Введение к работе
Актуальность темы. Рассмотрим в цилиндрической области QT = D х (О, Т) с ограниченным основанием D с Кп, п > 2, параболическое уравнение вида
и = Е &. ("*('> *);) - й = л+Ем*- лє L^^ (1)
коэффициенты которого симметричны, непрерывны в замыкании <Эг и удовлетворяют условию равномерной параболичности
A-'KI2^ о*(і,:г)6& ^AKI2' A = corwt>0. (2)
i,fc=l
Для соответствующих эллиптических уравнений второго порядка
о 1
разрешимость задачи Дирихле хорошо изучена в пространстве \у (D)
— замыкании C^{D) по норме IV*(D). При р = 2 задача является клас
сической, она однозначно разрешима для уравнений с измеримыми ко
эффициентами в произвольной ограниченной области D. Если р Ф 2,
то граница области не может быть произвольной и от коэффициентов
требуются дополнительные ограничения. Один из первых результатов в
этом направлении содержится в работе С. Агмона, А. Дуглиса и Л. Ни-
реиберга1. Ими показано, что если граница 0D принадлежит классу
С1, коэффициенты уравнения равномерно непрерывны в D, то задача
Дирихле однозначно Lp-разрешима для всех р Є (1, ею). Влияние грани
цы на разрешимость задачи Дирихле исследовалось во многих работах,
которые условно можно разделить на две группы. К одной группе мож
но отнести результаты в областях с изолированными особенностями на
границе. Так, в плоском случае в работах В.А. Кондратьева2, П. Грива-
ра3, В.Н. Масленниковой и М.Е. Боговского4 рассмотрены угловые точ
ки. Особенности границы типа конических точек, ребер, многогранных
'Агмон, С. Оценки решений эллиптических уравнений вблизи границы / С. Аг-мон, А. Дуглас, Л. Ниренберг. — М: ИЛ, 1962.
2Кондратьев, В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками / В.А. Кондратьев // Труды Моск. мат. о-ва.
- 1967. - Т. 16. - С. 209-292.
3Grisvard, P. Elliptic problems in nonsmooth domains / P. Grisvard. — Boston -London - Melbourne. Pitman Advanced Publications Program, 1985.
4Maslennikova, V.N. Elliptic boundary value problems in unbounded domains with noncompact and nonsmooth boundaries / V.N. Maslennikova, M.E. Bogovskii // Rend, del Seminario Mat. e Fis. di Milano. - 1986. ~ V. 56. - P. 125-138.
углов изучены В.А. Кондратьевым2,5, Г.Н. Вержбинским и В.Г. Ма-зьей6. Наиболее общие результаты о разрешимости краевых задач в Lp-пространствах с весом для областей с изолированными особенностями на границе получены в серии работ В.Г. Мазьи и Б.А. Пламенев-ского7,8. К другой группе относятся результаты, когда особенности не локализуются и основное внимание уделяется условиям регулярности границы, достаточным для справедливости тех или иных оценок решений. Этому направлению посвящены исследования В.А. Кондратьева и С.Д. Эйдельмана9 и В.Г. Мазьи и Т.О. Шапошниковой10. Задача Дирихле в выпуклой ограниченной области изучена Ю.А. Алхутовым и В.А. Кондратьевым11. Необходимое и достаточное условие на границу области, обеспечивающее однозначную р-разрешимость задачи Дирихле для эллиптических уравнений с непрерывными в замкнутой области коэффициентами при всех р > 1 вместе с соответствующей коэрцитивной оценкой найдено Ю.А. Алхутовым12.
Для параболических уравнений вида (1) классический случай р = 2 описан в монографии О.А. Ладыженской, Н.Н. Уральцевой и В.А. Со-лошшкова13. Если р ф 2, то 1/р-разрешимость задачи Дирихле в областях с нерегулярной границей исследована в меньшей общности. В
5Кондратьев, В.А. О гладкости решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка в окрестности ребра / В.А. Кондратьев // Дифференц. уравнения. - 1970. - Т. 6. - С. 1831-1843.
еВержбинский, Г.М. О замыкании в Lp оператора задачи Дирихле в области с коническими точками / Г.М. Вержбинский, В. Г. Мазья // Известия вузов. Математика. - 1974. - Т. 145. - № 6. - С. 8-19.
7Maz'ya, V.G. Estimates in LP and in Holder classes and the Miranda-Agmon maximum principle for solutions of elliptic boundary value problems in domains with singular points on the boundary / V.G. Maz'ya, B.A. Plamenevsky // Math. Nachr. —
1978. - V. 81. - P. 25-82.
8Мазья, В.Г. р-оценки решений эллиптических краевых задач в областях с ребрами / В.Г. Мазья, Б.А. Пламеневский // Труды Моск. мат. о-ва. — 1978. — Т. 37.
- С. 49-93.
'Кондратьев, В.А. Об условиях на граничную поверхность в теории эллиптических краевых задач / В.А. Кондратьев, С.Д. Эйдельман // Доклады АН СССР. —
1979. - Т. 246. - Л"» 4. - С. 812-815.
10Мазья, В.Г. Мультипликаторы в пространствах дифференцируемых функций / В.Г. Мазья, Т.О. Шапошникова. — Ленинград: ЛГУ, 1986.
"Алхутов, Ю.А. Разрешимость задачи Дирихле для эллиптических уравнений второго порядка в выпуклой области / Ю.А. Алхутов, В.А. Кондратьев // Дифференц. уравнения. — 1992. — Т. 28. — № 5. — С. 806-818.
12Алхутов, Ю.А. Lp-оценки решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений второго порядка / Ю.А. Алхутов // Матем. сборник. — 1998. — Т. 189. — № 1.
- С. 3-20.
13Ладыженская, О.А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. / О.А. Ладыженская, Н.Н. Уральцева, В.А. Солонпиков. — М.: Наука, 1967.
известных нам работах разобран ряд случаев, когда граница основания цилиндра содержит изолированные особенности на границе. "Параболический аналог" результатов В.А. Кондратьева для широкого класса начально-краевых задач в областях с коническими точками на границе основания цилиндра получен В. А. Козловым14. Уравнение теплопроводности в цилиндре с двугранным углом на боковой поверхности изучено В.А. Солонниковым15. В перечисленных работах разрешимость задачи Дирихле доказана в Lp-пространствах с весом.
Результаты о Lp-разрешимости задачи Дирихле для уравнения вида (1) в цилиндрической области с нерегулярной границей основания, особенности которой не локализуются, нам неизвестны. Наши исследования в этом направлении актуальны, поскольку позволяют получить "параболический аналог" ранее известных результатов для эллиптических уравнений.
Целью работы является нахождение точных условий на границу 0D области D (основание цилиндра QT) при выполнении которых зада-
о 1,0
ча Дирихле однозначно разрешима в пространстве Wp (Qt) для всех р > 1 вместе с соответствующей оценкой
И1<о{ад^СШм«г>. (3)
=0
в которой постоянная С не зависит от и и /*, і = 0,1,...,п. Здесь
о 1,0
Wp {Qt) — пополнение гладких функций, равных нулю в окрестности боковой поверхности цилиндра Qt по норме Wp1,0(Qt) — Соболевского пространства функций, Lp-суммируемых в QT вместе с обобщенными производными первого порядка по пространственным переменным. Для оператора теплопроводности ставится задача найти необходимые и достаточные условия на границу 0D, при которых задача Дирихле однозначно Lp-разрешима в указанном выше смысле.
Аналогичные вопросы рассматриваются и для разрешимости зада-
о1.0 о 1,0
чи Дирихле в пространстве Vp {Qt) — подпространстве Wp {Qt), состоящем из /^(^-непрерывных на [0, Т) функций с нулевым следом на нижнем основании цилиндра Qt- Здесь предполагается, что р ^ 2, поскольку для 1 < р < 2 нами установлено, что задача Дирихле может
14Kozlov, V.A. On the asymptotics of the Green function and of the Poisson kernels for parabolic initial boundary value problem in a cone / V.A. Kozlov. — I: Zeitschr. Anal. Anw., 1989 (8). - P. 131-151. ; II: ibid., 1991 (9). - P. 27-42.
15Solonnikov, V.A. Lp-estimates for solutions of the heat equation in a dihedral angle I V.A. Solonnikov /I Rendiconti di Matematica. — 2001. — Serie VII. Roma. — V. 21. - P. 1-15.
оказаться неразрешимой даже в том случае, когда оператор совпадает с оператором теплопроводности, а область D имеет сколь угодно гладкую границу.
Методы исследования. В диссертации используются методы теории дифференциальных уравнений с частными производными, теории функций, теории потенциала.
Научная новизна. В диссертации выделен новый класс цилиндрических областей, в которых задача Дирихле однозначно разрешима в
о 1,0 о 1,0
пространствах Wp (Qt) и Vp (Qt)- Получены следующие новые результаты.
1. В предположении, что основание D цилиндра QT является выпуклой
областью, а коэффициенты уравнения (1) непрерывны в замыкании Qt,
доказана однозначная разрешимость задачи Дирихле в пространстве
о 1,0
Wp (Qt) Для всех 1 < р < со вместе с соответствующей оценкой (3). Аналогичный результат о разрешимости задачи Дирихле получен в про-
ol,0
странстве Vp {Qt)- Здесь однозначная разрешимость вместе с соответствующей оценкой установлена при р > 2. Требование непрерывности коэффициентов, выпуклости области и предположение р ^ 2 существенны.
2. Получено необходимое и достаточное условие на границу 6D области
D, обеспечивающее однозначную разрешимость задачи Дирихле вместе
с соответствующей Lp-оценкой для оператора теплопроводности в про-
о 1,0 о 1,0
странстве \VP (Qt) (при всех р > 1) и в пространстве Vp (Qt) (при всех р ^ 2). Показано, что при выполнении данного условия на dD указанная выше Lp-разрешимость задачи Дирихле имеет место и для уравнения (1) с непрерывными в замыкании Qt коэффициентами.
3. Для уравнения (1) с непрерывными в замыкании Qt коэффициента
ми получено достаточное условие на 3D, гарантирующее однозначную
разрешимость задачи Дирихле вместе с соответствующей Lp-оценкой в
о 1.0 о 1,0
пространствах W (Qt) и Vp (Qt) при заданных значениях р > 1 и р ^ 2 соответственно.
Теоретическая и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты и развитые в ней методы носят теоретический характер и могут быть использованы в теории параболических уравнений второго порядка.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2006), на международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим
системам (Суздаль, 2008), обсуждались на научном семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством профессора В.В. Жикова во Владимирском государственном гуманитарном университете, на семинаре во Владимирском государственном университете, на семинаре по дифференциальным уравнениям и их приложениям в Белгородском государственном университете.
Публикации автора. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1—4]. Из них [4] опубликована в издании, рекомендованном ВАК для публикации основных результатов кандидатской диссертации.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, содержащих 6 параграфов, и списка литературы из 31 наименования, включая работы автора. Объем диссертации составляет 78 страниц машинописного текста.
