Содержание к диссертации
Введение
Разрешимость линейных уравнений Соболевского типа 26
1.1 Относительные резольвенты 26
1.2 Относительно р-радиальиый оператор 28
1.3 Относительно р-секториальный оператор 33
1.4 Относительно спектральная теорема 35
1.5 Относительно спектрально ограниченный оператор . 36
1.6 Относительно спектрально ограниченная оператор-функция 39
1.7 Существование решений нестационарных уравнений Соболевского типа 4G
1.8 Нестационарная задача теории фильтрации 50
2 Экспоненциальные дихотомии и ограниченные решения уравнений Соболевского типа 53
2.1 Экспоненциальные дихотомии решений 53
2.2 Аппроксимации функции Грина 59
2.3 Функция Грина QQ
2.4 Условия существования ограниченных решений 72
2.5 Один класс нестационарных уравнений 76
2.6 Периодические решения уравнений с сектори л ьным оператором 80
2.7 Периодические решения уравнений соболсвского типа с относительно секториальным оператором 85
3 Исследование устойчивости решений некоторых систем уравнений в частных производных 87
3.1 Функциональные пространства и дифференциальные операторы 87
3.2 Линеаризованная система уравнений фазового поля 90
3.3 Уравнение с эллиптическим оператором высокого порядка 100
Список литературы
- Относительные резольвенты
- Экспоненциальные дихотомии решений
- Функциональные пространства и дифференциальные операторы
Введение к работе
Постановка задачи
Пусть Яи^- банаховы пространства. Рассмотрим на промежутке ЗсК нестационарное операторно-дифференциальное уравнение Lu{t) = Mtu(t) + g{t) (0.1) и задачу Коши для него при to Є 3 «(to) = «о. (0.2)
Здесь оператор L Є C(ii; #), ker L ф {0}, оператор-функция Mt Є C/(il; #) для всех Є 3, а функция # : 3 —> # В настоящее время существует широкий диапазон прикладных задач, которые можно редуцировать к абстрактной задаче (0.1), (0.2). В данной работе исследуется разрешимость некоторых классов уравнений вида (0,1) и задачи Коши (0.2) для них. В частности, введено в рассмотрение так называемое условие (L, (^-ограниченности оператор-функции Mt, достаточное для разрешимости задачи (0.1), (0.2). Кроме того, исследована разрешимость задачи и(0) = щ, щ Є domM (0.3) при 0 Є 3 для уравнения L u(t) = a{t)Mu{t) + g(t) (0.4) при условии сильной (L, р)-радиалыюсти оператора М, то есть в случае, когда уравнение Lu(t) = Mu{t) (0.5) обладает сильно непрерывной разрешающей полугруппой и существуют пары инвариантных подпространств операторов L и М [70, 104]. Здесь L Є С(И;$) и М Є CZ(-U;#), а функции a : J ~> R+) д : Z -> Ъ-
В теории устойчивости динамических и эволюционных дифференциальных уравнений важную роль играет понятие экспоненциальной дихотомии уравнения как одной из моделей асимптотического поведения его решений ([14], [41], [80]). В данной работе будет исследован вопрос существования экспоненциальных дихотомий уравнения (0.5) и нестационарного уравнения L u(t) = a(t)Mu(t) (0.G) в случае (,р)-радиальности оператора М, а : 3 —> К+-
С вопросом существования экспоненциальных дихотомий однородного уравнения тесно связан вопрос существования ограниченных решений соответствующего неоднородного дифференциального уравнения (см., например, [14]). С точки зрения приложений именно такое поведение решения считается наиболее "физичным". Одним из объектов нашего интереса в данной работе являются условия существования ограниченных решений уравнения L u{t) = Mu(t) + g{t) (0.7) или соответствующей задачи Коши (0.3), (0.7) при условии сильной {1>,р)-радиалыюсти оператора М.
Наконец, в работе получены условия существования периодических решений уравнения (0.7) с сильно (,р)-секториальиым оператором М. Сами решения представлены в явном виде.
Все абстрактные результаты использованы при исследовании разрешимости и свойств решений граничных задач для систем уравнений в частных производных, не разрешенных относительно производной по времени, таких, как уравнение эволюции свободной поверхности фильтрующейся жидкости, линеаризованная система уравнений фазового поля, описывающих фазовые переходы первого рода, и др.
Историография вопроса
Исследования уравнений, не разрешенных относительно старшей производной, впервые встречаются, по-видимому, в работе А. Пуанкаре [96] в 1885 году, позднее - в работах C.W. Oseen [94], J. Leray [37] и других в связи с исследованиями системы Навье - Стокса (vt — vAv + Vp = 0, div v = 0). Работы С.Л. Соболева, касающиеся уравнений в частных производных, не разрешенных относительно старшей производной по времени [63, 64, 65], заложили фундамент нового направления в теории дифференциальных уравнений, поэтому уравнения, не разрешенные относительно старшей производной по выделенной переменной, в частности уравнения вида (0.1) и конкретные его интерпретации, часто называют уравнениями Соболевского типа. Далее всюду мы считаем этот термин синонимом терминов "уравнения не типа Коши - Ковалевской" [16], "псевдопараболические уравнения" [26], "уравнения типа Соболева" [58], "уравнения типа Соболева - Гальперна" [32]. Уравнения соболевского типа являются частью обширной области неклассических уравнений математической физики. В настоящее время такие уравнения по-прежнему привлекают внимание исследователей, о чем свидетельствует большое количество вышедших в последнее время монографий [17], [20], [102], [104].
Выделим два направления исследований уравнений соболевского типа: решение задач для конкретных уравнений и систем уравнений в частных производных и изучение абстрактных уравнений типа (0.1) с приложением к задачам математической физики.
К первому направлению следует отнести работы, в которых результаты о разрешимости начально-краевых задач для таких уравнений и систем получены посредством использования свойств дифференциальных операторов, входящих в уравнение. Это работы С.А. Гальперна [12|, А.Г. Костюченко, Г.И. Эскина [32], R.E. Showalter [99], А.П. Осколкова [44], В.Н. Врагова [10], А.И. Кожанова [25], Г.В. Демиденко, СВ. Успенского [17] и многих других. Здесь "прикладная" задача выступает как объект исследования, а методом исследования служат результаты "чистой" математики.
А.Г. Костюченко и Г.И. Эскин [32] установили разрешимость задачи Коши для уравнений "типа Соболева - Гальперна" в классе экспонепци- ально растущих функций. R.E. Showalter и T.W. Ting в работе [101] рассматривают уравнение (0.7) с дифференциальными операторами L и М, где L эллиптичен: L = -*,&+ю, І=1 j—1 J
Ті 1Ъ ґ\ г\ ТІ г\ і—1 j—1 > і=1 и = и(х,і) - скалярная функция, х Є Q С Mn, Q - ограниченная область, domX и domM плотны в гильбертовом пространстве L2(Q) = II = #. Решается обобщенная смешанная краевая задача, доказывается теорема существования и единственности решения. Обсуждается асимптотическое поведение решений.
А.П. Осколков [44, 45] исследовал разрешимость в пространствах Соболева и в пространствах Гельдера начально-краевой задачи в цилиндре Qx(0,T) и(х, 0) = щ(х), х Є Сі, u{x,t) = Q: (re, і) с?Пх (0,Т) для системы уравнений (Л - V2K - vV2u + Vp = g, V и = 0.
Здесь и : fi X (0,T) -> Rn, p : П x (0,Г) - E, i/ > 0, Л > -Ль Ai -наименьшее собственное число спектральной задачи -Av + Vp = А«, V v = 0, v = 0 па <9П.
Работы В.Н. Врагова и его учеников [10, 20, 27, 28] посвящены исследованию разрешимости начально-краевых задач для неклассических уравнений в частных производных, в том числе и уравнений Соболевского типа. А.И. Кожанов [25], распространяя теорию уравнений в частных производных составного типа на уравнения нечетного порядка, в частности рассматривает уравнения вида {I-A)ut = Bu-\-g(x,t), где А, В - дифференциальные по пространственным переменным операторы четного порядка. Решается вопрос о выделении таких классов уравнений, для которых возможна постановка корректной краевой задачи в терминах коэффициентов при частных производных в операторах А и В.
В работе [26] А.И. Кожанов сформулировал корректную постановку начально-краевой задачи для уравнения Ащ + Ви — g(x,t), где А, В -эллиптико-параболические дифференциальные (по х) операторы второго порядка, а оператор А + В эллиптичен. Получены теоремы о разрешимости такой задачи и о поведении решений на бесконечности.
Монография Г.В. Демиденко и СВ. Успенского [17] содержит систематическое изложение результатов цикла работ авторов (см. [15, 16, 67J и дір.), касающихся уравнений и систем уравнений в частных производных, не разрешенных относительно старшей производной по времени. В [17] проведена более тонкая классификация уравнений соболсвского типа в частных производных на уравнения простого Соболевского типа, псевдопараболические уравнения и псевдогиперболические уравнения. Среди систем уравнений, не разрешенных относительно старшей производной по времени, выделены системы соболсвского типа и псевдопараболические системы. С использованием методов построения приближенных решений и получения ір-оценок решений изучены задача Копій и смешанные краевые задачи в четверти пространства для уравнений и систем уравнений Соболевского типа. Кроме того, па основе теорем вложения для функциональных пространств Соболева - Винера исследованы асимптотические свойства решений краевых задач для уравнений Соболевского типа в цилиндрических областях.
Отдельное место занимают исследования задачи (0.1), (0.2) в конечномерном случае. В случае, когда К. = # = Мш, L,M - постоянные квадратные матрицы, она исследовалась еще К. Всйерштрассом для регулярных и Л. Кронскером для сингулярных пучков матриц. Результаты этих исследований изложены в монографии Ф.Р. Гантмахера [13]. (Пучок квадратных матриц М + [іЬ называется регулярным, если определитель \М + jiL\ не равен тождественно нулю, иначе пучок называется сингулярным.)
Ю.Е. Боярипцевым, В.Ф. Чистяковым, М.В. Булатовым [2, 3, 4, 5, G, 7, 85, 86] продолжены исследования конечномерной задачи в случае it = Шп, $ = Ет. Авторы используют различные обобщенные обращения особенных и прямоугольных (т ф п) матриц. В упомянутых работах рассматриваются также уравнения, не разрешенные относительно производной, с матрицами, зависящими от t, уравнения с интегро-диффереициальпыми операторами. Большое внимание уделяется численным методам решения.
В исследованиях по второму направлению наблюдается другой подход: "прикладные" задачи являются иллюстрациями исследования "абстрактных" задач. Отметим работы М.И. Вишика [8], С.Г. Крейна и его учеников [35, 21], Н.Д. Копачевского [29], А.Г. Руткаса [52], J.E. Lagnese [93], A. Favini [89], М. Povoas [97], Н.А. Сидорова и его учеников [60], [62], С.Г. Пяткова [51] и многих других.
М.И. Вишик [8] исследовал задачу (0.3), (0.7) для случая, когда ^- се-парабельное гильбертово пространство, пространство it плотно и непрерывно вложено в , операторы L и М фредгольмовы, L самосопряженный и положительно определенный. Методом Галеркииа- Петрова установлены существование и единственность решения, кроме того описана его непрерывная зависимость от g(t) и от начального значения щ.
Однородную задачу (0.3), (0.5) изучали математики из школы С,Г, Крейна, Продолжая традицию, восходящую к К. Вейерштрассу и Л. Кронекеру, для исследования разрешимости этой задачи они использовали понятие регулярности операторного пучка M+fiL. (Пучок M-\-(.lL называется регулярным, если
3а>0 V/zeC (|/і| > a) = {{М +/xL)"1 Є Д^Н))).
С.Г. Крейн и В.Б. Осипов [35] изучали однородную задачу с линейными ограниченными операторами L, М в банаховом пространстве it. При этом они использовали метод, предложенный С.Г. Крейном и С.Д. Эйдель-маиом, который основан на построении функции Ляпунова. Показано, что если, в отличие от оператора L, оператор М или при некотором fi оператор М + fiL обратим, то решения однородного уравнения (0.5) заполняют некоторое собственное подпространство. В этом подпространстве задача Коши однозначно разрешима.
СП. Зубовой и К.И. Чернышовым [21] исследован случай, когда Я, #-банаховы пространства, L - замкнутый фредгольмов, М - ограниченный оператор. Для регулярного случая доказана однозначная разрешимость однородной задачи Коши при начальных значениях из некоторого подпространства с конечным дефектом. Решение задачи Коши (0.3), (0.7) существует для достаточно гладких функций д, определенным образом согласованных с начальными данными.
Исходя из ряда физических задач, в работе J.E. Lagnese [93] исследована задача (0.3), (0.7) в гильбертовом пространстве. Причем оператор L - самосопряженный, ker L ф {0}, domX С domM, domL С domM*, ker L инвариантно относительно оператора М. Условия однозначной разрешимости неоднородной задачи предполагают некоторые условия гладкости функции д и согласованности ее с начальными данными.
Используя методы классического и локального преобразования Лапласа и спектральную теорию операторных пучков, А.Г. Руткас [52] исследовал задачу (0.3), (0.7) в случае, когда 11, #-банаховы пространства, L, М - линейные ограниченные операторы. В статье охарактеризованы нормальные решения, корректная и диссипативиая задача Коши, описано начальное многообразие при различных условиях. Результаты исследования применяются к задачам рассеяния и прохождения сигналов в дискретных структурах. A. Favini [88] вводит в рассмотрение задачу -j-Lu(t) = Mu(t) + g(t)7 0
В работе М. Povoas [97] также рассмотрена задача Lu(0) = Ьщ для уравнения (0.8) на конечном отрезке. При этом оператор L самосопряженный неотрицательный, М - инфинитезимальный генератор сильно непрерывной полугруппы, пространство it = # - гильбертово. Установлены существование и единственность решения. Полученные результаты прилагаются к системе уравнений Максвелла в неоднородной анизотропной среде с нулевыми начальными и диссипативными граничными условиями, а также к симметричной системе вида
I d N д\ [ВДй-5]ад— u(x,t) =g(xtt), ом) є fi X (o,n U - область в Шп.
Н.А. Сидоров [61] доказал существование и единственность решения однородной задачи (0.3), (0.5) с начальными значениями из некоторого подпространства для случая замкнутых, плотно определенных операторов L, М, где L фредгольмов.
Н,А. Сидоров и М.В. Фалалеев [G2] исследовали задачу Копти дли линейного уравнения типа Соболева (0,7) с замкнутым фредгольмовым оператором L, замкнутым оператором М, банаховыми пространствами il,$; domL С domM. Кроме того, предполагается, что оператор L имеет полный М-жорданов набор, а
С.Г. Пятковым исследована спектральная задача Lu ~ ХВи, где L неограниченный симметрический положительно определенный оператор в сепарабелыюм гильбертовом пространстве, В самосопряженный невырожденный оператор. В работах [49, 50] найдены достаточные условия базисное по Риссу собственных функций этой задачи в терминах интерполяционных пространств. В работе [50] показано, что эти условия близки к необходимым. Приведены различные примеры, в которых L -дифференциальный оператор, скажем, эллиптический, а В - оператор умножения на функцию. В работе [51] эти результаты обобщены на случай спектральной задачи с самосопряженными операторами L, В. Кроме того, здесь рассмотрен вопрос об ограниченности проекторов Риеса, соответствующих неограниченной компоненте спектра позитивного оператора. Результаты исследования спектральной задачи используются при изучении разрешимости некоторых классов граничных задач для уравнения (0.7).
Один из подходов к исследованию задачи Коши для уравнении, по разрешенных относительно старшей производной, предполагает использование методов теории полугрупп операторов. Такой подход используется в работах A. Favini и A. Yagi [90], [91], [105], И.В. Мельниковой и ее учеников [42], [43].
Основой для проведенных в настоящей работе исследований послужили результаты Г.А. Свиридюка [54] - [56] и В.Е. Федорова [58], [59], [68] - [77] о вырожденных полугруппах операторов. Особенность полугрупп уравнения (0.5) заключается в том, что единицей такой полугруппы является не тождественный оператор, как в классической теории полугрупп [22, 82], а некоторый проектор. В отличие от упомянутых работ A. Favini, A. Yagi, И.В. Мельниковой в работах Г.А. Свиридюка и
В.Е. Федорова исследованы полугруппы уравнения (0.5), вырождающиеся не только на ядре оператора L, но и на его М-присоединенных векторах.
Как уже было отмечено, одними из основных объектов исследования данной работы являются вопросы существования экспоненциальных дихотомий и ограниченных решений уравнений Соболевского тина первого порядка в банаховых пространствах. Наиболее глубокие результаты по проблеме существования ограниченных решений лежат в области обыкновенных дифференциальных уравнений, разрешенных относительно производной. Эта теория развивалась столь интенсивно, что уже в 1959 году в известном обзоре Л. Чезари [83] список литературы составил 140 страниц. Отправной точкой здесь являются работы A.M. Ляпунова [39]. Наиболее полно результаты по устойчивости решений обыкновенных дифференциальных уравнений изложены Ф. Гантмахером [13], Б. Деми-довичем [18], Э. Коддингтоном и Н. Левинсоном [24].
Экспоненциально дихотомические системы уравнений с переменными коэффициентами фактически рассматривались уже в работе О. Перрона [95], изучавшего нелинейные возмущения таких уравнений. Правда, еще раньше аналогичную задачу для нелинейного уравнения со стационарной линейной частью рассматривал П. Боль [87], Работа О, Перрона была обобщением относящейся к двумерному дискретному случаю работы Ж, Адамара [92]. В ней не фигурировало явно условие экспоненциальной дихотомичности. Оно было заменено условием существования ограниченных решений неоднородного линейного дифференциального уравнения первого порядка с ограниченной неоднородностью. Эквивалентность этого условия условию экспоненциальной дихотомичности системы обыкновенных дифференциальных уравнений была впервые установлена А.Д. Майзелем [40].
В случае непрерывной обратимости оператора L уравнение (0.7) мож- но редуцировать к уравнению u(t) = Su(t)-\-w(t), (0.9) где 5 = L~lM Є Cl(iX), domS = domM, w(t) = L_1(?(i) : К -> il. Одним из важных аспектов, в которых исследуется задача (0.3), (0.9), является поиск условий на оператор S, которые гарантируют ограниченность решения в случае ограниченности вектор-функции w.
М.Г. Крейн [33] впервые рассмотрел вопросы устойчивости решений дифференциальных уравнений в бесконечномерных банаховых пространствах. Подробно эти исследования изложены им в [34]. Классическими работами в области исследования ограниченных решений уравнения (0.9) и экспоненциальных дихотомий решений однородного уравнения (0.9) стали монографии Ю.Л. Далецкого и М.Г. Крейна [14], Х.Л. Массера и Х.Х. Шеффера [41], где рассматривались уравнения с ограниченным оператором S.
В монографии Ю.Л. Далецкого и М.Г. Крейна [14] рассмотрены вопросы устойчивости решений однородного и неоднородного уравнения вида (0.9). Получены достаточные условия существования ограниченных, периодических и почти-периодических решений неоднородного уравнения в терминах спектра оператора S и экспоненциальных дихотомий однородного уравнения. Также рассматривается уравнение (0.9) с оператором S зависящим от t, получен критерий существования ограниченных решений при условии дополнительности некоторого инвариантного подпространства решений.
Х.Л. Массера и Х.Х. Шеффср в монографии [41] рассматривают однородные и неоднородные уравнения вида (0.9), причем ограниченный оператор S зависит от t. Исследуются вопросы допустимости пар пространств и существования дихотомий решений. При этом речь идет не только об экспоненциальных, но и о простых дихотомиях. Также получен критерий существования ограниченного решения при более общих предположениях, чем в [14].
В работе Д. Хенри [80] изучается разрешимость задачи Коши стационарного и нестационарного линейных уравнений первого порядка' вида (0,9), где S - секториалъиый, т. е. порождающий аналитическую полугруппу, оператор. Получены достаточные условия существования и единственности ограниченных решений уравнения (0.9) и его задачи Коши.
Отметим результаты В. Przeradzki [98] о существовании ограниченных решений дифференциальных уравнений вида (0.9) в гильбертовых пространствах.
Однако, следует заметить, что в перечисленных работах полный аналог результата А.Д. Майзеля в банаховых пространствах не был получен даже для уравнений (0.9) с ограниченным оператором S. В работе [14] (как, впрочем, и в [41]) такой результат был получен только при некоторых дополнительных предположениях, которые не являются необходимыми. Д. Хенри получил такой результат только для дискретных дихотомий [80].
Для банаховых пространств эквивалентность существования экспоненциальных дихотомий и существования ограниченных решений уравнений вида (0.9) была получена Б.М. Левитаном и В.В. Жиковым [38] для случая неограниченного оператора S. Рассмотрены, в числе прочих, случаи периодических и почти-периодических оператор-функций S(i).
Современное состояние
Несмотря на то, что уравнения Соболевского типа часто встречаются в приложениях (см., например, [17, 44]), работ по исследованию вопросов ограниченности решений таких уравнений немного. Можно упомянуть вышедшую в 1972 году работу J. Lagnese [93], в которой исследуется вопрос существования ограниченных решений для дифференциальных уравнений Соболевского типа
ЭйМ(х, D)— ~~ L(x, D)u = 0, (0.10) где М(х, D) и L(x, D) - линейные дифференциальные операторы в част- ных производных порядка 2т, и оператор М(х, D) эллиптический. Уравнение (0.10) рассматривается в П X [0,оо), где область Q С Ж11 ограничена, Bj(x, D)u = 0 - граничные условия на ОСІ X [0, со).
Отметим работу А.И. Поволоцкого и Г.А. Свиридюка [48], в которой исследован характер поведения решений уравнений Соболевского типа (\ + L)ut + Mu = 0, А < 0, где L и М положительно определенные линейные операторы в гильбертовом пространстве М, a L имеет дискретный спектр.
Ограниченность решений уравнения (0.7) и экспоненциальные дихотомии решений уравнения (0.5) исследовались Г.А. Свиридюком и А.В. Келлер [23, 57] в случаях (L, <х)-ограничешюго и сильно (L, р)-сектор пального оператора М. Ими были получены условия существования экспоненциальных дихотомий решений уравнения (0.5) в терминах L-спсктра оператора М. Кроме того, получены условия существования решений уравнения (0.7), ограниченных на прямой в случае (L, <т)-ограниченного оператора М и на положительной полуоси в случае сильно (1/,р)-сскториаль-ного оператора М.
В монографии Л.Р. Волевича, С.Г. Гиндикина [9] изучена смешанная задача для строго гиперболических и параболических по Петровскому дифференциальных уравнений высокого порядка с переменными коэффициентами. В дополнении, написанном А.Р.Ширикяном и Л.Р. Воле-вичем, рассматриваются гиперболические уравнения на всей оси времени. Изучается разрешимость в пространствах ограниченных, периодических и почти периодических по времени функций. Исследуются свойства асимптотической устойчивости и экспоненциальной дихотомично-сти некоторых классов уравнений.
Актуальность темы исследования
Уравнения Соболевского типа возникают при моделировании различных процессов в естественных и технических науках [17], [104]. К виду (0.1) редуцируются уравнение Баренблатта - Желтова - Кочиной, моде- лирующее динамику вязко-упругой жидкости в трещи ш ювато-п ори стой среде [1], уравнение эволюции свободной поверхности фильтрующейся жидкости [19], уравнение волн Россби [31], система уравнений Соболева [63], линеаризованная система уравнений Навье - Стокса [3G], многие другие системы уравнений из гидродинамики [29, 44, 45]. Тем самым исследования разрешимости уравнений вида (0.1) не только представляют теоретический интерес, но и, безусловно, интересны с практической точки зрения.
Потребность не только в разрешимости таких задач, но и в решении касающихся их прикладных вопросов, ставит перед исследователями много интересных и практически значимых вопросов. Качественная теория дифференциальных уравнений дает ответы на многие вопросы, интересующие исследователя. К таковым можно отнести вопросы существования экспоненциальных дихотомий, существования ограниченных, периодических решений, практическую значимость которых трудно переоценить. Также важным является вопрос существования инвариантных подпространств решений. В приложениях знание соответствующих ответов позволяет по внешнему воздействию, а именно это воздействие и описывается неоднородной функцией во многих задачах, определить, будет ли отклик системы "велик" или "мал" в некотором смысле.
Новизна полученных результатов
В данной диссертационной работе получены теоремы о существовании инвариантных подпространств и экспоненциальных дихотомий решений дифференциальных операторных уравнений вида (0.5) в банаховом пространстве с вырожденным оператором і и с сильно (,р)-радиальпым оператором М. Такое уравнение обладает сильно непрерывной разрешающей полугруппой, поэтому, в отличие от аналогичных исследований Г.А. Свиридюка и А.В. Келлер [23, 57], касающихся тех же вопросов для уравнения (0.5) с сильно (,р)-секториальпым оператором, т. е. обладающего аналитической разрешающей полугруппой, в данной ра- боте охвачен более широкий класс уравнений. Упомянутые результаты перенесены на случай нестационарного уравнения (0.4) с сильно (L,p)-радиальным оператором М.
Кроме того, найдены необходимые и достаточные условия (в терминах L-спектра оператора М) существования ограниченных на всей числовой оси решений уравнения (0.7) с сильно (,р)-радиальным оператором. В работах [23, 57] подобный результат даже для частного случая сильно (,р)-секториального оператора М был получен лишь касательно решений, заданных на положительной полуоси.
Также в данной работе получены условия существования периодических решений уравнения (0.7) с сильно (Ь,р)-секториальным оператором М. Сами периодические решения найдены в явном виде.
В работе введен в рассмотрение класс нестационарных уравнений (0.1) с (L, 0)-ограничснной оператор-функцией Mt и получены условия разрешимости уравнений этого класса.
Все полученные результаты использованы при исследовании некоторых задач для уравнений математической физики. Речь идет об уравнении эволюции свободной поверхности фильтрующейся жидкости, линеаризованной системы уравнений фазового поля, описывающих фазовые переходы первого рода, уравнении Баренблатта - Желтова - Кочи-пой, моделирующем динамику вязкоупругой жидкости в трещинновато-пористой среде.
Методы исследования
В данной работе при исследовании вырожденных эволюционных уравнений за основу взят подход, суть которого заключается в построении семейства эволюционных операторов, дающих классическое решение задачи (0.1), (0.2). В случае стационарного уравнения таким семейством является разрешающая полугруппа. Особенность разрешающих операторов вырожденного уравнения (0.1) заключается в том, что они обладают нетривиальными ядрами, содержащими ядро оператора при про- изводной.
Преодоление трудностей, связанных с наличием ядер у разрешающих операторов, осуществляется за счет того, что, скажем, в стационарном случае оба пространства, в которых действуют операторы, предстали мы в виде прямых сумм ядер и образов разрешающих полугрупп (точнее, их единиц). При этом действие операторов L и М распадается в соответствии с расщеплением пространств (из ядра - в ядро, из образа - в образ), на ядре полугруппы оказывается обратимым сужение оператора М, а на образе - сужение оператора L. Тем самым исходное уравнение (или задача Коши для него) редуцируется к системе двух уравнений (двух задач Коши), заданных на взаимно дополнительных подпространствах. Уравнение на образе имеет вид (0.9), при этом оператор S является инфинитезимальным генератором уже невырожденной полугруппы соответствующего класса и исследование его разрешимости и свойств его решений проводится классическими методами. Другое уравнение принимает вид Hii{t) = u(t) + w(t), и получить его решение в явном виде и, соответственно, исследовать его свойства позволяет нильпотентность оператора Я, автоматически следующая из рассматриваемых условий на операторы L и М, скажем, из условия сильной (,р)-радиалыюсти оператора М.
Краткое содержание диссертации
Диссертация, кроме Введения, содержит три главы и Список литературы. Первые две главы содержат теоретические результаты, в третьей главе полученные результаты применяются к конкретным задачам для уравнений и систем уравнений математической (ризики. Список литературы не претендует на полноту и отражает лишь личные вкусы и пристрастия автора.
Первая глава содержит результаты, касающиеся разрешимости уравнений Соболевского типа. Первые пять параграфов содержат предвари- тельные сведения, в них собраны факты, которые так или иначе используются при доказательстве основных результатов диссертации. В первом параграфе представлены сведения об относительных резольвентах. Второй и третий параграфы содержат соответственно основные факты о сильно (L, р)-радиальных и сильно (Ь,р)-секториальных операторах и соответствующих им сильно непрерывных и аналитических полугруппах операторов с ядрами, доказанные ранее в работах Г.А. Свиридюка и В.Е. Федорова [59], [70], [104]. Четвертый параграф содержит относительно спектральную теорему, доказанную в [52] (см. также [57]). В пятом параграфе приводятся сведения о (,р)-ограниченных операторах и соответствующих им аналитических группах операторов, доказанные ранее в [54], [55].
Шестой, седьмой и восьмой параграфы первой главы, а также вторая и третья главы диссертации (за исключением первого параграфа третьей главы и, может быть, шестого параграфа второй главы) содержат новые результаты о разрешимости, существовании инвариантных пространств, экспоненциальных дихотомий, ограниченных, периодических решений уравнений Соболевского типа.
В шестом параграфе первой главы понятие (Ь,р)-ограиичешюго оператора М обобщено па случай оператор-функции Mt, t Є Z- Седьмой параграф содержит результат о разрешимости однородного и неоднородного нестационарных уравнений вида (0.1) с (,0)-ограниченной оператор-функцией М( и соответствующих задач Коши (0.2).
В восьмом параграфе приведен пример, иллюстрирующий результаты предыдущего параграфа при исследовании разрешимости начально-краевой задачи для одного нестационарного уравнения теории фильтра-ции ([1], [17]).
Вторая глава диссертации посвящена уравнениям Соболевского типа с относительно р-радиальными операторами. В первом параграфе получены достаточные условия существования экспоненциальных дихото- мий решений уравнения (0.5) с (Др)-радиальным оператором М. Второй параграф содержит сведения об аппроксимациях функции Грина для уравнения (0.7), используя которые в третьем параграфе построена функция Грина и исследованы ее свойства. Четвертый параграф содержит необходимые и достаточные условия существования ограничеппых решений уравнения (0.7) с сильно (,р)-радиальным и сильно (L,p)-секториальным оператором М. В пятом параграфе получен результат о разрешимости неоднородного уравнения (0.4) и задачи (0.3), (0.4) в случае сильно (,р)-радиального оператора М. Здесь же при условии (1/,р)-радиалыюсти оператора М получены достаточные условия существования экспоненциальных дихотомий решений уравнения (0.G). В шестом параграфе, результаты [14] о периодических решениях уравнения (0.9) распространены на случай неограниченного секториалыюго оператора S. В седьмом параграфе результаты о существовании периодических решений обобщены на случай вырожденного уравнения (0.7) с сильно (,р)-секториальным оператором М.
Третья глава, как уже упоминалось, содержит результаты, касающиеся конкретных задач математической физики, и иллюстрирует результаты второй главы. В первом параграфе представлены необходимые результаты по теории дифференциальных операторов в банаховых пространствах [66].
Во втором параграфе краевая задача для линеаризованной системы уравнений фазового поля [46, 47] редуцирована к уравнению (0.7) с сильно (L, 0)-секториальпым оператором М. Получены условия существования экспоненциальных дихотомий, ограниченных и периодических решений рассматриваемой задачи.
В третьем параграфе рассмотрен класс задач для уравнения с многочленами от эллиптического оператора высокого порядка, содержащий в частности модифицированное уравнение эволюции свободной поверхности фильтрующейся жидкости [19]. Показано, что это уравнение явля- ется уравнением Соболевского типа с относительно О-радиальным оператором, также найдены его инвариантные подпространства, условия существования экспоненциальных дихотомий и ограниченных решений.
Апробация
Результаты, изложенные в диссертации, были представлены на Всероссийских научных конференциях "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" (Екатеринбург, 2001, 2004) [113], [122], на XXXIX Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 2001) [114], на XIV — XVI студенческих научных конференциях "Студент и научно-технический прогресс" (Челябинск, 2000 - 2002) [112], [115], [117], на Международных научных конференциях "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели" (Челябинск, 2002) [120], "Ill-posed and inverse problems" (Новосибирск, 2002) [123], "Обратные задачи: теория и приложения" (Ханты-Мансийск, 2002) [116], "Общие проблемы управления и их приложения. Проблемы преподавания математики" (Тамбов, 2003) [107], на Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 2003) [121], па Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Ростов-на-Дону, 2004) [118], на семинаре "Неклассические уравнения математической физики" (Новосибирск, 2005) [111], па семинарах кафедры математического анализа Челябинского государственного университета (руководитель - проф. Г.А. Свиридюк), кафедры математического анализа Стерлитамакской государственной педагогической академии (руководитель - проф. К.Б. Сабитов), лаборатории алгебро-дифференциальных систем Института динамики систем и теории управления СО РАН (руководитель - проф. В.Ф. Чистяков).
Данное исследование поддержано стипендией Правительства РФ (2003 г.) и грантом Правительства Челябинской области (2004 г.) [119].
Результаты диссертации опубликованы в работах [106] - [123].
Необходимо отметить, что во всех работах [109] - [111], выполненных в соавторстве с научным руководителем, последнему принадлежит только постановка задачи и некоторые идеи доказательств.
Все доказательства выполнены автором диссертации самостоятельно.
На защиту выносятся следующие результаты:
Теорема о разрешимости задачи Коши для нестационарного уравнения (0.1) в случае (L, 0)-ограниченной оператор-функции Mt-
Теоремы о существовании экспоненциальных дихотомий уравнений (0.5) и (0.6) в случае (,р)-радиалыюго оператора М.
Теоремы о необходимых и достаточных условиях существования ограниченных на всей числовой оси решений уравнения (0.7) в случае сильно (1/,р)-радиального оператора М.
Теоремы о существовании периодических решений уравнения (0.7) при условии сильной (>,р)-секториальности оператора М.
Благодарности
В заключение считаю своим приятным долгом выразить огромную благодарность моему научному руководителю доценту В.Е. Федорову за постановку задачи, постоянную поддержку и внимание к работе; профессору Г.А. Свиридюку и коллективу кафедры математического анализа ЧелГУ за строгую, но конструктивную критику. Хочу также поблагодарить моих родителей Таскиру Мухаметгарифовну и Алмаса Вахитовича и мужа Дмитрия Вадимовича за заботу и помощь.
Относительные резольвенты
Множества pL(M) = {fi С : (fib - M) l Є C(&il)} и aL(M) = С \ pL(M) будем называть соответственно L-резолъвентпъш миооїсеством и L-спектром оператора М.
Теорема 1.2.2. [73] Пусть оператор М (Ь,р)-радиалеп. Тогда фазо-вым пространством уравнепия (1.2.2) ((1.2.3)) является миоо/сеепшо И1 (З1) Замечание 1.2.3. Из теоремы 1.2.2 следует единственность разрешающей полугруппы. Действительно, в силу единственности решения операторы двух разных полугрупп уравнения должны совпадать на плотном множестве, а в силу непрерывности этих операторов - на всем пространстве.
Экспоненциальные дихотомии решений
Пусть Я, 5" - банаховы пространства, операторы L Є (Я;#), М Є Cl(ii;$). Рассмотрим при а Є pL(M) пару эквивалентных уравнении Соболевского типа.
Определение 2.1.1. Пусть ф С Я - фазовое пространство уравнения (2.1.1). Множество ф1 С ф называется инвариантным подпространством, этого уравнения, если при любом щ из плотного в ф1 линеала существует единственное решение и — u{t) задачи и(0) = щ для уравнения (2.1.1), причем u(t) Є ф1 для всех t Є R.+ .
Лемма 2.1.1. Пусть оператор М (Ь,р) радиален и выполнено условие (1.4). Тогда для любого к Є N Я3 С ітП к)(М), 3 С imLf к)(М).
Следствие 2.1.1. Пусть оператор M (Ь,р)-радиален и выполнено условие (1.4). Тогда J PJ = JP} Т = QT = TQ. Доказательство. Возьмем в утверждении леммы 2.1.1 к = р, тогда imJ С ітЩ ЛМ) С it1 = irruP. Поэтому Ju = PJu. По определению проекторов имеем
Теорема 2.1.1. Пусть оператор М (Ь,р)-радиален и таков, что выполнено условие (1.4). Тогда существует не менее двух инвариантных подпространств уравнения (2.1.1) [уравнения (2.1.2)).
Согласно замечанию 1.2.4 верны следующие соотношения U(t) — = U(t)P — U(t)J + U(t)(P — J). Коммутирование операторов J и U(t) следует из тождества (1.1.3), вида решений (1.2.5) и непрерывности оператора J. Тогда для щ Є Я3 имеем 11{і)щ = U{t)JuQ = JU{t)u{) Є Я3. Из теоремы 1.2.2, замечания 1.2.2 и леммы 2.1.1 следует, что Я3 - инвариантное подпространство уравнения (2.1.1).
Аналогично с заменой проектора J на Р — J показывается инвариантность подпространства Я4. При этом начальные значения щ можно брать из линеала imR .у,(М) П Я4, который плотен в Я4, поскольку линеал ini-ftf +1)(М) плотен в Я1.
Таким же образом доказывается утверждение теоремы об уравнении (2.1.2), инвариантными подпространствами которого являются #3, #4 = im(Q)..
Функциональные пространства и дифференциальные операторы
В этом параграфе представлены необходимые результаты по теории дифференциальных операторов в банаховых пространствах [G6].
Ограниченную область Q С Ш.п будем называть областью класса Ск, если существуют числа а, /3 0 и конечное число локальных карт {щ : і = 1,..., т} С Ск, соответствующих локальным системам координат {Oj]x\,xl2,... ,хгп,і = 1,..., m} таких, что граница области dft = т.
Замечание 3.1.1. Условия (3.1.1) формализуют расплывчатые гипотезы типа "область Q локально расположена но одну сторону своей границы".
В дальнейшем предполагаем, что область Q, по меньшей мере класса С. Введем обозначение либо резольвентное множество оператора А пусто, либо спектр а (А) состоит из изолированных точек, являющихся собственными значениями конечной кратности, и сгущаются только на бесконечности.
