Содержание к диссертации
Введение
1. Обратные задачи для гиперболических уравнений с точечными условиями переопределения 17
1.1 Исследование обратной задачи восстановления плотностей источников одномерного волнового уравнения 17
1.2 Разрешимость обратной задачи восстановления внешнего воздействия в-многомерном волновом уравнении при п = 2,3 21
1.3 Обратная задача восстановления внешнего воздействия в много мерном волновом уравнении при п > 4 і 32
2. Обратные задачи для гиперболических уравнений с интегральным условием переопределения 34
2.1 Обратная задача восстановления внешнего воздействия в многомерном волновом уравнении с интегральным переопределением 34
2.2 Нелинейные обратные задачи для многомерных гиперболических уравнений с интегральным переопределением 42
Заключение 70
Литература 71
- Разрешимость обратной задачи восстановления внешнего воздействия в-многомерном волновом уравнении при п = 2,3
- Обратная задача восстановления внешнего воздействия в много мерном волновом уравнении при п > 4 і
- Обратная задача восстановления внешнего воздействия в многомерном волновом уравнении с интегральным переопределением
- Нелинейные обратные задачи для многомерных гиперболических уравнений с интегральным переопределением
Введение к работе
Актуальность темы. Обратные задачи представляют собой активно развивающуюся область современной математики. Обратные задачи возникают в самых различных областях человеческой деятельности таких, как геофизика, биология, экология, медицина и т.д.
Под обратной задачей для уравнений с частными производными в настоящей работе подразумевается такая задача, в которой вместе с решением требуется определить правую часть (внешние нагрузки) или (и) тот или иной коэффициент (коэффициенты) самого уравнения. В случае, если в обратной задаче неизвестными являются решение и правая часть, то такая обратная задача будет линейной; если же неизвестными являются решение и хотя бы один из коэффициентов, то обратная задача будет нелинейной. Линейные и нелинейные обратные задачи для гиперболических уравнений в различных постановках изучались в работах М.М. Лаврентьева, В.Г. Романова, Ю.Е. Аниконова, Б.А. Бубнова, СИ. Кабанихина, А.И. Прилепко, С.Г. Пяткова, А.И. Кожанова, А.Х. Амирова, Г.В. Алексеева, Е.Г. Саватеева, Е.С. Глуш-ковой, Д.И. Глушковой, Т.Ж. Елдесбаева, A. Lorenzi, A.M. Денисова, М. Grasseli, М. Клибанова, М. Jamamoto. Следует отметить, что в большинстве из перечисленных работ изучались либо задача Коши, либо характеристические задачи с неизвестными коэффициентами, либо же задачи в цилиндрической области, но в иных постановках с использованием иных, нежели в настоящей работе методов, и при этом, разрешимость устанавливалась в других пространствах.
Кроме того, активно исследовались обратные задачи электромагнитной разведки, квантовой теории рассеяния, электропроводности, теплопроводности и многие другие. В настоящее время интерес к обратным задачам не ослабевает, а наоборот, постоянно появляются новые постановки обратных задач и, соответственно, новые результаты об их разрешимости. Сейчас уже почти невозможно подсчитать число научных публикаций, в которых в той или иной мере исследуется обратные задачи. Постоянно появляются новые подходы,
понятия, теоремы.
Задачи определения коэффициентов гиперболических уравнений и систем по некоторой дополнительной информации об их решении имеют большое практическое значение. Также отметим, что обратные задачи для гиперболических уравнений зачастую относятся к некорректным задачам математической физики, теория которых была заложена в работах А. Н. Тихонова (1963), В. К. Иванова (1962,1963), М. М. Лаврентьева (2003).
В диссертационной работе исследуется вопрос о разрешимости и единственности решения обратных задач для многомерных гиперболических уравнений в случае неизвестных коэффициентов с точечными и интегральными условиями переопределения.
Цель работы. Основной целью работы является исследование разрешимости обратной задачи определения коэффициентов как для одномерного, так и для многомерного гиперболического уравнения.
Методы исследования. Для рассмотренных обратных задач доказываются теоремы существования, единственности регулярных решений. Техника доказательств основана на переходе от обратной задачи к прямой краевой задаче для нового "нагруженного"линейного либо нелинейного уравнений.
При исследовании прямой краевой задачи используется техника, основанная на методах регуляризации, продолжения по параметру и методе неподвижной точки.
Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты:
установлена разрешимость обратной задачи нахождения вместе с решением внешних источников составного вида для одномерных и многомерных гиперболических уравнений при задании точечных условий переопределения;
установлена разрешимость обратной задачи нахождения вместе с решением внешнего воздействия для гиперболических уравнений при задании условия интегрального переопределения;
установлена разрешимость нелинейной обратной задачи нахождения вместе с решением неизвестного коэффициента диссипации для гиперболических уравнений при задании интегрального условия переопределения;
установлена разрешимость нелинейной обратной задачи нахождения вместе с решением неизвестного коэффициента стока для гиперболических уравнений при задании интегрального условия переопределения.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер. Все результаты диссертации являются новыми. Выводы и положения, сформулированные в диссертации, базируются на строгих математических доказательствах. Полученные результаты могут в дальнейшем найти применение при изучении обратных задач для гиперболических уравнений.
Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации, докладывались и обсуждались:
на научной конференции "Лаврентьевские чтения PC (Я)" (Якутск: 2006, 2008);
на IV, V Всероссийских школах-семинарах студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов "Математическое моделирование развития Северных территорий Российской Федерации" (Якутск: 2006, 2007);
на XLV, XLVIII Международных научных студенческих конференциях "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск: 2007, 2010);
на II, III Всероссийских научных конференциях "Информационные технологии в науке, в образовании и экономике" (Якутск: 2007, 2008);
на Всероссийской научной конференции студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов "Математическое моделирование развития Северных территорий Российской Федерации" (Якутск: 2008);
на II Всероссийской научной конференции и VII Всероссийской школе-семинаре студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов "Математическое моделирование развития Северных территорий Российской Федера-
ции" (Якутск: 2009);
на II Молодежной международной научной школе-конференции "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач", посвященной памяти академика М.М. Лаврентьева (Новосибирск: 2010);
на V Республиканской научно-методической конференции "Математика в школе и вузе"(Якутск, 2010);
на Всероссийском научном семинаре "Неклассические уравнения математической физики", посвященном 65-летию со дня рождения профессора В.Н. Врагова (Якутск: 2010);
на VI Международной конференции по математическому моделированию (Якутск: 2011);
на семинарах "Уравнения переменного типа" под руководством д.ф.-м.н., профессора СВ. Попова (Якутск, кафедра математического анализа ИМИ СВФУ, 2007-2011);
на семинарах "Дифференциальные уравнения в частных производных" под руководством д.ф.-м.н., профессора И. Е. Егорова (Якутск, НИИ математики СВФУ, 2009-2011);
на семинаре "Неклассические уравнения математической физики" под руководством д.ф.-м.н, профессора А. И. Кожанова (Новосибирск, Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, 2011).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [1]-[9].
Работа поддержана
грантом ЯГУ за 2007 г.;
грантом СВФУ за 2010 г.;
грантом по фундаментальным исследованиям в области математики Министерства образования РФ по программе "Университеты России "за 2002-2005 гг.;
научной программой "Проведение научных исследований молодыми уче-
ными" Федерального агенства по науке и инновациям Министерства образования и науки РФ за 2006 г.- стажировкой в Институт математики имени С. Л. Соболева СО РАН (г. Новосибирск);
грантом ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России"на 2009-2013 гг., в рамках реализации мероприятия №1.3.1 "Проведение научных исследований молодыми кандидатами наук", ГК №П1182 от 27 августа 2009 г.;
грантом Министерства образования и науки Российской Федерации, проект № 02.740.11.0609;
АВЦП "Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011г.), per. номера проекта 2.1.1/3443 и 2.1.1/13607.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, содержащих 5 параграфов, заключения и списка литературы. Во введении описываются цели работы, излагается краткое содержание диссертации. Список литературы содержит 119 наименований. Объем диссертации составляет 84 страницы. Формулы в каждой главе нумеруются тремя натуральными числами, первое из которых указывает на номер главы, второе - номер параграфа, третье - номер формулы в параграфе.
Разрешимость обратной задачи восстановления внешнего воздействия в-многомерном волновом уравнении при п = 2,3
С точки зрения соотношения причина-следствие все задачи математического моделирования можно условно разделить на два больших класса: прямые задачи (известны причины, необходимо найти следствия) и обратные {известны следствия, нужно найти причины).
Обратные задачи представляют собой активно развивающуюся область современной математики. Интенсивное исследование обратных задач в значительной степени обусловлено многочисленными проблемами практики, требующими для своего решения разработки математических методов обработки и интерпретации результатов наблюдений. Цель многочисленных экспериментов и наблюдений, проводимых в различных областях человеческой деятельности, состоит в изучении свойств объектов или процессов, интересующих исследователей. При этом распространенными являются ситуации в которых объект или процесс либо принципиально недоступны для непосредственного наблюдения, либо оно связано с большими затратами. Характерной чертой возникающих при этом задач интерпретации результатов эксперимента является то, что наблюдатель должен сделать заключение о свойствах объекта или процесса по измеренным в результате эксперимента их косвенным проявлениям. Таким образом, речь идет о задачам, в которых требуется определить причины, если известны полученные в результате наблюдений следствия. Задачи такого типа естественно назвать обратными.
Обратные задачи возникают в самых различных областях человеческой деятельности таких, как геофизика, биология, экология, медицина и т.д.
Интерес к обратным задачам возник в первой половине двадцатого века, в частности, когда в геофизике был поставлен вопрос: нельзя ли, располагая картиной движения фронтов сейсмических волн но поверхности Земли от различных землетрясений, найти скорость распространения сейсмических волн внутри Земли? Итогом его исследования стала постановка одномерной обратной кинематической задачи сейсмики, впервые рассмотренная немецкими геофизиками Г. Герглотцем и Е. Вихсртом (1905-1907 гг.).
С гравитационной и магнитной разведкой связано возникновение другой обратной задачи - теории потенциала. Общая ее формулировка заключается в следующем: вне некоторой области, ограниченной поверхностью S, задан потенциал, порожденный телом, лежащим внутри 5, требуется найти форму и плотность тела. Первая теорема единственности для обратной задачи теории потенциала была доказана СП. Новиковым в 1938 г. В дальнейшем исследованием обратных задач теории потенциала в различных постановках занимались А.Н. Тихонов, В.К. Иванов, М.М. Лаврентьев, В.Н- Страхов, А,И. Прилепко, А-А. Самарский, П.Н. Вабищевич, В.И. Васильев - см, [64], [65], [20], [25], [92]. [102] и их ученики. В настоящее время теория обратной задачи потенциала существенно развита, разработаны и численные методы решения этих задач. Впервые был рассмотрен ряд математических постановок обратных задач теории распространения упругих волн в 1962 году А. С. Алексеевым [36].
Кроме того, активно исследовались обратные задачи электромагнитной разведки, квантовой теории рассеяния, электропроводимости, теплопроводности и многие другие. И в настоящее время интерес к обратным задачам не ослабевает, а наоборот, постоянно появляются новые постановки обратных задач и, соответственно, новые результаты-об их разрешимости. Сейчас уже почти невозможно подсчитать число научных публикаций, в которых в той или иной мере исследуются обратные задачи.
Обратная задача восстановления внешнего воздействия в много мерном волновом уравнении при п > 4 і
Постоянно появляются новые подходы, понятия, теоремы. Под обратной задачей для уравнений с частными производными в настоящей работе подразумевается такая задача, в которой вместе с решением требуется определить правую часть (внешние нагрузки) или (и) тот или иной коэффициент (коэффициенты) самого уравнения. В случае, если в обратной задаче неизвестными являются решение и правая часть, то такая обратная задача будет линейной; если же неизвестными являются решение и хотя бы один из коэффициентов, то обратная задача будет нелинейной. Линейные и нелинейные обратные задачи для гиперболических уравнений в различных постановках изучались в работах М. М. Лаврентьева, В. Г. Романова, Ю. Е- Аниконова, Б. А. Бубнова, С. И. Кабанихина, А. И. Прилепко, А. И. Ко-жанова, А. X. Амирова, Е. Г, Саватеева, Е. С, Глушковой. Д. И. Глушковой, Т. Ж. Елдесбаева, A. Lorenzi, А. М. Денисова, М. Grasseli, М. Клибанова, М. Jainomoto - см. монографии [1] - [5], [10], [15] - [17], [20], [21], [25], [27], [49], [50], [63], [69], [95] —[100] и имеющуюся в них библиографию, атакжеста тьи [11], [13], [22], [23], [28], [29], [35] - [47], [56] - [58], [70], [71], [101]. Следует отметить, что в большинстве из перечисленных работ изучались либо задача Коши, либо характеристические задачи с неизвестными коэффициентами, либо же задачи в цилиндрической области.
Задачи определения коэффициентов гиперболических уравнений (Кабани-хин СИ., 2009) и систем по некоторой дополнительной информации об их решении имеют большое практическое значение. Также отметим, что обратные задачи для гиперболических уравнений зачастую относятся к некорректным задачам математической физики, теория которых была заложена в работах A. Н. Тихонова [104]-[106], В. К. Иванова [66], М. М- Лаврентьева [80, 81].
В диссертационной работе исследуется вопрос о разрешимости и единственности решения обратных задач для многомерных гиперболических уравнений в случае неизвестных коэффициентов с точечными и интегральными условиями переопределения. Цель работы- Основной целью работы является исследование разрешимости обратной задачи определения коэффициентов как для одномерного, так и для многомерного гиперболического уравнения. Методы исследования. Для рассмотренных обратных задач доказываются теоремы существования, единственности регулярных решений. Техника доказательств основана на переходе от обратной задачи к прямой краевой задаче для нового "нагруженного" линейного либо нелинейного уравнения. При исследовании прямой краевой задачи используется техника, основанная на методах регуляризации, продолжения по параметру и методе неподвижной точки. Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты: - установлена разрешимость обратной задачи нахождения вместе с решением внешних источников составного вида для одномерных и многомерных гиперболических уравнений при задании точечных условий переопределения; - установлена разрешимость обратной задачи нахождения вместе с решением внешнего воздействия для гиперболических уравнений при задании условия интегрального переопределения; - установлена разрешимость нелинейной обратной задачи нахождения вместе с решением неизвестного коэффициента диссипации для гиперболических уравнений при задании интегрального условия переопределения; - установлена разрешимость нелинейной обратной задачи нахождения вместе с решением неизвестного коэффициента стока для гиперболических уравнений при задании интегрального условия переопределения.
Обратная задача восстановления внешнего воздействия в многомерном волновом уравнении с интегральным переопределением
Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер. Все результаты диссертации являются ноны-ми, Выводы и положения, сформулированные в диссертации, базируются па строгих математических доказательствах. Полученные результаты могут в дальнейшем найти применение при изучении обратных задач для гиперболических уравнений. Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации, доклады г вались и обсуждались: - на научной конференции "Лаврентьевские чтения PC (Я)11 (Якутск: 2006, 2008); - на IV, V Всероссийских школах-семинарах студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов Т1 Математическое моделирование развития Северных территорий Российской Федерации" (Якутск: 2006, 2007); - на XLV, XLVIII Международных научных студенческих конференциях "Студент и научно-технический прогресс4 (Новосибирск: 2007, 2010); - на II, III Всероссийских научных конференциях мИнформационные технологии в науке, в образовании и экономике11 (Якутск: 2007, 2008); - на Всероссийской научной конференции студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов "Математическое моделирование развития Северных территорий Российской Федерации11 (Якутск, 2008); - на II Всероссийской научной конференции и VII Всероссийской школе-семинаре студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов "Математическое моделирование развития Северных территорий Российской Федерации11 (Якутск; 2009); - на II Молодежной международной научной школе-конференции ,гТеория и численные методы решения обратных и некорректных задач" , посвященной памяти академика М.М. Лаврентьева, (Новосибирск: 2010); - на V Республиканской научно-методической конференции "Математика в школе и вузе" (Якутск, 2010); - на Всероссийском научном семинаре "Неклассичсскис уравнения математической физики" , посвященном 65-летию со дня рождения профессора В.Н. Врагова (Якутск: 2010); - на VI Международной конференции по математическому моделированию (Якутск: 2011); - на семинарах "Уравнения переменного типа11 под руководством д.ф.-M.H.J профессора СВ. Попова (Якутск, Кафедра математического анализа ИМИ СВФУ, 2007-2011); - на семинарах "Дифференциальные уравнения в частных производных" под руководством д.ф.-м.н,, профессора И. Е. Егорова (Якутск, НИИ математики при ЯГУ, 2009-2011); - на семинаре "Неклассичсские уравнения математической физики" под руководством д.ф.-м,н3 профессора А. И, Кожанова (Новосибирск, Институт математики им. С, Л. Соболева СО РАН, 2011). Публикации- Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [111]-[119]. Работа поддержана: - грантом ЯГУ за 2007 г.; - грантом СВФУ за 2010 г.; - грантом по фундаментальным исследованиям в области математики Министерства образования РФ по программе "Университеты России1 за 2002-2005 гг.; - научной программой "Проведение научных исследований молодыми учеными" Федерального агенства по науке и инновациям Министерства образования и науки РФ за 2006 г.- стажировкой в Институт математики имени С. Л. Соболева СО РАИ (г. Новосибирск); - грантом ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной Росоиипна 2009-2013 гг., в рамках реализации мероприятия №1.3.1 т,Проведе-иие научных исследований молодыми кандидатами наук", ГК №П1182 от 27 августа 2009 г.; - грантом Министерства образования и науки Российской Федерации, про ект № 02.740.11.0609; б - АВЦП "Развитие научного потенциала высшей школы (2009-201ІГ.), per. номера проекта 2-1Л/3443 и 2.1.1/13607.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, дпух глав, содержащих 5 параграфов, заключения и списка литературы, Во введении описываются цели работы, излагается краткое содержание диссертации. Список литературы содержит 119 наименований. Объем диссертации составляет 84 страницы. Формулы в каждой главе нумеруются тремя натуральными числами, первое из которых указывает на номер главы, второе — номер параграфа, третье — номер формулы в параграфе.
Содержание диссертации. Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана значимость полученных результатов, излагается краткое содержание диссертации, характеризуются используемые методы. Основное содержание работы изложено в главах 1-2. Б первой главе исследуется разрешимость линейной обратной задачи для одномерного и многомерного волнового уравнения при задании точечных условий переопределения.
Нелинейные обратные задачи для многомерных гиперболических уравнений с интегральным переопределением
Уз к тождественно нулевой функции. Следовательно, для всякой ограниченной в пространстве Vz последовательности {ут(х )} из последовательности {Ф(ут(х, ))} можно извлечь сходящуюся в V3 подпоследовательность. А это и означает, что оператор Ф компактен в пространстве V3 Итак, для оператора Ф выполняются все условия теоремы Шаудера. Согласно этой теореме существует функция u{X)i), принадлежащая W и являющаяся решением краевой задачи (2.2.6), (2.2.2), (2.2,3).
Установим, что для решений краевой задачи (2.2.6е), (2.2.2), (2.2.3) имеют место априорные оценки равномерные по параметру е.
Итак, нами доказано, что краевая задача (2.2.6), (2.2.2), (2.2.3) имеет решение и(х,) такое, что для семейства функций {u(x t)} выполняются равномерные по є априорные оценки-(2.2-9), (2.2.17), (2.2.20). Из данных оценок, а также из теорем о вполне непрерывности вложений Wf (Q) — И/21( 5)! H Q) (Г), О возможности выбора из сильно сходящейся последовательности подпоследовательности, сходящейся почти всюду, а также из свойства рефлексивности гильбертова пространства [107] вытекает, что существуют последовательности {ет} положительных чисел и функция u(x,t) такие, что при т —У оо имеют место сходимости- - 0, uCm(xjt) — и(х: t) слабо в пространстве W iQ): иЄт(х,і) — и{х ї) uf"(x t) — иі(х}і) почти всюду в Q, emAulm(xtt) —У 0 слабо в пространстве / (Q)- ИЗ указанных сходимостей следует, что почти всюду на отрезке [0,Т], и далее — что для предельной функции u{x,t) будет выполняться уравнение (2.2.6). Поскольку правая часть в уравнении (2.2:6) принадлежит пространству (Q), то получаем, что функция щь{х ) также будет принадлежать пространству г(Ф)-Но тогда функция u[xyi) будет принадлежать пространству V3.
Из условий согласования теоремы 2.2.1 следует, что имеют место равенства z (O) = v (0) = 0. Поскольку функция q(t) неотрицательна, то равенство (2-2.22) означает, что функция v {) есть тождественно нулевая функция. Тогда и сама функция и{) будет тождественно пулевой. Тождественна обращение функции и{1) в нулевую функцию означает, что для решения u(x7t) краевой задачи (2.2.6), (2.2,2), (2.2.3) будет выполняться условие (2,2,4). Вместе с принадлежностью функций u{x,t) и q{t) требуемым классам все это и означает, что функция дает искомое решение обратной задачи 2.2. - установлена разрешимость обратной задачи нахождения вместе с решением внешних источников составного вида для одномерных и многомерных гиперболических уравнений при задании точечных условий переопределения; - установлена разрешимость обратной задачи нахождения вместе с решением внешнего воздействия для гиперболических уравнений при задании условия интегрального переопределения; - установлена разрешимость нелинейной обратной задачи нахождения вместе с решением неизвестного коэффициента диссипации для гиперболических уравнений при задании интегрального условия переопределения; - установлена разрешимость нелинейной обратной задачи нахождения вместе с решением неизвестного коэффициента стока для гиперболических уравнений при задании интегрального условия переопределения, Методы исследования основаны на использовании техники априорных оценок и техники, связанной с методом продолжения по параметру,
Похожие диссертации на Разрешимость обратных задач для гиперболических уравнений
