Об устойчивости показателей Ляпунова трехмерного дифференциального уравнения Сергеев, Игорь Николаевич

Диссертация, - 480 руб., доставка 1-3 часа, с 10-19 (Московское время), кроме воскресенья

Автореферат - бесплатно, доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Сергеев, Игорь Николаевич. Об устойчивости показателей Ляпунова трехмерного дифференциального уравнения : диссертация ... доктора физико-математических наук : 01.01.02.- Москва, 2000.- 252 с.: ил. РГБ ОД, 71 01-1/149-1

Введение к работе

Актуальность темы. Одним из основных направлений качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений является изучение характеристических показателей, которые были введены А.М.Ляпуновым¹' в связи с изучением устойчивости по первому приближению. Бурное развитие теории линейных систем привело к созданию целого ряда новых характеристик асимптотического поведения решений, так или иначе связанных с показателями Ляпунова или с исследованием решений на устойчивость. Библиография в обзорах Н. А. Изобова²''³' по теории показателей Ляпунова насчитывает несколько сотен наименований.

Важным вопросом теории показателей Ляпунова является вопрос об их зависимости от правых частей системы. О. Перроном впервые был приведен пример⁴', показывающий, что старший показатель Ляпунова, рассматриваемый как функционал на пространстве линейных однородных систем с топологией равномерной сходимости коэффициентов на положительной полуоси, имеет точки разрыва. Таким образом, была открыта содержательная ветвь этой теории, состоящая в изучении устойчивости самих показателен Ляпунова относительно малых возмущений системы.

Напомним⁵''⁶', что каждая линейная однородная система, состоящая из п линейных дифференциальных уравнений первого порядка и называемая ниже n-мерным уравнением, характеризуется набором из п показателей Ляпунова, расположенных в порядке нестрогого возрастания. Отрицательность старшего из них означает экспоненциальную устойчивость нулевого решения, а положительность — соответственно, неустойчивость. Аналогично, А--Й показатель отвечает за условную устойчивость относительно

Ляпунов Л. М. Общая задача об устойчивости движения // М.-Л.: Гостехиэдат. 1950.
Изобоъ Н. А. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Итоги науки и техники. Математический анализ. 1974. Т. 12. С. 71 — 146.

3) Изобов Н.А. Исследования в Беларуси по теории характеристических показателей
Ляпунова и ее приложениям // Дифференц. уравнения. 1993. Т. 29, Л'*12. С. 2034 — 2055.

4) Perron О. Die Ordnungzahlen der Difierentialgleichiingen // Math. Z. 1930. Bd.32. S. 703
— 72S

Былое Б.Ф.. Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыц-кий В. В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости // М.: «Наука». 1966.
Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости // М.: «Наука». 1967.

fc-мерного подпространства.

Для исследования непрерывности какого-либо показателя как функционала на пространстве линейных уравнений с равномерной топологией рассмотрим максимальную полунепрерывную снизу миноранту и минимальную полунепрерывную сверху мажоранту этого показателя, связанные с полунепрерывностью показателя снизу и сверху в отдельности и именуемые ниже просто минорантой и мажорантой соответственно (эти функционалы называются также минимальным⁷' и максимальным⁸) показателями).

Практический смысл минорант и мажорант показателей основан наследующем соображении. Если миноранта старшего показателя Ляпунова для данного уравнения принимает неположительное значение, то уравнение стабилизируемо равномерно малыми возмущениями, т.е. в сколь угодно малой, в смысле равномерной топологии, окрестности этого уравнения существует уравнение с устойчивым нулевым решением. Если же значение миноранты для данного уравнения положительно, то уравнение не стабилизируемо в указанном смысле. С другой стороны, если мажоранта старшего показателя Ляпунова принимает неотрицательное значение, то уравнение дестабилизируемо равномерно малыми возмущениями, а если отрицательное — то не дестабилизируемо. Аналогичную роль, но по отношению к условной устойчивости, играют миноранты и мажоранты остальных показателей Ляпунова.

Р. Э. Виноградом⁹^ была дана оценка сверху мажоранты старшего показателя и оценка снизу минораты младшего показателя с помощью введенных им верхнего и нижнего центральных показателей. В. М. Миллионщиков¹⁰', используя свой метод поворотов, доказал неулучшаемость этих оценок, или, что то же, достижимость центральных показателей старшим и младшим показателями Ляпунова под действием равномерно малых возмущений. С помощью того же метода он получил¹¹) (см. также работы

Изобоо И. А. Минимальный показатель двумерной диагональной системы // Дифферент уравнения. 1976. Т. 12, №1. С. 1954 — 1966.
Сергеев И. Н. Точные верхние границы подвижности показателей Ляпунова системы дифференциальных уравнений и поведение показателей при возмущениях, стремящихся к нулю на бесконечности // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16, №3. С. 438 — 448.
Виноград Р. Э. О центральном характеристическом показателе системы дифференциальных уравнений // Матем. сборник. 1957. Т. 42. С. 207— 222.

10) Миллионщиков В.М. Доказательство достижимости центральных показателей //
Сибирск. матем. журнал. 1969. Т. 10, К«1. С. 99 — 104.

11) Миллионщиков В.М. Грубые свойства линейных систем дифференциальных уравне-

Б.Ф.Былова, А. Н.Изобова¹²''¹³') критерий устойчивости сразу всех показателей Ляпунова и доказал¹⁴', что в пространстве всех уравнений всюду плотны точки непрерывности и даже грубой непрерывности всех показателей Ляпунова — точки, соответствующие уравнениям с так называемой экспоненциальной (интегральной) разделенностью¹^^,5'.

Н. А. Изобовым в случае двумерного уравнения¹⁶' была выведена формула, выражающая миноранту старшего показателя Ляпунова через оператор Коши исходного уравнения, а в случае уравнения произвольной размерности¹'' была найдена оценка этого показателя снизу. Эти результаты были получены отчасти благодаря введенной Н. А. Изобовым минимальной функции, призванной ограничивать снизу наибольший рост решений возмущенных уравнений.

Формулы для вычисления мажорант показателей Ляпунова, причем сразу для любого из показателей и для уравнения произвольной размерности, были получены в работе⁸'. Вычисление мажорант оказалось сравнительно более простой задачей, связанной с разбиением пространства решений исходного уравнения в прямую сумму экспоненциально отделенных друг от друга подпространств и с нахождением в этих подпространствах уже известных к тому времени центральных показателей.

Для вывода указанных формул в той же работе активно применялись бесконечно малые возмущения, и была доказана достижимость мажорант всех показателен Ляпунова и миноранты младшего показателя в классе бесконечно малых возмущений. Заметим, что такие возмущения использовались еще О.Перроном в его примере⁴' точки разрыва старшего показате-

ний // Дифферент, уравнения. 1969. Т. 5, №10. С. 1775 — 1784.

12) Былое Б. Ф., Изобое Я. А. Необходимые и достаточные условия устойчивости харак
теристических показателей диагональной системы // Дифференц. уравнения. 1969. Т. 5, -VilO.
С 1785 — 1793.

13) Былое Б.Ф , Изобое И. А. Необходимые и достаточные условия устойчивости ха
рактеристических показателей линейной системы // Дифференц. уравнения. 1969. Т. 5, XtlO
С 1794 — 1S03.

Миллиокхцикое В. М. Системы с интегральной разделенностью всюду плотны в множестве всех линейных систем дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1969 Т. 5, Л"«7 С 1167 — 1170.
Perron О. Uber Нпезге Differentialgleichungen, bei denen die unabhangige Variable reel ist I/ J reine und angew. Math. 1931. Bd. 142. S. 254 — 270.
Изобое H. А. Минимальный показатель двумерной линейной дифференциальной системы // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13, №5. С. 848 — 858.
Изобое Н.А. Оценка снизу для минимального показателя линейной системы //Дифференц. уравнения. 1978. Т. 14, №9. С. 1576 — 1588.

ля. Особый интерес впоследствии вызывали возмущения, экспоненциально убывающие на бесконечности¹⁸'.

В докладе В. М. Миллнонщикова¹⁹' на совместных заседаниях семинара им. И. Г. Петровского и Московского математического общества была поставлена задача об описании точек непрерывности данного (любого) показателя Ляпунова в терминах оператора Коши исходного уравнения. К этой задаче тесно примыкают работы М. И. Рахимбердиева²⁰''²¹' и О.Г.Илларионовой²²', в которых получены критерии непрерывности особых и центральных показателей соответственно.

В начале 80-х годов В. М. Миллионщиков открыл новое направление в качественной теории дифференциальных уравнений, предложив для описания зависимости различных характеристик асимптотического поведения решений дифференциальных уравнений использовать классификацию Бэра разрывных функций²³'. В частности, он установил²⁴', что показатели Ляпунова как функционалы на пространстве уравнений с компактно-открытой топологией, т.е. топологией равномерной сходимости коэффициентов на любом компакте положительной полуоси, принадлежат второму классу Бэра. Это означает, что каждый из них представим в виде двойного поточечного предела по счетному множеству от непрерывных функций. Далее²⁰', тому же классу (в той же топологии) принадлежат и мажоранты всех показателей, в то время как миноранта младшего показателя Ляпунова принадлежит третьему классу Бэра, т. е. она представима в виде тройного поточечного предела от непрерывных функций.

Изобов И. А. Экспоненциальные показатели линейной системы и их вычисление // Докл. АН БССР. 1982. Т. 26, N4. С. 5 — 8.
Миллионщиков В.М. Некоторые задачи теории линейных дифференциальных уравнений // Успехи матем. наук. 1985. Т. 40, вып. 5. С. 241 — 242.

Рахимбердиев М. И. Об устойчивости особых показателей линейных систем и замыкании множества линейных систем с экспоненциальной дихотомией. I // Дифференц. уравнения. 1974. Т. 10, №4. С. 659 — 670.
Рахимбердиев М. И. Об устойчивости особых показателей линейных систем и замыкании множества линейных систем с экспоненциальной дихотомией. II // Дифференц. уравнения. 1974. Т. 10, №10. С. 1797 — 1807.

Илларионова О. Г. Об устойчивости центральных показателей линейных систем // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24, №9. С. 1492 — 1503.
Бэр Р. Теория разрывных функций // М.-Л.: ГТТИ. 1932.
Миллионщиков В. М. Бэровские классы функций и показатели Ляпунова. I // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16, №8. С. 1408— 1416.
Миллионщиков В. М. О мажорантах показателей Ляпунова линейных систем // Дифференц. уравнения 1992. Т. 28, №6. С. 1090.

М.И.Рахимбердиевым было установлено²⁶\ что показатели Ляпунова не принадлежат первому классу Бэра на пространстве уравнений с равномерной, а тем более с компактно-открытой топологией. В дальнейшем это направление, как в части доказательства принадлежности, так и в части доказательства непринадлежности конкретных показателей тому или иному классу Бэра, развивалось в работах многих авторов²⁷' ³⁵'.

В докладе В. М. Милдионщнкова³⁶' на семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений в Московском университете была поставлена задача о минимальном классе Бэра, которому принадлежат миноранты показателей Ляпунова в компактно-открытой топологии (в равномерной топологии они, будучи полунепрерывными функциями, принадлежат первому классу Бэра). Более точно, задача ставилась в связи с изучением показателей как функций параметра, от которого непрерывно зависят коэффициенты уравнения.

А.Н.Ветохин выделил³¹' простое свойство показателя, при отсутствии которого он не принадлежит первому классу Бэра. Он получил также необходимое условие принадлежности функционала второму классу Бэра и с его помощью доказал³²', что миноранты всех показателей Ляпунова не принадлежат второму классу Бэра ни в одной из двух рассмотренных топологий.

Рахчмбердиев М. И. О бэровском классе показателей Ляпунова // Матем. заметки. 1982. Т. 31, .V>S, С. 925 — 931.
Морозов О. Я. О бэровском классе показателей Ляпунова неоднородных линейных систем // Вестник Моск. ун-та. Сер 1. Математика. Механика. 1991, Х«6. С. 22 — 30.
Агафонов В. Г. К бэровской классификации показателей Ляпунова // Дифференц. уравнения 1991. Т. 27, №8. C.14S6.
Феклин В. Г. Классификация нижних вспомогательных показателей по Бэру // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28, №11. С. 2009.
Ширяев К. В. О классе Бэра некоторых показателей линейных систем в компактно-открытой топологии // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31, №5. С. 905.
В&тохии А. И. О классах Бэра остаточных функционалов // Дифференц. уравнения. 19DS. Т. 31, №5. С. 909 — 910.
Ветохин А.Н- О классе Бэра минимальных показателей // Дифференц. уравнения. 1995 T 31, №12. С. 2090.
Выков В. В. Некоторые свойства минорант показателей Ляпунова // Успехи матем. наук. 1996 Т. 51, вып. 5. С. 186.

34) Быков В. В. О связи классов Бэра остаточных функционалов в равномерной и
компактно-открытой топологиях //Дифференц. уравнения. 1997. Т.33, №6. С.855.

Салов Е. В. О бэровском классе минорант промежуточных показателей Ляпунова // Дифференц уравнения. 1999. Т.35, №11. С. 1573.
Миллионщиков В. М- Задачи о минорантах показателей Ляпунова // Дифференц. уравнения 1993 Т. 29, №11. С. 2014 — 2015.

Цель работы. Центральное место в настоящей диссертации занимает вопрос о нахождении формул для вычисления максимальных полунепрерывных снизу минорант показателей Ляпунова.

Подчеркнем, что речь идет о получении выражений, использующих информацию только об исходном уравнении и не требующих никаких сведений о близких возмущенных уравнениях.

При этом внимание автора сосредоточено прежде всего на случае трехмерного уравнения, поскольку он уже весьма содержателен, а с повышением размерности аккуратные формулировки и доказательства соответствующих утверждений резко усложняются.

В развитие результатов о формулах для минорант и об их достижимости при возмущениях специального вида в работе изучаются вопросы о классах Бэра показателей Ляпунова и их минорант.

Научная новизна. На защиту выносятся следующие основные результаты автора:

получена формула, выражающая максимальную полунепрерывную снизу миноранту старшего показателя трехмерного уравнения через оператор Коши этого уравнения;
получена формула, выражающая максимальную полунепрерывную снизу миноранту среднего показателя трехмерного уравнения через оператор Коши этого уравнения;
доказана достижимость максимальной полунепрерывной снизу миноранты среднего показателя трехмерного уравнения в классе бесконечно малых (на бесконечности) возмущений;
доказана принадлежность максимальных полунепрерывных снизу минорант старшего и среднего показателей трехмерного уравнения третьему классу Бэра в компактно-открытой топологии на полупрямой;
доказана локальная непринадлежность младшего и среднего показателей Ляпунова трехмерного уравнения в точности первому классу Бэра в равномерной топологии на полупрямой.

Таким образом, предлагаемое исследование представляет собой существенное продвижение в решении задач В. М. Миллионщикова¹⁹)'³⁶', а в случае трехмерного уравнения — окончательное решение обеих задач.

Методы исследования. При доказательстве утверждений в диссертации широко использовались методы теории линейных систем дифференциальных уравнений, линейной алгебры и теории операторов, комбинаторики и алгебры подстановок, математического анализа и бэровской теории разрывных функций. В качестве специальных методов отметим лишь следующие два:

несколько усовершенствованный автором диссертации метод поворотов В. М. Миллионщикова¹⁰''¹¹';

метод оценки роста решений с помощью функций типа центральных функций Р. Э. Винограда⁹) и минимальной функции Н. А. Изобова'', определяемых через сингулярные числа операторов Коши исходного уравнения.

Приложения. Исследование носит теоретический характер. Его результаты и методы могут быть полезны специалистам, занимающимся качественной теорией дифференциальных уравнений, в частности, теорией показателен Ляпунова и ее приложениями к вопросам устойчивости.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова на семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений (руководители проф. В. А. Кондратьев, проф. В. М. Миллионщиков, проф. Н. X. Розов), на семинаре по теории приближений и граничным свойствам функций (под руководством проф. Е. П. Долженко) и на совместных заседаниях семинара им. И. Г. Петровского и Московского математического общества.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 22 работах автора, список которых приведен в конце автореферата (ссылки на них даются ниже в квадратных скобках). В числе этих работ содержатся:

серия из четырех статен [13, 16, 17, 19] в журнале «Дифференциальные уравнения»;

серия из двух статей [12, 20] в журнале «Вестник Московского университета»;

статья [18] в журнале «Труды Института математики НАН Беларуси»;

ряд аннотаций докладов в журналах «Успехи математических наук» и «Дифференциальные уравнения».

Структура и объем диссертации. Текст диссертации состоит из введения и шести глав (разбитых в общей сложности на 22 параграфа), а также списка цитированной литературы. Общий объем работы составляет 252 страницы, библиография содержит 65 наименований.

Об устойчивости показателей Ляпунова трехмерного дифференциального уравнения Сергеев, Игорь Николаевич

Похожие диссертации на Об устойчивости показателей Ляпунова трехмерного дифференциального уравнения