торе, множество значений параметра, соответствующих ячейке Черри, это канторово множество (без его концевых точек); см., например, [11]. Следовательно, ячейка Черри является примером несовпадения милноровского и статистического аттракторов, встречающимся неизолированным образом в типичном однопараметрическом семействе. Соответственно, данный пример более типичен, чем петля сепаратрисы (встречающаяся в однопараметрическом семействе дискретным образом), являвшаяся до настоящего момента примером наиболее общего положения из известных примеров несовпадения данных аттракторов.
0.2 Случайные динамические системы
Классической случайной динамической системой на метрическом компакте X называется вероятностная мера на множестве эндоморфизмов X. Простейшим случаем является задание конечного множества отображений 7} и соответствующих им вероятностей их применения pj. Последовательность итераций такой системы это случайная последовательность композиций этих отображений. Эта последовательность начинается с тождественного отображения, и каждое следующее отображение получается из предыдующего композицией с одним из ТІ, выбираемым случайно. Выбор ТЇ независим на разных шагах, и каждое отображение Tj выбирается с соответствующей вероятностью pj.
Такие системы интенсивно исследовались. Первой работой в этом направлении была работа Фюрстеиберга о произведениях случайных матриц [33]. В этой работе показано, что под действием такого произведения (при несущественных предположениях типичности) почти наверное почти все направления в Rn сближаются. Другим важным результатом, также принадлежащим Фюрстенбергу [34], является следующее утверждение: образы стационарной меры при итерациях с обратным порядком почти наверное сходятся. В работе Каймановича и Мазура [61], для случая динамики модулярной группы поверхности, доказано, что предельная мера почти наверное является мерой Дирака, что влечёт сближение орбит и единственность стационарной меры. Также в данной области есть много других работ, заслуживающих упоминания: Ле Жана [75], Фюрстеиберга и Кифера [37], Фюрстеиберга и Кестена [36], Крауэла [22].
Главным инструментом здесь является стационарная мера, то есть мера, совпадающая со средним своих итераций. Это обобщение понятия инвариантной меры для обычных динамических систем на случай случайных динамических систем.
Мы должны упомянуть здесь работы Кайзера [64], где эффект сближения орбит был установлен для итераций одного аналитического диффеоморфизма, возмущаемых поворотами на случайные углы и Антонова [1], где было установлено следующее общее утверждение: в двусторонне-минимальной случайной динамической системе на окружности либо имеется общая инвариантная мера, либо имеет место эффект сближения орбит. В случае гладкой динамической системы, Баксендейлом [8] доказано следующее утверждение: для гладкой случайной динамической системы на компактном многообразии, существует эргодическая стационарная мера, такая, что сумма соответствующих ей показателей Ляпунова неположительна, и обращается в ноль если и только если эта мера инвариантна под действием всех диффеоморфизмов. В частности, для динамической системы на окружности из этой теоремы вытекает, что либо найдётся мера, инвариантная под действием всех отображений, либо имеет место эффект сближения орбит.
В главе 1 мы исследуем более общий случай случайных динамических систем, введённый Гарнетт [38], а именно, динамику на слоениях. Пусть на слоях некоторого слоения введена риманова метрика. Тогда можно рассмотреть броуновское движение вдоль слоев и поставить вопрос об исследовании асимптотического поведения отображений голономии вдоль типичных траекторий.
Аналогом стационарной меры в данном случае будет гармоническая мера, а аналогом общей инвариантной меры трансверсалъная инвариантная мера: это мера на трансвер-салях, инвариантная под действием всех отображений голономии.
Мы покажем, что для всякого трансверсально конформного слоения (класса гладкости С1 в случае коразмерности 1) либо найдётся трансверсальная инвариантная мера, либо отображение голономии вдоль типичной броуновской траектории экспоненциально сжимает некоторую окрестность на трансверсали. Иначе говоря, наличие трансверсаль-ной инвариантной меры является единственным препятствием к эффекту трансверсаль-ного сжатия.
Главными инструментами здесь являются гармонические меры и показатели Ляпунова. Показатель Ляпунова измеряет асимптотическое поведение производных отображения голономии, соответствующих пути: это предел отношения логарифма производной отображения голономии к прошедшему времени, когда время стремится к бесконечности. Этот предел для типичной траектории существует и называется показателем Ляпунова.
0.3 Аттракторы
В современной теории динамических систем, существует много различных формализации понятия аттрактора как притягивающего множества системы. В их числе необходимо упомянуть максимальный аттрактор диссипативнои динамической системы, предельное множество, центр Биркгофа, милноровский, статистический и минимальный аттракторы.
Гипотеза Палиса [84] предлагает, что для типичной динамической системы все эти определения дают одно и то же множество. С другой стороны, гипотеза Рюэлля [90] предполагает, что существуют типичные примеры несовпадения аттракторов. Впрочем, поскольку в этих гипотезах используются разные определения типичности (метрическая типичность в гипотезе Палиса и топологическая в гипотезе Рюэлля), эти гипотезы не являются взаимоисключающими.
Мы напомним определения некоторых из вышеупомянутых аттракторов и поясним их "физический смысл".
Пусть задано непрерывное отображение / : В — В, причём f(B) С Int(?) (такое отображение называется диссипативным). Максимальный аттрактор этого отображения определяется как пересечение всех итераций исходного множества:
Amax = f}fn(B). п
Это множество есть множество состояний, в которых система может находиться в сколь угодно большой момент времени. Конечно, не все системы диссипативны; поэтому обычно напрямую это определение не применяют. Напротив, достаточно часто "естественный" аттрактор системы оказывается максимальным аттрактором некоторой своей окрестности.
Предельное множество L определяется как замыкание объединения ш-предельных множеств всех точек. Иными словами, предельное множество это наименьшее замкнутое множество, к которому стремятся орбиты всех точек. Можно также определить его, используя подход несущественных множеств. Открытое множество U несущественно в смысле предельного множества, если орбита любой точки попадает в U лишь конечное число раз. Теперь, можно определить предельное множество как дополнение к объединению всех несущественных множеств.
Милноровский аттрактор Ам определяется как наименьшее замкнутое множество, содержащее w-предельные множества для почти всех по мере Лебега начальных точек. Иначе говоря, это наименьшее множество, к которому стремится орбита типичной точки.
Статистический аттрактор Astat определяется следующим образом. Открытое множество U несущественно для статистического аттрактора, если для почти любой начальной точки х, доля времени, проводимого итерациями х в U, стремится к 0. Опять же, статистический аттрактор определяется как дополнение к объединению всех несущественных множеств.
Это определение может быть получено из следующей физической интерпретации. Предположим, что состояние системы отображается на экране светящейся точкой, и что мы фотографируем экран на очень малочувствительную плёнку с очень большой экспозицией. Полученное изображение (точнее, объединение таких изображений), это и есть статистический аттрактор.
Определение минимального аттрактора Ат{п похоже на определение статистического аттрактора, но вместо итераций индивидуальных точек рассматриваются итерации меры Лебега. А именно, открытое множество несущественно для минимального аттрактора, если временные средние mt меры Лебега концентрируются в дополнении к U, то есть, mt(U) стремится к 0 при t, стремящемся к бесконечности.
Это определение также можно интерпретировать как "фотографию экрана", но теперь на экране показывается динамика не одной точки, а множества, причём изначально точки были распределённы равномерно в смысле меры Лебега.
Эти определения изучались, в частности, в работах [44, 90, 84]. Известно (см. [44]), что
Атах Э L D -Ад/ Э Astat Э А-тіти
более того, для всех включений, кроме последнего, имелись примеры, показывающие, что эти включения могут быть строгими. С другой стороны, для последнего включения такой пример не был известен. В [47] был поставлен вопрос о совпадении минимального и статистического аттракторов.
В главе 2 мы приводим пример динамической системы, для которой минимальный и статистический аттракторы не совпадают. Этот пример получается незначительной модификацией примера Боуэна: одно из сёдел заменяется на седлоузел. Для полученной системы, каждая точка проводит значительное время около как седла, так и седлоузла, поэтому статистическим аттрактором оказывается их объединение. С другой стороны, мера, сконцентрированная около седла, стремится к 0: все точки оказываются время от времени близко к нему, но все в свои моменты времени. В результате, минимальный аттрактор состоит лишь из одной точки: седлоузла.
Глава 3 посвящена исследованию ячейки Черри. В 1881 году Пуанкаре [89] поставил вопрос о существовании потока на двумерной поверхности, у которого существовало бы исключительное (т.е. трансверсально канторово) минимальное множество. В 1932, Дан-жуа [23] показал, что такого гладкого потока не существует. Поток Черри был предложен Черри [18, 19] в 1937 году как пример гладкого потока на двумерном торе с исключительным кеазиминимальным множеством; это пример, наиболее близкий к тому, что интересовало Пуанкаре.
В этой главе мы исследуем частный случай потоков Черри: потоки с одной ячейкой. Для таких потоков, соответствующее квазиминимальное множество содержит одну особую точку — седло. Мы покажем, что почти все точки тора проводят почти всё время в окрестности этого седла. Следовательно, минимальный и даже статистический аттрактор в этом случае состоят из всего одной точки — этого седла. С другой стороны, сопредельные множества почти всех точек совпадают с квазиминимальным множеством. Соответственно, аттрактором Милнора является именно это (трансверсалыю канторово) множество; и милноровский аттрактор не совпадает со статистическим и минимальным. Как следствие, ячейка Черри является примером несовпадения минимального и мил-норовского аттракторов. Этот пример имеет коразмерность 1 — 0, и соответственно является наиболее типичным из известных примеров такого несовпадения.
Благодарности
Автор выражает свою огромную благодарность своим научным руководителям, доктору физ.-мат. наук, профессору Ю. С. Ильяшенко и академику Э. Жису, за постановку задач, постоянное внимание к работе и моральную поддержку.
