Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Корректность задач вырождающихся уравнений магнитной газовой динамики . 9
1.1. Задача коши с разными пределами на бесконечности 13
1.2. Задача коши с переменным коэффициентом теплопроводности среды 41
1.3. задача Коши с вырождающейся плотностью 51
1.4. Начально-краевая задача с вырождающейся плотностью 81
1.5. Задача об истечении газа в вакуум в пористой среде 100
1.6. Задача о движении поршня в вязком газе 111
ГЛАВА 2. Корректность задач вырождающихся уравненрш реагирующей смеси газов . 124
2.1. Начально-краевая задача в магнитном поле 125
2.2. Задача коши в магнитном поле 136
2.3. Движение с контактным разрывом 144
2.4. Краевая задача с вырождающейся плотностью 152
2.5. Задача коши для вырождающихся уравнений 160
Выводы 175
ГЛАВА 3. Корректность температурной модели неоднородной жидкости с учетом диссипации энергии 177 ^
3.1. Априорные оценки 182
3.2. Существование и единственность сильного решения 193
Выводы 207
Заключение 209
Литература 210
Приложение 223
- Задача коши с переменным коэффициентом теплопроводности среды
- Задача об истечении газа в вакуум в пористой среде
- Движение с контактным разрывом
- Существование и единственность сильного решения
Введение к работе
Актуальность проблемы. Актуальность теоретического исследования моделей механики сплошной среды и, в частности, гидродинамики, газодинамики, обусловлена их широким применением в решении важных практических задач. Например, различные технологические процессы химической, нефтяной, газодобывающей и пищевой промышленности, а также ряд природных процессов связаны с течением жидкости. Математическое описание процессов, происходящих в движущихся жидкостях, приводит к решению уравнений Навье-Стокса
Вії; OUj
(0.1)
+ pfi,
ЭХ: ;=1 ЭХ :
, дх j
ЭХ;
г /
div и = О, / = 1,2,3, где х = (х-[,х2,х3) - координаты точек области течения, t - время, u(x,t)=(u],u2,u3)- поле скоростей, p(x,t) - давление, p(x,t) - плотность, ju(x,t)- вязкость жидкости.
Эти уравнения нелинейные, поэтому наиболее приемлемым способом их решения, в настоящее время, являются численные методы. Разработка численных методов для уравнений Навье-Стокса имеет большую прикладную и теоретическую ценность. Построение эффективных численных алгоритмов невозможно без проведения достаточно подробных теоретических n исследований. Поэтому, прежде всего, возникает необходимость провести строгий математический анализ разрешимости краевых задач, поставленных для системы уравнений (0.1) (по крайней мере, для модели вязкого газа, модели неоднородной жидкости) в гидродинамике и газодинамике.
Кроме того, решение математических задач, возникающих при изучении проблем механики, представляет самостоятельный научный интерес, который стимулируется дальнейшим развитием теории дифференциальных уравнений.
Объект и предмет исследования. Для количественного описания происходящих в природе процессов с успехом применяются методы математического моделирования. В диссертации исследуются различные модели, описывающие нестационарное, одномерное движение вязкого теплопроводного газа и двухкомпонентной смеси газов, между которыми протекает химическая реакция (с учетом и без учета магнитного поля, в пористой и непористой среде, для вырождающихся и не вырождающихся уравнений), а также течение неоднородной по плотности и температуре вязкой несжимаемой жидкости с учетом диссипации энергии в двумерной области. Математические исследования рассматриваемых моделей составляют один из разделов теории дифференциальных уравнений в частных производных. Объект диссертации составляют уравнения неклассического типа. Исследуемые модели механики сплошной среды характерны тем, что наряду с уравнениями движения приходится рассматривать дополнительные определения «параметров неоднородности» (плотность, температура, концентрация, напряженность магнитного поля). В результате возникают нестандартные системы уравнений, не относящиеся ни к одному из классических типов. Математическая особенность всех изучаемых систем уравнений, помимо их нелинейности, связана с тем, что это системы составного типа. Данное обстоятельство диктует необходимость разрабатывать для каждой конкретной системы соответствующую методику исследования, так как общая теория уравнений составного типа, даже линейных, развита еще недостаточно полно. Своеобразие отдельных моделей проявляется при получении априорных оценок для решения краевых задач.
Цель и задачи диссертации!. Использование уравнений Навье-Стокса для количественного описания динамических явлений, происходящих в жидкой среде, целесообразно начать с ответа на вопрос: имеют ли они единственное решение, удовлетворяющее заданным начальным и граничным условиям? Изучение этих вопросов и является основной целью диссертации. Главное
внимание уделено доказательству теорем существования и единственности (для выбранных классов Соболева) обобщенных и сильных решений. Вопрос же существования классического решения, т.е. исследование зависимости гладкости решения от гладкости данных задачи, представляется менее важным и принципиальным для гидромехаников и, как правило, является следствием сильного решения.
Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты:
Доказана однозначная разрешимость «в целом» по времени задач, описывающих одномерное нестационарное движение вязкого теплопроводного газа в магнитном поле и без учета магнитного поля в разных модельных ситуациях. Исследованы вырождающиеся уравнения магнитной газовой динамики в ограниченной и неограниченной областях, движение поршня в вязком газе, движение вязкого газа в пористой среде с разными пределами искомых функций на бесконечности.
Доказана однозначная разрешимость «в целом» по времени задач, описывающих одномерное течение двухкомпонентной смеси газов, между которыми протекает химическая реакция, в магнитном поле и без учета магнитного поля. Исследованы вырождающиеся уравнения, движение с контактным разрывом, смешанные краевые задачи в ограниченных и неограниченных областях.
Доказана однозначная разрешимость «в целом» по времени задачи, описывающей течение неоднородной по плотности и температуре вязкой несжимаемой жидкости с учетом диссипации энергии в двумерной области. Исследуемые уравнения сильно нелинейные.
Все эти результаты являются новыми.
Значение для науки и практики. Работа носит теоретический характер. Изучены задачи, которые возникают непосредственно из приложений. Дана постановка и исследованы важные задачи механики сплошной среды,
приводящие к новым широким классам систем дифференциальных уравнений в частных производных. В частности, доказана разрешимость ряда задач для-вырождающихся уравнений газовой динамики, давно сформулированных в виде проблемных [2]. Разрешимость краевых задач указывает на совместность, непротиворечивость уравнений газодинамики, гидродинамики и тем самым на возможность их использования для исследований. Результаты диссертации могут найти применение в теории краевых задач для нелинейных уравнений, в том числе для уравнений газовой динамики и гидродинамики, а также могут быть использованы при исследовании качественных свойств решений уравнений газовой динамики и гидродинамики. Полученные оценки могут быть полезны в дальнейшем при построении численных методов. Интерес к модели ^ неоднородной жидкости обусловлен ее важностью для прикладных разделов гидродинамики, океанологии и гидрологии.
Методика исследования связана с получением глобальных и локальных априорных оценок и применение на их основе общих методов решения нелинейных краевых задач, в частности, метода Галеркина и метода продолжения по параметру.
В диссертации используются обозначения, введенные в [2, 79, 83].
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, тринадцати параграфов, заключения, списка литературы, содержащего 136 ^ наименований, и приложения.
Нумерация формул, определений, лемм и теорем ведется двух и трехзначная, т.е. если имеем формулу с номером (1.2.3), то это означает, что формула находится во втором параграфе первой главы.
Объем текста 230 страниц.
Основные положения диссертации изложены в публикациях [15,16, 18-26, 30-36, 44-56, 101, 102, 104, 124, 131]. В [15, 16] соискателю принадлежит постановка задач и обсуждение результатов, а Есекеевой М.Ж., Есекееву К.Б. -вывод конкретных результатов. В [18, 19, 124] научному консультанту, д.ф.-^
#
м.н. Ш.ССмагулову принадлежит постановка задач, а соискателю - вывод априорных оценок и доказательство теорем. В [104] Ш.ССмагулову принадлежат 1, 2 третьей главы. В [102, 131] Ш.ССмагулову и д.ф.-м.н. А.А.Дурмагамбетову принадлежит постановка задачи и ее обсуждение, а соискателю - получение конкретных результатов. В [101] Ш.ССмагулову и* д.ф.-м.н. Б.Т.Жумагулову принадлежит постановка задачи и ее обсуждение, а соискателю - получение математических результатов.
В заключении выражаю благодарность д.ф.-м.н. А.А.Дурмагамбетову, внимательно прочитавшему отдельные части работы и сделавшему полезные замечания. Глубоко признательна д.ф.-м.н., профессору Ш.ССмагулову за помощь и поддержку в течение ряда лет.
Задача коши с переменным коэффициентом теплопроводности среды
Актуальность проблемы. Актуальность теоретического исследования моделей механики сплошной среды и, в частности, гидродинамики, газодинамики, обусловлена их широким применением в решении важных практических задач. Например, различные технологические процессы химической, нефтяной, газодобывающей и пищевой промышленности, а также ряд природных процессов связаны с течением жидкости. Математическое описание процессов, происходящих в движущихся жидкостях, приводит к решению уравнений Навье-Стокса div и = О, / = 1,2,3, где х = (х-[,х2,х3) - координаты точек области течения, t - время, u(x,t)=(u],u2,u3)- поле скоростей, p(x,t) - давление, p(x,t) - плотность, ju(x,t)- вязкость жидкости. Эти уравнения нелинейные, поэтому наиболее приемлемым способом их решения, в настоящее время, являются численные методы. Разработка численных методов для уравнений Навье-Стокса имеет большую прикладную и теоретическую ценность. Построение эффективных численных алгоритмов невозможно без проведения достаточно подробных теоретических N исследований. Поэтому, прежде всего, возникает необходимость провести строгий математический анализ разрешимости краевых задач, поставленных для системы уравнений (0.1) (по крайней мере, для модели вязкого газа, модели неоднородной жидкости) в гидродинамике и газодинамике. Кроме того, решение математических задач, возникающих при изучении проблем механики, представляет самостоятельный научный интерес, который стимулируется дальнейшим развитием теории дифференциальных уравнений. Объект и предмет исследования. Для количественного описания происходящих в природе процессов с успехом применяются методы математического моделирования.
В диссертации исследуются различные модели, описывающие нестационарное, одномерное движение вязкого теплопроводного газа и двухкомпонентной смеси газов, между которыми протекает химическая реакция (с учетом и без учета магнитного поля, в пористой и непористой среде, для вырождающихся и не вырождающихся уравнений), а также течение неоднородной по плотности и температуре вязкой несжимаемой жидкости с учетом диссипации энергии в двумерной области. Математические исследования рассматриваемых моделей составляют один из разделов теории дифференциальных уравнений в частных производных. Объект диссертации составляют уравнения неклассического типа. Исследуемые модели механики сплошной среды характерны тем, что наряду с уравнениями движения приходится рассматривать дополнительные определения «параметров неоднородности» (плотность, температура, концентрация, напряженность магнитного поля). В результате возникают нестандартные системы уравнений, не относящиеся ни к одному из классических типов. Математическая особенность всех изучаемых систем уравнений, помимо их нелинейности, связана с тем, что это системы составного типа. Данное обстоятельство диктует необходимость разрабатывать для каждой конкретной системы соответствующую методику исследования, так как общая теория уравнений составного типа, даже линейных, развита еще недостаточно полно. Своеобразие отдельных моделей проявляется при получении априорных оценок для решения краевых задач. Цель и задачи диссертации!. Использование уравнений Навье-Стокса для количественного описания динамических явлений, происходящих в жидкой среде, целесообразно начать с ответа на вопрос: имеют ли они единственное решение, удовлетворяющее заданным начальным и граничным условиям? Изучение этих вопросов и является основной целью диссертации. Главное внимание уделено доказательству теорем существования и единственности (для выбранных классов Соболева) обобщенных и сильных решений. Вопрос же существования классического решения, т.е. исследование зависимости гладкости решения от гладкости данных задачи, представляется менее важным и принципиальным для гидромехаников и, как правило, является следствием сильного решения. Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты: - Доказана однозначная разрешимость «в целом» по времени задач, описывающих одномерное нестационарное движение вязкого теплопроводного газа в магнитном поле и без учета магнитного поля в разных модельных ситуациях. Исследованы вырождающиеся уравнения магнитной газовой динамики в ограниченной и неограниченной областях, движение поршня в вязком газе, движение вязкого газа в пористой среде с разными пределами искомых функций на бесконечности. - Доказана однозначная разрешимость «в целом» по времени задач, описывающих одномерное течение двухкомпонентной смеси газов, между которыми протекает химическая реакция, в магнитном поле и без учета магнитного поля. Исследованы вырождающиеся уравнения, движение с контактным разрывом, смешанные краевые задачи в ограниченных и неограниченных областях. - Доказана однозначная разрешимость «в целом» по времени задачи, описывающей течение неоднородной по плотности и температуре вязкой несжимаемой жидкости с учетом диссипации энергии в двумерной области. Исследуемые уравнения сильно нелинейные. Все эти результаты являются новыми. Значение для науки и практики. Работа носит теоретический характер. Изучены задачи, которые возникают непосредственно из приложений. Дана постановка и исследованы важные задачи механики сплошной среды,
Задача об истечении газа в вакуум в пористой среде
Доказана однозначная разрешимость «в целом» по времени задачи, описывающей течение неоднородной по плотности и температуре вязкой несжимаемой жидкости с учетом диссипации энергии в двумерной области. Исследуемые уравнения сильно нелинейные. Все эти результаты являются новыми. Значение для науки и практики. Работа носит теоретический характер. Изучены задачи, которые возникают непосредственно из приложений. Дана постановка и исследованы важные задачи механики сплошной среды, приводящие к новым широким классам систем дифференциальных уравнений в частных производных. В частности, доказана разрешимость ряда задач для-вырождающихся уравнений газовой динамики, давно сформулированных в виде проблемных [2]. Разрешимость краевых задач указывает на совместность, непротиворечивость уравнений газодинамики, гидродинамики и тем самым на возможность их использования для исследований. Результаты диссертации могут найти применение в теории краевых задач для нелинейных уравнений, в том числе для уравнений газовой динамики и гидродинамики, а также могут быть использованы при исследовании качественных свойств решений уравнений газовой динамики и гидродинамики. Полученные оценки могут быть полезны в дальнейшем при построении численных методов. Интерес к модели неоднородной жидкости обусловлен ее важностью для прикладных разделов гидродинамики, океанологии и гидрологии. Методика исследования связана с получением глобальных и локальных априорных оценок и применение на их основе общих методов решения нелинейных краевых задач, в частности, метода Галеркина и метода продолжения по параметру. В диссертации используются обозначения, введенные в [2, 79, 83]. Структура и объем диссертации.
Работа состоит из введения, трех глав, тринадцати параграфов, заключения, списка литературы, содержащего 136 наименований, и приложения. Нумерация формул, определений, лемм и теорем ведется двух и трехзначная, т.е. если имеем формулу с номером (1.2.3), то это означает, что формула находится во втором параграфе первой главы. Объем текста 230 страниц. Основные положения диссертации изложены в публикациях [15,16, 18-26, 30-36, 44-56, 101, 102, 104, 124, 131]. В [15, 16] соискателю принадлежит постановка задач и обсуждение результатов, а Есекеевой М.Ж., Есекееву К.Б. -вывод конкретных результатов. В [18, 19, 124] научному консультанту, д.ф.- т # м.н. Ш.ССмагулову принадлежит постановка задач, а соискателю - вывод априорных оценок и доказательство теорем. В [104] Ш.ССмагулову принадлежат 1, 2 третьей главы. В [102, 131] Ш.ССмагулову и д.ф.-м.н. А.А.Дурмагамбетову принадлежит постановка задачи и ее обсуждение, а соискателю - получение конкретных результатов. В [101] Ш.ССмагулову и д.ф.-м.н. Б.Т.Жумагулову принадлежит постановка задачи и ее обсуждение, а соискателю - получение математических результатов. В заключении выражаю благодарность д.ф.-м.н. А.А.Дурмагамбетову, внимательно прочитавшему отдельные части работы и сделавшему полезные замечания. Глубоко признательна д.ф.-м.н., профессору Ш.ССмагулову за помощь и поддержку в течение ряда лет. Основные уравнения магнитной газодинамики - это нелинейные системы уравнений второго порядка. Эта система более сложна, чем система основных уравнений вязкой сжимаемой жидкости, которые называют уравнениями Навье-Стокса, и имеет вид [3]: Здесь р, р,е,9 - соответственно плотность, давление, внутренняя энергия и абсолютная температура, и - вектор скорости, Я - вектор напряженности магнитного поля, т - тензор напряжений: у = (уі,у2,Уз) — координаты точек области течения, t - время, /// - магнитная проницаемость, /л - обычный коэффициент вязкости, jUi - второй коэффициент вязкости, juH - коэффициент магнитной вязкости, Я - коэффициент теплопроводности, причем ju 0, Ъщ +2// = 0, / - заданный вектор массовых сил.
Движение с контактным разрывом
Система уравнений является нелинейной и имеет составной тип. Именно это определяет основную особенность ее математического исследования. Изучению систем типа (1.0.1) посвящены работы многих авторов. Обзор исследований по вопросам корректности краевых задач для уравнений вязкого газа приведен в монографии [2]. Начало изучению краевых задач для системы (1.0.1) положила работа Дж.Серрина [130], в которой были сформулированы основные постановки краевых задач и доказаны теоремы единственности в классе гладких решений. Дж.Нэшу [129] принадлежит первая теорема существования классического решения задачи Коши "в малом" по времени. Несколько иными методами его результат был повторен и обобщен в работах Н.Итая [122], А.И.Вольперта и С.И.Худяева [10]. Для смешанных краевых задач локальные теоремы существования и единственности установлены В.А.Солонниковым [111], А.Тани [132]. В настоящее время глобальная разрешимость краевых задач достаточно хорошо исследована только в случае одномерных течений, когда две составляющие скорости и напряженности магнитного поля равны нулю, а третья зависит лишь от одной пространственной координаты у и времени t. Первый результат о разрешимости «в целом» по времени задачи Коши получен Я.И.Канелем [57] для баротропного газа, когда p = pr, y = const \. Н.Итая [123], А.Тани [133] принадлежат глобальные теоремы существования решения задачи Коши и смешанной краевой задачи для модели Бюргерса (р - const). Я.И.Канелем [58] доказана корректность задачи Коши для уравнений движения вязкого теплопроводного газа при условии, что начальные данные близки к состоянию покоя. При таких же ограничениях на начальные данные1 А.Мацумура и Т.Нишида [127, 128] установили глобальную разрешимость задачи Коши и смешанной краевой задачи.
Существенное развитие нелокальная теория получила в работах А.В.Кажихова [59-66], в которых проведено исследование краевых задач для уравнений вязкого теплопроводного и баротропного газов. Им доказано существование единственного глобального решения для всех основных постановок начально-краевых задач, для задачи Коши без дополнительных условий малости на начальные данные, исследовано поведение решений при неограниченном возрастании времени. В статьях В.В.Шелухина [115-118] изучены вопросы существования периодических, почти-периодических и ограниченных решений для уравнений движения вязкого газа, показана однозначная разрешимость задачи о движении поршня в вязком баротропном газе, рассмотрено движение с контактным разрывом в вязком теплопроводном газе в случае ограниченной области. Работа С.Я.Белова [4] содержит исследования неоднородных задач для уравнений движения вязкого газа. А.С.Терсенов [112] доказал корректность начально-краевой задачи для системы уравнений вязкого баротропного газа с начальной плотностью, имеющей вырождение. Аналогичная задача, но с учетом магнитного поля, исследована Ж.Е.Конысбаевым [76]. В работах А.А.Дурмагамбетова [14], Ш.Смагулова и Ж.Е.Конысбаева [99] рассмотрены краевая задача и задача Коши для вырождающихся уравнений вязкого теплопроводного газа. Первые теоремы разрешимости «в целом» по времени для модели магнитной газовой динамики были получены в работе Ш.Смагулова [95] в случае баротропного движения вязкого газа. А.В.Кажихов и Ш.Смагулов [68] доказали корректность начально-краевой задачи для уравнений магнитной газовой динамики. Неоднородные задачи для уравнений магнитной газовой динамики изучались в работе Д.А.Искендеровой [17]. Отметим работы, посвященные изучению многомерной модели вязкого газа. В.А.Вайгант, А.В.Кажихов [7] доказали теорему существования глобального решения для модели вязкого баротропного газа при некоторых условиях зависимости вязкости от плотности. А.В.Кажиховым, В.В.Шелухиным [73] разработан метод верификационной компактности и продемонстрирован на некоторых новых результатах для нелинейных уравнений гидродинамики. В настоящее время этот метод успешно применяется при доказательстве существования обобщенного решения для других классов нелинейных уравнений в частных производных. В работе В.А.Тупчиева [113] доказано существование глобального функционального решения задачи, описывающей баротропное пространственное течение газа при зависимости давления от плотности общего типа (это монотонно возрастающая, но не выпуклая функция), с начальными данными произвольной амплитуды. В одномерном случае корректность разностных схем в переменных Лагранжа достаточно хорошо изучена в работе Б.Рысбаева, Ш.Смагулова [92]. Данная глава посвящена дальнейшему изучению корректности «в целом» по времени одномерных уравнений движения вязкого теплопроводного газа в магнитном поле и без учета магнитного поля. Рассматриваются вырождающиеся и не вырождающиеся уравнения.
Основным объектом исследования является задача Коши для уравнений магнитной газовой динамики, когда искомые функции стремятся к разным постоянным на бесконечности. Следует отметить, что нелинейность уравнений не позволяет получить теоремы существования «в целом» для задачи Коши с разными пределами на бесконечности как следствие разрешимости задачи Коши с одинаковыми пределами на бесконечности. Кроме того, такие задачи представляют особый интерес по причине существования примеров [2, 123], в которых за конечное время решение неоднородной граничной задачи становится неограниченным, несмотря на произвольную гладкость и
Существование и единственность сильного решения
Для модели неоднородной жидкости, когда вязкость зависит от плотности р, корректность постановки задачи изучена в работе [13]. В работах [70, 71, 96] исследованы диффузионные модели неоднородной жидкости. В случае, когда коэффициент диффузии /1 = 0 имеем классическую модель неоднородной жидкости, которая достаточно хорошо изучена в работе [1]. В ней исследованы существование обобщенного и сильного решения начально-краевой задачи и поведение решения, когда коэффициент диффузии Я стремится к нулю. В результате получено сильное решение классической модели неоднородной, жидкости. В работе [85] разработана численная модель процесса подъема астеносферного диапризма, предшествующего образованию континентального рифта. В качестве математической модели среды выбрана вязкая жидкость с переменной плотностью и экспоненциальной зависимостью вязкости от температуры. Остановимся на реологической модели ньютоновской вязкой жидкости. Воспользуемся приближением Буссинеска. Полученная система нелинейная, сложная. В настоящее время доказать теорему существования единственного решения не удалось. Ш.Смагуловым [103] доказано существование решения упрощенной модели, т.е. предположили, что вязкость не зависит от температуры и плотности, диссипативные слагаемые не учитываются. Тогда задача сводится к решению системы дифференциальных, уравнений в области Q: с начально - краевыми условиями: «/=о=«оС4 =о= о(4 РІ/=о=Ро(4 LQ=0 П=- (3.0.2) Численное решение уравнений Навье-Стокса сопряжено с рядом трудностей и, прежде всего с тем, что они не являются системами типа Коши-Ковалевской (т.е. не эволюционные). Поэтому одним из методов исследования является приближение их системами эволюционного типа. В работах [9, 119] впервые предложены є— аппроксимации для вязкой несжимаемой жидкости, которые выводилась из физических соображений. Эволюционные уравнения имели определенный физический смысл, а именно, они описывали течение слабосжимаемой жидкости. Р.Темам в [134, 135] предложил иной способ є-аппроксимации уравнений Навье-Стокса. Для этих уравнений им было исследовано поведение решения при є - 0, построена разностная схема, для которой показано, что при определенных условиях на At, h, є решение разностной задачи сходится к решению уравнений Навье-Стокса. В работах [74, 79, 80, 90, 136] была сделана попытка обосновать разностные схемы типа дробных шагов для системы уравнений: Отметим также и другие регуляризации системы уравнений Навье-Стокса. Так, в работах А.П.Осколкова [86, 87] исследуется система уравнений: и изучается поведение решения этой системы при є - 0.
Во всех выше предложенных работах получена только теорема существования обобщенного решения и оценки скорости сходимости решения улучшаемые. В работах Б.Г.Кузнецова, Ш.Смагулова [77, 78] с помощью введения вспомогательной функции методом априорных оценок доказана теорема существования сильного решения и полученные оценки скорости сходимости решений (3.0.3), (3.0.4) и (3.0.5),(3.0.6) не улучшаемы. В работе Ю.Я.Белова [5] рассматривалось поведение решения при є — 0 для линеризованного уравнения (3.0.5), (3.0.6), а в [6] изучалась -аппроксимация стационарной задачи динамики океана. По-видимому, впервые поведение сильного решения задач (3.0.3),(3.0.4) при єх = 0, є2 0 и є2 -»0 исследовалось в работах П.Е.Соболевского и В.В.Васильева [106, 107]. Некоторые разностные схемы типа дробных шагов и итерационные схемы изучены в работе Т.М.Кобелькова [75]. Другой интересный вариант аппроксимации уравнений Навье-Стокса несжимаемой жидкости предложен в работах Ш.Смагулова [97] и Б.Т.Кузнецова, Н.К.Яненко, Ш.Смагулова [120]. -аппроксимация уравнений (3.0.3), (3.0.4) при sx - 0, є = є2 0, разрешимость в банаховом пространстве Lq (QT), q 1 рассмотрена в работе А.М.Джаикбаева [12]. Она проводится методом Шаудера на основе априорных оценок, полученных с помощью теорем о мультипликаторах Фурье. Параболическая аппроксимация уравнений (3.0.1), (3.0.2) изучалась в работах [27-29, 39-43], а диффузионной модели неоднородной жидкости без учета температуры в [37,38]. Исследование неоднородной по температуре жидкости — модели тепловой конвекции (р = const)c диссипацией проводилось в работах А.В.Кажихова, В.В.Рагулина [72], Ш.Смагулова [98]. В [72] было доказано существование «слабых» и «сильных» решений задачи для уравнений свободной конвекции (3.0.7), (3.0.8) при постоянном коэффициенте теплопроводности Я(в), если коэффициент теплового расширения у(в) \ удовлетворяет условию: В [98] установлена разрешимость задачи (3.0.7), (3.0.8) при постоянном у (в), если Л(в) удовлетворяет условию: Ш.Смагуловым, А.М.Джаикбаевым [100] доказана сильная разрешимость краевой задачи (3.0.7), (3.0.8) (р = const) с постоянным коэффициентом теплового расширения и коэффициентом теплопроводности, удовлетворяющим условиям В данной главе доказывается сильная разрешимость модели неоднородной по температуре и плотности вязкой несжимаемой жидкости с учетом диссипации энергии в соболевских пространствах.
