Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Периодические решения системы с импульсным воздействием 15
I. Линейные системы 16
2. Периодические решения систем с импульсным воздействием в фиксированные моменты времени 18
3. Слабо нелинейные системы с импульсным воздействием на поверхностях 29
Глава II. Почти периодические решения дифференциальных уравнений с импульсным воздействием 40
I. Почти периодические последовательности 40
2. Свойства почти периодических функций 44
3. Квазилинейные почти периодические системы 52
4. Системы с периодической линейной частью 60
5. О почти периодическом решении уравнения
Глава III. Устойчивость характеристических показателей системы дифференциальных уравнений с им пульсным воздействием 74
I. Основные определения и вспомогательные предложения 75
2. О достаточных условиях устойчивости характе ристических показателей 81
3. О необходимых условиях устойчивости характе ристических показателей 95
Литература
- Периодические решения систем с импульсным воздействием в фиксированные моменты времени
- Слабо нелинейные системы с импульсным воздействием на поверхностях
- Свойства почти периодических функций
- О достаточных условиях устойчивости характе ристических показателей
Введение к работе
Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием возникают как математические модели процессов, подверженных кратковременному внешнему воздействию. Такие явления с "мгновенным" изменением состояния системы можно наблюдать в механике, ракетной технике, электронной технике. Их изучают в теории автоматического регулирования, задачах оптимального управления /j[* 4, 16-20, 46, 48, 49, 51, 58, 65, 71, 84, 99-IOlJ .
Возникновение возмущений, влияющих на изменение реального процесса, всегда происходит во времени, но при определении отклонений, вызванных этими возмущениями, обычно временем пренебрегают. В результате этого при математическом моделировании и возникают такие идеализации, как дираковская о - функция или условия разрыва решения.
Известны разнообразные методы исследования систем с импульсным воздействием.
Н.М.Крылов и Н.Н.Боголюбов в монографии j_5IJ для исследования колебаний маятника, возбуждаемых мгновенными импульсами, эффективно применяли метод усреднения. Ю.А.Митропольский развил эти идеи fj>5j , применяя их к более широкому классу систем.
Дальнейшее развитие и всестороннее обоснование метод усреднения для импульсных систем получил в работах А.М.Самойленко [83J, А.М.Самойленко и Н.А.Перестюка ^89j , а также работах других авторов.
В работах А.А.Андронова и его школы методом точечных отображений исследованы динамические системы с ударными взаимодействиями [4, 16-19, 69, 70J . В таких системах мгновенное изменение происходит при достижении движущейся точкой заданных множеств.
Довольно широкий класс разрывных динамических систем рассмот-
рен В.Ф.Рожко /~77-8q7.
Здесь известны также работы Т.Павлидиса /~ГО, 115/, Т.Павли-диса и Е.Джури [из].
В качестве математической модели импульсных систем, а также для описания дискретных динамических систем успешно применяли уравнения в конечных разностях Я.З.Цыпкин [99-IOlj, Д.Векслер [эг] и другие авторы.
Так как линейные импульсные системы являются частным случаем систем с обобщенными возмущениями, то естественно рассматривать сразу системы с возмущениями типа распределений. Такой подход определяет направление исследований С.Т.Завалищина [4-3-47], Д.Векс-лера [92].
Работы Е.А.Барбашина [l4, I5J , Я.Курцвейля fl07-I09j послужили тому, что в изучении процессов с импульсным воздействием широкое применение нашли: понятие меры, аппарат интегралов Стилтье-са и Перрона, функции ограниченной вариации ^27, 103, III, 112, II6-II8, 120-122].
В настоящее время имеется большое число публикаций о системах дифференциальных уравнений с импульсным воздействием, которые выполнялись под влиянием названных уже выше работ Н.Н.Боголюбова, Ю.А.Митропольского, А.М.Самойленко, а также работ А.Д.Мышкиса и А.М.Самойленко [67], Ю.С.Богданова [21, 22], В.Д.Мильмана и А.Д.Мышкиса [63J.
Они посвящены исследованию колебательных процессов, асимптотических свойств решений, вопросам ограниченности решений, их продолжимости, приводимости линейных систем и другим вопросам теории дифференциальных уравнений с импульсным воздействием.
Целью настоящей диссертации является применение методов, разработанных А.М.Самойленко и Н.А.Перестюком 81, 85-90J , к изучению вопроса существования и устойчивости периодических и почти
периодических решений систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием, а также определение необходимых и достаточных условий устойчивости характеристических показателей линейных систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием.
Предполагается, что решения уравнений и функции, рассматриваемые в работе, являются непрерывными слева, т.е., если ОС()~ решение, то ОС(4)-*ХСС) при -+ ><9 для всех fc" из области определения решения.
Мгновенные возмущения осуществляются в фиксированные моменты времени или при достижении решением некоторых заранее заданных поверхностей в расширенном фазовом пространстве.
Первая глава диссертации содержит реализацию численно-аналитического метода А.М.Самойленко [81, 82] для одного класса периодических систем с импульсным воздействием.
Рассматривается система
(0.1)
в которой ОСЄІЦ* l/ЄЩт, Jf и g f<=4*<...
постоянные размера ftx ҐІ матрицы и с/& ( '-/-В^)ф О . Система (0.1) периодическая с периодом у-7, т.е.
4,/ 4, 4y>= 4 * Z /=u, + * ft, i=o, ±i,.
где jo - некоторое натуральное число.
Вводится следующая норма: если %Є/іх/і и ^-C&t jf) »
- б -
іо //%// = //#// + ЩИ » где /ЗУ/ и //^/// - евклидовые нормы векторов JC [Ц, и к fil**1 .
Выделены: некоторая замкнутая ограниченная область
^-^^Cgx/H
и множество
Предполагается, что равномерно в множестве ^
/IIЪ,)-1 .; / ^ <& /& -ZzII, /'--*^
В I приведены основные свойства линейной системы общего вида
АЛ/= Всх, (0-2)
В 2 численно-аналитический метод применяется к отысканию и построению периодического решения системы (0.1).
При помощи кусочно-непрерывного преобразования Флоке [88 J система (0.1) приводится к виду
ахі-т(%), чі =/Ъ) (ол)
где матрица У\_ не должна иметь собственных чисел с нулевой вещественной частью.
В силу свойств преобразования Флоке вопрос о существовании / - периодического решения уравнений (0.1), алгоритме его построения решается в условиях системы (0.3).
Пусть Or(ij t )- матрица Грина, равная
Жъ)= /Є ('Є } *"<*t<<*T
Є (Е-Є ) есии о^+<Ъ^Т
Система (0.3) ставится в условия / - системы [82]. Для этого предполагается, что:
а) множество <) содержит в себе подмножество
{xfixi < %JU(T+j>) J ;
б) существует непустое замкнутое множество Soo , которое вместе со своей ^^(i+ /bj)- окрестностью;
/С /
в) постоянные Липшица %* и ^ малы настолько, что
Теорема І.І. Пусть дифференциальные уравнения с импульсным воздействием (0.3) образуют / - систему и допускают периодическое с периодом J решение й%^ = (ф№), іу№)) » для которого У^)~Уо^ 5 » тогда это решение является предельной функцией равномерно сходящейся последовательности f^H@)l ^и№=(СпМ,УпШ, П = 1,1,. .. периодических решений систем
(О Л)
-гШ
A#/ =LL (*«ч&і>)
Т Р
Ян = =z
-га;
В этом же параграфе выяснены условия существования периодических решений системы (0.3).
В 3 результаты предыдущего параграфа обобщаются для системы вида
_ (0.5)
в которой решения подвержены импульсному воздействию на поверхностях - ^() » L= 0?±-/f ,... . Поэтому к её исследованию нельзя применить итерационный метод, так,как это делалось в системе (0.3). Ибо /2 -ое приближение периодического решения системы (0.5) имеет, вообще говоря, точки разрыва, отличные от точек разрыва (ft-*) -го приближения, и поэтому нет равномерной сходимости. Кроме того, появляется неприятная возможность "биения" решения о поверхность i-^C^) , т.е. встреча одного и того же решения с некоторой поверхностью несколько, а в некоторых случаях и бесконечное число раз. Во избежание таких эксцессов в работе, используя результат из [>0Л » определены условия, исключающие "биения".
Во второй главе дается определение разрывной почти периодической (п.п.) функции, изучаются её основные свойства, которые затем применяются для исследования вопроса существования, единственности и асимптотических свойств почти периодических"решений уравнений с импульсным воздействием.
Почти периодические функции, непрерывно зависящие от временного аргумента, глубоко изучены датским математиком Г.Бором \2к]. Работам Бора предшествовали важные исследования П.Боля и Е.Экс-лангона. В дальнейшем (на протяжении 20-30-х годов), теория п.п. в смысле Бора функции получила существенное развитие в работах С.Бохнера, Г.Вейля, А.Безиковича, Ж.Фавара, Дж.Неймана, Н.Н.Боголюбова, В.В.Степанова, Б.М.Левитана и др. [52].
В последние годы теория п.п. функций развивается в связи с
задачами дифференциальных уравнений, теории устойчивости, динамических систем и т.п. Б частности, встал вопрос об изучении п.п. движений в системах, подверженных ударному влиянию.
Так как в дальнейшем речь будет в основном идти о разрывных п.п. функциях, то, если не оговорено противного, будем их называть просто п.п. функциями.
В [92] п.п. функции рассматриваются как решения линейной системы. В работе [77] они возникают как движения разрывной динамической системы. В диссертации принято определение п.п. функции являющейся равномерно непрерывной на совокупности интервалов, не содержащих точек разрыва. Таким образом, определенные функции содержат в качестве собственного подмножества п.п. в смысле Бора функции и являются функциями п.п. по Степанову.
Введение равномерной непрерывности позволило в нашей работе, если говорить об операторе, переводящем неоднородность правой части линейной системы в п.п. решение, построить оператор, который определен на множестве всех п.п. функций с общим множеством точек разрыва, определенных системой (отсюда вытекает возможность рассматривать квазилинейные системы). Тогда как, применяя результаты [92J, можно построить такой оператор, который может быть определен только на множестве п.п. по Бору функций.
В I приведены некоторые утверждения о последовательности
ftif, * = &,**/,.- для которой последовательности I ^[/} »
j-Q±j , ^--/ . -^с равностепенно почти периодические.
В 2 дано определение п.п. функции, изложены некоторые её свойства, построены примеры.
В 3 рассматривается линейная система
- II -
f^Jtox+fU). ІФЬ,
**/ = BL*+IL ,
в которой - п.п. в смысле Бора матрица, последователь-
ность матриц /Зі/ и последовательность векторов {!// -почти периодические, последовательность //// такая, что последовательности /-/^/ » J=0,±Jy. . равностепенно почти периодические, ^() - почти периодическая функция с множеством точек разрыва f^cl Обозначим,
?* = JUp Л.&) > * = JUPA-І
где У\(6) - наибольшее собственное число матрицы %(Jf()+J())\ Ух- - наибольшее собственное число матрицы (+8-) (+&А .
Для фундаментальной матрицы решений Х(^,3) системы (0.2) справедлива оценка "91J
в которой ±0 - произвольно, ЛГ-^Й5)>/, /b(Q=- <5 + ±tf+ pin ОС , p - конечное число, равное пределу
= Л~<±3±ї
--*+ о*, - '
где ІСО, ) - число точек // в интервале (О, ) .
Теорема 2.7. Если система (0.6) удовлетворяет всем перечисленным выше условиям, и справедливо неравенство у&(0)<с О , то эта система допускает единственное асимптотически устойчивое п.п.решение.
- 12 -Пусть дана квазилинейная система
С/ос
a-t
= JW^+fe^), **,
(0.7)
V-4
где в отличие от системы (0.6) последовательность {ci J удовлетворяет условию
Функция Jt,<*) п.п. по с , а последовательность {/^)} п.п. по I равномерно в области
Функции ^7^) и _/,ЭД удовлетворяют условию Липшица ifa*)-fat/)//+ // I.Cac) - Т.ty)II< gffx-уц равномерно в области У- и ограничены
Обозначим у
где натуральное число JV* определяет наибольшее возможное количество точек разрыва t*i на любом единичном интервале оси
я .
Теорема 2.8. Если система (0.7) удовлетворяет всем перечисленным выше условиям и верны неравенства
- ІЗ -
і) УїУ/а<Л , 2) %$CQ
то эта система имеет единственное асимптотически устойчивое п.п. решение.
В 4 результаты Бора, Нейгебауера (ЛҐ/, В.Х.Харасахала [94-] о почти периодичности ограниченных решений линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений переносятся для систем с импульсами вида (0.6).
В 5 определяются необходимые и достаточные условия существования и единственности п.п. решения скалярного уравнения
'=0&у+/Ю, Wt, Л у/ = Qrf+ f (0.9)
си- * <* / ' -' ЧЫ
в котором Q() , л(-6) - п.п. функции, /&с? ч {&с I числовые п.п. последовательности, последовательности //-^1 » J--0,±St... равностепенно почти периодические.
Как показал Перрон [llj,совокупность характеристических показателей системы
at >
где yJi()- непрерывная и ограниченная при / f+ матрица, вообще говоря, неустойчива и, следовательно, не характеризует ,у систему. Поэтому последующее развитие теории характеристических > показателей происходило в направлении поиска классов систем для |
которых совокупность характеристических показателей была бы \
устойчивой.
В работах [29, 31, 32, 37, 60J такие системы были определены. Это системы - с условием интегральной разделенности.
В третьей главе определены необходимые и достаточные условия устойчивости систем вида (0.2) аналогичные условиям для обыкно-
венных дифференциальных уравнений.
В I дается определение кусочно-непрерывного ляпуновского преобразования. Доказаны аналоги теорем Перрона, Былова о триангуляции, о достижимости центральных показателей ["59J»
В 2 и 3 проверяется справедливость теорем о необходимых и достаточных условиях устойчивости показателей системы (0.2). Выясняется структура пространства решений слабо нелинейной системы при условиях достаточных для устойчивости показателей системы (0.2).
В заключение я выражаю глубокую благодарность своему научному руководителю Николаю Алексеевичу Перестюку за постановку задач и постоянное внимание при написании диссертации.
Периодические решения систем с импульсным воздействием в фиксированные моменты времени
Пусть дана система (1.0.1), удовлетворяющая всем перечис ленным выше условиям. Применив к уравнениям (1.0.1) преобразо вание ОС- ty()lt и- (j , получим систему
Из-за свойств матрицы QOft) вопрос о существовании / -периодического решения уравнений (1.0.1) и алгоритме построения этого решения можно решить, изучая прежде систему (I.2.1).Кроме того, система (1,2.1) удовлетворяет всем перечисленным выше для уравнений (1.0.1) условиям с изменением, может быть, постоянных - 19 Поэтому, в дальнейшем, вместо уравнений (1.0.1) будем рассматривать систему (1,2.1). Для краткости сохраним прежние обозначения и перепишем систему (I.2.I) в виде СІЇ Если ф(4:)- кусочно-непрерывная функция со значениями в , а / / - / " последовательность векторов из этого же пространства, то согласимся 0 t Лемма I.I. Пусть дана система дифференциальных уравнений с импульсным воздействием гМ _-«) (1.2.3) М- где Л/ № » & кусочно-непрерывные с разрывами в точках г4# » периодические с периодом / функции, последовательности постоянных векторов /_/ . Д J= К и последовательность моментов времени /z / , /г / удовлетворяют равенствам - 20 где yO - некоторое фиксированное натуральное число, вектор fl является параметром, изменяющимся в пространстве /ft
Если матрица у\ не имеет собственных чисел с нулевой вещественной частью, то для любого вектора 4 6/? найдется такое значение параметра Jty , при котором система (1.2.3) допускает периодическое с периодом / решение, удовлетворяющее условию U(0) = U .
Доказательство. Построим матрицу Є (L-G ) t геи t T Матрица Q( ,t) ограничена при всех Ьб ffe Используя лемму 10 Г88І » найдем, что; если -г % то пара %&)- (&( ),&)) при J/ - Sz&) wj есть периодическое с периодом / решение системы (1.2.3).
Пусть система (1.2.2) удовлетворяет всем перечисленным выше условиям и, кроме того, множество 0 содержит в себе подмножество fx//IOcl( СХМ(Г+р)] и существует непустое замкнутое множество cU0 , которое включено в 0 вместе со своей /7(V / P/frf ) " окрестностью. Постоянные Липшица - 21 -а/ и cc%, малы настолько, что 7 V /. (1.2.
Как выяснится из дальнейшего изложения, определенная таким образом система (1.2.2) находится в условиях, аналогичных условиям, которым удовлетворяют уравнения из [82]. Поэтому будем называть уравнения (1.2.2) / - системой, так, как это принято в ["82].
Теорема I.I. Пусть дифференциальные уравнения с импульсным воздействием (1.2.2) образуют / - систему и допускают периодическое с периодом / решение &t()=-(p(), 1уЩ) , для которого ytO)= се )0 .
Тогда это решение является предельной функцией равномерно сходящейся последовательности /%п 6fjy? %п&)=(ЭСп Ф, /п &)) периодических решений систем — М і (1.2.5) АХ/ = l CZ Vit), -г -К Доказательство. Последовательность / (і)] определим следующим образом: - 22 Г о о к т L гр (1.2.6) Согласно лемме I.I выражения (1.2.6) имеют смысл и функции %/7&)= (JCtzteh&nW), Я-=1.2І,. . являются периодическим с периодом Т7 решениями соответствующей системы (1.2.5), если только %п(6) об при всех ё Є # Проверим, что это действительно так. Имеем -« (1 2 7) l = i
Прежде чем сделать дальнейшие оценки, заметим, что все результаты 3 [&2]$ полученные для непрерывных функций, справедливы и для кусочно-непрерывных функций, рассматриваемых в нашей работе.
Слабо нелинейные системы с импульсным воздействием на поверхностях
Система (I.3.I) существенно отличается от уравнений, исследуемых в предыдущем параграфе, которые импульсному воздействию подвергались в фиксированные моменты времени.
Первое отличие состоит в том, что к её исследованию нельзя применить итерационный метод так, как это делалось для уравнений (1.2.2). Ибо /Z - ое приближение имеет точки разрыва, вообще говоря, отличные от точек разрыва (ft- 4) - го приближения и поэтому нет равномерной сходимости.
Второе, чем отличается система (I.3.I) от уравнений (1.2.2) - это возможность "биения" её решений о поверхности --6 ( %) , т.е. встреча одним и тем же решением некоторой поверхности /— - (%) несколько, а в некоторых случаях и бесконечное число раз. В дальнейшем будем рассматривать систему (I.3.I) в условиях, при которых каждое решение пересекает любую поверхность /= - %(Ю только один раз. Используя результат Ао_/, определим эти условия в виде следующей леммы Лем и а 1.2. Пусть система (І.З.І) удовлетворяет всем перечисленным выше условиям и гиперплоскости 4 , = 9- , . такие, что выполняются неравенства
Тогда существуют такие действительные числа , g » & f $ » удовлетворяющие условию; если; o oi то каждая поверхность /=zfj, = 0,+ пересекается решениями системы (I.3.I) при . из области //%// о лишь один раз. Доказательство. Пусть решение 0( ) = ( 0( ), 0( )) пересекает поверхность =с(%) дважды. Сначала в момент времени о=е%о) % затем при -6= = (ас0 + іХо + 6І"}С о) + to t Пусть max (llJoc + ef i ll /lfaAVfy-M/? ), тогда і JVfl$ (Jxoft) + &fi t, % & )) 4Ы или (J- ZMJU d - to) 40. (1.3.2) - 33 Полагая и J настолько малыми, что /, гр, ,) - Сполучим, что неравенство (1.3.2) возможно лишь в случае t - to Лемма доказана. Фиксируем /0 произвольных точек 5 , У -// про странства fR К IR » удовлетворяющих неравенству //4 J3 , и построим последовательности { с{ % 6 = Ot±-/ у где - " , если і- Л/ + J « # - целое число и Полагая теперь в (I.3.I) импульсное возмущение сосредоточенным в точках последовательности J I , получим систему (1.3.3) = L -L ЛОСІ = B; + L (%) -r-CZ) _ Л Lfl = ±. Cst) 0 c . Очевидно, z4.Vo 4: » - - -- «Преобразованием, определенным матрицей 4 9 J Фи, 0,..,ьт), „,], в которой матрица .. t (P) ) строится также, как и матрица 9 для системы (1.0.1), a Em - единичная порядка m матрица, перейдем к системе вида - 34 $%= Л + ), ю (І.ЗЛ) л = мп Из анализа доказательства теоремы I.I следует, что при до статочно малых " и у уравнения (1.3.4) образуют 7 систему, для которой можно определить равномерно сходящуюся по следовательность функций %п()= (Хгг&), Ун( )) , Элементы которой равны с ; (1.3.5) Т Для того, чтобы предельная функция 4 .., )= Л»г «&, ", ., ) СРУ была решением системы (1.3.4-), необходимо выполнение двух условий: I) уравнения - 35 (М)= (j),j=-CP С1"3 6) разрешимы в области // // - ; 2) после подстановки корней уравнения (1.3.6) в %о (%%"}.., 9 для полученной функции teoadzyv\. )ДОЛкно выполняться равенство для некоторого 0Є .
Покажем, что первое условие всегда выполняется при достаточно малых С и р Ради простоты предположим, что /?= » т«е. импульсное возмущение в (1.3 Л) действует лишь один раз за период. Поэтому h = to f, t=o,ts,..t и тогда приближения (1.3.5) имеют вид „( ! = $6&, ),( .$&№ + і 6-((. І)1 " (О, y.)t m (1.3.7) о - 36 Лемма 1.3. Функция fej і где г = 2 ( удовлетворяет по f условию Липшица с постоянной пропорциональной . Доказательство. Пусть Л#-« уху-/ матрица Грина системы ґУог = /\ас, (1.3.8) и /Ttax //ас А ь)Ц=М. . Пользуясь тем, что матричная функция &&,Ь) дифференцируема по Ъ , а функция ,(%) удовлетворяет условию Липшица, най-дем, что справедливо неравенство если /() Т СЪъ) Здесь -(?) -положительная постоянная. Тогда для всех z y V) из (1.3.7) следует / Ч ; - } // JTW 7Vfr,- „ , ІУ - #, у / jj& ttAlibj- %. /1+ о - 37 + с м% // л а, ъ) - %п а, й-о/. Чґпн. G ) - &+.&, feu іц MkQ 11%,«,%)- ? #,Щ +Семку ел%&]/ъл 4 ъ) - a, , )//. Откуда " (1.3.9) Аналогично найдем, что II /п СЇ&,). Si) -&сеег), )/ ZlJtJV7fe/- %// следовательно, Отсюда и из (1.3.9) вытекает, что Выберем и j настолько малыми, что - 38 ХЛбГ ;г у, є J — +ММЖГ+гЩ 1 (і.з.ю) тогда уравнение %= % , ( fy \ %) (І.З.ІІ) в области // j имеет единственное решение, которое можно найти простой итерацией, определяя приближения по формуле
При этом последовательность { / будет сходиться при /С-»о к предельной точке = Літ с/с) » которая является корнем уравнения (1.3.12). Заметим, что
Естественно, что функцию в общем случае найти невозможно; поэтому для приближенного нахождения точки, в которой искомое периодическое решение пересекает поверхность ё= ( ), надо решить уравнение = % и,с 1 Ъ). (і.з.і/f) Ясно, что при условии (1.3.10) уравнение (1.3.14) имеет в области // %// О единственное решение — При этом нетрудно показать, что разность между этим решением и решением уравнения (1.3.11) оценивается следующим образом
Так как значение выражения yz,(&,lfo) + J. (i /о) не - 39 зависит от , то на основании вышесказанного можно заключить, что справедлива Теорема ІЛ. Для того, чтобы система дифференциальных уравнений с импульсным воздействием (I.3.I), удовлетворяющая всем перечисленным выше условиям, имела при достаточно малых и J периодическое с периодом / решение, непрерывно зависящее от в окрестности точки - О , необходимо, чтобы система уравнений имела особую точку &0 ё 350, и достаточно, чтобы эта особая точка была изолирована с ненулевым индексом.
Свойства почти периодических функций
Лемма 2.5. Для любых двух п.п. функций с общим множеством точек разрыва при каждом О существует относительно плотное множество их общих Є - почти периодов.
Доказательство. Пусть fyft) и ()- п.п. функции с общей последовательностью точек разрыва. Согласно следствию тео ремы 2.2. существуют такие числа и J , что каждый из отрезков С&, й+&3t &,& + &] будет содержать соот ветствующие с - почти периоды by и t , кратные числу
Если положить fnar(, А.), то на каждом отрезке найдется пара /# - почти периодов i- ґі 2і и b =n.f/V , где ft и /z- целые числа. Так как 1Г Ь (К -п")У ж/(h -n")V/ / , то (П -и )р может принимать лишь конечное число значений. Пусть это будут числа ft T , ft, р . , ft V и пусть представителями их являются пары почти периодов Cti/ ), Д х) » » / с » т,е такие паРы, для которых tf - ftj 7і Положим /TztfX/ kf/ = ty . Пусть [а, a-+ ГУ-произвольный отрезок длины -// 3f . Возьмем на отрезке Ca+%CL + t+X} - почти периоды t ft ft и t =/l"f функций и W и пусть Ь Ь =-/г Т . Тогда fc= r -kj= ь,-ь гЬСа.а иг Усі. 2-2-5 Множество всех чисел, определяемых соотношением (2.2.5), является относительно плотным множеством v./ , кратных 71 Покажем теперь, что существует относительно плотное на оси Цх подмножество кУ0С J такое, что для всех Ье Уо выполня - 50 ется Ц+Ъ-Ь/ь /ц , если //-/ «, t=Ot±J9...
Пусть - показатель плотности множества J =: (6) - показатель плотности множества J& действительных чисел, кратных г , определяемые леммой 2А для /г/ . Очевидно, 7 может быть выбранным достаточно малым для того, чтобы выполнялись неравенства -Zy 0 , t! . Положим fncuc( f -L) Тогда для любого интервала E&,Q+-1 найдутся такие целые числа tn , / , О , что fay, т уе Разности ftt- fn1 могут принимать лишь конечное число значений, скажем ftj, = У, Я,, . Для каждого ҐІЛ существуют тройки Фиксируем их и будем считать представителями классов, определяемых числами ftj ,
Пусть - некоторый интервал длины у{+ ЛЯ . Для подинтервала y=Q-J-J,Q+j+z!] длины-/ найдутся целые числа ht ,/ , , удовлетворяющие (2.2.6) и условиюи» значит, Irl-rvif- fin - nij Положим Ь = {/п- fnj) tf, /г- %- $3 0чевиДно» t У . С помощью второй из формул (2.I.I) получим, что для любого целого /
Таким образом, множество / относительно плотное на вещественной оси /ft . Отсюда, при / имеем Лемма доказана. Теорема 2.4. Сумма двух п.п. функций с общим множеством точек разрыва также есть п.п. функция. Теорема 2.5. Скалярное произведение двух п.п. функций с общим множеством точек разрыва также есть п.п. функция. Теорема 2.6. Частное )/(1/ #ВУХ п,п ФУНК ций с общим множеством точек разрыва является п.п. функцией, если только ш///( (-6)// 0 . Теоремы 2Л - 2.6 доказываются при помощи леммы 2.5 также, как и соответствующие предложения для функций п.п. в смысле Бора.
Доказательство. Пусть ffl, - множество всех п.п. функций с общим множеством точек разрыва. Если () Є % , то нормой этой функции в Ж будем считать величину /l(f(i)ll0 uP МУ&М.
Кроме того, если функция №ft) п.п., то последовательность /г У/ п.п. в силу леммы 2.8. Поэтому пользуясь методом нахождения общих почти периодов, можно показать, что последовательность // ( ))/ п.п. Почти периодичность функции Л(, №) вытекает из теоремы 2.3. Отсюда, используя леммы 2.6 и 2.7, найдем, что если С6) Є б » то существует относительно плотное множество J/ , состоящее из -почти периодов функции ф(6) , таких, что для Ьє У, 6ff , //- / 1=0+( справедливо неравенство
О достаточных условиях устойчивости характе ристических показателей
Таким образом, центральные показатели сО^ и о2к. /С-то блока могут рассматриваться как границы изменения характеристических показателей этого блока,и если старший (младший) показатели невозмущенной системы совпадают с центральными, то они устойчивы вверх (вниз) по отношению к возмущениям первого порядка.
Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы 15.2.1 ГЗО], использует лемму 3.1, а также аналоги соответствующих пунктов лемм 15.2.4 - 15.2.6 Сзо], доказательство которых полностью переносится для импульсных систем.
При этом кусочно-непрерывное ляпуновское преобразование, за меняющее систему (3.2.16) с интегральной разделенностью на систе му с разделенностью в обычном смысле, определяется матрицей равной
Если характеристические показатели системы (3.0.1) устойчивые, то существует ляпуновское кусочно-непрерывное преобразование этой системы к блочно-треугольному виду Для системгблоков ҐІ/с которой выполняются условия: 2) для любых элементов диагоналей соседних блоков /?# и ftfc+i » &=/,,- » JM выполняются условия интегральной разделенности в следующем смысле: для любых с, /, L к » je ftu+j существуют постоянные #А О , Cjf О , такие, что
Доказательство. В силу непрерывной зависимости решений сие-теш (3.0.1) от начальных данных и того факта, что аС С ) линейное пространство, рассуждения теоремы в [32J можно перенести для уравнений (3.0.1). Таким образом доказывается утверждение: система (3.0.1) ляпуновским преобразованием ОС&)=&()и() приводится к уравнениям (3.3.1), для которых все характеристические показатели /С - го блока, равны одному и тому же числу
Так как ляпуновское преобразование сохраняет устойчивость характеристических показателей, то, применяя теорему о достижимости центральных показателей, убеждаемся в справедливости утверждения I) теоремы.
Прежде чем продолжить доказательство теоремы, сформулируем следующее вспомогательное предложение: Лемма 3.2. Если двумерная система cit lj at (з.з.з) Л0С1І = / , Л І = не является интегрально разделенной, то для любого числа о( , ОС $ъ ( .Я-/ » Зъ - характеристические показатели системы (3.3.3) ) найдется сколь угодно малое по норме линейное возмущение, при котором возмущенная система имеет решение с показателем, равным (X . Следовательно, характеристические показатели системы (3.3.3) неустойчивые.
Проверка справедливости леммы 3.2 проводится аналогично доказательству леммы из ["зі]. Предположим, теперь, что условие 2) теоремы не выполняется, тогда существует индекс frl такой, что блоки Н.т и и+ч не разделены интегрально. Выделим эти блоки из системы и объеди ним в С Пт - Hn+i ) " мерную систему. Затем применим к полу ченной системе блочное /Ь - преобразование Ляпунова [30J, ко торое сделает внедиагональные элементы сколь угодно малыми при соответствующем выборе -/3- . Отбросив в полученной таким обра зом системе внедиагональные элементы, получим диагональную систе му, которая будет иметь характеристические показатели , ib»t » 3j, j1M+d такие, что /3[ Зы1 ІЗ - Зт+;l где вввд устойчивости ха рактеристических показателей, можно сделать сколь угодно малым.
В силу выбора индекса Мг существует по крайней мере одна пара диагональных элементов по одному в блоках /2 и Щ+І, для которых неравенство (3.3.2) не вьшолняется. Выделяя эту пару в двумерную диагональную систему и применяя приведенную выше лемму 3.2. получим, что существует достаточно малое импульсное возмущение, при котором двумерная возмущенная система будет иметь характеристический показатель равный у (3m + -3 +-/) Суммируя возмущение импульсной части выделенной двумерной системы и возмущение внедиагональными элементами, взятыми с противоположными знаками, придем к противоречию с устойчивостью характеристических показателей, которая сохраняется при ляпуновском /J- - преобразовании
