Содержание к диссертации
Введение
1 Вспомогательные сведения 43
1.1 Теория ньютоновых потенциалов и эллиптические уравнения 43
1.2 Эллиптические по Петровскому системы уравнения в частных производных 58
2 Задача Дирихле для эллиптических по Петровскому систем уравнений второго порядка с симметричными главными частями 65
2.1 Общее представление решения систем с симметричной главной части без младших членов 65
2.2 Задача Дирихле для модельной системы с постоянными коэффициентами 70
2.3 Задача Дирихле для модельной системы с переменными коэффициентами 73
2.4 Задача Дирихле для системы (2.0.1) с постоянными коэффициентами 79
2.5 Задача Дирихле для общей системы (2.0.1) с переменными коэффициентами 86
3 Задача Дирихле для несильно эллиптических по Петровскому систем уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами 97
3.1 Общие представления решений модельных систем 99
3.2 Решение задачи Дирихле для модельной системы (3.0.1) в полупространстве 107
3.3 Решение задачи Дирихле для системы (3.0.1) в ограниченной области 123
3.4 Решение задачи Дирихле для системы (3.1.1) в шаре 138
3.5 Задача Дирихле для системы (3.0.3) 145
3.6 Задача Дирихле для системы (3.0,4) 156
4 Задача Дирихле для несильно эллиптических по Петровскому систем уравнений второго порядка с переменными коэффициентами 171
4.1 Задача Дирихле для системы (4.0.1) в произвольной ограниченной области 173
4.2 Задача Дирихле для системы (4.0.2) 188
4.3 Задача Дирихле для системы (4.0.3) 201
Заключение
- Эллиптические по Петровскому системы уравнения в частных производных
- Общее представление решения систем с симметричной главной части без младших членов
- Решение задачи Дирихле для модельной системы (3.0.1) в полупространстве
- Задача Дирихле для системы (4.0.1) в произвольной ограниченной области
Введение к работе
В 1937 году И.Г.Петровский [30] выделил широкий класс систем уравнений в частных производных, называемых теперь эллиптическими по Петровскому. Решения таких систем обладают многими свойствами, характерными для решений одного эллиптического уравнения. Например, все регулярные решения таких систем аналитичны. Однако свойства разрешимости классических граничных задач для эллиптических по Петровскому систем существенно отличаются от случая одного уравнения. В 1948 году А.В.Бицадзе [4] построил пример эллиптической по Петровскому системы двух уравнений второго порядка, для которого нарушалась нетеровость задачи Дирихле. В связи с системой Бицадзе для эллиптических по Петровскому систем возник вопрос классификации граничных задач по характеру их разрешимости. Классические граничные задачи для эллиптических по Петровскому систем не всегда нетеро-вы, поэтому класс таких систем, для которых задача Дирихле корректна, должен характеризоваться некоторыми дополнительными ограничениями. Вскоре такие дополнительные ограничения нашел М.И.Вишик [10]. Он усилил условия эллиптичности по Петровскому требованием сильной эллиптичности, то есть либо положительной, либо отрицательной определенностью симметричной составляющей характеристической матрицы системы. Сильно эллиптические системы по характеру разрешимости классических граничных задач ведут себя точно так же, как одно эллиптическое уравнение, то есть эти задачи всегда.
Задача гомотопической классификации эллиптических по Петровскому систем была сформулирована в совместном докладе И.М.Гельфанда, И.Г.Петровского, Г.Е.Шилова на III Математическом съезде в 1956 г. [12], и там же была подчеркнута важность исследований несильно эллиптических систем.
Исследованиям краевых задач для несильно эллиптических систем посвящены работы известных ученых А.В.Бицадзе [3]- [4], А.И.Янушаускаса [51]- [62], А.Д.Джураева [16], Ю.Т.Антохипа [1], М.З.Соломяка [40], і
А.П.Солдатова [39], Л.П.Волевича [11], Б.В.Вайнберга , В.В.Грушина [6], В.И.Шевченко [49], В.Н.Черномаза [50], В.С.Виноградова [9], Р.С.Сакса [33]- [35], Е.Н.Кузьмина [18], В.Феллера [46], П.С.Фролова [47], Н.Е.Товмасяна [43], [44], а также работы их учеников.
Система Бицадзе тесно связана с системой Коши-Римана. Изучение эллиптических систем с двумя независимыми переменными привело к созданию теорий обобщенных аналитических функций [8]. К настоящему времени эллиптические системы первого порядка с двумя независимыми переменными исследованы достаточно хорошо. Также хорошо разработана теория эллиптических по Петровскому систем уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными [3], а для систем с двумя независимыми переменными любого порядка решена задача гомотопической классификации [47]. В общем случае для граничных задач не наблюдается никаких новых явлений по сравнению с системой Бицадзе, содержащей к тому же младшие члены. Для эллиптических систем со многими независимыми переменными характер разрешимости классических граничных задач существенно зависит от структуры системы, размерности пространства, структуры рассматриваемой области. Корректность же классических граничных задач для общих эллиптических по Петровскому систем, даже с постоянными коэффициентами, исследована пока еще мало, также далека от полного решения и задача гомотопической классификации таких систем по характеру их разрешимости. Эти обстоятельства указывают на актуальность исследования вопроса о разрешимости классических граничных задач для многомерных (п 2) несильно эллиптических систем.
Эллиптические по Петровскому систем уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами и с двумя независимыми переменными А.В.Бицадзе разделил на два класса - слабосвязанные и сильносвязанные системы [3]. Для слабосвязанных систем задача Дирихле всегда нетерова, а для сильносвязанньгх систем нетеровость задачи Дирихле и других классических граничных задач нарушается. Определение слабой и сильной связанности системы дается через представления ее решений при помощи аналитических функций комплексного переменного. Поэтому эти определения не обобщаются на многомерные случаи. Однако из определения силыюсвязаннои эллиптической системы следует, что для такой системы всегда существует некая полуплоскость, в которой нарушается нетеровость задачи Дирихле. Это свойство сильносвязанных систем можно положить в основу обобщения понятия сильной связанности системы
на многомерный случай.
По аналогии с системой Бицадзе были построены примеры эллиптических по Петровскому систем уравнений второго порядка с тремя и четырьмя независимыми переменными [56], [7]. Также построен многомерный аналог системы Бицадзе в пространстве любой размерности [45]. Эти системы получены при помощи системы Мойсила-Теодореско и систем, удовлетворяющих компонентам голоморфных кватернионов. Все построенные таким образом эллиптические системы второго порядка являются сильносвязанными, то есть для них всегда можно найти полупространство, в котором нарушается нетеровость задачи Дирихле.
В работах Н.Е.Товмасяна [43], [44], Р.С.Сакса [33]-[35], А.И.Янушаускаса [51J- [62] при исследовании задачи Дирихле для несильно эллиптических систем было обнаружено три новых эффекта, которые не наблюдаются для сильно эллиптических систем:
1) однородная задача Дирихле может иметь бесконечное множество линейно независимых решений, либо для разрешимости неоднородной задачи необходимо накладывать на данные задачи бесконечное множество условий типа ортогональности;
2) на характер разрешимости задачи Дирихле влияют младшие члены;
3) для существования решений задачи Дирихле необходимо требовать повышенную гладкость данных задачи.
Эти новые явления в теории задачи Дирихле привели к тому, что стали рассматриваться новые, более широкие классы систем, так называемые равномерно системы [С] п слабо эллиптические системы [35] псевдодиффереициальных уравнений. Если две системы гомотопны друг другу и одна из них сильно связана [56], то вторая не обязана быть сильно связанной. Вопрос о том, сохраняется ли эффект потери гладкости решения задачи Дирихле при гомотопии многомерных эллиптических систем, пока не изучен.
В случае эллиптических по Петровскому многомерных систем с переменными коэффициентами гомотопический класс таких систем зависит от точки рассматриваемой области, а на границе перехода от одного гомотопического класса к другой обычно такие системы вырождаются. Представляет большой интерес определение области фредг ольмовости граничных задач для таких систем, когда нарушается условия сильной эллиптичности.
Эти результаты обобщаются на случай более общей системы, когда вещественный параметр Л заменен достаточно гладкой функцией Х(х).
Все известные до настоящего времени и полученные в диссертации результаты относительно системы с симметричной главной частью обобщаются на случаи различных типов многомерных несильно эллиптических систем уравнений второго порядка с несимметричными главными частями.
Изучение условий корректности классической задачи Дирихле для многомерных несильно эллиптических по Петровскому систем уравнений второго порядка с симметричными и несимметричными главными частями в ограниченных и неограниченных областях, проверка влияния младших членов на разрешимость задачи и эффект потери гладкости при гомото-пии.
Научная новизна результатов. Все результаты, изложенные в диссертации, являются новыми. Рассмотренные в работе эллиптические системы уравнения второго порядка являются обобщением ранее рассмотренных систем.
Построено общее представление решения системы с симметричной главной частью в произвольной ограниченной области, а для систем с несимметричными главными частями построены общие представления решений в полупространстве, в шаре и в произвольной ограниченной области.
Для систем с несимметричными главными частями доказана однозначная разрешимость задачи Дирихле в полупространстве.
-Доказана фредгольмовость задачи Дирихле для общих систем с постоянными коэффициентами в областях достаточно малой размерности.
-Для общих систем с переменными коэффициентами найдена область фредгольмовости задачи Дирихле.
Научная и практическая значимость. Исследования, содержащиеся в диссертации, являются теоретическими. Их можно использовать при гомотопической классификации многомерных общих эллиптических систем. Рассматриваемые в диссертации системы встречаются в теории упругости и поэтому результаты диссертации могут найти применение и в этой области.
Методы исследования в основном базируются на классических методах интегральных уравнений, методах функции Грина и функции Леви (метод параметрикса).
Апробация работы. Результаты работы обсуждались и докладывались на семинарах Института математики Академии наук Республики Таджикистан, на семинарах кафедры высшей математики, кафедры теория функций и математического анализа ТНУ, на семинаре Института математики СО РАН "Избранные вопросы математического анализа" (рук. д. ф.-м. наук А.И Кожапов), на международной конференции "33гч; Iranian Mathematics conference" (Мешхад, Иран, 2002), на 7th International Pure
Mathematics conference (2006, Islamabad, Pakistan), на международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной памяти И.Г.Петровского (Москва, 2007), на международной конференции "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения", посвященной 100-летию со дня рождения академика И.Н. Векуа (Новосибирск, 2007), на IV международной конференции по математическому моделированию (Якутск. 2004). на международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения", посвященной 60-летию Т. Собирова ( Душанбе, 2002), на научной конференции по дифференциальным и интегральным уравнениям с сингулярными коэффициентами (Душанбе, 2003), на международной научной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения и смежные вопросы анализа", (Душанбе,ТГНУ, 2005), на научной конференции "Математика и информационные технологии", посвященной 15-летию независимости РТ (Душанбе, 2006), на международной научной конференции "Актуальные вопросы математического анализа,. дифференциальных уравнений и информатики", посвященной 70-летию академика АН РТ З.Д.Усманова (Душанбе, 2007), на республиканской научной конференции "Комплексный анализ и неклассические системы дифференциальных уравнений", посвященная То-летпю со дня рождения академика А.Д.Джураепа (Душанбе4. 2007).
Публикации. По теме диссертации опубликованы 22 работы.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Работа изложена па 223 страницах машинописного текста. Библиография насчитывает 84 наименований. В каждой главе введена сквозная нумерация параграфов, формул и теорем.
Эллиптические по Петровскому системы уравнения в частных производных
Эти новые явления в теории задачи Дирихле привели к тому, что стали рассматриваться новые, более широкие классы систем, так называемые равномерно пеэллпптические системы [С] п слабо эллиптические системы [35] псевдодиффереициальных уравнений. Если две системы гомотопны друг другу и одна из них сильно связана [56], то вторая не обязана быть сильно связанной. Вопрос о том, сохраняется ли эффект потери гладкости решения задачи Дирихле при гомотопии многомерных эллиптических систем, пока не изучен.
В случае эллиптических по Петровскому многомерных систем с переменными коэффициентами гомотопический класс таких систем зависит от точки рассматриваемой области, а на границе перехода от одного гомотопического класса к другой обычно такие системы вырождаются. Представляет большой интерес определение области фредг ольмовости граничных задач для таких систем, когда нарушается условия сильной эллиптичности.
В данной работе в произвольной ограниченной области с достаточно гладкой границей доказана фредгольмовость задачи Дирихле для эллиптической системы с симметричной главной частью вида относительно неизвестных функций щ,и2, ,un, где Л - вещественный параметр, А ф 1, Хф2, Л - оператор Лапласа, L/y - дифференциальные операторы первого порядка, a fj(x) - заданные функции. Доказывается, что если главная часть системы (0.0.1) совпадает с многомерным аналогом системы А.В.Бицадзе [56] (Л = 2), или когда система вырождается (Л = 1), нарушается фреДгольмовость рассматриваемой задачи. Эти результаты обобщаются на случай более общей системы, когда вещественный параметр Л заменен достаточно гладкой функцией Х(х). Все известные до настоящего времени и полученные в диссертации результаты относительно системы с симметричной главной частью обобщаются на случаи различных типов многомерных несильно эллиптических систем уравнений второго порядка с несимметричными главными частями. Обозначим п-мерное вещественное евклидовое пространство через Еп, а его точки через x,y,z и т.д. Евклидово расстояние между точками х,у обозначим через г(х,у). Пусть D - ограниченная область в евклидовом пространстве Еп с границей S. Относительно S в дальнейшем предположим, что она является поверхностью Ляпунова. Определение 1. Функции u\,U2,- - ,ип называются регулярным, решением системы (0.0.1) в ограниченной области D, если они принадлежат классу C2(D) П Cl{D) и удовлетворяют, в эт.ой област.и сист.еме (0.0.1). Определение 2. Функции ТІЇ,гіг, )un называются регулярным решением системы (0.0.1) в неограниченной области D , если они являются регулярным, решением системы (0.0.1) в любой ограниченной подобласть области D и стремятся к нулю на бесконечности. В диссертации исследуется задача Дирихле в следующей постановке. Задача Дирихле. Найти регулярные в области D решения щ, щ,и системы (0.0.1), которые удовлетворяют на границе S области D краевым условиям щ\5=Яз(х)і J V " (0.0.2) где gj(x) - заданные в S функции класса Cl(S). Цель и задачи исследования (. Изучение условий корректности классической задачи Дирихле для многомерных несильно эллиптических по Петровскому систем уравнений второго порядка с симметричными и несимметричными главными частями в ограниченных и неограниченных областях, проверка влияния младших членов на разрешимость задачи и эффект потери гладкости при гомото-пии. Научная новизна результатов. Все результаты, изложенные в диссертации, являются новыми. Рассмотренные в работе эллиптические системы уравнения второго порядка являются обобщением ранее рассмотренных систем. -Построено общее представление решения системы с симметричной главной частью в произвольной ограниченной области, а для систем с несимметричными главными частями построены общие представления решений в полупространстве, в шаре и в произвольной ограниченной области. Для систем с несимметричными главными частями доказана однозначная разрешимость задачи Дирихле в полупространстве. -Доказана фредгольмовость задачи Дирихле для общих систем с постоянными коэффициентами в областях достаточно малой размерности. -Для общих систем с переменными коэффициентами найдена область фредгольмовости задачи Дирихле. Научная и практическая значимость. Исследования, содержащиеся в диссертации, являются теоретическими. Их можно использовать при гомотопической классификации многомерных общих эллиптических систем. Рассматриваемые в диссертации системы встречаются в теории упругости и поэтому результаты диссертации могут найти применение и в этой области. Методы исследования в основном базируются на классических методах интегральных уравнений, методах функции Грина и функции Леви (метод параметрикса). Апробация работы. Результаты работы обсуждались и докладывались на семинарах Института математики Академии наук Республики Таджикистан, на семинарах кафедры высшей математики, кафедры теория функций и математического анализа ТНУ, на семинаре Института математики СО РАН "Избранные вопросы математического анализа" (рук. д. ф.-м. наук А.И Кожапов), на международной конференции "33гч; Iranian Mathematics conference" (Мешхад, Иран, 2002), на 7th International Pure
Mathematics conference (2006, Islamabad, Pakistan), на международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной памяти И.Г.Петровского (Москва, 2007), на международной конференции "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения", посвященной 100-летию со дня рождения академика И.Н. Векуа (Новосибирск, 2007), на IV международной конференции по математическому моделированию (Якутск. 2004). на международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения", посвященной 60-летию Т. Собирова ( Душанбе, 2002), на научной конференции по дифференциальным и интегральным уравнениям с сингулярными коэффициентами (Душанбе, 2003), на международной научной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения и смежные вопросы анализа", (Душанбе,ТГНУ, 2005), на научной конференции "Математика и информационные технологии", посвященной 15-летию независимости РТ (Душанбе, 2006), на международной научной конференции "Актуальные вопросы математического анализа,. дифференциальных уравнений и информатики", посвященной 70-летию академика АН РТ З.Д.Усманова (Душанбе, 2007), на республиканской научной конференции "Комплексный анализ и неклассические системы дифференциальных уравнений", посвященная То-летпю со дня рождения академика А.Д.Джураепа (Душанбе4. 2007). Публикации. По теме диссертации опубликованы 22 работы.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Работа изложена па 223 страницах машинописного текста. Библиография насчитывает 84 наименований. В каждой главе введена сквозная нумерация параграфов, формул и теорем.
Общее представление решения систем с симметричной главной части без младших членов
Помимо потенциала объемной массы рассматриваются потенциалы масс, распределенных на многообразиях низших размерностей, например, на поверхностях [19]: ,: Интеграл в формуле (1.1.3) называется потенциалом простого слоя с плотностью р{у), а интеграл в формуле (1.1.4), где д/дуп - дифференцирование по направлению положительной нормали к поверхности S относительно координат точки у, называется потенциалом двойного слоя с плотностью о (у) на поверхности S. Потенциалы (1.1.3) и (1.1.4) вне поверхности S являются регулярными гармоническими функциями и являются непрерывными функциями точки поверхности S, если поверхность S - поверхность Ляпунова и р(у), а (у) - непрерывные. Пусть точка XQ лежит на S и поверхность S является поверхностью Ляпунова. Плотности потенциалов простого и двойного слоев будем считать непрерывными по Гельдеру функциями. Теорема 1.1.3. [56] Потенциал простого слоя с непрерывной плотностью имеет правильные нормальные производные как внутри, так и вне S. Отсюда мооїсно переписать представляет собой непрерывную функцию XQ па 3. Этот интеграл называется прямым значением нормальной производной потенциала простого слоя, на S. Теорема 1.1.4. [56] При непрерывной плотности р{хо) функция V(XQ) удовлетворяет условию Гельдера где В и Р - положительные постоянные, причем, 0 (3 1. Теорема 1.1.5. [41] Если плотность р{х) удовлетворяет условию Гельдера, то производная потенциала простого слоя по любому фиксированному направлению непрерывна вплоть до S как изнутри, так и извне. Производная по какому - либо касательному направлению в точке XQ поверхности S меняется непрерывно при переходе точкой х поверхности в тОЧКе XQ. Теорема 1.1.6. [56] При переходе поверхность S значение потенциала двойного слоя, в тючке х$ имеет, скачок описываемый формулами где w+ - предел потенциала двойного слоя w при стремлении точки х к точке XQ с полооїсительной стороны поверхности S, a w - аналогичный предел, при стремлении х к XQ с отрицательной стороны поверхности S. Нормальная производная потенциала простого слоя при переходе через точку XQ имеет скачок dv dv 5 - = - где д/дп+ - дифференцирование по направлению положительной нормали к поверхности 5, а д/дп - дифференцированно по направлению отрицательной нормали. В теории гармонических функций важную роль играет функция Грина области, при помощи которой решение задачи Дирихле в ограниченных и неограниченных областях можно записать в явном виде. Определение. [38] Функцией Грина оператора Лапласа для области D будем, называть специальное фундаментальное решение G(x, у) уравнения Лапласа, зависящее от параметрической точки у — (у\,у2, ,уп), имеющее вид G(xty) = [(га - 2]Шп]-1[г2-п(хіУ)+д(хіУ)] и равное нулю, когда точка х — (х\,Х2,-— ,хп) лежит, на поверхности S. Слагаемое д{х,у) непрерывно в замкнутой области D U S. Ах (ж, у) = Ауд(х, у) = 0 в D. При помощи функции Грина решение задачи Дирихле записывается формулой [41] и(х) = - f f(y) -dyS. (1.1.5) J оуп S Формула (1.1.5) при предположении существования функция Грина получается как следствие формулы Грина, а для применимости этой последней функция / должна удовлетворят некоторым условиям гладкости. Однако, нетрудно проверить непосредственно, что формула (1.1.5) дает решение задачи Дирихле при любой непрерывной функции. Для произвольной области трудно построить функцию Грина, и задача ее построения ничуть не проще исходной задачи Дирихле. Но в некоторых важных частных случаях эту функцию можно выписать явно. Так функция Грина шара UR : {rr2 R2} имеет вид а для полупространства E+ : {xn 0} (1.1.7) В случаях произвольных областях построение функции Грина сводится к нахождению ее регулярной части д(х,у). Гармоническая,внутри D функция д{х, у) должна па S иметь предельное значение Таким образом, построение функции Грина сводится к решению задачи Дирихле для уравнения Лапласа, причем существование функции Грина можно считать установленным, если поверхность S - поверхность Ляпунова. Для внешней области к определению функции Грина добавляется условие ее регулярности на бесконечности [38]. Приведем некоторые важные свойства функции Грина [38]. Функция Грина G(x,y) обращается в нуль на границе S области D, а в достаточно малой окрестности точки х она положительна, так как г2 п(х,у) в этой точке обращается в бесконечности. Точка х называется полюсом функции Грина. Если точки х и у не совпадают G{x,y) есть непрерывная функция точек жиу внутри D. В силу принципа максимума получаем, что G(x,y) 0 всюду в области D. Функция д{х,у) имеет на S отрицательное значение, т.е. д(х, у) 0 в замкнутой области D [J S и следовательно 0 G(x y) г2 п{х,у) внутри D. Из того же принципа максимума вытекает, что решение задачи Дирихле единственно, поэтому, положив в (1.1.5) / = 1, имеем и = 1, следовательно, Функция G(x,y) является симметричной функцией относительно переменных х и у, т.е. Для производных первого порядка функции Грина имеет место оценка [38J Основные факты, касавшиеся гармонических функций, переносятся на более общие эллиптические уравнения. Рассмотрим оператор коэффициенты ( Є C2(D), bk Є Cl(D), с Є C(D). Оператор L называется эллиптическим [56] в точке яг, если квадратичная форма х(р) — ]С аік{х)РіРк от переменных Р\,Р2- -" -,Рп -{щбо определена по і,к—\ ложителыю либо отрицательно. Если эта форма определенная и имеет один и тот же знак во всех точках области D, то оператор L называется эллиптическим в данной области. Дальше везде будем нредиолаї ать, что форма х{р) положительно определена. Это означает, что ее дискриминант Д(а:) положителен всюду в области D. Пусть f(x) -заданная непрерывная в области D функция, a L эллиптический оператор. Уравнение с частными производными
Решение задачи Дирихле для модельной системы (3.0.1) в полупространстве
Системе (1.2.1), рассматриваемой в области D с гладкой границей S, поставим в соответствие полиномиальную матрицу A(x,t;), = (ь г ) п) Є Еп, которая получается из матрицы A(x,D) = (Aij(x,D))m заменой символа D на . Многочлен называется характеристическим многочленов системы (1.2.1). Этим многочленом определяются многие свойства системы (1.2.1) в так называемом невырожденном случае.
Пусть Т = (іі, І2, і tn) - некоторая перестановка из чисел (1,2, , n). Положим R(T) = ацх + 0 -Ь + anin и обозначим через R максимум чисел R(T) по всем перестановкам. Систему (1.2.1) назовем невырожденной, если число R совпадает с порядком многочлена (1.2.2). Число R называется порядком системы (1.2.1). Определение 1. Система (1.2.1) называется эллиптической в области D, если она невырождена и х(жіО 0 ( 0, естественно, х Є D). (1.2.3) Известно, что всякую невырожденную полиномиальную матрицу А() можно представить в виде суммы двух полиномиальных матриц: где отличные от нуля элементы матрицы А и detirA{E,) irdetA( ). Матрицы ті А называется главной частью матрицы А. Таким образом, эллиптичность системы определяется только ее главной частью. Ниже приводится классификация эллиптических систем в зависимости от структуры главной части. Определение 2. Эллиптическая система называется однородной, если ТТА(СЕ,) = ckirA(S,), где с - произвольное вещественное число, k целое число. В однородной системе существует максимальный порядок дифференци рования к, и старшая часть получается отбрасыванием в матрице системы всех членов, порядок которых меньше к. В большинстве работ по краевым задачам для эллиптических систем рассматриваются только однородные системы. Наиболее простым примером однородной эллиптической систе мы является системы Коши - Римана. Определение 3. Эллиптическая система называется эллиптической по Петровскому если 7гЛ(с) = сктгА()Т(с), где Т(с) - диагональная матрица порядка т, в которой по диагонали стоят ctl,ct2, , ct,n . В системах И.Г. Петровского старшая часть выделяется очень просто. Легко видеть, что число tj (j = l,m) есть максимальный порядок дифференцирования неизвестной функции Uj. При построении главной части матрицы А в j-u столбце отбрасываются все те члены, порядок которых меньше tj (j — l,m). Определение 4. Эллиптическая система будет называться эллиптической по Дуглису - Ниренбергу, если 7гА(с) = S(c)irA(t;)T(c), где S(c) = \\SijC% т(с) Ч ус . Заметим, что системы И.Г. Петровского являются частным случаем систем Дуглиса - Ниренберга (у них 5(c) = Е, где Е - тождественная матрица). Определение 5. Система (L2.1) называется собственно (правильно) эллиптической по Петровскому, если многочлен (1.2.2) имеет четный порядок и для любых вещественных единичных и ортогональных друг другу векторов и rj уравнение x{xi + zrl) — О (относительно z) имеет одинаковое число г корней с полооюительным,и и отрицательными мнимыми частями. Известно, что собственная эллиптичность является дополнительным требованием только при п — 2; при п 2 это условие следует из условия эллиптичности. Рассмотрим систему (1.2.1) в области D с гладкой границей S. В каждой точке х Є 5 зададим г краевых условийі-Оператор Bkj(x ,D) будет линейным дифференциальным оператором порядка Зафиксируем произвольную точку Q границы S. Выберем систему координат так, чтобы точка Q совпала с началом координат, а ось хп была направлена по внутренней нормали к границе. Свяжем с системой (1.2.1), (1.2.4) следующую задачу для уравнений с постоянными коэффициентами в полупространстве хп 0: и 7гА(0, JD), 7гВ(0, D) - главные части матрицы А \\ В, соответственно. После преобразования Фурье пб переменным х мы получим задачу на полупрямой для системы обыкновенных дифференциальных уравнений Здесь t — хп, v(t) — u(,t), h - числовой столбец. Обозначим через Л4+ пространство решений системы (1.2.5), стремящихся к нулю при t -— +00. Если выполнено условия правильной эллиптичности, то dimA4+ = г. Следующее условие называется условием коэрцитивности краевых задач: Краевая задача (1.2.5), (1.2.6) однозначна разрешима в классе Л4+. Пусть а і(х ) - элементы матрицы irA(x,) . Если для любого ве щественного вектора и комплексного т] не равных одновременно нулю, выполняется неравенство то система (1.2.1) называется сильно эллиптической по Петровскому. В работе [10] сильная эллиптичность понимается несколько иначе. Вместо условия (1.2.7) требуется, чтобы симметричная составляющая матрицы ттА(х,!;) была одинаково определенной (положительно либо отрицательно) во всех точках области D. Многие задачи математической физики сводятся к однородным эллиптическим системам уравнений второго порядка (теория упругости, теория электромагнитных воли и т.д.). Поэтому представляет большой интерес изучение свойств таких систем. Так как настоящая работа посвящена исследованию характера разрешимости задачи Дирихле для эллиптических по Петровскому систем, не удовлетворяющих условию сильной эллиптичности, в дальнейшем, в этом параграфе приведем некоторые известные результаты относящиеся к этим системам. Первым примером эллиптических систем уравнений с частными производными для которых нарушается нетеровость задачи Дирихле была система А.В. Бицадзе, которая в комплексной записи имеет вид [4] В дальнейшем примеры типа А.В. Бицадзе для эллиптических систем с п 2 переменными в единичном шаре строились Е.Н. Кузьминым [18], Ю.Т. Антохиным [1] и B.C. Виноградовым [9]. Во всех этих при мерах число уравнений было четным. Б.В. Боярский показал, что для эллиптических систем двух уравнений в случае п 2 задача Дирих ле всегда нетерова. В связи с исследованием краевых задач трехмерной теории упругости С.Г. Михлии [25] указал на аналогичный пример в полу пространстве. В дальнейшем были построены различные аналоги системы А.В. Бицадзе в трехмерных и четырехмерных пространствах, для которых задача Дирихле не нетерова [56]. Были построены многомерные анало ги системы А.В. Бицадзе в произвольной п мерной пространстве [56], [7], [29], [45]. В работах Сафарова Д.Х. [36], [37] был построен многомер ный неклассический аналог системы А.В. Бицадзе для которой, задача Дирихле однозначно разрешима и допускает эллиптическую регуляриза цию. В дальнейшем начали исследовать системы, зависящие от некоторых вещественных параметров, которые при некоторых значениях этих пара метров совпадают с многомерными аналогами системы А,В, Бицадзе. По лученные в этом направлении результаты в основном принадлежат А.И. Янушаускасу и его учеников. Нцже в этом параграфе приведем основные результаты полученные ими.
Задача Дирихле для системы (4.0.1) в произвольной ограниченной области
В этой главе рассматриваются не сильно эллиптические по Петровскому системы с не симметричными главными частями и распространяются к этим системам все результаты полученные в гл.II для систем с постоянными коэффициентами. Для соответствующих однородных систем без младших членов находятся общие представления решений в полупространстве, в шаре и в произвольной ограниченной области. При помощи этих представлений решений устанавливается разрешимость задачи Дирихле для рассматриваемых систем в вышеназванных областях. Рассматриваются системы вида -линейные дифференциальные операторы первого порядка; -линейный эллиптический дифференциальный оператор второго порядка, -линейные дифференциальные операторы первого порядка (А = const, сць aki = const); L/Cj - те же самые операторы, что в главе П. В работе [62] рассматривалась система по своей структуре близки к модельным системам (3.0.1) - (3.0.4). В этой работе задача Дирихле с помощью функции Грина области для уравнения Lu = 0 в случае дважды непрерывно дифференцируемых граничных данных в областях с непрерывной главной кривизной сводится к многомерным сингулярным интегральным уравнениям. Метод, применяемый в этой главе позволяет привести задачу Дирихле для вышеназванных систем к системам интегральных уравнений Фредгольма и в зависимости от коэффициентов системы определить условия фредгольмовости поставленной задачи в произвольной ограниченной области с ляпуновской границей. Характеристический определитель систем (3.0.1) и (3.0.2) имеет вид: Из (3.0.5) видно, что сг() при определенности квадратичной формы п !2+S &Аг(), в зависимости от п, является либо положительно опреде г=1 ленной, либо отрицательно определенной. Следовательно, системы (3.0.1) и (3.0.2) в этом случае являются эллиптическими по Петровскому. Характеристический определитель характеристической матрицы этих систем равен det \\A-fiE = (-І)""1 МЄ2 + ЕШО - И (2 + /ІГ1. (3.0.6) Отсюда видно, что собственные числа характеристической матрицы системы имеют вид: п Mi -lSl +Z A te)« Д; = -ІП 3 = hn. (3.0.7) г=1 Если квадратичная форма — 2 + Х & г() отрицательно определена, то все собственные числа (ij, j 1,п имеют одинаковый отрицательный знак и поэтому характеристическая матрица систем (3.0.1) и (3.0.2) является определенной. Следовательно, в этом случае система является сильно эллиптической. Если же —12 + X)& (0 положител.ьн.0 определена, то г=1 Mi-будет иметь знак плюс, а остальные /z/, j = 2,п отрицательный знак. В этом случае характеристическая матрица систем (3.0.1) и (3.0.2) не является положительно или отрицательно определенной. Следовательно, в этом случае системы (3.0.1) и (3.0.2) могут не быть сильно эллиптическим. Характеристический определитель системы (3.0.3) имеет вид: п сг(0 = (-i)n-x(A - 1)№)]я, ЛО = Е a t&. (3-0.8) i,k=l В силу эллиптичности оператора L квадратичная форма J() является положительно определенной. Следовательно, в зависимости от п характеристический определитель (3.0.8) при Л ф 1 является либо положительно определенной, либо отрицательно определенной. Отсюда следует, что (3.0.3) при Л ф 1 является эллиптической по Петровскому системой. При А = 1 характеристический определитель т() = 0 и система вырождается. Для получения общего представления решения вышеназванной системы в левой части j-ro уравнение системы будем применять дифференциальный оператор первого порядка п я После чего, складывая полученные результаты, будем иметь -д фъы) +Ё тЛ; (і м) = Пусть Xfk = — Afcj, при к Ф г, и кроме того Ли = Л22 = = Апп — А. Тогда j = l \ i=l J j,k=l К J \г=1 / \г=1 Отсюда (А-1)А( А ) =0. Если А 1, то из уравнения системы находим: A ( 0 : X) Ми,-) j = A (Auj) = A2Uj = 0, і = 1 , (3.1.2) т.е. каждая компонента любого решения модельной системы (3.1.1) является бигармонической функцией. Аналогичным свойством обладают решения модельной системы (3.0.2). Используя этот факт, Янушаускасом А.И. [56] и Васильевой Г.В. [7] в областях специального вида (например в полупространстве и в шаре) для системы вида (2.1.1) ( см. гл. II) было построено общее представление решения, с помощью которого была исследована задача Дирихле. Аналогичные формулы общего представления решения имеют место и для системы (3.1.1). Действительно, пусть D = Е\ : {хп 0}. Известно, что любое регулярное в полупространстве решение бигармонического уравнения А2/ = 0 можно представить формулой [32]
