Введение к работе
Объект исследования Основными объектами исследования являются линейное дифференциальное уравнение с запаздываниями
п п
і(*) = -е]Г]а*я(*-п)> 23е*-1» *>0 (1)
и линейное интегродифференциальное уравнение
*(') = -ff / a(r)x{t-т)<1т, / а{т)dr = 1, l>0. (2)
JO JO
Здесь є > 0, (о»;) - неотрицательная последовательность весовых коэффициентов, (т>) - неотрицательная последовательность запаздываний.
В уравнении (2) мы предполагаем последействие ограниченным: для ядра а{т) существует Г > 0, называемое длиной интервала последействия, такое что а(т) — 0 для всех г > Т.
Ядро а(т) предполагаем неотрицательным и кусочно-непрерывным на [О, Т]. Здесь и далее кусочно-непрерывными функциями на отрезке мы будем называть такие функции, для которых существует разбиение этого отрезка на конечное множество отрезков, внутри которых функция непрерывна, а на концах может иметь разрывы первого рода.
Начальная функция
Для уравнений (1) и (2) фиксируется также начальное условие хц, причем равенство у>(0) = Ха необязательно.
Решением уравнения (1) называется абсолютно непрерывная на любом отрезке [0, Af], М > 0 функция x(t), (такая что x{t) = ж(0) + JQ x(t)dt для любого t > 0), удовлетворяющая (1) почти всюду на[0, оо), такая что i(t) = tp{t) при t Є [—т, 0), (0) = Хо Аналогично определяется решение уравнения (2), с заменой [—г, 0) на' [—Т, 0).
Известно, что решение уравнения (1) (соответственно, (2)) непрерывно дифференцируемо на [г, 2т]., дважды непрерьшно дифференцируемо на [2т, Зг] (соответственно, на [Г, 2Г], [2Г, ЗГ]) и т.д.
Основным объектом нашего исследования является также специальный случай уравнения (2) - интегродифференциальное уравнение с за-
:*ой НАЦИОНАЛЬНАЯ 1 БИБЛИОТЕКА I
паздывающим усреднением
t-e
Ці) -~є J -x(u)du. (3)
t-в-г
В (3) неотрицательное число в является запаздыванием, положительное число т есть интервал усреднения.
Актуальность темы Уравнения (1) - (3) являются линеаризациями соответственно следующих дифференциальных и интегродифференци-альных уравнений
п п
№=ev№-jff*a(T)v(t-T)dT), jTa(r)dr = l, (5)
(
t-ff ч
1-^/ ^«)ЛІ. (6)
t—в — Т
вокруг стационарного решения y{t) = N.
В свою очередь уравнения (4) - (6) получены введением запаздываний различного вида в логистическое уравнение динамики популяции
m = v(W-jjv№, е>0. (7)
В (4) - (7) е - коэффициент автоприроста (скорость воспроизводства), y{t) есть численность популяции в момент времени t, число N - предписанная численность популяции (емкость среды для данной популяции). Множитель (1 — jjy[t)) символизирует обратную связь системы "популяция - окружающая среда".
Логистическое уравнение (7) рассматривается в необозримом и неис-тощающемся массиве публикаций. Несколько меньший, недостаточно обширный к настоящему моменту объем публикаций посвящен логистическим уравнениям с запаздываниями.
Приведем список некоторых авторов, результаты которых либо относятся к уравнениям (1) - (3), либо имеют следствия, касающиеся устойчивости указанных уравнений. Это Абдуллаев А.Р., Азбелев Н.В., Анд-
ронов А.А., Беллман Р., Березанский Л.М., Гусаренко СА, Колманов-скийВ.Б., Красовский Н.Н., КукК.Л., Майер АГ., Максимов В. П., Малыгина В.В., Мышкис АД., Неймарк Ю.И., Норкин СБ., Рахматулли-наЛ.Ф., Рехлицкий З.И., Симонов П.М., Соколов В.А, Эльсгольц Л.Э., AmemiyaT., Cushing J., Driver R., Gopalsamy K., Hale J., Hutchinson G., Pinney E., Sugie J., Wright E., Yoneyama Т., Yorke J.
Многие из этих работ посвящены сложным проблемам устойчивости, колебательности, особенностям асимптотического поведения уравнений, отягощенных переменными запаздываниями, сложными ядрами в интегральных компонентах и т.п.
Тем более актуальным является рассмотренный в диссертации вопрос о поведении простейших уравнений (1) - (3). Полученные в работе точные оценки численных параметров, гарантирующие устойчивость уравнений, могут служить в дальнейшем ориентиром для более общих теорий.
Цель работы Мы ставим задачу исследовать устойчивость нулевого решения x(t) = 0 в уравнениях (1) - (3). Мы намерены исследовать влияние двух факторов на устойчивость уравнений (1), (2):
Ограничение произведения е на среднее запаздывание %Уь=оаьТк для уравнения (1) и f^rair) для уравнения (2). Здесь мы намерены дать в некотором смысле окончательные результаты.
Выпуклость последовательности коэффициентов (а*) в уравнении (1).
Для уравнения (3) мы намерены дать необходимое и достаточное условия асимптотической устойчивости в виде ограничений на єт и ев.
Методы исследования Мы используем преобразование Лапласа для исследования устойчивости нулевых решений уравнений (1) - (3). Проблема устойчивости сводится к проблеме расположения корней характеристической функции.
Для определения отсутствия у характеристической функции корней с неотрицательными действительными частями используется геометрическое истолкование теоремы о логарифмическом вычете, которое приводит к "принципу аргумента".
Полученные результаты подтверждаются с помощью численных экспериментов с годографами в математическом редакторе MATCAD и путем построения конкретных решений данных уравнений в математической среде МАТІАВ с помощью пакета dde23,
Научная новизна полученных результатов Одним из основных результатов диссертации являются достаточные условия устойчивости нулевого решения дифференциального уравнения (1) с несколькими запаздываниями. Достаточные условия получены в виде ограничения на
произведение е и среднего запаздывания. Эти результаты можно считать в некотором смысле окончательными, поскольку определена неулучша-емая. константа. Новизна заключается в том, что этот результат улучшает полученные ранее условия устойчивости К. Гопалсами и обобщает известные результаты.
Для уравнения (1) получено еще одно достаточное условие устойчивости нулевого решения в виде выпуклости последовательности коэффициентов (at). Этот.результат является аналогом одного результата К. Гопалсами в теории интегродифференциальных уравнений.
Кроме того, показано, что никакое ограничение сверху величины произведения е и среднего запаздывания не является необходимым для устойчивости нулевого решения этого уравнения, что опровергает одно из утверждений К. Гопалсами.
Аналогичные результаты получены для интегродифференциального уравнения (2) с распределенным запаздыванием.
Еще один.элемент новизны - это рассмотрение интегродифференциального уравнения: (2) с таким специальным ядром а{т), при котором уравнение (2) принимает вид (3).
Уравнение (3) естественно назвать дифференциальным уравнением с запаздывающим усреднением. Такая постановка задачи до сих пор не встречалась. Для этого уравнения-получены необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости нулевого решения, которые носят окончательный характер.
Полученные результаты устойчивости для уравнение (3) точнее, чем те, которые могли быть выведены из более общих результатов работ .А.Д. Мышкисаи К. Гопалсами.
Теоретическая и практическая значимость Основные результаты диссертационной работы имеют теоретический характер.
Теоретические достижения работы состоят в получении окончательных неулучшаемых оценок в достаточных признаках устойчивости нулевых решений уравнений (1), (2), а также в получении необходимых и достаточных условий асимптотической устойчивости нулевого решения уравнения (3).
Практическое значение автор видит в том, что результаты работы дают основания для построения в дальнейшем методов управления устойчивым ростом популяции либо посредством уменьшения запаздываний, уменьшения скорости воспроизводства, либо посредством структурных настроек (например, обеспечения выпуклости последовательности весовых коэффициентов в уравнении).
Работа может быть также использована в преподавании специально-
го курса дифференциальных уравнений с запаздываниями. -
Апробация работы Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на 12 Межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" в Самаре (2002 г.), на 10 Международной конференции "Математика, компьютер, образование" в Пущине (2003 г.), на 13 Межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" в Самаре (2003 г.), на Международной конференции "Physics and Control" в Санкт-Петербурге (2003 г.), на 12 Всероссийской конференции молодых ученых "Математическое моделирование в естественных науках" в Перми (2003 г.), на научном семинаре кафедры математического анализаЧГПУ под рук. проф. М.М. Кипниса и доц. А. С. Макарова.
Публикации Результаты диссертации опубликованы в 8 работах, список которых приведен в конце автореферата, из них 4 публикации без соавторства.
В совместных работах научному руководителю М.М. Кипнису принадлежит постановка задач, диссертанту - получение конкретных результатов.
Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка цитированной литературы. Общий объем работы составляет 114 страниц. Библиография содержит 116 наименований работ российских и зарубежных авторов.
