Устойчивость обратного стохастического дифференциального уравнения Захаров Алексей Владимирович

Содержание к диссертации

Введение

1 Введение 4

2 Теорема устойчивости решения обратного стохастического дифференциального уравнения (ОСДУ) 18

2.1 Приложение 1 к доказательству теоремы устойчивости решения ОСДУ 33

2.2 Приложение 2 к доказательству теоремы устойчивости решения ОСДУ 34

3 Приближенное решение однородного ОСДУ 37

3.1 Построение аппроксимации решения 37

3.2 Доказательство устойчивости метода 42

3.3 Граничные условия 44

4 Приближенное решение ОСДУ в общем случае 47

4.1 Обоснование метода для случая однородного уравнения с использованием устойчивости решения ОСДУ 47

4.2 Случай неоднородного уравнения и обоснование его сходимости 49

4.3 Алгоритм численного решения неоднородного ОСДУ 52

5 Приложения 54

5.1 Расчеты для модельного случая (однородное ОСДУ) 54

5.2 Одна задача управления стохастическим дифференциальным уравнением 56

5.3 Модифицированная модель Блека-Шоулса с различными ставками размещения и привлечения средств 59

Библиография 62

• Приложение 2 к доказательству теоремы устойчивости решения ОСДУ
• Случай неоднородного уравнения и обоснование его сходимости
• Одна задача управления стохастическим дифференциальным уравнением
• Модифицированная модель Блека-Шоулса с различными ставками размещения и привлечения средств

Введение к работе

Теория обратных стохастических дифференциальныех уравнений (везде далее будем использовать сокращение ОСДУ) представляет собой сравнительно молодую область математики, которая начала развиваться в девяностых годах. ОСДУ в общем случае введены в 1990 году в работе [10]. Решением ОСДУ, рассматриваемого на отрезке времени [0,Т], является пара адаптированных процессов Y, Z, принимающих значения в пространствах R и R^nX соответственно, и удовлетворяющих уравнению:

dY_t = f(Y_t,Z_t)dt + Z_tdW_t, Y_T = t, (1)

1. на вероятностном пространстве (f2,jF, Р) задан n-мерный винеров-ский процесс Wt, порождающий фильтрацию {^}«>о!

2. случайная величина измерима относительно ег-алгебры Тт и выполнено условие Е² < оо;

3. функция / : R —* R удовлетворяет условиям Липшица по обоим аргументам, то есть

\f(y,z) - f(y\z')\ < L(\y - y'\ + \z - z'\).

Заметим, что если отбросить терминальное условие в (1) и задать случайный процесс Z_t и начальное условие Yq, то (1) будет представлять собой обычное (прямое) стохастическое дифференциальное уравнение. Таким образом, чтобы решить ОСДУ, необходимо подобрать случайную

величину Yq и случайный процесс Z_t, чтобы решение прямого СДУ в момент времени Т совпало почти наверное с граничным условием Yp — . Вообще говоря, не очевидно, всегда ли можно так выбрать Yq, Z_t. Ответ на этот вопрос дает следующая:

Теорема (существование и единственность решения О СДУ)

В указанных выше предположениях решение (1) существует и единственно.

В данной работе всюду будут рассматриваться одномерные ОСДУ, то есть п = d = 1.

Укажем также на важную для понимания природы ОСДУ взаимосвязь решения ОСДУ с нелинейными параболическими уравнениями второго порядка. Допустим, что терминальное условие представимо в виде

С = rj(W_T), (2)

где Г] — скалярная функция числового аргумента. Тогда решение Y, Z уравнения (1) представимо в виде

Y_t = u(t,W_t),

г? du(t,x) і

где функция u(t, х) является решением следующего нелинейного параболического уравнения:

du{t,x) , 1 d²u(t,x) _ г //. ч du(t,x)\

dt 2 да:² J \ V ' /' дх J ' / л\

и(Т,х) = ф). Всюду в дальнейшем будем предполагать, что условие (2) выполнено.

Теория ОСДУ имеет множество различных применений, например, проблемы ценообразования и хеджирования опционов [11], решения стохастических дифференциальных игр [4]. Обзор применений теории ОСДУ для решения проблем финансовой математики может быть найден в работе [5]. Линейные ОСДУ возникают естественным образом при формулировании аналога принципа максимума Понтрягина для задач управления стохастическими дифференциальными уравенниеями [12]. В общем случае ОСДУ не может быть решено в аналитическом виде, поэтому представляет интерес построение эффективных численных методов решения ОСДУ

Теория численного решения прямых СДУ исследована достаточно хорошо (см. [6]). Для численного решения ОСДУ несколькими авторами разработаны различные вариации схемы Эйлера. Основные сложности на этом пути как правило оказывались связанными не с построением численного метода, а с обоснованием того факта, что аппроксимация в том или ином смысле сходится к решению ОСДУ.

В работах [8], [3] разработаны численные методы для решения уравнения вида

г г

Y_t = t-Jf(s,Y_s)ds-jZ_sdW_Sj У_г = ,
t t

где Wt — винеровский процесс, а второй интеграл понимается в смысле Ито.

Рассмотрим следующую дискретизацию времени

Ь = -Т, j = 0,..., п.

Введем следующие обозначения: пусть М₃, j — 0, ...,п, — процесс случайного блуждания, выходящий из нуля, приращения которого независимы и с вероятностью 1/2 принимают значения Т/у/п и —Т/л/п Пара случайных переменных Y₃, Z₃ является аппроксимацией Yt , Z_t значения решения в момент времени tj. Пусть, кроме того, Т₃ — фильтрация, порожденная набором случайных величин (АМ\, ...,АМ₃)

В этих обозначениях схема, построенная в работе [8], может быть записана в виде:

7¹ п-1 _ п-\

Yj=t(^M) - - Е KtjiYj) - Е Z₃AM₃₊₁.

^п 2=г _3=г

То же самое можно записать и в рекуррентном виде:

Y₃ =EJy,₊₁- ^f(t₃,Y₃)\f₃} ,

Нетрудно видеть, что на каждой итерации в каждом узле пространственной сетки приходится решать нелинейное уравнение относительно Y_t. Для этой цели авторами предлагается использовать метод сжимающих отображений, сходящийся геометрически со скоростью LT/n < 1. В частности, авторами предлагается использовать в качестве приближения вторую итерацию метода сжимающих отображений. Численный метод принимает вид:

Y_n = (M<_n); Z_n = 0,

Z₃ = Е {(Y_J+1 - J/(t„ Y₃) - Y₃)(AM_3+l)-i\F₃} . Слабая сходимость в топологии Скорохода случайных процессов с кусочно постоянными траекториями, порожденных аппроксимацией

I Yj, ZjAMj₊i ] , к решению (Y, Z) ОСДУ показана в предположениях липшицевости функции /(,) и липшицевости терминального условия в том смысле, что почти всюду выполнено равенство

Ши)-(и/)\<к sup |w(t)-a/(t)|,

ІЄ[0,Т]

где ш — траектория винеровского процесса, к — константа.

Заметим, что численный метод допускает терминальное условие , зависящее существенным образом от всей траектории винеровского процесса Wt, а не только от Wt- Однако в этом случае необходимо в каждый момент времени вычислять Yj в 2^J точках (для каждой траектории случайного процесса М до момента времени j) даже в одномерном случае, что делает алгоритм практически нереализуемым из-за вычислительной сложности. Но если применять алгоритм для решения ОСДУ с терминальным условием = t)(Wt), то можно вычислять аппроксимацию решения Yj только для всех значений М₃, а не для всех его траекторий М<₃, что делает алгоритм значительно менее трудоемким.

В статье [3] условие = t)(Wt) предполагается выполненым изначально. В этой работе показано, что для полученной после проведения дискретизации времени аппроксимации

' _л (6)

^yj = ^EK+i - ^/(tj+uYj+i)^]

при некоторых технических предположениях выполнены оценки

\Y₀-Y₀\

где К — некоторая константа.

В отличие от работы [8], чтобы избежать роста количества состояний Wt при увеличении j (и, соответственно, уменьшить вычислительную сложность алгоритма) автором предлагается использовать в качестве пространственной сетки случайную выборку. Однако такое сокращение вычислительной сложности ведет и к невысокой скорости сходимости алгоритма: для пространственной сетки из TV элементов погрешность метода ведет себя как

Ро-*о||

Заметим, что Yq — случайная величина, так как метод использует в качестве пространственной дискретизации случайную выборку некоторого распределения. Таким образом, чтобы увеличить точность в к раз, необходимо увеличить количество узлов временной сетки в к раз и количество точек множества в к² раз, то есть совершить в к³ раз больше вычислительной работы. Такую скорость сходимости, конечно, нельзя признать удовлетворительной, и введение в качестве сетки случайно выборки вряд ли дает выигрыш с вычислительной точки зрения по сравнению с численным методом, разработанным в [3].

Однако оба рассмотренных выше метода разработаны только для функции /(), не зависящей от процесса Z. Случаю, когда /() зависит от процесса Z, посвящена работа [2]. Здесь аппроксимация уравнения в дискретном времени записывается в виде

Уз = Y_j+1 - -f(Yj, Zj) - ZjAMj+u

где M — процесс случайного блуждания, умноженный на J^.

В каждый момент времени сначала вычисляется значение аппроксимации процесса Z:

,_Гч-1

^ = (-) Е(У,₊₁ДМ,₊₁).

Аппроксимацию У} для j = п — 1, п — 2, ...,1,0 можно найти, например, тем же образом, как это делалось в работе [8].

Для этого метода показана сходимость аппроксимации к решению в

следующем смысле:

< е > —> 1, для всех б > 0.

т
snp\Y_t-Y_t\² + J\Z_t-Z_t\²dt
¹ о

В работе [9] проблема численного решения несколько более общего класса прямых-обратных СДУ сводится к задаче решения нелинейного параболического уравнения.

Все упомянутые выше работы (кроме [9]) содержат в сущности различные реализации схемы Эйлера для решения ОСДУ. Скорость сходимости оценивалась только в работе [3] и оказалась невысокой. Более того, для случая, когда терминальное условие зависит от поведения винеровского процесса на всем отрезке времени [0, Т] не было предложено удовлетворительных с практической точки зрения алгоритмов, так как задача является вычислительно чрезвычайно сложной. Поэтому в данной диссертации рассматривается случай = 7?(Wt), допускающей с одной стороны численное решение за приемлемое время и представляющий практический интерес.

Все предложенные в этих работах методы не могут быть признаны удовлетворительными из-за низкой скорости сходимости, связанной с

тем, что в основе описанных методов лежит аналог схемы Эйлера. В отличие от теории прямых стохастических дифференциальных уравнений, методы более высокого порядка точности на сегодняшний день отсутствуют.

Перейдем к краткому изложению содержания диссертации. Во введении раскрываются цели работы и отражается ее актуальность.

Первая глава посвящена вопросу устойчивости решения ОСДУ. Напомним, что если выполнено условие (2) то решение ОСДУ представимо в виде (3), где функция u(t,x) является решением уравнения (4).

Рассмотрим непрерывную, всюду дважды дифференцируемую по переменной х функцию v(t,x). Под приближением решения ОСДУ будем понимать пару случайных процессов V, G, определенных следующими

соотношениями:

V_t = v(t,W_t),
^{У J} (7)

^, dv(t,x) і

^Gt = —^\x=W_t

Соответствующей этому приближению стохастической невязкой ф будем называть следующий случайный процесс:

т т

tt = V_T-V_t-f f(V_u G_t)dt - j G_tdW_t.
t t

Заметим, что случайный процесс ф тождественно равен нулю тогда и только тогда, когда пара (V, G) является точным решением ОСДУ. В работе показано, что процесс ф единственным образом разложим в

следующем виде:

1t = 9(t,Wt)+jM(t,W_t)dW_t,

g(T,x) = Q Vz.

Используя единственность этого разложения, определим понятие нормы для процесса стохастической невязки:

ll^ll = max (тах|д(,ж)|,тах )М(і,ж)|

Рассмотрим некоторую аппроксимацию решения ОСДУ, порожденную функцией v(t, х). Пусть точное решение ОСДУ представимо в виде (3). Пусть для этой аппроксимации при всех х выполнены следующие оценки в конечный момент времени Т:

\v(T,x)-u(T,x)\₂,

і dv(T,x) _ ди{Т,х) і _< q ^ '

І дх Зі і — З-

Устойчивость ОСДУ в диссертации понимается следующим образом: если в момент времени Т два решения ОСДУ близки друг к другу вместе со своими производными по пространственной переменной, то это свойство сохранится для всех t < Т. Заметим, что требование близости производных по пространственной переменной существенно, так как функция /(У, Z) зависит от этой производной.

Пусть помимо условия (27) имеет место неравенство:

Тогда при условии некоторых технических предположений верна оцен-

ка:

\u(t, х) - v(t, х)\ < С₂ + С_Х{2Е - 2)+

[(2L(VT + ^))²E + L](C₂ + C₃)(T-t),

1^ - ^И <С₃ + d(2E -2) + [ЗКС₃(ЗС₄ + Сз) + ^С₃+

LC₃ + 2С₂А-С₄ + (2L(y/T + /J ))²(С₂ + Сз)] (T-t),

Е" = ехр

2Цл/Т+л -)VT=t .

\ 7Г

Таким образом условие (26) гарантирует, что аппроксимация, порожден-ная функцией v(t,x), хорошо приближает решение ОСДУ.

Первая глава содержит формулировку и доказательство этого результата.

Вторая глава посвящена построению численного метода для однородного ОСДУ, т.е. для случая, когда /(У, Z) = 0.

Напомним, что предполагается выполненным условие (2). Предположим, что функция г)(х) на отрезке [do, dpj] представима в виде четырежды непрерывно дифференцируемого сплайна пятого порядка с узлами do,d\, ...,djq.

Рассмотрим на множестве [cfoj^r] х [0,Т] следующую функцию двух переменных:

д²г](х)

д⁴г](х)

w(t, х) = rj(x) + ^:L^~{T - t)/2 + ^:~?0Г - t)²/8.

Она может быть интерпретирована как разложение Тейлора по времени точного решения в функциональном пространстве.

Для успешного построения численного метода необходимо, чтобы алгоритм позволял сделать несколько итераций по времени. В данном же случае функция w(t, х), хоть и представима в кусочно-полиномиальном виде, не обязательно будет всюду четырежды непрерывно дифференцируемой по переменной х при t = О, что препятствует проведению следующей итерации аналогичным образом. Таким образом, для построения аппроксимации решения необходимо модифицировать функцию w(t,x) так, чтобы она стала четырежды непрерывно дифференцируемой при t = 0 по переменной х функцией, но при этом оставалась бы сплайном пятого порядка с теми же узлами. Кроме того, модификация должна в некотором смысле быть минимальной, так как это позволяет построить высокоэффективный метод.

Функция w(0, х) имеет разрывы первой р_г и третьей q_% производной по переменной х во внутренних узлах di, ...,<ідг_₁, удовлетворяющие соотношениям:

Я_г = Т_Рг/4, * = 1,...,^-1. (10)

Пусть d\ — do = ( ^— d\ = ... = djv — d/v-i = А. Рассмотрим функцию, определенную на отрезке [0, 2Д]:

д{х) =

ах + fix³ + 7а:⁵, для х Є [0, А],

а(2А - х) + /?(2А - xf + 7(2А - ж)⁵, для х є [А, 2А],

где коэффициенты а, /?, -) выбираются таким образом, чтобы скачки первой и третьей производной удовлетворяли бы тому же отношению (10), что и соответствующие скачки производных функции гу(0,ж).

Определим набор функций д_г(х), г — 0,.., N — 2, с помощью сдвига функции д(х) следующим образом:

д_г{х) = д(х - гД), для х Є [гД, (г + 2)Д],

дг(х)=0,ДАяхф [гД,(г + 2)Д].

Определим аппроксимацию решения ОСДУ в начальный момент времени:

JV-2

v(x) = w(0, х) + Ъ9г{х), (11)

1=0

где коэффициенты 7г выбираются так, чтобы функция v(x) была бы четырежды непрерывно дифференцируема по переменной х на множестве [d₀,d_N].

Кроме того, во второй главе исследуется вопрос устойчивости численного метода и вопрос о переходе от задачи на всем пространстве R¹ к задаче на некотором отрезке с граничными условиями на его концах.

Третья глава диссертации посвящена построению численного метода для неоднородного ОСДУ и применению теоремы устойчивости решения ОСДУ, полученной в первой главе, для обоснования сходимости численного метода как в однородном, так и в неоднородном случае.

Для случая однородного ОСДУ обозначим через г(х) добавку из (76), с помощью которой корректируется решение, то есть:

7V-2

_Г(х) = J2 Ъ9г(х).

г=0

Определим функцию v(t,x) следующим образом:

v(t, х) = ф) + *J \Т -1)/2 + ( ^1У_дхА ^И + ъФ)\ (Т - tf.

Рассмотрим приближение решения ОСДУ, порожденное функцией v(t, х) по формулам (13). Процесс стохастической невязки, соответствующий

этому приближению, примет вид:

т i/H = v(T,W_T) - v(t,W_t) -Jv_x(T,x)dW_T.

Вспоминая, что v(T, x) и v(t, x) - сплайны пятого порядка по переменной ж, и преобразуя слагаемые, содержащие Wt получим, что

h(t,x)=r(x)(T-t)²,

M(t,x) = ^d-^(T-t)*.

(12)
иг — +х*

Соотношение (12) позволяет оценивать порядок малости нормы стохастической невязки. В частности, если шаг временной сетки убывает пропорционально квадрату шага пространственной сетки, то

2л2>

= 0(Т²Д²),

где Д - шаг пространственной сетки, Т - шаг сетки по времени. Таким образом после совершения 1/Т шагов по времени, используя теорему устойчивости решения ОСДУ, можно оценить погрешность аппроксимации решения ОСДУ как 0(Д²Г) = О (А⁴).

Кроме того, в третьей главе диссертации содержится описание алгоритма решения ОСДУ в неоднородном случае и его обоснование с помощью теоремы о устойчивости решения ОСДУ. Идея доказательства сходимости сходна с однородным случаем и основана на малости нормы процесса стохастической невязки.

Четвертая глава содержит три примера, иллюстрирующие работу алгоритма приближенного решения ОСДУ.

В первом примере рассматривается простейшая задача приближенного решения однородного ОСДУ. Здесь показано, что реальная скорость сходимости метода согласуется с теоретической.

Во втором примере рассматривается задача управления линейным стохастическим дифференциальным уравнением с квадратичным функционалом, допускающая представление решения в виде квадратичной формы в каждый фиксированный момент времени, коэффициенты которой находятся с помощью уравнения Риккати. Это позволяет продемонстрировать эффективность метода, оценив погрешность приближенного решения.

Третий пример посвящен проблеме ценообразования производных финансовых инструментов в условиях модели типа Блека-Шоулса с различными ставками размещения и привлечения средств. Эта задача, рассматриваемая в работах [5], [13], приводит к решению существенно нелинейного ОСДУ.

В заключении, я бы хотел выразить благодарность своему научному руководителю Сергею Николаевичу Смирнову за постановку задачи и обсуждение результатов и академику РАН Александру Борисовичу Кур-жанскому за внимание к работе.

2 Теорема устойчивости решения обратного стохастического дифференциального уравнения (ОСДУ)

В данном параграфе приводится и доказывается теорема о устойчивости решения ОСДУ.

Рассмотрим непрерывную, всюду дважды дифференцируемую по переменной х функцию v(t, х), определенную на области [О, Т] х (—оо, сю). Под приближением решения ОСДУ будем понимать пару случайных процессов V, G, определенных следующими соотношениями:

Vt = v(t,W_t),

Соответствующей этому приближению стохастической невязкой ф

будем называть следующий случайный процесс:

т т

ifH = V_T-V_t-f f(V_t, G_t)dt - JG_tdW_t.
t t

Ниже будет показано, что процесс ф единственным образом разложим

в следующем виде:

Фі = g(t, w_t) + / M(t, w_t)dw_u (14)

g(T, x) = 0 \/x.

Используя единственность разложения (14), определим понятие нормы для процесса стохастической невязки следующим образом:

\\ф\\ = max {max\g(t,x)\,m&x\M(t,x)\) . (15)

Для доказательства основного результата данной главы нам потребуются две леммы.

Лемма 1. На интервале времени [О, Т) рассмотрим процесс r\_t с траекториями с конечной вариацией:

т T)_t = J a(T,W_T)dT.

Рассмотрим разложение процесса

щ = h(t,W_t) + J M(T,W_T)dW_T

(16)

с h(T, ) = 0 и M(t,x) = fa- Таким образом процесс г\ есть процесс с траекториями с конечной вариацией.

Допустим, что непрерывная функция a(t, х) ограничена следующим образом:

\a(t,x)\ < ki(t). (17)

Тогда процесс г) представим в виде (16) и

\h(t,x)\ < Jki(T)dT Ух,

Т

(18)

\M{t,x)\Vrr.

Если, кроме того, функция a(t, х) всюду дифференцируема по второ му аргументу, и выполнено следующее условие

da(t, х)

(19)

< k₂(t) Ух,

то верна оценка:

\M(t,x)\ < jk₂{r)dT Ух.

(20)

Доказательство: В самом деле, по формуле Ито функция h(t, х) должна удовлетворять следующему уравнению в частных производных:

+

dh(t,x) ld²h(t,x)

(21)

= -a(t,x),

2 дх²

dh(t,x)

(22)

M{t,x) =

Представим функцию h(t, х) с помощью фундаментального решения уравнения (21):

т "

г 7 і f-(x-y)²\

dr.

(23)

^{h{t' х)=~! [1 тм^)ехр [~w=w)а(т' v)d\}

Отсюда сразу получается первое неравенство в (18):

^Тг \ г 1 f-(x-y)²\ 1 ^Тг

\h(t,x)\ < jh{r) ^/ ^_27r(r__t)exp [-^-^-) dy] dr = Jh(r)dT.

Используя (22), можно представить функцию M(t,x) в следующем виде:

M(t, *) = -/[/ . / ехр (Ф^4) -^{Х-^У)а(т,

y)dy

dr. (24)

Оценим функцию M(t,x) следующим образом:

₃¹_^

|M(t,ar)|

V 7Г І у/т—t

оо у/Мт-t)

ЄХП І ^(ж~^²^ 1ї=»

dr <

Для того, чтобы получить оценку (20) для функции M(t,x), проинтегрируем по частям (24):

J ос

^{M(t,x) = J J}

^{Т Г} 1 _ М^ж - У)²\ 5а(т,у)

-dy

dr.

_і рф - t) ^y\2(T-t)

J . Aw,. _ ^ ^ехр 1

Следовательно

\M(t,x)\ < Jk₂{T)dr.

Доказательство леммы 1 завершено.

Лемма 2. Рассмотрим уравнение теплопроводности в обратном времени на множестве (—оо, оо) х [0,Т]:

Щ = ~и_хх/2, х Є (-оо,оо). (25)

Тогда для всех х, t выполнены неравенства:

\u(t,x)\ < max ЦТ, 2/)|,

|^|

Первое неравенство леммы 2 может быть найдено, например, в [18]. Остальные неравенства вытекают из того, что функции u_x(t, x),u_xx(t, х) также являются решениями уравнения (25).

Теперь мы готовы сформулировать следующую теорему: Теорема 1.

Рассмотрим на отрезке времени [О, Т] обратное стохастическое уравнение (1), для которого выполнено условие (2). Пусть его решение У, Z существует и единственно, тогда оно представимо в виде (3).

Допустим, выполнены следующие условия:

процесс стохастической невязки, соответствующий некоторому приближению решения (1), задаваемому функцией v(t, х), удовле-

творяет следующему ограничению:

(26)

для приближения при всех х выполнены следующие оценки в конечный момент времени Т:

\v(T,x)-u(T,x)\₂,

і dv(T,x) _ ди{Т,х) і _< (~i .
I дх Эх \ — 3,

(27)

функция f(y, z) дважды непрерывно дифференцируема по совокупности аргументов и пусть вторые частные и смешанная производные по аргументам у, z ограничены по модулю константой К, первые частные производные ограничены константой L;

приближение всюду удовлетворяет условию:

^{1^1 <с}₄^,

|^|<

\d²(v(t,x)-u(t,x))
І дх²

\<С_А

(28)

Тогда

\u{t, х) - v(t, х)\ < С₂ + Ci(2E - 2)+ [(2L(VT + ^)fE + L] (C₂ + Сз)(Г - t),

|ft^*i _ M|xi| < _{Сз + Ci(2E} _ _{2) +} [₃^_{Сз(ЗС4 + Сз) +} ^_Сз+

LC₃ + 2C₂tfC₄ + (2L(VT + /|))²(С₂ + Сз)] (T-t),

(29)

E = exp

2L(Vf+\ -)VT=t

\| 7Г

(30)

Доказательство:

Обозначив G(t,x) = ^v^', выпишем еще раз определение процесса ф

стохастической невязки:

т т

фі = v(T, W_T) - v(t, W_t)-jf (v(r, W_T), G(r, W_T)) dr- J G(t, W_T)dW_T.

t t

Доказательство будет проводиться в три этапа. На первом этапе будет получено первое приближение так, чтобы значения первого приближения и точного решения в терминальный момент времени совпадали. При этом необходимо оценить сверху норму стохастической невязки, соответствующей новому приближению. На втором этапе строится последовательность функций vⁿ(t,x), равномерно сходящихся к функции u(t,x). На третьем этапе выводятся оценки, требуемые в теореме.

Этап 1: Построение первого приближения. Введем следующее обозначение:

А(х) = и(Т,х) -v(T,x).

Учитывая (27), запишем:

дА(х) дх

д²А(х) дх²

' \А(х)\ < С₂ Vx,

< С₃ Vx, (31)

< С₄ Vx.

Пусть w(t,x) — решение следующего уравнения:

dw(t,x) _ 1 d²w(t,x) dt ~ 2 дх² '

w(T,x) = А(х).

(32)

Используя лемму 2 и условия (31), получим оценки:

\w{t,x)\₂, 1^1 <С₃,

Нулевое приближение положим следующим:

v(t, х) = v(t, х) + w(t, х), G(t,x) = G(t,x) + ^.

(33)

(34)

Таким выбором нулевого приближения достигается равенство нулевого приближения и точного решения в терминальный момент времени:

v(T,x)=u(T,x) Ух.

Заметим, что стохастическая невязка изменится следующим образом:

(35)

ФЇ = Фг + /№?> G?) - /К, G_T))dr.

Причем в силу (33), (34) и липшицевости функции / выполнено следующее неравенство:

1/И, GJ) - /К, G_T)\ < L(C₂ + Сз).

По лемме 1 интеграл в (35) представим в виде

т т

/(/(^, G_T) - f(v_T, G_T))dr = h(t, W_t) + j М(т, W_T)dW_T, (36)

\h(t,W_t)\₂ + C₃)(T-t), \M(t, W_t)\ < 2^L(C₂ + C₃)y/T=t.

(37)

Однако для целей доказательства теоремы второе неравенство оказывается слишком слабым. Распишем интеграл в (35) следующим образом:

/№?, G_T) - /К, G_T))dr = /(/(«J, G_T) - f(v_T, G_T))dr+

t t (3g\

j(f(v_T,G⁰_T)-M,G_T))dr.

В приложении 1 показано, что выражение, стоящее в первом интеграле в правой части липшицево по ж с константой липшицевости (ЬС% + 2С2КС4). Поэтому, используя лемму 1, запишем

т т

/ f(v_T, G_T) - f(v_T, G_T)dr = h^v(t, W_t) + J M^v(t, W_T)dW_T (39)

* t

с ограничением:

\M^v(t, W_t)\ < (LC₃ + 2C₂KC_A)(T - t). (40)

В том же приложении показано, что подынтегральное выражение во втором интеграле представимо в виде

f(v_T, G_T) - f(v_T, G_T) = l(r, x)(G_T - G(r, *)), (41)

и функция /(г, x) удовлетворяет следующим условиям:

(42)

\l(t,x)\

\l(t,x) - l(t,y)\ < К(ЗС_А + С_г)\х - у\.

Второй интеграл представим в таком же виде:

г т

J /И, G?) - f(v_T, G_T)dr = h^G(t, w_t) + J M^g(t, W_T)dW_T. (43)
t t

Величины h^G, M^G будут оценены ниже.

Первое приближение положим следующим:

(44)

v^l{t,x) = v(t,x) + h(t,x), G\t,x) = G(t,x) + M(t,x).

Очевидно, что h(T,x) = 0, и поэтому

v(T,x)=v¹(T,x)yx. Учитывая (35), (36), преобразуем новую стохастическую невязку: ФІ = $ + К - v}) + /(/W, G?) - Ж, G\))dr + /(G? - G*)dWi =

^ +/(/(«?, G?)-/(«J, G}))dr.

(45)

Подэтап: оценка изменения аппроксимации.

Оценим выражения

\v¹(t,x)-v(t,x)\,

\G^l{t,x)-G{t,x)\. Учитывая (33), (34), (37), (44), легко получить следующую оценку:

\v(t,x)-v¹(t,x)\ < \v(t,x)-v(t,x)\ + \v(t,x) - г;¹^, ж)| < C₂ + L(C₂ + C₃)(T-t).

Сложнее дело обстоит с оценкой для выражения \G^l(t,x) — G(t,x)\ Учитывая (34), (44), (39), (43), имеем:

G\t,x) - G{t,x) = w_x(t,x) + M^v{t,x) + M^G(t,x).

(46)

Напомним, что подынтегральное выражение в (43) представимо в виде

M,G») - /K,G_T) = l(t,x)(G(t,x) - G{t,x)),

где для функции l(t,x) показано (42).

Обозначим через p(t, х, у) плотность нормального распределения:

^y^^t^im. (47)

Тогда, учитывая (43), (41) и действуя, как при доказательстве леммы 1 аналогично (24), имеем:

M^G(t, x) = jjp(r- і, х, yf-^Ur, y)^p^-dydr.

t -oo "

Вспоминая, что w(t, x) — решение уравнения (32) последнее равенство перепишется в виде:

Т г х — v f dA(z)

M^G{t,x) = J J p(r - *,ж, у)—-|Z(r,у) J _P(T-T,y,z)—^dzdydT.

t — OO —00

Проинтегрировав по у, запишем:

M^G(t,x) = f J q(t,T,x,z)?^-dzdt,

t —oo

_/

X — 1/
р(т - t, x, y) -1(t, x)p{T - t, y, z)dy. (48)
T — t
—oo

Обозначим

r(t,x,z) = Jq(t,T,x,z)dr. (49)

t В приложении 2 показано, что

r 4L²

/ \p(T-t,x,z)+r{t,x,z)\dz_A + C₃) + -j=)(T-t). (50)

—00

^J V⁷¹"

Наша задача теперь оценить величину w_x(t, x) + M^G(t, х). Представим

ее в виде:

w_x(t,х) + M^G(t, х) = J (p(t, х, z) + r(t, x, z))—^-dz.

(n(t. т. ?Л -4- r(t пг ?}} —

Вспоминая (50), (31), получим, что

\w_x(t,x) + M^G(t,x)\ < С₃ f 1 + \ЗК(ЗС₄ + С₃) + ^Lj (Г - О]

Окончательно из (46), (40) имеем

\G^l{t,x)-G(t,x)\ < C₃+(3KC₃(3C₄+C₃)+^C₃+LC₃+2C₂KC_A)(T-t).

Подэтап: оценка невязки ф\. Для того, чтобы получить необходимые оценки, достаточно учесть липшицевость функции /, вспомнить формулы (44), (45), (37) и применить лемму 1:

И*, х)\ < d + |(2^ + VT)L²(C₂ + С₃)(Т - tfl\ \M\t, х)\ < d + V?(2V? + Vf)L²(C₂ + С₃){Т - t). Итак, объединяя все вышесказанное, первое приближение обладает следующими свойствами:

для изменения приращения известно, что

И*, х) - v(t, х)\ <С₂ + L(C₂ + С₃)(Т - t),

\G^l(t,x) - G(t,x)\ <С₃ + (ЗКС₃(ЗС₄ + С₃)+ (51)

^C₃ + LC₃ + 2C₂KC₄){T-t)-

для соответсвующей стохастической невязки верна оценка

(52)

\h\t, х)\<С_г + 2(^ + VT)L²(C₂ + С₃)(Т - tf/\ \M^l{t, х)\ ²(C₂ + C₃)(T - t);

в терминальный момент времени аппроксимация точно совпадает с
заданным решением:

u(T,x) = v¹{T,x). (53)

Этап 2.

Представим стохастическую невязку ф] в виде:

± ф} = К\і,\_і) + j M\t,W_t)dW_u

(54)

где верны оценки (52). Следующее приближение положим таким:

(55)

v²(t, х) = v¹ (t, х) + h}{t, х), G²{t,x) = G^l{t,x) + M\t,x).

Учитывая (54), (55), преобразуем соответствующую стохастическую невязку:

Ф? = ФЇ + Ы - v²) + /(/(^, G\) - f(v², Gl))dr + \{G] - G²)dW_t = J(f(vl,Gl)-f(vlGl))dT.

Учитывая липшицевость функции / и (52), имеем:

|/M,G}) - /К²,С?)| < 2Ld + L(\h(t,W_t)\ + |M(t, W_t)|) < 2Ld + 2(/f + VT)²L³(C₂ + С₃)(Г - t),

и по лемме 1, новая стохастическая невязка представима в виде

т ф² = h²(t, W_t) + J М²(т, W_T)dW_T,

\h²{t, W_t)\ < 2Ld(T -t) + |2(vf + VT)²L\C₂ + C₃)(T - t)²,

\M²(t, W_t)\ < 2^2LC₁VT^t + IJ¹- 2(/f + y/T)²L\C₂ + C₃)(T - tf'².

Будем продолжать итерации подобно тому, как это сделано в (55):

(56)

vⁿ(t, х) = vⁿ~^l{t, х) + hⁿ-\t, х), Gⁿ(t, х) = Gⁿ~^l{t, х) + Mⁿ~^l(t, х).

При этом для всех итераций верны следующее представление стохастической невязки:

т
ф» = hⁿ(t, W_t) + J М^п(т, W_T)dW_T, (57)

с выполнеными для п > 2 оценками:

\hⁿ(t, W_t)\ < 2^(2/,)^-^1(^ + ^ТЛТ - t)^/(n - 1)!+

y/T(2L)*»{C₂ + C₃)(VT + /f)"(T - t)ⁿ-?/(n + 1)! ,

(58)

|M»(*, W_t)\ < 2^{2LY-'C,{VT + ^T~²{T - t)*?/{n - 1)!+ f-{2L)^\C₂ + C₃)(VT + /f )»(T - 0^/(n + 1)!

Последние оценки нетрудно доказать с помощью математической индукции. В самом деле, для п = 2 утверждение очевидно верно. На п-том шаге известно, что подынтегральное выражение ограничено следующим образом:

\№,Gt)-f{vp\Gp^l)\< L2(2L)-¹C₁(^ + sJl)ⁿ-^l{T - t)^/(n - 1)!+ L(2L)"⁺¹(C₂ + C₃)(VT + ^Г⁺¹(Т - t)*?/[n + 1)! .

После применения леммы 1 получаем требуемые неравенства (58) для (п + 1)-ой итерации.

Этап 3: завершение доказательства.

Поскольку ряды из величин, стоящих справа в (58), сойдутся, то функции v^l{t, х), G^l(t, х) сойдутся равномерно к некоторой паре v*(t, х), G*(t, х) (то есть функции V^і сойдутся равномерно к v*, и G¹ сойдутся равномерно к G*). По определению стохастической невязки последовательность процессов стохастических невязок ф^г, соответствующих последователь-

ности приближений v^l, G^l, сойдется в смысле нормы (15) к стохастической невязке ijj* предельного приближения. Но поскольку Ц^Ц —> 0, то ф* = 0, и пара v*,G* определяет точное решение (1) с заданными терминальными условиями. В силу единственности имеем v(t,x) = u(t,x). Оценим теперь разности \v(t, х) —v*(t,x)\ и \G(t,x) — G*(t,x)\. В силу формул (58), (56) имеем

\v^l(0,x)-v*(0,x)\|G^,z)-G*(M)|2^G,

(59)

SI = 2y/T(yft + VT)L²(C₂ + Сз)(Г - t)+

к=3

S? = d+ Е 2^(2^(^+71)^-^ .

k=l

s? = 2/1(/1 + VT)L*(C₂ + C₃)(T - t)+

E V?(2L)^fc(C₂ + C₃)(v^/T + v?)^¹^ - *)*/*!

fc=3

Введем следующее обозначение:

і? = exp

2L(\/T + _X -)y/T=t

\7T

(60)

Тогда

S?

S < (2L(vT + ^))²^(С₂ + C₃)(T - і),

S < (2L(VT + ^))²E(C₂ + С₃)(Г - і).

(61)

Учитывая (59), (61), получим:

|v40, х) - v*(0, х)\ < С,(2Е - 2) + (2L(VT + ^))²(С₂ + С,)(Т - *), IGH*. х) - G*(t, х)\ < С,{2Е - 2) + (2L(Vf + /J))²Е(С₂ + С₃)(Г - t). Вспоминая (51), получим утверждение, требуемое в теореме:

\v*(t, х) - v(t, х)\ < С₂ + С_г(2Е - 2)+

[(2L(VT + fi)fE + L] (C₂ + Сз)(Г - t)

|G*(*> ж) - G(*, s)| < C₃ + Ci(2? -2) + [ЗКС₃(ЗС₄ + C₃) + ^C₃+

LC₃ + 2C₂tf C₄ + (2L(V? + уЦ))²Е(С₂ + C₃)] (Г - t).

(62)

Приложение 2 к доказательству теоремы устойчивости решения ОСДУ

Рассмотрим однородное ОСДУ, т.е. случай, когда в уравнении (1) функция f(y, z) = 0: В данном пункте строится аппроксимация решения уравнения (65), и исследуются ее свойства. Для некоторого натурального N рассмотрим следующую сетку: Предположим, что функция г/(а:) на отрезке [с?о, O?TV] представима в виде четырежды непрерывно дифференцируемого сплайна пятого порядка с узлами do, -.., dw, то есть для всех х Если это не так, то при условиях достаточной гладкости г](х) ее можно аппроксимировать сплайном пятого порядка без потери точности метода. Рассмотрим на множестве [ іо, г] х [0,Т] следующую функцию двух переменных: Она может быть интерпретирована как разложение Тейлора по времени точного решения (1) в функциональном пространстве. Очевидно, функ- ция w(t,x) представима на каждом интервале х Є [dk,dk+\] в виде ek(x-d + gk(x-dtf)(T)\ где коэффициенты ак, ...,дк те же самые, что и в (1), а остальные коэффициенты определяются следующими соотношениями: Для успешного построения численного метода необходимо, чтобы алгоритм позволял сделать несколько итераций по времени. В данном случае функция w(t,x) хоть и представима в кусочно-полиномиальном виде (1), не обязательно будет всюду четырежды непрерывно дифференцируемой по переменной х при t = 0, что препятствует проведению следующей итерации аналогичным образом. Таким образом, для построения аппроксимации решения необходимо модифицировать функцию w(t, х) так, чтобы она стала четырежды непрерывно дифференцируемой при t = 0 по переменной х, но при этом оставалась бы сплайном пятого порядка с теми же узлами. Кроме того, модификация должна в некотором смысле быть минимальной, так как это позволяет построить высокоэффективный метод. Обозначим через гг,і = 1, ..,N — I, скачки пятой производной терминального условия т](х) в узлах dt,i = 1,..,N — 1: Тогда из (67) вытекает, что у функции w(t,x) при дифференцировании по переменной х возникают разрывы производных следующих порядков: скачок рг третьей производной функции w(0, х) в точке d. скачок ql первой производной функции ги(0,х) в точке с1г, Очевидно, что нулевая, вторая и четвертая производные функции w(t, х) по переменной х всюду непрерывны.

Из (70), (71) нетрудно видеть, что для скачков третьей и первой производной выполнено соотношение: Рассмотрим определенную на отрезке [0,2А] функцию ах + /Зх3 + 7#5, для х е [0, А], Определим набор функций дг(х), і = О,.., N — 2, с помощью которых будет построена аппроксимация решения уравнения (65): Тогда каждая непрерывная функция дг(х) имеет следующие скачки производных порядка, не выше четвертого: в точке d% — скачки первой производной s[ = А2к(5 — 10fc)/6 и третьей производной в точке dl+\ — скачки первой производной s = Д2А;(50 + 20;)/6 и третьей производной Выбором коэффициентов (75) мы добились того, что соотношение (72) между скачками первой и третьей производной по переменной х функции w(0, х) выполнено и для всех функций дг(х) во всех узлах сетки do,..., d . Аппроксимацию v(x) решения уравнения (65) в момент времени t = 0 будем строить в виде: Очевидно, что при любом выборе коэффициентов 7г выражение, стоящее в правой части равенства, будет непрерывным по переменной х, и вторая и четвертая его производные также будут непрерывны. Более того, если выбрать коэффициенты "уг так, что третья производная этого выражения будет всюду непрерывна на [do, d_/v], т0 тоже можно будет гарантировать и для его первой производной. Рассмотрим матрицу А, у которой элемент A(i,j),i,j — 1,.., N — 1, соответствует скачку третьей производной функции дг_і(х) в точке dr Используя (75), получим: Полученная трехдиагональная матрица обладает свойством диагонального доминирования, а следовательно она обратима и положительно определена. Чтобы гарантировать четырежды непрерывную дифференцируемость аппроксимации v(x) в узлах d\, ...,djv-i коэффициенты 7г в (76) определим из следующей системы линейных уравнений: Таким образом аппроксимация v(x), определенная равенствами (76), (78), является четырежды непрерывно дифференцируемой на всем интервале (do,d/v) функцией. Отметим, что порядок аппроксимации метода определяется порядком малости слагаемого в формуле (76) Поскольку для любого х найдется не более двух функций дг(х) ф 0, то можно записать следующую оценку: Исследование скорости сходимости метода зависит от поведения коэффициента /с, определенного (73), при измельчении пространственной и временной сеток. Допустим, что коэффициент к остается ограниченным при Т, А —» 0. Поскольку при измельчении шага пространственной сетки вектор разрывов пятой производной ведет себя таким образом, что: то верна асимптотика тах\д(х)\=0(А ). Значит при совершении одной итерации по времени погрешность численного метода имеет порядок малости ТА4. Для случая, когда отношение Т/А остается ограниченным, имеем тах\д(х)\=0(А). Таким образом, при совершении одной итерации по времени погрешность численного метода имеет порядок малости ТА2. Для изучения вопроса устойчивости необходимо исследовать поведение вектора г разрывов пятой производной аппроксимации при переходе от rj(x) к v(x). В самом деле, добавка E Lo2 Ъ9г{х)і являющаяся погрешностью численного метода, растет пропорционально вектору г разрывов пятой производной, и поэтому, если г не увеличивается при совершении одной итерации по времени, то метод является устойчивым. Рассмотрим матрицу В, у которой элемент B(i,j),i,j = 1,.., TV — 1, соответствует скачку пятой производной функции дг_\{х) в точке d3: Эта трехдиагональная матрица тоже удовлетворяет условию диагонального преобладания. При переходе от т](х) к функции v(x) вектор г скачков пятой производной в узлах іг,і = 1,..., N — 1, трансформируется с учетом (70), (76), (78) следующим образом: Рассмотрим матрицу С = ТВА 1 /2. Поскольку матрица А положительно определена а матрица В неотрицательно определена, поэтому матрица С также будет неотрицательно определена.

Для завершения доказательства необходимо показать, что норма матрицы не превосходит 2. Представим матрицу А в виде суммы положительно определенной матрицы А\, состоящей из всех слагаемых элементов А, содержащих множитель к, и матрицы Лг, слагаемые которой не содержат множителя к. При нахождении приближенного решения ОСДУ необходимо рассматривать это уравнение на ограниченной области, что приводит к введению граничных условий. Проблема выбора граничных условий, соответствующих искомому решению ОСДУ, — отдельный вопрос, не рассматриваемый в данной работе. При совершении нескольких итераций по времени, описанных формулами (67), (76), (78) для достижения высокой скорости сходимости численного метода необходимо аппроксимировать краевые условия с достаточно высокой степенью точности. Для этой цели мы будем использовать сплайны второго порядка. Таким образом, будем считать, что для промежутка времени, соответствующего одной итерации численного метода по времени, краевое условие представимо в виде где a\, a2, Pi, /32 — соответствующие коэффициенты сплайнов, аппроксимирующих левое и правое краевые условия. При этом функция w(t,x), определенная в (67), удовлетворяет следу- ющим краевым условиям: Заметим, что слагаемое гдг{х) на граничные условия не влияет, так как gt(do) = ( iv) — О Для всех Введем функции f[(x),f2(x), с помощью которых будем строить решение с требуемыми граничными условиями, обладающие следующими свойствами: корректирующие функции являются сплайнами 5-го порядка; функция fl(x) является аппроксимацией решения в начальный момент времени м(0, х) следующей задачи а функция /2(2 ) является аппрокисмацией решения в начальный момент времени задачи Аналогично определим функции f{(x), / (x), предназначенные для коррекции правого граничного условия. Для того, чтобы учесть краевые условия (79), предлагается добавить к аппроксимации v{x) при t — 0 решения уравнения (65) следующие слагаемые: (82) и использовать функцию v9(x) как терминальное условие для проведения следующей итерации.

Случай неоднородного уравнения и обоснование его сходимости

Пусть v(t,x) и ф — аппроксимация решения уравнения (65) и соответствующий процесс стохастической невязки. На основе v(t,x) будет построена аппроксимация v(t, х) решения уравнения (1) и установлена сходимость метода. Пусть Приближение решения нелинейного уравнения положим следующим: Выражение f(v(t, Wt), G(t, Wt)) может быть представлено в виде: Таким образом стохастическая невязка ф неоднородного ОСДУ, соответствующая приближению решения v,G, преобразуется к виду: где ф — стохастическая невязка однородного уравнения, соответствующая аппроксимации v(t,x). т Преобразование выражения / f(WT)dr. В главе 2 показано, что г Преобразование интегралов, содержащих производные fy, fz- Верно следующее разложение: Объединяя оценки (87), (88), (89), (90), (91), имеем Таким образом, \\ф\\ = 0{ТЪ 2), что в соответствии с теоремой 1 гарантирует нам порядок сходимости 3/2 по переменной Т численного метода. Для повышения скорости сходимости в неоднородном случае необходимо использование производных функции / более высокого порядка, чем первый. 4.3 Алгоритм численного решения неоднородного ОСДУ В данном параграфе приводится одна итерация по времени алгоритма решения неоднородного уравнения. 1. Задается равномерная пространственная сетка: Приближение v(T,x) в терминальный момент времени аппроксимируется сплайном пятого порядка: Краевые условия аппроксимируются квадратичной функцией: 2. Используя формулы (74), (75), вычисляются коэффициенты сплай на д(х) на интервалах [0, А] и [А, 2А]. Строятся корректирующие сплайны /1,/2,/1, /2 как аппроксимации решения задач (80), (81). 3. Вычисляется вектор ГІ разрывов пятой производной сплайна г](х) во всех внутренних узлах сетки. Коэффициенты 7г находятся как решение системы уравнений где трехдиагональная матрица А определена в (77). 4. Сплайн v(x) строится по формуле Для учета граничных условий добавляются слагаемые, описанные в формуле (82). 5. Значения функций вычисляются на всех узлах пространственной сетки do, do+A,..., do+ NA, после чего строится сплайн к(х) пятого порядка, принимающий значения hl{x)T + h2(x)T2 на узлах пространственной сетки x = d0,...,d0 + NA.

Приближение решения неоднородного уравнения (1) в момент времени 0 полагается равным 5 Приложения Все описанные алгоритмы были реализованы в системе MATLAB. Результаты численных экспериментов приводятся в этой главе. 5.1 Расчеты для модельного случая (однородное ОСДУ) Рассмотрим вначале однородное ОСДУ на интервале времени t Є [0,1]: Предположим так же, что в терминальный момент времени решение удовлетворяет условию YT = sin(VK;r), и в каждый момент времени удовлетворяет граничным условиям: ( Yt(Wt)\wt=o = О, Yt(Wt)\Wt = 0. Этому ОСДУ соответствует уравнение в частных производных: Хорошо известно точное решение этой задачи: Обозначим через п число интервалов разбиения пространственного отрезка [0,7г], через т - число интервалов разбиения временного отрезка [0,1]. Численное решение однородного уравнения приведено на следующем графике: Рис. 1: Решение однородного уравнения в момент времени t=0 при п = 20, m = 10. Погрешности, соответствующие различным значениям пит (п=20, т=10; п=30, т=22; п = 40, т = 40), приводятся ниже: Рис. 2: Погрешности численных решений однородного уравнения Приведем также значения максимальные значения модуля погрешности решения для каждого из рассмотренных случаев: Значение п 20 30 40 Значение m 10 22 40 Максимум модуля погрешности 6.24 10 5 1.29 Ю-5 3.9 10"6 Поскольку уменьшение шага временной сетки пропорционально квадрату уменьшения шага пространственной сетки, то теоретически погрешность должна иметь порядок . Из таблицы видно, что результаты расчетов согласуются с теоретической оценкой. При этом время, затраченное на вычисление, пропорционально величине пт, то есть в данном случае пропорционально п3. 5.2 Одна задача управления стохастическим дифференциальным уравнением Рассмотрим линейную управляемую динамическую систему со стохастической компонентой где X, U Є R — случайные процессы, Wt — винеровский процесс иш(і)-скалярная функция. Рассмотрим проблему минимизации квадратичного функционала: где g(t) — положительная скалярная функция, 1— положительное число. Из [19], [6] известно, что случайный процесс Yt = H(t,Wt), являющийся оптимальным значением функционала, удовлетворяет следующему ОСДУ: Связанное с ним параболическое уравнение есть уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана: Такая постановка рассматривалась, например, в [19], [6]. Другие задачи управления, допускающие формулировку в терминах ОСДУ, рассматривались в [12], [17]. Хорошо известно (см. [19]), что функция цены H(s,x) представима в виде где функция S(t) удовлетворяет уравнению Задача, допускающая явное решение, была выбрана с целью возможности оценить ошибку метода. Рассмотрим задачу со значениями параметров m(t) = l,g(t) = 1,Т = l,r = 1.

Полученное приближенное решение и его погрешность для t = 0 при достаточно грубом шаге пространственной сетки, равном 0.1 и шаге временной сетки, равном 0.025, приведены ниже: 5.3 Модифицированная модель Блека-Шоулса с различными ставками размещения и привлечения средств Рассмотрим финансовый рынок с тремя активами:депозитным счетом, кредитным счетом и акцией. Предположим, что динамика капиталов на депозитном счете B_t, кредитном счете Bt и динамика цены акции St имеет следующий вид: dSt = St(fidt + adWt), где гиг — процентные ставки размещения и привлечения средств: г г. Таким образом: Стратегия в описанной модели определяется как согласованный процесс (@j.,/Stilt), гДе _v fit и 7« есть количества единиц депозитного и кредитного счетов и акций в портфеле в момент времени t. Ясно, что капитал стратегии в момент времени t равен: Такая постановка рассматривалась, например, в [13], [5]. Капитал самофинансируемой хеджирующей стратегии удовлетворяет следующим соотношениям: Рассмотрим проблему хеджирования портфеля, состоящего из двух опционов: короткого опциона типа call с ценой исполнения К и короткого опциона типа пут с той же ценой исполнения. Целью хеджирования является точное воспроизведение обусловленного обязательства в терминальный момент времени. Такое воспроизведение возможно в силу полноты рынка, описанного (93), см. [20]. Таким образом капитал хеджирующей стратегии V должен удовлетворять соотношению: Итак, учитывая (94), (95), ОСДУ примет вид: Соответствующее уравнение в частных производных имеет вид: Стоимость рискового актива Рис. 5: Стоимость портфеля для t = 0 в зависимости от SQ. Численные расчеты были проведены для следующих значений параметров: Т=1,К= 1.15, и = 0.2, Сплошная линия — стоимость портфеля в рамках модели с различными депозитной и кредитной процентной ставками, пунктирная линия — стоимость портфеля в рамках модели Блека-Шоулса для г — f = 0.1. Рис. 6: Количество средств, помещаемое в безрисковые активы На рисунке 6 приведено значение капитала, помещаемого в безрисковый актив в каждый момент времени. Таким образом можно видеть, что в безрисковый капитал может помещаться как положительное, так и отрицательное количество средств, что позволяет сделать вывод о том, что данная задача существенно зависит от обоих ставок размещения и привлечения средств.

Одна задача управления стохастическим дифференциальным уравнением

Теория обратных стохастических дифференциальныех уравнений (везде далее будем использовать сокращение ОСДУ) представляет собой сравнительно молодую область математики, которая начала развиваться в девяностых годах. ОСДУ в общем случае введены в 1990 году в работе [10]. Решением ОСДУ, рассматриваемого на отрезке времени [0,Т], является пара адаптированных процессов Y, Z, принимающих значения в пространствах R и RnX соответственно, и удовлетворяющих уравнению: где 1. на вероятностном пространстве (f2,jF, Р) задан n-мерный винеров-ский процесс Wt, порождающий фильтрацию { }« о! 2. случайная величина измерима относительно ег-алгебры Тт и выполнено условие Е2 3. функция / : R — R удовлетворяет условиям Липшица по обоим аргументам, то есть Заметим, что если отбросить терминальное условие в (1) и задать случайный процесс Zt и начальное условие YQ, ТО (1) будет представлять собой обычное (прямое) стохастическое дифференциальное уравнение. Таким образом, чтобы решить ОСДУ, необходимо подобрать случайную величину YQ и случайный процесс Zt, чтобы решение прямого СДУ в момент времени Т совпало почти наверное с граничным условием Yp — . Вообще говоря, не очевидно, всегда ли можно так выбрать YQ, Zt. Ответ на этот вопрос дает следующая: Теорема (существование и единственность решения О СДУ) В указанных выше предположениях решение (1) существует и единственно. В данной работе всюду будут рассматриваться одномерные ОСДУ, то есть п = d = 1. Укажем также на важную для понимания природы ОСДУ взаимосвязь решения ОСДУ с нелинейными параболическими уравнениями второго порядка.

Допустим, что терминальное условие представимо в виде где Г] — скалярная функция числового аргумента. Тогда решение Y, Z уравнения (1) представимо в виде где функция u(t, х) является решением следующего нелинейного параболического уравнения: Теория ОСДУ имеет множество различных применений, например, проблемы ценообразования и хеджирования опционов [11], решения стохастических дифференциальных игр [4]. Обзор применений теории ОСДУ для решения проблем финансовой математики может быть найден в работе [5]. Линейные ОСДУ возникают естественным образом при формулировании аналога принципа максимума Понтрягина для задач управления стохастическими дифференциальными уравенниеями [12]. В общем случае ОСДУ не может быть решено в аналитическом виде, поэтому представляет интерес построение эффективных численных методов решения ОСДУ Теория численного решения прямых СДУ исследована достаточно хорошо (см. [6]). Для численного решения ОСДУ несколькими авторами разработаны различные вариации схемы Эйлера. Основные сложности на этом пути как правило оказывались связанными не с построением численного метода, а с обоснованием того факта, что аппроксимация в том или ином смысле сходится к решению ОСДУ. В работах [8], [3] разработаны численные методы для решения уравнения вида где Wt — винеровский процесс, а второй интеграл понимается в смысле Ито. Рассмотрим следующую дискретизацию времени Введем следующие обозначения: пусть М3, j — 0, ...,п, — процесс случайного блуждания, выходящий из нуля, приращения которого независимы и с вероятностью 1/2 принимают значения Т/у/п и —Т/л/п Пара случайных переменных Y3, Z3 является аппроксимацией YT , Zt значения решения в момент времени tj. Пусть, кроме того, Т3 — фильтрация, порожденная набором случайных величин (АМ\, ...,АМ3)

Модифицированная модель Блека-Шоулса с различными ставками размещения и привлечения средств

Нетрудно видеть, что на каждой итерации в каждом узле пространственной сетки приходится решать нелинейное уравнение относительно Yt. Для этой цели авторами предлагается использовать метод сжимающих отображений, сходящийся геометрически со скоростью LT/n 1. В частности, авторами предлагается использовать в качестве приближения вторую итерацию метода сжимающих отображений. Численный метод принимает вид: Z3 = Е {(YJ+1 - J/(t„ Y3) - Y3)(AM3+l)-i\F3} . Слабая сходимость в топологии Скорохода случайных процессов с кусочно постоянными траекториями, порожденных аппроксимацией I Yj, ZJAMJ+I ] , к решению (Y, Z) ОСДУ показана в предположениях липшицевости функции /(,) и липшицевости терминального условия в том смысле, что почти всюду выполнено равенство где ш — траектория винеровского процесса, к — константа. Заметим, что численный метод допускает терминальное условие , зависящее существенным образом от всей траектории винеровского процесса Wt, а не только от WT- Однако в этом случае необходимо в каждый момент времени вычислять Yj в 2J точках (для каждой траектории случайного процесса М до момента времени j) даже в одномерном случае, что делает алгоритм практически нереализуемым из-за вычислительной сложности. Но если применять алгоритм для решения ОСДУ с терминальным условием = T)(WT), ТО МОЖНО вычислять аппроксимацию решения Yj только для всех значений М3, а не для всех его траекторий М 3, что делает алгоритм значительно менее трудоемким. В статье [3] условие = T)(WT) предполагается выполненым изначально. В этой работе показано, что для полученной после проведения дискретизации времени аппроксимации при некоторых технических предположениях выполнены оценки где К — некоторая константа. В отличие от работы [8], чтобы избежать роста количества состояний Wt при увеличении j (и, соответственно, уменьшить вычислительную сложность алгоритма) автором предлагается использовать в качестве пространственной сетки случайную выборку. Однако такое сокращение вычислительной сложности ведет и к невысокой скорости сходимости алгоритма: для пространственной сетки из TV элементов погрешность метода ведет себя как Заметим, что YQ — случайная величина, так как метод использует в качестве пространственной дискретизации случайную выборку некоторого распределения.

Таким образом, чтобы увеличить точность в к раз, необходимо увеличить количество узлов временной сетки в к раз и количество точек множества в к2 раз, то есть совершить в к3 раз больше вычислительной работы. Такую скорость сходимости, конечно, нельзя признать удовлетворительной, и введение в качестве сетки случайно выборки вряд ли дает выигрыш с вычислительной точки зрения по сравнению с численным методом, разработанным в [3]. Однако оба рассмотренных выше метода разработаны только для функции /(), не зависящей от процесса Z. Случаю, когда /() зависит от процесса Z, посвящена работа [2]. Здесь аппроксимация уравнения в дискретном времени записывается в виде где M — процесс случайного блуждания, умноженный на J . В каждый момент времени сначала вычисляется значение аппроксимации процесса Z: Аппроксимацию У} для j = п — 1, п — 2, ...,1,0 можно найти, например, тем же образом, как это делалось в работе [8]. Для этого метода показана сходимость аппроксимации к решению в следующем смысле: е — 1, для всех б 0. В работе [9] проблема численного решения несколько более общего класса прямых-обратных СДУ сводится к задаче решения нелинейного параболического уравнения. Все упомянутые выше работы (кроме [9]) содержат в сущности различные реализации схемы Эйлера для решения ОСДУ. Скорость сходимости оценивалась только в работе [3] и оказалась невысокой. Более того, для случая, когда терминальное условие зависит от поведения винеровского процесса на всем отрезке времени [0, Т] не было предложено удовлетворительных с практической точки зрения алгоритмов, так как задача является вычислительно чрезвычайно сложной. Поэтому в данной диссертации рассматривается случай = 7?(WT), допускающей с одной стороны численное решение за приемлемое время и представляющий практический интерес. Все предложенные в этих работах методы не могут быть признаны удовлетворительными из-за низкой скорости сходимости, связанной с тем, что в основе описанных методов лежит аналог схемы Эйлера.

В отличие от теории прямых стохастических дифференциальных уравнений, методы более высокого порядка точности на сегодняшний день отсутствуют. Перейдем к краткому изложению содержания диссертации. Во введении раскрываются цели работы и отражается ее актуальность. Первая глава посвящена вопросу устойчивости решения ОСДУ. Напомним, что если выполнено условие (2) то решение ОСДУ представимо в виде (3), где функция u(t,x) является решением уравнения (4). Рассмотрим непрерывную, всюду дважды дифференцируемую по переменной х функцию v(t,x). Под приближением решения ОСДУ будем понимать пару случайных процессов V, G, определенных следующими соотношениями: Соответствующей этому приближению стохастической невязкой ф будем называть следующий случайный процесс: Заметим, что случайный процесс ф тождественно равен нулю тогда и только тогда, когда пара (V, G) является точным решением ОСДУ. В работе показано, что процесс ф единственным образом разложим в следующем виде: Используя единственность этого разложения, определим понятие нормы для процесса стохастической невязки: Рассмотрим некоторую аппроксимацию решения ОСДУ, порожденную функцией v(t, х). Пусть точное решение ОСДУ представимо в виде (3). Пусть для этой аппроксимации при всех х выполнены следующие оценки в конечный момент времени Т: Устойчивость ОСДУ в диссертации понимается следующим образом: если в момент времени Т два решения ОСДУ близки друг к другу вместе со своими производными по пространственной переменной, то это свойство сохранится для всех t Т. Заметим, что требование близости производных по пространственной переменной существенно, так как функция /(У, Z) зависит от этой производной.

Похожие диссертации на Устойчивость обратного стохастического дифференциального уравнения

Исследование устойчивости решений уравнения Хилла Тарамова Хеди Сумановна

Исследование устойчивости решений линейных уравнений соболевского типаСагадеева Минзиля Алмасовна

Устойчивость линейных неавтономных разностных уравненийКуликов Андрей Юрьевич

Точные решения системы уравнений Власова-Максвелла. Устойчивость равновесных состоянийМарков, Юрий Адольфович

Ветвление и устойчивость решений системы дифференциальных уравнений для определения свободной поверхности магнитной жидкостиАбдуллаева, Феруза Джураевна

Исследование на устойчивость нелинейных системобыкновенных дифференциальных уравнений, имеющихинвариантные множестваМедведева, Мария Германовна

Группы преобразования Ляпунова и устойчивость решений нелинейных дифференциальных уравненийЯкупов, Зуфар Ясавеевич

Устойчивость некоторых линейных дифференциальных уравнений с запаздываниями, связанных с логистическим уравнением динамики популяции Вагина Мария Юрьевна

Исследование вопросов единственности и устойчивости обратных задач для уравнения Гельмгольца в дискретной постановкеСабитова, Гульнара Сагындыковна

Почти периодические решения и устойчивость характеристических показателей дифференциальных уравнений с импульсным воздействием Ахметов Марат Убайдуллович