Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Связь устойчивости разностного уравнения с оценками его функции Коши 24
1.1. Линейное неавтономное разностное уравнение 24
1.2. Вспомогательное функционально-дифференциальное урав
1.3. Устойчивость по начальной функции 33
1.4. Устойчивость по правой части 44
1.5. Признак устойчивости для полуавтономной системы 49
Глава II. Признаки устойчивости неавтономного уравнения 55
2.1. «3/2 — теоремы» 56
2.1.1. Точность константы 3/2 58
2.2. Уравнение с одним запаздыванием и вариантой 2 а(г), i=n—h(n) имеющей конечный предел 64
2.2.1. Точность константы 7г/2 66
2.3. Уравнение с ограниченными запаздываниями 70
2.3.1. Доказательство теорем 2.4 и 2.5 71
2.3.2. Точность константы 3/2 + оы-, 0 83
2.4. Сравнение с известными результатами 87
Глава III. Признаки устойчивости уравнения с постоянными коэффициентами 94
3.1. Признаки устойчивости в терминах ограничений на вспо могательную функцию 95
3.2. Переформулировка результатов в терминах параметров ис ходного уравнения 103
3.3. Точность границ области устойчивости 106
3.4. Сравнение с известными результатами 108
3.5. Обобщение на случай полуавтономных систем 109
Литература
- Вспомогательное функционально-дифференциальное урав
- Признак устойчивости для полуавтономной системы
- Уравнение с ограниченными запаздываниями
- Точность границ области устойчивости
Вспомогательное функционально-дифференциальное урав
Для автономных разностных уравнений исследование характеристических показателей сводится к алгебраической задаче — изучению расположения корней характеристического полинома относительно единичного круга. Начало исследования устойчивости автономных разностных уравнений положено в работах П.И. Коваля [24], Э.И.Джури [16], [87], С.А.Левина и Р.М. Мэя [94]. Заметим, что построение областей устойчивости автономного уравнения в пространстве его параметров оказалось нетривиальной задачей. В настоящее время исследования устойчивости автономных уравнений стали даже более интенсивными (см., например, работы [22], [23], [42], [52], [82], [89], [93], [100], [104], [105]).
Для уравнений с периодическими коэффициентами поиск характеристических показателей можно свести к задаче изучения спектра матрицы монодромии. Исследованию устойчивости таких уравнений уравнений посвящены работы С.Н. Шиманова и М.Г. Близорукова [8]–[11].
Еще в пятидесятые годы в работах П.И. Коваля [25], [26] были по аналогии с ОДУ введены понятия приводимой и почти приводимой систем разностных уравнений, исследование устойчивости которых можно свести к исследованию устойчивости автономных систем. Автор, в частности, перенес на разностные уравнения известную теорему о том, что система разностных уравнений с периодическими коэффициентами яв ляется приводимой.
И в настоящее время находятся новые классы уравнений, для которых удается применить идеи первого метода Ляпунова, однако это случается редко. В качестве примера, отметим новый метод «замораживания коэффициентов» [17], [76], [79], [102], позволяющий сводить исследование устойчивости некоторых неавтономных уравнений к изучению некоторой совокупности автономных уравнений.
Метод функций Ляпунова для разностных уравнений одними из первых использовали В.Хан [84], [85], С.Е.Бертрам и Р.Е. Калман [88], М.А. Скалкина [56]–[58], С.Н.Шиманов и Н.И.Казеева [18] [21]. Он используется и в последние годы (см., например, [3], [4], [27], [53], [54], [55], [86]). Теория второго метода Ляпунова для разностных уравнений подробно изложена в известной монографии А. Халаная и Д. Векслера [61].
Развитие численных методов и математического моделирования стимулировало исследования разностных уравнений. Появилось большое количество монографий, посвященных этой области математики. Широко известны работы Я.С. Безиковича [7], А.О. Гельфонда [13], Э.И.Джури [15], Д.И. Мартынюка [48], А.А. Миролюбова и М.А. Солдатова [49], [50], А. Халаная и Д. Векслера [61], R.P. Agarwal [64], S.N. Elaydi [77].
Разностные уравнения используются для аппроксимации дифференциальных уравнений. Однако во многих случаях исследуемый процесс более адекватно описывается разностными, а не дифференциальными уравнениями. Первыми моделями, в основу которых были положены разностные уравнения, стали модель динамики популяции рыб Бевертона-Холта (1957) [73] и ее обобщение — модель Пиелоу (1969) [107], [108]. В последние три десятилетия разностные уравнения все чаще используются для описания процессов экологии, биологии, экономики. Соответственно возросла и актуальность исследования свойств разностных уравнений, а одним из важнейших среди них является устойчивость. Методов исследования устойчивости, основанных на проведении параллели с ОДУ, оказалось недостаточно, поэтому требовалась разработка новых подходов.
В пятидесятых годах прошлого века работами А.Д. Мышкиса [51] и Н.Н. Красовского [28] было положено начало теории функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ). Ее основы излагаются, например, в монографиях Н.В. Азбелева, В.П. Максимова и Л.Ф. Рахматулиной [1], Н.В.Азбелева и П.М.Симонова [2], Р. Беллмана и К.Кука [6], Л.Э.Эсгольца и С.Б.Норкина [63], А.Д. Мышкиса [51], Дж.Хейла [62] и др. В настоящее время теория ФДУ стала важным самостоятельным разделом теории дифференциальных уравнений.
Многие классы разностных уравнений по своей природе оказались ближе к ФДУ, чем к ОДУ. Для обозначения разностных уравнений, которые рассматриваются как аналоги ФДУ с запаздыванием, в зарубежной литературе появился специальный термин — Delay Difference Equations (разностные уравнения с запаздываниями).
В последние два с половиной десятилетия разностные уравнения с запаздываниями изучали многие авторы: R.P.Agarwal, Y.H.Kim и S.K.Sen [65], [66], C.T.H.Baker [67], L.Berezansky и E. Braverman [70]-[72], L.H.Erbe, H.Xia и J.S.Yu [78], I.Gyori и F.Hartung [81], I. Kovacsvolgyi [90], E. Liz [96], [97], A. Ivanov и J.B. Ferreiro [98], Pituk [99], K.Gopalsamy [103], M. V. Tkachenko и S.Trofimchuk [110] и др. На разностные уравнения были перенесены методы исследования устойчивости ФДУ, такие как метод неравенств типа Халаная и условия Йорке.
В середине восьмидесятых годов прошлого века K.L. Cooke и J.Wiener [74], изучая вопросы аппроксимации решений функционально-дифференциальных уравнений решениями разностных уравнений, выделили специальный класс ФДУ — уравнения с кусочно-постоянными аргументами. Оказалось, что решения уравнения с кусочно-постоянными аргументами совпадают в целочисленных точках с решениями некоторого разностного уравнения. Обратим внимание, что между разностными уравнениями и ОДУ подобной связи нет.
Признак устойчивости для полуавтономной системы
В рамках подхода Н.В. Азбелева ряд объектов, которые традиционно (в частности, в теории ОДУ) играли лишь вспомогательную роль, становятся центральными объектами исследования. При изучении уравнений с запаздывающим аргументом такими объектами являются функция Коши, оператор Коши и связанное с ними представление решения уравнения — формула Коши.
Устойчивость по начальным данным определяется как некоторое свойство функции Коши. Такое понимание устойчивости предоставляет удобную форму выражения результатов и во многих случаях упрощает их получение. Оно согласовано с общепринятым, однако акцентирует внимание на том, что именно от свойств функции Коши зависит асимптотическое поведение решения.
Устойчивость по правой части оказывается тесно связанной со свой ствами оператора Коши и определяется как действие оператора Коши в паре некоторых линейных пространств [2]. В теории обыкновенных дифференциальных уравнений давно известны теоремы типа Боля-Перрона, устанавливающие эквивалентность устойчивости по правой части и экспоненциальной устойчивости [5], [14], [28]. В рамках описываемого подхода теоремы типа Боля—Перрона, связывая действие оператора Коши с оценками функции Коши, приобретают особое значение.
Следуя традиции Пермской школы, мы делаем функцию Коши и оператор Коши разностного уравнения основными объектами исследования. В свете сказанного выше, актуальным становится установление связи устойчивости уравнения по начальной функции с оценками функции Коши и получение разностных аналогов теорем типа Боля-Перрона.
Линейные уравнения обладают наиболее простыми свойствами и именно для них естественно ожидать наилучших результатов — получения эффективных, то есть выраженных в терминах параметров исходной задачи, и неулучшаемых признаков устойчивости.
Для линейного неавтономного ФДУ с одним запаздыванием первый такой признак получен еще в работе А.Д. Мышкиса [51] (известная теорема о 3/2). В работах T.Yoneyama [111], J.A.Yorke [112] и В.В. Малыгиной [44] этот результат был обобщен на ФДУ с несколькими запаздываниями.
Для линейного неавтономного разностного уравнения с одним запаздыванием аналоги теоремы Мышкиса получены в конце 90 годов прошлого века в работах J.S.Yu [113] и B.G.Zhang, C.J.Tian, P.J.Y.Wong [115]. Логика развития теории делает актуальной задачу обобщения этих результатов на разностные уравнения с несколькими запаздываниями.
Цели работы — получение новых эффективных, то есть выраженных в терминах параметров исходной задачи, и неулучшаемых признаков устойчивости линейных неавтономных разностных уравнений и установление связи между различными видами устойчивости.
Методика исследования. В работе используются методы матема тического и функционального анализа, линейной алгебры, общей теории ФДУ и дискретные аналоги методов исследования устойчивости ФДУ. Наиболее существенные результаты и их новизна. 1. Получены эффективные неулучшаемые достаточные признаки устойчивости линейных разностных уравнений с переменными коэффициентами и несколькими переменными запаздываниями, обобщающие и уточняющие известные результаты. 2. Найдены эффективные неулучшаемые достаточные признаки устойчивости уравнений с постоянными коэффициентами и переменными запаздываниями. 3. Установлена эквивалентность важнейших видов устойчивости по начальной функции соответствующим оценкам функции Коши. 4. Для линейного разностного уравнения доказана теорема типа Боля–Перрона о связи устойчивости по правой части с экспоненциальной устойчивостью. Теоретическая и практическая значимость. Проведенные исследования выявляют глубокую внутреннюю связь между функционально-дифференциальными и разностными уравнениями. Эта связь становится ядром методики исследования разностных уравнений, основанной на использовании известных результатов теории ФДУ. Поскольку теория ФДУ продолжает интенсивно развиваться, разработка указанной методики имеет важное значение для теории разностных уравнений и возможности ее использования не исчерпываются настоящей работой.
Неавтономные уравнения применяются в приложениях гораздо реже, чем автономные. По видимому, одной из причин этого является недостаточная изученность асимптотических свойств решений неавтономных уравнений. Полученные в работе признаки устойчивости неавтономных уравнений с несколькими запаздываниями стимулируют использование таких уравнений в математическом моделировании, в частности, при описании процессов экономики, экологии и биологии.
Уравнение с ограниченными запаздываниями
В предыдущих параграфах мы использовали известные результаты для уравнения с непрерывным аргументом и получили подобные результаты для уравнения с дискретным аргументом. При этом сохранилась точность признаков устойчивости. В примерах 2.1 — 2.3, показывающих точность константы 3/2, мы существенно использовали то обстоятельство, что запаздывание может принимать сколь угодно большие значения. Если же запаздывание ограничено, то константу 3/2 удается увеличить.
Заметим, что для функционально-дифференциального уравнения (2.2) подобное ограничение на величину запаздывания не приводит к увеличению константы 3/2 в признаках 2.1 и 2.2. Таким образом, приведенные выше результаты показывают, что ограниченность запаздывания позволяет разностному уравнению проявить дискретную природу своего аргумента. 2.3.1. Доказательство теорем 2.4 и 2.5
Теперь рассмотрим уравнение (2.10) и зададим при і Є [— 1,Иі — щ — 1] коэффициенты и запаздывания следующим образом:
При і п\ — ri2 положим f3(i) = 0, g(i) = 0. При і Є [—1, Н] имеем tpi-g(i) = (f-i 0. При і Є [Н, п\ — щ — 1] таких, что (fi — cfi+i 0 в силу свойства 4 имеем і — д(і) = і — h(ri2 + і) Н, а значит в силу свойства 2 и здесь получаем (fii-g(i) 0. Таким образом, f3(i) 0 при всех і Є [— 1,Пі — ГІ2 — 1].
Доказательство. Предположим, что утверждение леммы неверно, то есть жто(по) ML.
Положим S = М, если хт(щ) 0, S = -М, если хт(щ) 0. Рассмотрим для уравнения (3.1) начальную задачу [(2.1), m/S]. Возьмем п\ = щ. В силу линейности уравнения (2.1) имеем: Тогда при любом п п справедливо неравенство хт{п) L. Доказательство. Допустим, что лемма неверна. Тогда существует точка п\ п такая, что жто(пі) L, причем жто(п) L при п Є [n ,ni - 1]. Заметим, что L 1, следовательно, жто(п) 1 при всех п Є [п - ЗІ7, П\ - 1].
Без ограничения общности будем считать, что жто(пі) -L. Действительно, если хт{п\) L, то можно рассмотреть для уравнения (2.1) начальную задачу [(2.1), — m], решение которой обозначим х т. Функция х т удовлетворяет условиям доказываемой леммы, при этом, в силу линейности уравнения (2.1), имеем х т{п\) = —хт{п\) —L.
Это возможно, только если xm{n\ — \ — hk{n\ — \)) 0, хотя бы при одном к Є [0, N]. При всех к Є [0, N], п Є No выполнено оганичение hk(n) Н, следовательно, п\ — \ — hk(rii — 1) Є [п\ — Н — l,ni — 1].
Таким образом, найдется хотя бы одна точка п Є [п\ — Н — 1, п\ — 1] такая, что хт{п) 0. Пользуясь этим, выберем точку щ Є [п\ — H,rii] такую, что: Далее, обозначим Т = ЗН + 1 и положим а(п + jT) = а(п), j Є N. Таким образом, коэффициенты и запаздывания удовлетворяют условиям леммы 2.2. Следующий пример показывает, что в теореме 2.4 нельзя заменить п ограничение sup У a(i) 3/2 + otJ более слабым условием
Сравнивая результаты 2.1 и 2.3 предыдущей главы, мы видим, что сужение класса расматриваемых уравнений путем введения ограничения на допустимую величину запаздываний ведет к расширению области устойчивости. Продолжая работу в этом направлении, естественно рассмотреть полуавтономные уравнения — уравнения с постоянными запаздываниями или с постоянными коэффициентами. Примеры, построенные в п.2.3.2 показывают, что переход от уравнений с ограниченными запаздываниями к уравнениям с постоянными запаздываниями к расширению области устойчивости не приводит. Изучению уравнения с постоянными коэффициентами и ограниченными запаздываниями посвящена данная глава. Рассмотрим уравнение
Отметим, что в простом случая Н = 0, уравнение (3.1) принимает вид х(п + 1) = (1 — а)х(п). Его асимптотические свойства очевидны: равномерная устойчивость эквивалентна неравенствам 0 а 2, а экспоненциальная устойчивость — неравенствам 0 а 2. Другой особый случай а = 0. Тогда уравнение равномерно устойчиво. В следующем параграфе мы будем считать, что Н 1 и а 0.
Точность границ области устойчивости
Так как функция Ф строго возрастает по аргументу а, то Ф(а, ії") 1 тогда и только тогда, когда а шо{Н), причем Ф(а,і7) = 1 тогда и только тогда, когда а = LOQ{H). Таким образом, функция LOQ задает явный вид границы области устойчивости, определяемой теоремами 3.1 и 3.2.
Явный вид границ области устойчивости предоставляет большую свободу выбора формулировок признаков устойчивости. Для уравнения (3.1) удобно описывать область устойчивости и сравнивать ее с известными результатами в терминах произведения (Н + 1)а.
Дадим переформулировки теорем 3.1 и 3.2 в новых терминах, введя обозначение си(Н) = (Н + 1)шо{Н). Доопределим функцию Ф при Н = О, положив Ф(а,0) = —1 + а, имеем х (0) = а;о(0) = 2. Таким образом, переформулировка теорем 3.1 и 3.2 включает случай Н = 0.
Теорема 3.3. Пусть 0 (Н + 1)а UJ(H), Н 0. Тогда функция Коши уравнения (3.1) ограничена.
Теорема 3.4. Пусть 0 (Н + 1)а UJ(H), Н 0. Тогда функция Коши уравнения (3.1) имеет экспоненциальную оценку.
Фомальная запись функции си через сио не дает возможности определить, насколько сходно (или различно) поведение разных ветвей этой функции. Для малых Н можно обойтись непосредственными вычислениями, но для больших Н необходимы асимптотические оценки.
В данном параграфе мы построим пример, демонстрирующий точность полученных в теоремах 3.3 и 3.4 границ области устойчивости.
Рассмотрим частный случай уравнения (3.1) — уравнение с одним запаздыванием. х(п + 1) — х(п) = —ах(п — h(n)). (3.6) Пример 3.1. Положим в уравнении (3.6) { п, п Є [0, Н], Н, п Є [Н + 1, Н + / — 1], где / Н, а на остальные значения аргумента функцию h продолжим периодически: h(n + Н + /) = h(n). 106 Так как уравнение (3.6) с такими параметрами удовлетворяет условиям леммы 2.2, то устойчивость решения этого уравнения полностью определяется значением решения в точке п = Н + I.
Построим решение уравнения (3.6) на множестве [О, Н + /]. При п Є [О, Н + 1] имеем х(п) = 1 — ащ далее, из уравнения (3.6) получаем: х(Н + 1) — х(Н) = —ах(0)] х(Н + 2) — х(Н + 1) = —ах(1); х(Н + 3) — х(Н + 2) = — ах (2); х(Н + /) — х(Н + / — 1) = —ах(1 — 1). Складывая полученные равенства, находим: а2 х(Н + 1) = х(Н) — (х(0) + х(1) +... + х(1 — 1))а = 1(1 — 1) (Н + 1)а + 1. Рассмотрим три случая. 1. Пусть Н = Зр, где р Є No. Положим / = 2р + 1. То гда х{Н + /) = р(2р + 1)а2 — (Ьр + 1)а + 1. При а = соо(3р) имеем х(Н + /) = —Ф(а,3р) = —1. Кроме того, функция и : и{а) = р(2р + 1)а2 — {Ьр + 1)а + 1 имеет в точке а = соо(3р) от рицательную производную и при увеличении а на достаточно малую ве личину получаем х(Н + /) = и(а) —1. 2. Пусть Н = Зр+1, гдер Є No. Положим / = 2р-\-1. При а = бо о(Зр+1) имеем х(Н + /) = — Ф( 2, Зр + 1) = —1, а при увеличении а на достаточно малую величину получаем х(Н + I) —1. 3. Пусть Н = Зр + 2, где р Є No. Полагаем / = 2р + 2, замечаем, что при а = соо(3р + 2) имеем х(Н + /) = —Ф(а,3р + 2) = —1, а при увеличении а на достаточно малую величину получаем х(Н + I) —1. Итак, во всех трех случаях при а = щ{Н) (точка лежит на границе области, определяемой теоремой 3.4) имеем х(Н + /) = —1, то есть согласно лемме 2.2 уравнение (3.6) не является экспоненциально устойчивым. Если же увеличить а на достаточно малую величину (точка вне области, определяемой теоремой 3.3), то \х(Н + /) 1 и, в силу той же леммы 2.2, уравнение (3.6) не является равномерно устойчивым.
Полуавтономное уравнение с постоянными коэффициентами и переменными запаздываниями впервые рассмотрено в настоящей работе. Сопоставим полученные результаты с известными результатами для более общего объекта — уравнения (2.1).
Известные признаки устойчивости уравнения (2.1) уже указаны нами в предыдущей главе. Приведем их к виду, который они принимают для уравнения (3.1).
Непосредственным счетом убеждаемся, что неравенство 1 + от і и(Н) выполнено при любых Н О, причем равенство достигается тогда и только тогда, когда Н = 0. Следовательно, граница области устойчивости, полученная в теореме 3.4, при всех Н 1 идет выше границы, определяемой признаком 3.3, а при Н = 0 области устойчивости совпадают.
Наконец, следующий признак есть следствие признака 2.6, полученного в работе [90]. Признак 3.4. Пусть 1 h(n) Н, причем 0 (Н + 1)а о + FW. Тогда уравнение (3.6) асимптотически устойчиво. При Н = 0 этот признак неприменим, а при всех Н 1 выполнено неравенство о + FW и(Н). Таким образом, граница области устойчиво сти, полученная в теореме 3.4, всегда идет выше границы, определяемой признаком 3.4. Из теоремы 3.4 также следует, что в условиях признаков 3.1, 3.2, 3.3 и 3.4 асимптотическая устойчивость является экспоненциальной. 3.5. Обобщение на случай полуавтономных систем
Теорема 3.5. Пусть все собственные числа матрицы А вещественны и для любого собственного числа X справедливо неравенство 0 Л си(Н). Тогда функция Коши уравнения (3.7) имеет экспоненциальную оценку.
Доказательство. Перейдем с помощью невырожденного преобразования, заданного матрицей Т, к базису, в котором матрица А имеет жор-данову форму В = ТАТ 1. Обозначив Тх = у, перейдем от уравнения (3.7) к эквивалентному уравнению
Покажем, что, функция Коши этого уравнения имеет экспоненциальную оценку, а значит экспоненциальную оценку имеет и функция Коши исходного уравнения. Действительно, матрицы Аи В имеют одинаковый набор собственных чисел Aj, j = 1, ..., , которые вещественны и удовлетворяют неравенству 0 Xj uj(H). Пусть матрица В состоит из р жордановых клеток, тогда функция Коши уравнения (3.11) имеет вид причем каждая матрица функция Kj, j Є [1,р] является решением уравнения вида (3.7), удовлетворяющего условиям леммы 3.7.
