Анализ разрешимости краевых задач для уравнений смесей жидкостей Прокудин Дмитрий Алексеевич

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА 1. Разрешимость уравнений баротропных течений смесей вязких сжимаемых жидкостей 19

1.1 Постановка задачи и основной результат 19

1.2 Существование сильного решения задачи Ає 23

1.3 Предельный переход 34

ГЛАВА 2. Разрешимость уравнений смесей сжимаемых теплопроводных жидкостей 53

2.1 Постановка задачи и основной результат 53

2.2 Существование сильного обобщенного решения задачи Бє 57

2.3 Предельный переход 84

Литература 94

• Постановка задачи и основной результат
• Существование сильного решения задачи Ає
• Постановка задачи и основной результат
• Существование сильного обобщенного решения задачи Бє

Введение к работе

Общие положения и обзор известных результатов

Кроме классических уравнений гидродинамики при решении многих современных задач механики сплошных сред используются более сложные модели, точнее учитывающие неоднородный характер состава реальных жидкостей и газов. Одним из примеров таких моделей служит модель многокомпонентных смесей сжимаемых теплопроводных жидкостей и газов. При построении замкнутой системы уравнений, описывающих движение многокомпонентной смеси, занимающей объем Q С К.⁷¹ (ограниченный или неограниченный), используются (см. [1-5]) уравнения неразрывности (баланса массы) ^ + div(_Pilt^) = 0, (я;,*) Є Пх [0,71, * = 1, ...,^, (0.1) уравнения сохранения импульса ^дІВ^1 + div(prfM ^) = divP + я7(0+ +"?«, (ж,і)єПх[0,Г], г = 1,..., TV, (0.2) уравнения сохранения энергии (0.3)

Щ^ + div(_PiUrfW) = Р« : Vl^W - divt + +Г,-, {x,t)eQx [0, Г], і = 1,..., N для составляющих смеси. Здесь х - радиус-вектор точки пространства [0,Т] - промежуток времени, в течение которого происходит движение, Pi = Pi(x,t) - плотность, ~и^ = u^(x,t) - вектор скорости, Ui = Ui(x,t) - удельная внутренняя энергия г-ой составляющей смеси, Р^ = P^(x,t) - тензор напряжений г-ой компоненты смеси, /W = f^\x,t)-вектор массовых сил, q^ = q^(x,t) - вектор теплового потока г-ой компоненты смеси, (x,i) - интенсивность обмена импульсом между составляющими смеси ( ^ J ^ = 0 ], Г; = Tj(x,t) - интенсивность обмена энергией между составляющими смеси

При изучении движения определенной сплошной среды уравнения (0.1)-(0.3) конкретизируются заданием вектора массовых сил / W для г-ой компоненты смеси и определяющих термодинамических и реологических соотношений, замыкающих систему уравнений (0.1)-(0.3).

Актуальность математических исследований уравнений механики сплошных сред и, в частности, моделей смесей вязких жидкостей и газов обусловлена многочисленными приложениями и стимулируется потребностями развития индустриальных технологий. Исследования корректности задач, относящихся к проблемам движения смесей вязких жидкостей и газов способствуют разработке вычислительных методов для их решения, значение чего в последнее время чрезвычайно возросло.

В настоящей работе рассматриваются задачи, относящиеся к проблемам движения двухкомпонентных смесей. Обобщение результатов для случая смесей из трех и более компонент принципиальных трудностей не вызывает.

Одним из вариантов реологических соотношений в многоскоростной модели смеси являются равенства [2]

Р« = -р_г-/ + а« г = 1,2,

2 (0.4) ст(0 = ]Г (2iHjD(ltW) + Xijdiv itI) , і = 1, 2, где pi - давление г-ой составляющей смеси, а^ - вязкая часть тензора напряжений г-ой компоненты смеси, D - тензор скоростей деформаций ( D(w) = I ( -q + ( ^-J J J, I - единичный тензор, коэффициенты вязкости Xjj и nij в общем случае могут зависеть от термодинамических переменных и, при этом, должно быть выполнено неравенство ^V^i}: V^⁽ⁱ⁾ >0, (0.5) вытекающее из второго закона термодинамики. В случае (0.4) уравнения (0.1)-(0.3) описывают смесь ньютоновских жидкостей. Все прочие модели называются неньютоновскими, поскольку подразумевают нелинейную связь тензоров Р^ и D (см., например, [6-9]).

Принимая гипотезу локального равновесия каждой составляющей смеси [1], мы можем ввести в рассмотрение температуру в{ = $i(x,t) i-ой компоненты смеси и, наряду с внутренней энергией Ui, использовать и другие термодинамические функции для каждой компоненты: энтропию Si, энтальпию ц и т.д. Составляющие компоненты смеси представляют собой двухпараметрические среды [4] (термодинамические функции компоненты зависят только от двух термодинамических параметров состояния), т.е. Ui = Ui(pi, в_{), pi = РіІРіі 0,-), Si = Sifa, 0,), і = 1, 2, (0.6) причем справедливы соотношения Гиббса [1]

9idsi = dUi+pid ( — ), і = 1,2. (0.7)

Из равенств (0.7), с учетом предположений (0.6), следуют соотношения ^| ^{+ Р}Ф^{Ї = 1}'²' (-⁸>

В соответствии с обобщенным законом Фурье [1], зададим вектор теплового потока q ^ г-ой составляющей смеси -? = -ЪЧ6_и і = 1,2, (0.9) где hi = кі(рі,ві) - теплопроводность г-ой компоненты смеси.

Что касается выражений, определяющих интенсивность обмена импульсом J (^г> и энергией Г_г- между составляющими смеси, то их обычно считают пропорциональными разности скоростей и температур [1, 5]: "^(0 ₌ (_l)'-+i_a(-#(2) _ ^(1)), _а = _const > о, і = 1, 2, (0.10)

Ті = (-l)^i+lb{9₂ - в_х) + -|^⁽¹⁾ - Tt^{2)\², г = 1,2, 6 = const > 0. (0.11)

Таким образом, замкнутая модель для описания движения двухкомиопентпых смесей жидкостей и газов может быть образована из уравнений (0.1)-(0.4), (0.6), (0.8)-(0.11), к которым нужно добавить выражения для кг, А^- и fiij, i,j = 1, 2.

Описанная выше многоскоростная модель смеси является обобщением классической модели Навье-Стокса и, естественно, немногочисленные работы о корректности многомерных моделей смесей сжимаемых жидкостей и газов появились после определенного прогресса, достигнутого для уравнений Навье-Стокса. адиабаты из интервала (|,

Начало нелокальной теории двух- и трехмерных уравнений динамики вязкого газа было положено в работах [10-12], в которых была установлена слабая регулярность эффективного вязкого потока и доказана глобальная разрешимость основных краевых задач для уравнений Навье-Стокса сжимаемого баротропного газа для достаточно больших показателей адиабаты. Дальнейшее существенное продвижение в теории было проведено в работах [13-15], в которых показно, что слабая регулярность эффективного вязкого потока является следствием принципа компенсированной компактности и это позволило доказать разрешимость нестационарных краевых задач для показателя адиабаты из интервала ( 2))- В работе j 16] предложен подход к анализу уравнений Навье-Стокса, позволивший доказать существование ренормализованных решений стационарных уравнений динамики вязкого газа для показателя и тем самым охватить важный случай двухатомных газов.

Нелокальные результаты для многомерных моделей смесей вязких сжимаемых жидкостей на сегодняшний день получены только для системы Стокса без конвективных членов, т.е. рассматривалась система уравнений вида div(pilt^) = 0, г = 1,2, (0.12) -div P^{i) = Рі7^{і) + ~3^{і\ г = 1, 2. (0.13)

Одной из первых работ в этом направлении является работа [17], в которой доказана разрешимость задачи Коши в Ж³ для уравнений (0.12)-(0.13) в случае общей зависимости давления от плотностей составляющих смеси. В [18] получен результат о единственности слабых решений этой задачи Коши в предположении, что массовые силы и члены, учитывающие обмен импульсом между различными компонентами смеси, равны нулю. В [19] доказано существование слабого обобщенного решения первой краевой задачи для уравнений (0.12)-(0.13) в ограниченной области пространства R³ с уравнениями состояния pi = pi, і = 1,2. В работе [20] рассматривалась краевая задача для квази-стационарной системы уравнений смеси ^ + dw(^W) = 0, і = 1,2, (0.14) -divP^{i) = ^^(і), г = 1,2, (0.15) но со специальными граничными условиями ^(0 . it = 0, it х гойї^ = 0, г = 1, 2, (0.16) оправданными только с математической точки зрения.

Модели, описывающие движения смесей вязких жидкостей с уравнениями состояниярі = Рі(рі), і = 1, 2 в одномерном случае изучались в работах [21-26].

Данная работа посвящена вопросам разрешимости некоторых краевых задач для стационарных уравнений динамики смесей вязких сжимаемых жидкостей.

В первой главе проведен анализ глобальной разрешимости первой краевой задачи для стационарных уравнений (0.1)-(0.2) с уравнениями состояния pi = pj, і = 1,2, описывающих установившееся баротропиое движение двухкомпонентных смесей вязких сжимаемых жидкостей в случае трех пространственных переменных. Опираясь и развивая подходы, ранее применявшиеся для уравнений Навье-Стокса вязких сжимаемых сред, доказывается теорема существования слабых обобщенных решений вышеупомянутой задачи для всех значений показателя адиабаты 7 из интервала (3,+оо).

Во второй главе исследуются стационарные уравнения вида (0.1)-(0.3), описывающие установившееся движение двухкомпонентных смесей вязких сжимаемых теплопроводных жидкостей в случае трех пространственных переменных и уравнений состояния

Рі{Рі,9і) = Рі9і + рЬ * = 1,2, (0.17)

Щ(рь ві) = 9i + -^-, г = 1,2. (0.18)

Эти соотношения согласованны с (0.7), т.е. они удовлетворяют равенствам (0.8). Выражение для энтропии si имеет следующий вид: Sifa, ві) = In (-) + а, і = 1, 2, (0.19) где Сі - постоянные. Заметим, что с учетом соотношений (0.17)-(0.18) уравнения (0.3) редуцируются к следующему виду: ^} + div{_Pierf) + divt = ^ V^⁽ⁱ⁾- dt (0.20) -pididivvt + Г; в П, і = 1, 2.

Доказывется теорема существования слабых обобщенных решений краевой задачи для стационарных уравнений (0.1), (0.2) и (0.20) с уравнениями состояния (0.17)-(0.18) при условии отсутствия эффектов, связанных с работой внутренних сил составляющих смеси. Модели, описывающие движения вязких сжимаемых теплопроводных жидкостей с уравнениями состояния р(р, в) = ро(р)в +Pi(p) рассматривались в работах [27-34].

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, двух глав, содержащих по три раздела каждая и списка литературы из 58 названий. Используется общая нумерация формул, определений, лемм, теорем и т.д. Нумерация констант обособлена внутри каждой из глав. Номера формул, определений, лемм, теорем и т.д. состоят из двух чисел: первое - номер главы, второе - порядковый номер внутри главы. Предпоследний раздел введения содержит список основных обозначений, используемых в работе.

Содержание главы 1

Рассматривается задача об установившемся баротропном движении двухкомпонентнои смеси вязких сжимаемых жидкостей в следующей постановке.

Задача А.

Смесь занимает ограниченную область Q С К³ евклидова пространства точек х = (#1,2:2,3:3) граница дО, которой принадлежит классу С². Требуется найти векторные поля скоростей и^^г\ і = 1,2 и скалярные поля плотностей р_г-, г = 1,2 составляющих смеси, удовлетворяющие следующим уравнениям и краевым условиям: div(_Pi~rf^{i)) = 0 в П, г = 1,2, (0.21) Y^ LijltW + divert lt⁽ⁱ⁾) + s/Pi = ~3^{i) + Pi~?^{i) в П, г = 1,2, (0.22) ~ІЇ^{І) =0наШ, г = 1,2, (0.23) Pi dx = М_г-, г = 1, 2, М^ = consi > 0. (0.24)

Здесь, операторы Lij = —%А - (Ay + Hij)Vdiv, i, j = 1, 2, (0.25) A12 + 2ді2 = 0 определены так, что для некоторой постоянной Со > 0 выполняется неравенство ^ j Li,!? ^⁽ⁱ⁾ dx^C^ f I Vl?^w|² da;. (0.26) ^=¹ n ⁱ⁼¹ n

Будем предполагать, что давление pi = рї, і = 1,2, где у > 1 - показатель адиабаты, а интенсивность обмена импульсом между составляющими смеси J^ = (—1)*⁺¹а("г№ — "г№), г = 1,2, где a > 0 - заданная постоянная. Массовые силы /^ и /^ считаются непрерывными векторными полями.

Специфика уравнений неразрывности (0.21) приводит к определению слабого решения уравнений (0.21)-(0.22) несколько отличному от стандартного определения обобщенного решения для уравнений математической физики (см. [15,16|). Прежде всего заметим, что для любых непрерывно дифференцируемых функций Gi : R —> R, і = 1,2 гладкие решения pi, г = 1,2 уравнений (0.21) удовлетворяют уравнениям div (Gi(fH)lt) + {Gi '(рі)рі - Gi(_Pi)) div 1Ї = 0, і = 1,2, (0.27) которые называются ренормализованной формой уравнений (0.21), а процедура перехода от (0.21) к бесконечной системе уравнений вида (0.27) называется ренормализацией. Функции pi, г — 1,2, удовлетворяющие этой системе, называются ренормализованными решениями уравнений (0.21).

Определение 1.1 Обобщенным решением краевой задачи А называются неотрицательные функции рі Є L¹^), і = 1,2 и векторные поля и^ Є W₀' (Q), і = 1,2, удовлетворяющие следующим условиям: (А1) Jpidx = Mi, _Pi!t Є L\Q), рі(рі) Є LJ_0C(Q), Рі\~ІЇ^(і)\² Є Ь}_Ж(П), і = 1,2; ft (A2) для любых дифференцируемых функций Gi с ограниченными производными G\ Є C(R), і — 1,2 и произвольных функций фі Є С¹^), і = 1,2 выполняются интегральные тождества J (Gi(pi)!t Щ_{ + (Gifo) - GJ(aO^) V* divlt") dx = 0,i = l, 2; (A3) для любых векторных полей ~ф^ Є C(Q), і — 1,2 выполняются интегральные тождества J2 Щ f ^V^^{0) : V}^^{( d;c} + (- + Aty) / div!tdiv!it dx - f Рі!Ї <8> "^⁽ⁱ⁾ : V^⁽ⁱ⁾ dx = [pidiv-ф dx+ n n + /(^⁽⁰+Pi?⁽ⁱ⁾)-^^{i)cte, » = 1,2. n

Доказывается теорема существования обобщенного решения задачи А.

Теорема 1.1 Для любых /^ Є C(Q), і = 1, 2, 7 > 3 краевая задача А имеет, по крайней мере одно обобщенное решение.

Кратко охарактеризуєм основные этапы доказательства теоремы 1.1. Обобщенное решение задачи А получено как предел решений следующей краевой задачи: -єАрІ + div(p\ltf) + єрї = Зг в Q, і = 1,2, (0.28) i=i ' ' (0.29) +id*t;(pf^W ^>) + VPf = ~^f + Pff^ вП,і = 1, 2, "^W = 0, Vpf it = 0 на дії, і = 1, 2, (0.30) / p^Eidx = Mi, г = 1,2, (0.31) которую условимся называть задачей А_е. Здесь pf = (pf)⁷, Л = (-1)^г'⁺¹а(1^і²⁾ - ъ^), і = 1,2, |fi| = meas(Q), є Є (0,1], ^ - вектор единичной внешней нормали к границе дС1 области Q.

Сначала доказывается существование сильного обобщенного решения задачи А_є.

Определение 1.2 Сильным обобщенным решением задачи А_е называются неотрицательные функции pf Є W^2,q(Q,) V 1 < q < 00_; f pfdx = Мі, і = 1,2 и векторные поля іє Є W^2,q(Q) V 1 < q < 00, і = 1,2 такие, что уравнения (0.28)_; (0.29) выполнены п.в. в О, и п.в. на дО, — краевые условия (0.30).

Теорема 1.2 Для любых j^ Є C(Q), і = 1, 2, 7 > 3 краевая задача А_є имеет по крайней мере одно сильное обобщенное решение, которое удовлетворяет неравенству (и rfiu +11 ^"ік'рч +11 ^eVrfii&_(n)) ^ ^с' (-³²) где постоянная С > 0 зависит, только от \\ j^^l'\\c(si)> -^ №із> 7; |^|> Mj, а и не зависит от, параметра е.

Затем, на основании априорной оценки (0.32), совершается предельный переход в слабом смысле в уравнениях (0.28)-(0.29) при 6:-)-0. Основная проблема здесь связана с предельным переходом в последовательности функций давления р\ = (pf)⁷, і = 1, 2 при є —> 0. Из оценки (0.32) следует, что р\ —> pi слабо в L²⁷(Q), р\ —> р_} слабо в L²(Q), і — 1,2. Так как априори известно, что последовательности р\, г = 1,2 только интегрируемы в пространстве L²⁷(Q), 7 > 3, равенства р_г- — (р«)⁷, г = 1,2 далеко не очевидны. Для доказательства данных равенств обобщается техника, развитая в работе [15] для классической модели Навье-Стокса, связанная с регулярностью так называемых "эффективных вязких потоков" компонент смеси.

Содержание главы 2

Рассматривается задача об установвшемся движении двухкомпонентной смеси вязких сжимаемых теплопроводных жидкостей в следующей постановке.

Задача Б.

Пусть смесь занимает ограниченную область О, С К³ евклидова пространства точек х = (жъ#2,#з) граница сЮ которой принадлежит классу С². Требуется найти векторные поля скоростей ~й*(¹\ і = 1,2, скалярные поля плотностей р_г- и температур ві, г — 1,2 составляющих смеси, удовлетворяющие следующим уравнениям и краевым условиям: div(pilt) = 0 в П, г = 1,2, (0.33) J2 Lijlt^{j) + div{_Pilt^ І*) + VPi = "^^W + Рі7^{і) в Q, г = 1, 2, (0.34) divipAlt^) + гіги"^⁰ = -pAdivltW _{+ Г}. _в q_j j ₌ і _{? 2}, (0.35) lt⁽ⁱ⁾ = 0 на<9П, г = 1,2, (0.36) кі{ві)Чві "^ + (0,)(/ - 0) = 0 на дП, г = 1, 2, (0.37) Pidx = Mi > 0, г = 1,2. (0.38)

В уравнениях (0.34) операторы Ьц определены по формуле (0.25) и при этом выполняется неравенство (0.26). Кроме того, предполагаются выполненными следующие соотношения: Pi = р] + pjA, г = 1, 2, 7 > 1 - давление г-ой составляющей смеси, ^« = -Цв^ві, і = 1, 2, где fc^) - 1 + 0, г = 1,2, m > 1 - вектор теплового потока г-ой компоненты, J ₌ (_i)^i_a(it(²) - !ЇМ), і = 1, 2, а > 0 - интенсивность обмена импульсом между составляющими смеси,

Г, = (-1)^г'⁺¹6(0₂ -60 + ||l^(i)-^(2)|2, i=l,2, Ь> 0 - интенсивность обмена энергией между составляющими смеси, L(0i) = l + 0P~\ « = 1,2.

В краевых условиях (0.37) предполагается, что 0 > 0 - известная достаточно гладкая функция. Массовые силы / (¹) и f^ в уравнениях (0.34) считаются заданными непрерывными векторными полями. Величины Mj, Ay, pij, 7₅ ^а5 ^{m и} ^ считаются заданными константами.

Определение 2.1 Обобщенным решением краевой задачи Б называются неотрицательные функции / Є Ь¹(ї), і = 1,2_; положительные функции ві Є W ^(Q), і = 1,2 и векторные поля tfb) . цг > (Q^ i = l_:2, удовлетворяющие следующим условиям: (Б1) (Pidx = М_{и Рі}Єі Є Ь²(П), nit є Ь\П), eV0i Є L\Q),

РІ Є LL(fi), рі\!Ї\² Є LL(O), t = 1, 2; (Б2) d/иг любых дифференцируемых функций Gi с ограниченными производными G\ Є C(R), і = 1,2 м произвольных функций фі Є С¹^), г = 1, 2 выполняются интегральные тождества j (Gifa)!} Уфі + (Gi(pi) - G'iipjpi) фі divlt^) dx = 0, і = 1, 2; (БЗ) дуиг любых векторных полей ~ф^ є Со(0)_; г = 1,2 выполняются интегральные тождества -^7-1 \ п п / - /" #1^⁽⁰ <8> ^⁽ⁱ⁾ : V^^W da; = /" р] divlfi dx+ + /" M div^W da: + [0 + _Pi~f) ~ф dx, і = 1, 2; n n (Б4) d/м любых функций щ Є С(Г2)_; і = 1,2 выполняются интегральные тождества - j piGilt Vr* dx+ j Ь{ві)(ві - 0)m da+ j кі{ві)Уві v_m dx = п an п / pi$idivu^rji dx + І Тіщ dxn n

, г = 1,2.

Доказывается теорема существования обобщенного решения задачи Б.

Теорема 2.1 Для любых 7« Є C(Q), і = 1,2, в Є C^l(dtt), Є> О, ⁷⁷¹ > (-2)(6 ^У-і) > 7 > 3 краевая задача Б имеет по крайней мере одно обобщенное решение.

Обобщенное решение задачи Б получено как предел решений рсгуляризованной краевой задачи -єАрї + div{p\^f) + єрі = є—І- в Q, г = 1,2, (0.39) і=і ' ' (0.40) +\div{p]llf l^W) _{+ vp}| = ^(0 ₊ р|7^(і) в П, і = 1, 2, divim^tf) - div (uetf-±^vef (0.41) = -p\e\div~%tf + Г? в ft, г = 1,2. ^W = 0, Vpf ^ = 0 на аП, г = 1, 2, (0.42) *i№)^r^V0f "Й" + eln^f + L(0f)(0f - 0) = 0 на дП, і = 1,2, (0.43) J p⁶idx = Mi, г = 1,2, (0.44) п которую условимся называть задачей Б_є. Здесь pf = (pf)⁷ + pf#f, ^є = (-l)ⁱ⁺¹a(l<²⁾ - ^^1}), Г? = {-l)^i+lb{9l - B\) + |^^1} - 1^²⁾|², г = 1,2, є Є (0,1].

Как и в первой главе, сначала доказывается существование сильного обобщенного решения задачи Б_є, которым называются неотрицательные функции р\ Е W²>^q(Q,) V 1 < q < со, / р\ dx = Мі, і = 1,2, положительные функции Q\ Є И^/2,?(Г2) V 1 < g < oo, і = 1,2 и векторные поля Hf Є W²^(ft) Vl

Справедлива следующая теорема.

Теорема 2.2 Для любых ~f Є C(Q), і = 1,2, в Є С^г(дП), в > 0, т > , _J(6 ⁷-і) ^; 7 > З краевая задача Б_є имеет по крайней мере одно сильное обобщенное решение, которое удовлетворяет неравенству

Е (М1Ь(П) + 11^⁰11<'(п) + H^eVtf H_L5&_(n) + 11^11^-(0)+ (0.45) +11 Vflf Ь(_П) + J (e^sf + є"*) Жт + || Vsf ||_La(n)) < С, an где sf = \n9f, і = 1,2, постоянная С > 0 зависит только от || /^Цс(П); ||^||с(ап); \'j> /%> ^, 7; І ^1; І^^І; ; Мі ^{и не} зависит от параметра є.

Значительную часть второй главы занимает процедура предельного перехода в слабом смысле в уравнениях (0.39)-(0.41) при є —> 0. Процедура предельного перехода опирается на те же идеи, которые были использованы в первой главе и отличается уровнем технических сложностей.

Используемые обозначения

Функциональные пространства

В диссертации используются обозначения, общепринятые в литературе (см., например, [35, 36]): D(Q.) - пространство основных функций в О;

Ь^Р(Г2), р > 1 - пространство Лебега; W^l,p(Q), I = 1, 2,..., р > 1 - пространство Соболева; W₀^,p(fl) - замыкание D(Q) в норме пространства W^l,p(Q)] W ~p^,p(dQ,), р > 1 - пространство Соболева-Слободецкого функций с дробными производными (пространство, пробегаемое следами v\q$i, когда v пробегает W^1,p(f2)); C^k(Q) - пространство к раз непрерывно дифференцируемых функций в Г2; C^k,a(Q), а Є (0; 1] - пространство Гельдера.

Обозначения норм в нормированных пространствах соответствуют общепринятым: норма элемента пространства X обозначается символом

II и*-

Используется стандартная нормировка пространств, в частности, для 1/(0,) имеем

Ыщп) = / M^PL^_n) = essswp\v(x)\. Апробация работы

Материалы диссертации докладывались на семинарах кафедры дифференциальных уравнений Кемеровского государственного университета "Краевые задачи механики сплошных сред", руководитель семинара - д.ф.-м.н., проф. Н.А. Кучер; на семинаре Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН "Математические проблемы механики сплошных сред", руководитель семинара - член-корр. РАН П.И. Плотников; на семинаре Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы анализа", руководители семинара - профессор B.C. Белоиосов, д.ф.-м.н. М.В. Фокин; на семинаре кафедры по новым информационным технологиям Кемеровского государственного университета "Информационные технологии и математическое моделирование", руководитель семинара - д.ф.-м.н., проф. К.Е. Афанасьев, а также на II (XXXIV) и IV (XXXVI) Международных научных конференциях студентов и молодых ученых "Образование, наука, инновации - вклад молодых исследователей", Кемерово, 2007 г., 2009 г.; на VII Всероссийской научно - практической конференции "Инновационные недра Кузбасса. IT - техиологии-2008", Кемерово, 2008 г.; на 9 Всероссийской научной конференции "Краевые задачи и математическое моделирование", Новокузнецк, 2008 г.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [51-58].

Автор диссертации выражает глубокую признательность своему научному руководителю - профессору, доктору физико-математических наук Н.А. Кучеру, а также члену-корреспонденту РАН П.И. Плотникову за постоянное внимание к работе и многочисленные обсуждения.

Постановка задачи и основной результат

Для любых f Є C(Q), і = 1,2, в Є Сг(дП), в 0, т , _J(6 7-і) ; 7 З краевая задача Бє имеет по крайней мере одно сильное обобщенное решение, которое удовлетворяет неравенству Е (М1Ь(П) + 11 011 (п) + HeVtf HL5&(n) + 11 11 -(0)+ где sf = \n9f, і = 1,2, постоянная С 0 зависит только от / Цс(П); с(ап); \ j /% , 7; І 1; І І; ; МІ и не зависит от параметра є.

Значительную часть второй главы занимает процедура предельного перехода в слабом смысле в уравнениях (0.39)-(0.41) при є — 0. Процедура предельного перехода опирается на те же идеи, которые были использованы в первой главе и отличается уровнем технических сложностей. Используемые обозначения Функциональные пространства В диссертации используются обозначения, общепринятые в литературе (см., например, [35, 36]): D(Q.) - пространство основных функций в О; ЬР(Г2), р 1 - пространство Лебега; Wl,p(Q), I = 1, 2,..., р 1 - пространство Соболева; W0,p(fl) - замыкание D(Q) в норме пространства Wl,p(Q)] W p,p(dQ,), р 1 - пространство Соболева-Слободецкого функций с дробными производными (пространство, пробегаемое следами V\Q$I, когда v пробегает W1,p(f2)); Ck(Q) - пространство к раз непрерывно дифференцируемых функций в Г2; Ck,a(Q), а Є (0; 1] - пространство Гельдера. Обозначения норм в нормированных пространствах соответствуют общепринятым: норма элемента пространства X обозначается символом II и Используется стандартная нормировка пространств, в частности, для 1/(0,) имеем Ыщп) = / MP foJ , \\v\\L n) = essswp\v(x)\. Апробация работы Материалы диссертации докладывались на семинарах кафедры дифференциальных уравнений Кемеровского государственного университета "Краевые задачи механики сплошных сред", руководитель семинара - д.ф.-м.н., проф. Н.А. Кучер; на семинаре Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН "Математические проблемы механики сплошных сред", руководитель семинара - член-корр. РАН П.И. Плотников; на семинаре Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы анализа", руководители семинара - профессор B.C. Белоиосов, д.ф.-м.н. М.В. Фокин; на семинаре кафедры по новым информационным технологиям Кемеровского государственного университета "Информационные технологии и математическое моделирование", руководитель семинара - д.ф.-м.н., проф. К.Е. Афанасьев, а также на II (XXXIV) и IV (XXXVI) Международных научных конференциях студентов и молодых ученых "Образование, наука, инновации - вклад молодых исследователей", Кемерово, 2007 г., 2009 г.; на VII Всероссийской научно - практической конференции "Инновационные недра Кузбасса. IT - техиологии-2008", Кемерово, 2008 г.; на 9 Всероссийской научной конференции "Краевые задачи и математическое моделирование", Новокузнецк, 2008 г. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [51-58].

Автор диссертации выражает глубокую признательность своему научному руководителю - профессору, доктору физико-математических наук Н.А. Кучеру, а также члену-корреспонденту РАН П.И. Плотникову за постоянное внимание к работе и многочисленные обсуждения.

Существование сильного решения задачи Ає

Таким образом, замкнутая модель для описания движения двухкомиопентпых смесей жидкостей и газов может быть образована из уравнений (0.1)-(0.4), (0.6), (0.8)-(0.11), к которым нужно добавить выражения для кг, А - и fiij, i,j = 1, 2.

Описанная выше многоскоростная модель смеси является обобщением классической модели Навье-Стокса и, естественно, немногочисленные работы о корректности многомерных моделей смесей сжимаемых жидкостей и газов появились после определенного прогресса, достигнутого для уравнений Навье-Стокса.

Начало нелокальной теории двух- и трехмерных уравнений динамики вязкого газа было положено в работах [10-12], в которых была установлена слабая регулярность эффективного вязкого потока и доказана глобальная разрешимость основных краевых задач для уравнений Навье-Стокса сжимаемого баротропного газа для достаточно больших показателей адиабаты. Дальнейшее существенное продвижение в теории было проведено в работах [13-15], в которых показно, что слабая регулярность эффективного вязкого потока является следствием принципа компенсированной компактности и это позволило доказать разрешимость нестационарных краевых задач для показателя адиабаты из интервала ( 2))- В работе j 16] предложен подход к анализу уравнений Навье-Стокса, позволивший доказать существование ренормализованных решений стационарных уравнений динамики вязкого газа для показателя и тем самым охватить важный случай двухатомных газов. Нелокальные результаты для многомерных моделей смесей вязких сжимаемых жидкостей на сегодняшний день получены только для системы Стокса без конвективных членов, т.е. рассматривалась система уравнений вида Одной из первых работ в этом направлении является работа [17], в которой доказана разрешимость задачи Коши в Ж3 для уравнений (0.12)-(0.13) в случае общей зависимости давления от плотностей составляющих смеси. В [18] получен результат о единственности слабых решений этой задачи Коши в предположении, что массовые силы и члены, учитывающие обмен импульсом между различными компонентами смеси, равны нулю. В [19] доказано существование слабого обобщенного решения первой краевой задачи для уравнений (0.12)-(0.13) в ограниченной области пространства R3 с уравнениями состояния pi = pi, і = 1,2. В работе [20] рассматривалась краевая задача для квази-стационарной системы уравнений смеси но со специальными граничными условиями оправданными только с математической точки зрения. Модели, описывающие движения смесей вязких жидкостей с уравнениями состояниярі = РІ(РІ), і = 1, 2 в одномерном случае изучались в работах [21-26]. Данная работа посвящена вопросам разрешимости некоторых краевых задач для стационарных уравнений динамики смесей вязких сжимаемых жидкостей. В первой главе проведен анализ глобальной разрешимости первой краевой задачи для стационарных уравнений (0.1)-(0.2) с уравнениями состояния pi = pj, і = 1,2, описывающих установившееся баротропиое движение двухкомпонентных смесей вязких сжимаемых жидкостей в случае трех пространственных переменных. Опираясь и развивая подходы, ранее применявшиеся для уравнений Навье-Стокса вязких сжимаемых сред, доказывается теорема существования слабых обобщенных решений вышеупомянутой задачи для всех значений показателя адиабаты 7 из интервала (3,+оо). Во второй главе исследуются стационарные уравнения вида (0.1)-(0.3), описывающие установившееся движение двухкомпонентных смесей вязких сжимаемых теплопроводных жидкостей в случае трех пространственных переменных и уравнений состояния Эти соотношения согласованны с (0.7), т.е. они удовлетворяют равенствам (0.8). Выражение для энтропии si имеет следующий вид: Sifa, ві) = In (-) + а, і = 1, 2, (0.19) где СІ - постоянные. Заметим, что с учетом соотношений (0.17)-(0.18) уравнения (0.3) редуцируются к следующему виду: Доказывется теорема существования слабых обобщенных решений краевой задачи для стационарных уравнений (0.1), (0.2) и (0.20) с уравнениями состояния (0.17)-(0.18) при условии отсутствия эффектов, связанных с работой внутренних сил составляющих смеси. Модели, описывающие движения вязких сжимаемых теплопроводных жидкостей с уравнениями состояния р(р, в) = ро(р)в +Pi(p) рассматривались в работах [27-34]. Диссертация состоит из введения, двух глав, содержащих по три раздела каждая и списка литературы из 58 названий. Используется общая нумерация формул, определений, лемм, теорем и т.д. Нумерация констант обособлена внутри каждой из глав. Номера формул, определений, лемм, теорем и т.д. состоят из двух чисел: первое - номер главы, второе - порядковый номер внутри главы. Предпоследний раздел введения содержит список основных обозначений, используемых в работе. Содержание главы 1 Рассматривается задача об установившемся баротропном движении двухкомпонентнои смеси вязких сжимаемых жидкостей в следующей постановке. Задача А. Смесь занимает ограниченную область Q С К3 евклидова пространства точек х = (#1,2:2,3:3) граница дО, которой принадлежит классу С2. Требуется найти векторные поля скоростей и г\ і = 1,2 и скалярные поля плотностей рг-, г = 1,2 составляющих смеси, удовлетворяющие следующим уравнениям и краевым условиям:

Постановка задачи и основной результат

Из этих неравенств и классических априорных оценок для решений эллиптических уравнений из (1.24) следует, что INk (n) С (є, / (0с(П), A j, tj, 7,1 П, Л/», а) V 1 г со, г = 1,2. (1.48) В свою очередь, из (1.47) и (1.48) получаем (в силу ограниченности вложений Wl r(Q) в С(П) и W2 r(fi) в С Щ, г 3), что (1.49) II VA-IILOO(JI) С (є, 7(i)c(f2), Aij, / -, 7,1 fi, МІ, а) , г = 1, 2. Для функций в (1-42) теперь справедливы следующие неравенства 0Чы(О) c(sA\7\\c(n),\j,»ij,l,\niMha) V 1 г оо, і = 1,2, d»«G(i)Lr(n) С {є, ?(і)с(П), Ау,№7,П,Мі,а) V 1 г оо, і = 1, 2. Отсюда и из классических оценок для решений эллиптических систем уравнений следует наконец, что \\ rt{i)\\w n) С (є, 7(0lc(n)Aj,/ -,7, «, М,а) V 1 г ос, г = 1,2. (1.50) Итак, в силу теоремы Лере-Шаудера можно утверждать, что задача Ае имеет по крайней мере одно сильное обобщенное решение. Теорема 1.2 доказана. 1.3 Предельный переход Следующий шаг состоит в том, чтобы совершить предельный переход (в слабом смысле) в уравнениях (1.6)-(1.7) при є —» 0. Благодаря априорной оценке (1.10), можно извлечь подпоследовательности, снова обозначенные как pf, и є, і = 1, 2 такие, что при є — 0 р\ - pi слабо в L27(ft), г = 1, 2, (1.51) f - (i) слабо в W 2(Q), г = 1,2, (1.52) и, по теореме вложения, "г 0 - lt(i) сильно в Lg(0), g Є [1;6), г = 1,2. (1.53) Кроме того, из оценок (1.10) и (1.11) следует неравенство 2 . Е / (Pi)7 2Vpf2 С (?(і)с(П),Ч-, , 7, fi, Мь а), (1.54) где постоянная С не зависит от параметра є. Из этого неравенства и из уравнений (1.6) получаем, что при є — О eVp\ - 0 сильно в Lq(Q), l q - -, і = 1,2. (1.55) 7 + о Действительно, из оценки (1.54) следует, что для любого 5 0 (при 7 2) IHVpf /{rf } 2(о) С 2"7, г = 1, 2, (1.56) где Тд: - характеристическая функция множества К. С другой стороны, умножая уравнения (1.6) на (pf — 6)1 } и интегрируя результат по области Q получим, что NV /{ }2(Q) C 2 + ), = 1,2. (1.57) Таким образом, из неравенств (1.56)-(1.57) с 5 = єа, а Є ( 0, - ) получаем, что sVp] - 0 сильно в L2(Q) при є - О, г = 1, 2, (1.58) откуда в силу оценки (1.10) и следуют соотношения (1.55). Переходя к пределу по выбранным подпоследовательностям в уравнениях (1.6)-(1.7) при є — 0 получим, что предельные функции Рі Є 27(П), Pi 0, ffrdx = МІ, її Є WQ 2(Q), г = 1,2 при 7 З удовлетворяют в слабом смысле следующей системе уравнений: div(pi vt) = 0 в Q, г = 1,2, (1.59) J]) Litf + div{p g W) + Vp. = "У (0 + Л (0 вй,і = 1,2, (1.60) i=i где ІРЇТ - " Й слабо в L2(Q) при є - 0, і = 1, 2. (1.61) Таким образом, чтобы завершить доказательство теоремы 1, следует показать, что имеют место равенства Рі = РІ, г = 1,2 (1.62) и, что слабые решения уравнений неразрывности (1.1) являются ренормализованными решениями. С этой целью используем технику, развитую в [15] для классической модели Навье-Стокса. Введем в рассмотрение величины Pi - (Aii + 2fMi)div ІЇ{1) - (Хі2 + 2p,i2)div 1Ї{2\ і = 1, 2, которые по аналогии с моделью вязкой сжимаемой жидкости назовем эффективными вязкимим потоками компонент смеси. Справедливо следующее утверждение. Лемма 1.1. Пусть р\, и І , і = 1,2 — последовательности решений задачи А, существование которых гарантируется теоремой 1.2, и пусть pi, и г и РІ, і = 1,2 — пределы, определенные в (1.51), (1.52) и (1-61) соответственно.

Существование сильного обобщенного решения задачи Бє

Массовые силы / и / в уравнениях (2.2) считаются заданными достаточно гладкими векторными полями. В краевых условиях (2.5) предполагается, что 9 0 - известная достаточно гладкая функция, п -вектор единичной внешней нормали к границе 8Q области Q. Величины Mi, Ajj, /iij, 7, а, тп и Ъ считаются заданными константами. Определение 2.1 Обобщенным решением краевой задачи Б называются неотрицательные функции рі Є L1 ), і = 1,2, положительные функции Q{ Є W ip,), і = 1,2 и векторные поля іг) WQ,2(Q), г = 1,2, удовлетворяющие следующим условиям: (Б1) n РІ Є (П), Л (г)2 Є L}oc(Q), і = 1,2; (Б2) для любых дифференцируемых функций Gi с ограниченными производными G\ Є C{R), г = 1,2 и произвольных функций фі Є C1(f2), і — 1, 2 выполняются интегральные тождества [ (Gi{fH)!t V i + (Gite) - GJte) ) фі divlt) dx = 0, і = 1,2; (БЗ) для любых векторных полей -$М Є С0(О); t = 1,2 выполняются интегральные тождества ± L J V : V dx + (А, + №,) / W dx - ( РІ ] 8 1Ї{І) : V (i) da; = / р] divl dx+ + /" рД- dw" « dx + Г 0 + 7(0) (i) , = 1, 2; ft n (Б4) для любых функций гц Є С00(О), г = 1,2 выполняются интегральные тождества - І рівіїї Vm dx+ І Ь{ві){ві - в)тц da+ f кі{ві) ві Vrji dx = n an n = — I PiOidivlt riidx + / FiTiidx, і — 1,2. Основной результат данной главы состоит в доказательстве существования обобщенного решения задачи Б. Теорема 2.1 Для любых ?{і) Е C(fi), і = 1,2, в Є С1(дО), в 0, 171 г 3V6 7-п 7 З краевая задача Б имеет по крайней мере одно обобщенное решение. Доказательство теоремы 2.1 разобьем на два этапа. Сначала докажем разрешимость следующей вспомогательной задачи: -єАрІ + div(tflt) + єрї = єЩ в Q, і = 1,2, (2.8) LvH+1 «+ «+у . v) )+ і=і (2.9) +\div(p\!tf g 1Ґ«) + VPf = (0 + pf « в П, і = 1, 2, divtfefltM) - div Um)i±?±vei (2.10) = -pffldivltf + Ц в Q, г = 1,2. 1 (0 = 0, Vpf = 0 на аГ2, г = 1, 2, (2.11) кЮ У Щ it + ebfl[ + Ц0?)(в? - 3) = 0 на afi, t = 1, 2, (2.12) / pfdx = МІ, і = 1,2, (2.13) )"? которую условимся называть задачей Бє. Здесь pf = (pf)7 + pffl, 7f = (-1)і+1а(Ш2) - lti\ Ц = (-1) +1Ь(0 - в{) + f 1} - f]\\ г = 1,2 = raeas (Q), є Є (0,1]. Затем дадим обоснование предельному переходу последовательности решений этой задачи к решению задачи Б. 2.2 Существование сильного обобщенного решения задачи Б Определение 2.2 Сильным обобщенным решением задачи Бє называются неотрицательные функции р\ Є W2,q(l) V 1 q оо, J pfdx = М{, і — 1,2, положительные функции Q\ Є W2,q(Q) V 1 п q оо, і = 1,2 и векторные поля и є Є W2,q(Q) V 1 q оо, і = 1, 2 такие, что уравнения (2.8)-(2.10) выполнены п.в. в Q и п.в. на сЮ — краевые условия (2.11), (2.12). Теорема 2.2 Для любых /(і) Є C(Q), і = 1,2, в Є Сг(дО), Є 0, т , ГзКб-7-і) 7 З краевая задача Бє имеет по крайней мере одно сильное обобщенное решение, которое удовлетворяет неравенству X) (МІН") + 11 11 (0) + llV HL ) + ll ll m(n)+ І=1 . (2.14) +11 V0f И п) + (es? + e" ) do- + V f L2(n)) C, дії где sf = InOf, і = 1,2, постоянная С 0 зависит только от \\ j Цс(П), с(с?П); Ч? ; /%", "г, 7; I Ь , а - ке зависит от параметра є. Доказательство. Предположим, что РІ 0, в? О, 1І \ і = 1,2, принадлежащие W2,q{Q) У 1 q оо удовлетворяют (2.8)-(2.13). Докажем, что при этом имеет место неравенство (2.14), не зависящее от параметра є. Умножая обе части уравнений (2.9) скалярно на l W, г = 1,2, интегрируя результат по области Г2 и суммируя по і = 1, 2, получим

Похожие диссертации на Анализ разрешимости краевых задач для уравнений смесей жидкостей

Спектральные вопросы задачи Франкля для уравнения смешанного типа и разрешимость аналога этой задачи для уравнения ГельмгольцаАмбарцумян Ваграм Эдвардович

О разрешимости краевых задач для уравнения Лаврентьева-Бицадзе со смешанными граничными условиямиМоисеев, Тихон Евгеньевич

Разрешимость краевых задач для уравнений смешанного типа высокого порядкаЧуешев Александр Викторович

О корректной разрешимости несамосопряженных смешанных задач для уравнения колебаний мембраныМахмадуллоев, Зафар Насуллоевич

Разрешимость обратных задач для гиперболических уравненийПавлов, Степан Степанович

О корректной разрешимости несамосопряжённых смешанных задач для уравнения колебаний мембраныМахмадуллоев Зафар Насуллоевич

Разрешимость задач управления для стационарных уравнений магнитной гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости Бризицкий Роман Викторович

Разрешимость задачи Дирихле для параболических уравнений второго порядка в Lp-пространствах СоболеваГордеев Александр Николаевич

О корректной разрешимости некоторых задач для эволюционных уравнений в обобщенных пространствах СтепановаГорлов, Владимир Александрович

Глобальная разрешимость одномерных задач протекания для систем уравнений движения вязкого газа с негладкими даннымиКазенкин Константин Олегович