Введение к работе
В настоящее время качественная теория эволюционных уравнений, основы которой были заложены еще А.М.Ляпуновым и А.Пуанкаре, стала одним из интенсивно развивающихся направлений. Этой тематике посвящено очень большое число публикаций и дать полный обзор литературы весьма сложно. Значительная часть этих публикаций - работа прикладного характера, где традиционные методы качественной теории, разработанные первоначально для обыкновенных дифференциальных уравнений, применяются к тем или иным конкретным задачам механики, хвдиии, биологии и др.
В данной диссертации речь пойдет об одном из таких методов, связанным с построением функций Ляпунова для решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Обобщение этого метода - построение так называемых функционалов Ляпунова- - оказывается весьма плодотворным при изучении эволюционных уравнений с частными производными. Так, известны>ли свойствами функций Ляпунова обладают, как правило, величины, лежащие в основе метода энергетических оценок. В диссертации на основе построения семейств функционалов Ляпунова, обладающих рядом специальных свойств, доказывается корректность постановок смешанных задач для ряда нелинейных параболических уравнений второго порядка и устанавливаются качественные свойства их решений.
Созданию современной теории разрешимости смешанных задач для нелинейных параболических уравнений и исследованию качественных свойств их решений посвящены работы В.С.Белоно-сова, А.В.Бицадзе, Б.С.Владимирова, А.А.Дезина, Т.И.Зеленяка, А.С.Калашникова, С.И.Камынина, С.Н.Кружкова, В.Н.Крылова, С.П.Курдюмова, О.А. Ладыженской, В.П,Михайлова, О.А.Олейник, С.И.Похожаева, С.Л.Соболева, А.А.Самарского, B.C. Солонни-кова, А.Н.Тихонова, Н.Н.Яненко и многих других. Как уже отмечалось, трудно дать полный обзор этих работ, поэтому мы ограничимся лишь, указанием на некоторое из наиболее близких надай тематике монографий и обзоров [1-5].
Одна из основных задач качественной теории состоит в описании асимптотического поведения решений эволюционных задач. В конце 60-х - начале ?0-ч гг. в связи с вопросами математического моделирования химических процессов Т.И.Зеленяком было осуществлено систематическое исследование этой проблемы для квазилинейных параболических задач вида
. и. = a(x,u,u) u + Ъ(х,и,и). (0.1)
<хіих - tyl(u)\x=l = о, (1=о,1), (0.2)
и(х,0) = и0(т). (О.Э)
Здесь (х,t) і QT = [0,1)*[0,Т1 (число Т может равняться бесконечности), a Z 6 > О, функции а, Ъ, фі, uQ гладким образом зависят от всех своих аргументов.
В основе исследования лежало построение функционалов Ляпунова первого порядка, т.е. так'*х интегралов
I(u) = J Ф(сс,и,их) dr, (0.4)
о которнв на решениях рассматриваемых параболических задач удовлетворяют соотношениям
йі(и)
= - 1(и). (0.5)
В литературе рассматривались, как правило, соотношения вида (0.5), где 1(и) и 1(и) являются положительно определенными. Т.И.Зеленяком бнл предложен обидай способ построения таких функционалов. Оказалось, что в ряде случаев лишь величина 1(и) является положительно определенной. Тем не менее, построешше функционалы дали возможность доказать теорему о стабилизации любих ограниченных в подходящей норме решений задач вида (0.1)-(0.3) к стационарным решениям, оценить число этих стационарных решений и привести критерий их устойчивости, описать границы областей притяжения устойчивых стационарных решений. Вопросы построения функционалов Ляпунова исследовались, также, Г.Е.Квасовой, О.Г.Проворовой, Б. Дамдиновым, Н.А.Чумаковой.
Оказалось, что специальные свойства иостоенных семейств функционалов Ляпунова позволяют доказывать априорные оценки sup|u | решений задач (о.1)-(о.з) при уже известной оценке sup|u|.
Вообще доказательство теорем существования решений для нелинейнчх параболических уравнений основано, как правило, на последовательном получении апраорких оценок решении ко
все более узких Банаховых пространстах вплоть до оценки Гельдеровских норм старших прозводных (см., например, следующие монографии [2, 3J). Затем применяется теорема Шаудера о неподвижной точке в том или ином виде.
Отдельный вопрос составляют исследования минимальности требований гладкости данных задачи и определения обобщенных решений нелинейных уравнений. Эти вопросы в данной работе не рассматриваются. Мы будем изучать классические решения задач (0.2),(0.3) для уравнений (0.1), а также для нелинейных уравнений более общего вида
и = а(х,и,и ,и > (аи > > О). (0.6)
Как уже отмечалось, данные рассматриваемых задач будут считаться достаточное число раз' непрерывно дифференцируемыми.
В основе получаемых результатов будет лежать изучение свойств функционалов Ляпунова первого порядка (0.4), а также функционалов.Ляпунова второго порядка, т.е. интегралов вида
l(u) = Г ^(х,и,их,ихх) ах. (О.Т)
о Важно отметить, что систематическое применение функцію налов вида' (0.7) проводится, видимо, впервые... Существенно новым моментом является то, что эти функционалы не являются монотонными на решениях соответствующих эволюционных задач. Тем не менее, их изучение позволяет получить ряд результатов.
Целые данной работа является получение априорных оценок и доказательство георем существования решений смешанных задач для нелинейных, параболических уравнений.
іїетодина исследования основана на поотроении семейств обобщенных функционалов Ляпунова, обладающих специальными свойствами, с последующим применением общих методов решения нелинейных задач.
Автором диссертации получены следующие результаты, которые выносятся на защиту:
-
Корректность постановок ряда смешанных задач для уравнений вида (0.1), не удовлетворяющих условиям Бернштейна на рост.нелинейностей го градиенту решения. Сложность задачи состоит в том, что, как показывают известные примеры [33, для некоторых начальных данных гладкое решение существовать-не может. Поэтому, в отличие от большинства работ в этом направлении, был выделен класс начальных данных, порождающих корректную постановку смешанной задачи.
-
Расширен класс нелинейных параболических уравнений вида (0.6), для которых разрешимы начально-краевые»' задачи.
-
Установлена разрешимость специального вида нелокальной постановки задачи для уравнений вида (0.1) с вырождающимся и со знакопеременным коэффициентом при старшей производной.
-
Доказаны априорные оценки старших производных решений ряда задач вида (0.1)-(0.3) со знакопеременным асимптотически положительным старшим коэффициентом, весьма неожиданные для вырокдающихся уравнений. Существенным отличием
этих оценок от известных ранее являтся то, что получение аналогичных оценок для семейств приближенных решений позволило бы доказать теорему существования обобщенного решения задачи.
Результаты могут быть использованы при изучении качественных свойств решений нелинейных задач математической физики.
Основные результаты диссертации докладывались: на семинарах академика Л.В.Овсянникова (Институт гидродинамики СО РАН), члена-корреспондента РАН С.П.Курдюмова (Институт прикладной математики им.М.В.Келдыша РАН), члена-корреспондента РАН В.Г.Романова (Институт математики СО РАН), профессора Т.И.Зеленяка (Институт математики СО РАН), профессора В.П. Михайлова (Математический институт им. В.А. Стеклова РАН), профессора Е.Мадженеса (Университет гор. Павиа, Италия), профессора Ченга (Университет Южной Калифорнии, Лос Анжелес, США), на Всесоюзных школах по качественной теории дифференциальных уравнений гидродинамики (Кемерово, 1986; Омск, 1988; Барнаул, 1990), на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и приложениям КДУ-4 (Руссе, Болгария, 1989), на Международной конференции по задачам со свободными границами (Новосибирск, 1991), на Международной конференции общества IMACS по математическому моделированию (Москва, 1990), на Советско-итальянском симпозиуме "Неклассические и некорректно поставленные задачи математической физики и анализа" (Новосибирск - Самарканд, 1990), на Всесоюзной конференции '"'словно-корроктные задачи
математической физики и анализа" (Новосибирск, 1992), на Меадународной школе по эволюционным уравнениям EVEQ-92 (Прага, Чехо-Словакия, 1992).
.. Основные результаті, диссертации опубтмкованы в работах
[12-18].
Структура диссертации: Работа состоит из введения и четырех глав. Казздая глава разбита на параграфы. Объем текста работы 140 страниц, библиография содержит 73 наим.
аренде, чем переходить к формулировке результатов диссертации по главам, рассмотрим ряд имеющихся результатов.
Формулировки известных в литературе теорем существования решений задач вида (0.1)-(0.3) содержат, как правило, несколько ограничений на нелинейности, т.е. на функции а, Ъ.
Во-первых, условия, позволяющие доказать ограниченность модуля решения (например, условия, обеспечивающие справедли-зость принципа максимума). Во вторых, условия, позволяющие показать оценку sup |u (x,t)\, если уже известна оценка модуля самого решения u(x,t). Как указано в работах' С.Н.Круж-сова, для уравнений вида (0.1) оценка модуля градиента реше-гйя является основной в том смысле, что после ее получения іуществование классических решений начально-краевых задач доказывается без дополнительных предположений о структуре фавнения. (Отметим, что в случае нелинейных уравнений вида ',0.6) требуется также становить ограниченность второй іроизводной и .)
Вторые условия, встречающиеся еще в работах С.Н.Берн-
штейна, М.Нагую, Л.Тонелли, формулируются в терминах ограничений на рост отношения Ь/а(х,і],^) по аргументу С- Точные формулировки этих ограничений можно найти работах С.Н.Круж-кова [6,7]. Выражаясь упрощенно, они состоят в том, что, при ограниченных значениях |т)( вышеуказанное отношение о/а должно расти не быстрее квадратичной функции переменной . Для случая, когда Ь/а имеет порядок роста 2+є, построены примеры параболических задач, имеющих ограниченные решения с неограниченной производной [з].
Упомянутые ограничения на рост Ь/а по аргументу С являются достаточными условиями продолжимости реэения задачи Коїш
у» = _ Ъ(х,у,у') f у( ) = > у,( } = у [ол)
а(х,у,у') и.
на весь рассматриваемцй интервал измэнеия х при любых, данных xQ, yQ, у,. В работе [1] для построения семейств функционалов Ляпунова, позволяющих, в частности, доказывать и оценку вир J и. |, условия на правую часть уравнения (0.1) формулируются именно в терминах продолжимости решений задач Коши
(0.2).
В последнее время, как правило в связи с необходимостью изучения прикладных задач, возрос интерес к исследованию параболических уравнений, содержащих те или иные вырождения (см., например, [4, 53). Методики, основанные на построении семейств функционалов Ляпунова, оказалось возможным применить в ряде таких случаев.
Речь в данном случае идет о задачах вида
ut = a(ux) uar + 2[imx , ' (0.9)
u(0,t) = u(1,t) = 0 , (0.10)
u(x,0) = u0W . (0.11)
Здесь (x,t) Qr = fO,71*[0,11, и ц = oonst. Кроме того, гладкий коэффициент а(1) удовлетворяет неравенству
а(1) »8>0
для J|| > N и моиет менять знак при || < її.
Наш интерес к задачам вида (0.9)-(0.11) со знакопеременный старшим коэффициентом связан прежде всего с работами Н.Н.Яненко [43. Здесь мы не будем обсуждать физическую интерпретацию таких моделей. Соответствующие сведения и библиографию можно найти в 143. Отметим лишь, что уравнения со знакопеременным старшим коэффициентом возникают при изучении первого дифференциального приближения некоторых конечно-разностных схем для расчета волнового уравнения.
Рассматривая (0.9) как одномерный аналог уравнения Навье-Стокса, мы получим, что сомножитель а(и ) играет роль кинематической вязкости. Система Навье-Стокса с коэффициентом вязкости, зависящим от градиента решения, изучалась в работах К.К.Головкина, 0.А.Ладыженской. Было показано, что в ряде случаев эта зависимость позволяет доказать корректность исследуемых задач, т.е. служит рвгуляриззтором для исходной система.
С математической точки зрения задача (0.9)-(0.11) оказалась весьма не простой. В работах Т.И.Зеленяка, В.А.
Новикова, Н.Н.Яненко и др. [4] получена следующая априорная оценка гладких решений задачи
Ш uf* tfttfjdnW + зир(\и\ * \ия\) * К(и0.6,Я). (0.12)
Оценки вида (0.12) справедливії для различного типа регуляризованных задач, полученных, например, в результате замены дифференциальных операторов по пространственной переменной конечно-разностными операторами или добавлением к левой части уравнения (0.9) слагаемых вида - EdsvSdxAdt, ед4и/дх4, ed3vJQxzQ%. Полученные оценки позволяют сделать вывод о слабой компактности семейств приближенных решений в соответствующих функциональных пространствах. Более того, доказана теорема существования обобщенного решения в случае, когда a(U Z О, V е й (вырождение допускается на произвольном ограниченном множестве). Однако, до настоящего времени не обоснована возможность предельного перехода в Соболевских пространствах в главном нелинейном слагаемом а(и )и
Х XX
Правда, оценки (0.12) оказалось достаточно, чтобы обосновать равенство
lim а(иє) = а(и )
є-»0
в смысле некоторой вероятностной меры [8]. Получаемые решения называют "меро - значними" (см. [8] и имеющуюся там библиографию) .
Основная трудность в обосновании вышеупомянутого предельного перехода состоит в ап^лорной неизвестности мно-
жества, на котором вырождается функция а(и'х). Исследованию уравнений с известной линией смены знака старшего коэффициента посвящено значительное число работ, см., например, [41. Оказалось, что в ряде случаев корректные постановки получаются в результате рассмотрения так называемых нелокальных начальных данных. Это означает, что при t - 0 начальные данные задаются на множестве положительности старшего коэффициента, а на множестве его отрицательности "начальные данные" задаются в конечный момент времени t=T.
Задаче (0.9) - (0.11) посвящено много других исследований. Так, проведено значительное количество числекнкых экспериментов. Интересным является тот факт, что применение различиях разностных схем при. дроблении шагов дискретизации показывает сходимость численных решений к весьма похожим функциям. Проводился анализ стационарных решений, исследовались вопросы стабилизации и автомодельные решения, а такзке фугие вопросы (соответствующие ссылки можно найти в [4]).
Особо отметим работу [9L в которой построено специального вида семейство решений рассматриваемой задачи. Эти решения равномерно по норме пространства С сходятся к троизвольным. начальным данным при t —- О, но не попадают в класть отрицательности старшего коэффициента ни при одном ; > о.
В диссертации установлено, что гладкие решения задачи (0.9) -. (0.11) удовлетворяют следующей оценке
где К - положительная константа, a QT_E = [0,1 }*[о,Т-е], і (0,Т). Такие оценки являются весьма неожиданными для решения уравнения (0.9) с вырождающимся старшим коэффициентом.
Отметим, что получение (0.13) для множества приближенных решений позволило бы доказать теорему существования обобщенного решения исходной задачи. Это свойство и отличает оценку (0.1 з) от известной ранее оценки
(0.12).
Далее, пусть существует гладкое реиенда задачи (0.9) -(0.11). Если начальные данные (0.11) попадают в область, где а(\х'0(х)) < 0 на некотором интервале, то мы получим параболическое уравнение с отрицательным старшим коэффициентом в некоторой подобласти прямоугольника QT. Тогда, в силу эффекта повышения гладкости решений параболических уравнений с положительным старшим коэффициентом, мы получим, что начальные данные uQ(x) должны, грубо говоря, быть аналитическими на соответствующем интервале, вопреки исходно предполагаемой лишь двукратной дифференцируемое.
Как нетрудно видеть, априорной информации (0.12) вполне достаточно для определения обобщенного решения задачи (0.9)-(0.11) с помощью обычного интегрального тождества. С другой стороны, для возможности существования решения из Сг в ряде случаев требуется аналитичность начальных данных, что заставляет усомниться в справедливости соответствующей
теоремы существенэнип решения.
В то же время, как уже отмечалось, некоторые расчеты показывают сходимость различных аппроксимаїий к сходным объектам. Кроме того, известны примеры линеин1'*. задач со знакопеременным старішім коэффициентом, имеющих гладкие решения при любых начальных даных из ь (идея построения таких примеров принадлежит И.Г.Петровскому).
Нетрудно видеть, что решением задачи
ut - (1 + e~t) sin(t) их , u(o,t) = u(%,t) = О , u(x,0) = uQ(x) будет функция
со t
u(x,t) = V спехр{-пг f(1 + e_x;sim; dx\ віппх, (0.14)
n=1 О
где с - коэффициенты Фурье начальных данных uQ(x).
Поскольку интеграл в (0.14) строго положителен при t > О, ряд (0.14) равномерно сходится, и функция u(x,t) бесконечно дифференцируема при t > 0.
Отметим, что гладкость решения в смысле скорости убы-выния коэффициентов Фурье, возрастает на интервалах t (2кк, (2k+1)%), где "коэффициент вязкости" положителен. На интервалах же t е ((2к-1)%, 2к%), где коэффициент отрицателен, скорость убивания коэффициентов Фурье уменьшается, т.е. решение теряет гладкость. Тем не менее, функция u(x,t) остается бесконечно дифференцируемой при t > О.
Бить может, подобный эффект будет наблюдаться и в слу-
чае задачи (0.9)-(0.11).
Наконец, укажем на взаимосвязь между моделью (0.9) -(0.11) и так называемым уравнением Кана-Хилларда. Многие современные исследования, например [10], посвящены изучению
следующей задачи
dv d4v d2
(0.15)
(0.16) (0.17)
В ряде случаев [11} моделями вида (0.15) - (0.17) описывается процесс разделения фаз в бинарном расплаве (в этой случае v соответствует возмущению концентрации одной из фаз). Правая часть уравнения (0.15) получается в результате вычисления вариации так называемой свободной энергии на
dz
Следует обратить внимание на тот факт, что в области отрицательности производной ip'(v) коэффициент диффузии должен быть отрицателен. Этот факт, важный для построения модели, обсуждается в [11} с точки зрения физико-химических
представлений о протекании процесса.
Пусть v(x,t) - гладкое решение задачи (0.15)-(0.17) при 7 = О. В силу граничных условий (0.16) интегрированием уравнения (0.15) легко получить, что
ut =
u(x,t) = J- u(i,t) di ,
то есть ди/дх = v.
Легко видеть ((0.15),(0.16)), что
и\ п = const, и\ , = const .
| х=о j яг-1
Другими словами, мн получили задачу вида (0.9)-(0.11) при р. = о. Поэтому, мы можем сказать, что процесс разделения фаз в остывающем бинарном расплаве без учета зависимости свободной энергш от градиента концентрации моделируется задачей (о.9)-(0.11) при \х = о.
