Краевые задачи для системы уравнений с частотными производными дробного порядка Мамчуев Мурат Османович

Содержание к диссертации

Введение

1 Краевые задачи в прямоугольной области 18

1. Общее представление решения 18

2. Построение матрицы Грина первой краевой задачи . 21

3. Теорема существования и единственности решения первой краевой задачи 39

4. Смешанная задача 44

5. Смешанная задача для системы общего вида 50

2 Краевые задачи в неограниченных областях 53

1. Задача Коши в нелокальной постановке 53

2. Асимптотическое поведение фундаментальной матрицы решений 63

3. Краевая задача на полуоси 65

3 Применение к краевым задачам для уравнения с оператором дробной диффузии в главной части 71

1. Задача Коши в нелокальной постановке 71

2. Общее представление решения 75

3. Краевая задача в полуполосе 79

4. Функции Грина основных краевых задач 84

Заключение 88

Список литературы 90

• Построение матрицы Грина первой краевой задачи
• Смешанная задача для системы общего вида
• Асимптотическое поведение фундаментальной матрицы решений
• Краевая задача в полуполосе

Введение к работе

Оператор дробного интегродифференцирования по Риману и Лиу-виллю и различные его обобщения играют существенную роль в теории краевых задач со смещением для уравнений в частных производных, меняющих свой тип в замыкании области их определения. Основополагающие результаты в этом направлении получены в известных работах А.В. Бицадзе [4], Т.Д. Джураева [5], В.И. Жегалова [6] - [8], Е.И. Моисеева [42], A.M. Нахушева [43], [44], О.А. Репина [68] - [71], М.С. Сала-хитдинова [72], М. Сайго [77], [78].

Краевые задачи со смещением для вырождающихся гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа сделали вполне очевидным, что без развития дробного исчисления невозможно реализовать ал-гебраизацию теории уравнений смешанного типа.

Матричные и скалярные дифференциальные уравнения с частными производными дробного порядка, являясь принципиально новым обобщением уравнений с частными производными целого порядка, кроме большого теоретического интереса, имеют и важное практическое значение. Такие уравнения выступают в качестве математических моделей различных процессов и явлений в средах с фрактальной структурой [45], [47], [48].

В настоящее время, "дробное (дифференциальное и интегральное) исчисление в теории фракталов и систем с памятью приобретает такое же важное значение, как и классический анализ в физике (механике) сплошных сред" [47, с.8]. В частности, этим обусловлен рост внимания исследователей к дробному исчислению, и актуальность развития методов решения краевых задач для уравнений и систем с частными производными

дробного порядка.

Многие вопросы переноса и диффузии физических и биологических субстанций в средах с фрактальной геометрией и классической теории тепла сводятся к решению начальных, краевых и смешанных задач для систем двух дифференциальных уравнений в частных производных вида

Dfiu + \u_x = a_nu + a₁₂v,

(0.1) Dq_vv — Xv_x = а₂₁и + a₂₂v,

где и = u(x,y) и v = v(x,y) - действительные функции действительных переменных х и у, а Є (0,1), Л > 0, а^ (i,j = 1,2) - заданные величины, D^v_ay - оператор дробного (в смысле Римана-Лиувилля) инте-гродифференцирования порядка \v\ с началом в точке а и с концом в точке у, определяющийся следующим образом [47, с. 9]:

sign(y-a) f u(x,t)dt _л

U-v) J |t/-t|"+4 ^v ^- ^U'

Г(-«0 J \y-t

>>(*,*)= j _u(x,y)* ,, = 0,

T(z) - гамма-функция Эйлера, [и] - целая часть числа и.

В частности, к системе (0.1) с а = |, оц = а\₂ = а₂₂ = 0 редуцируется задача определения потока тепла на торце полубесконечного однородного стержня, который в начальный момент времени имеет нулевую температуру [47, с. 160].

Уравнениям переноса в средах с фрактальной геометрией посвящены работы [25] - [27], [74], [75].

Краевым задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений с дробными производными и со спектральным параметром посвящены работы Т.С. Алероева [1] - [3].

Системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений дробного порядка исследовались в работах В.К. Вебера и М.И. Иманали-

ева [9] - [12], [24] .

Интенсивному развитию дифференциальных уравнений дробного порядка значительно способствовала книга С.Г. Самко, А.А. Килбаса и О.А. Маричева [73].

Краевые задачи для нелокальных уравнений в частных производных, содержащих дробные производные исследовались в ряде работ, цитируемых в монографии [47]. Так, в работах [28] и [29] было найдено решение задачи Коши для уравнения диффузии дробного порядка с ре-гуляризованной дробной производной. Уравнение диффузии дробного порядка и обобщенное волновое уравнение исследовались в работах [13] -[22], [49], [59] - [63], [66].

В работах А.В. Псху рассмотрены краевые задачи для модельных дифференциальных уравнений дробного порядка. Получены решения краевых задач для уравнений с частными производными ниже первого порядка [52], [54] - [58]. Для диффузионного и волнового уравнений дробного порядка найдены функции Грина основных краевых задач [59] - [63], [66]. Получены условия типа Тихонова для диффузионно-волнового уравнения дробного порядка и для уравнения с частными производными ниже первого порядка [64], [65]. В работе [51] исследована краевая задача и получен аналог формулы Шварца для системы Коши-Римана дробного порядка.

В работах С.Х. Геккиевой [13] - [22] исследованы краевые задачи для уравнения дробной диффузии. Получено фундаментальное решение [14], доказаны теоремы существования и единственности решений первой краевой задачи [13], задачи Коши в видоизмененной постановке [14] и краевой задачи в полубесконечной полосе [19], [20]. Для уравнений смешанного типа с оператором дробной диффузии в одной из частей смешанной области доказаны теоремы существования и единственности решений аналогов задачи Трикоми в канонических областях [15] - [18], [21].

В настоящей диссертации исследуются основные краевые задачи для линейных матричных и связанного с ними класса скалярных уравнений в частных производных, содержащих производные дробного порядка по одной из двух независимых переменных.

Для исследуемых уравнений и систем:

1. Получены общие представления решения в прямоугольной области.

2. Доказаны теоремы существования и единственности решений основных краевых задач, задачи Копій в нелокальной постановке и краевой задачи в полубесконечной полосе.

3. Построены функции Грина краевых задач и фундаментальные решения.

4. Изучены асимптотические поведения фундаментальных решений на бесконечности.

Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

Первая глава посвящена краевым задачам для систем дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка в прямоугольной области.

В 1 первой главы для системы дифференциальных уравнений

Lw{x,y) = D$_yw(x,y) + B(x,y)w_x(x,y) + C{x,y)w(x,y) = f(x,y), (0.2)

где w(x,y) = \\u(x,y),v(x,y)\\ - искомая, a f(x,y) = \\fi{x, у), f₂{x, y)\\ - заданная вектор-функции, а Є (0,1), B(x,y) и С(х,у) - матрицы-функции размера 2x2, получено общее представление решения в прямоугольной области Q = {(х, у) : 0<х<1, 0<у< Т}, Т < оо.

Доказана

Теорема 1.1. Пусть Q_y = {(, s) : 0 < t < I, 0 < s < у},

В(х,у) Є C(U), В_х(х,у) Є L(Q) г/ матрица z(x,y,t,s) удовлетворяет следующим условиям:

1) б области Q_y при фиксированных (х, у) Є П матрица z являет
ся решением уравнения

L*z(x, у, t, s) = D^z(x, г/, і, s) - [г(ж, у, t, s)B(t, s)]_t + z(x, y, t, s)C(t, s) = 0;

2) для любого вектора д(х) = \\ді(х),д2(х)\\єС[хі,Х2І, 0<хі<Х2<1,
выполняется соотношение

lim / [D"~^lz(x, у, t, s)] g(t)dt = д(х), х_г < х < ж₂;

3) элементы матрицы z являются непрерывными в QxQ_y\{y = s}
функциями, и для любых точек (х, у) Є Г2 и (, s) Є Q_y выполняется
неравенство

\z(x,y,t_lS)\^a-\

где К - постоянная матрица с положительными элементами.

Пусть w(x,y) -решение системы (0.2) такое, что y^l~^aw(x,y) Є Є С(П) П С¹^), и \imDQ~¹w(x,y) = <р(х), тогда -

I У

w(x,y) = I z(x,y,t,0)p(t)dt+ / z(x,y, 0,s)J3(0, s)w(0, s)ds—
о о

гу у і

— I z(x,y_tl,s)B(l,s)w(l,s)ds + I I z(x,y,t,s)f(t,s)dtdi

у у і

В 2 методом интегрального преобразования Лапласа построена ма-

трица Грина первой краевой задачи для системы

Ць,(^х> У) + Лгу_х(ж, у) - Aw(x, у) = f(x, у),

(0.3)

л о о -л

где Л =

, Л > 0, A = \\aij\\, ajj = const (г, j = 1, 2).

Задача 1.1. В области 1 = {(х,у) : 0 < х < I, 0 < у < Т} ,

Т < оо, найти решение w(x,y) = \\и(х, y),v(x,y)\\ системы (0.3), удовлетворяющее следующим условиям:

lim D^w = <р(х), 0 < х < I,

у->0 ^у

и(0, у) = fi(y), v(l, у) = v{y), 0 < у < Т,

где (f(x) = \\(pi(x),(р2(х)\\, fi(y)i v(y) - заданные функции.

Матрицей Грина первой краевой задачи называется матрица z(x, у, t, s), удовлетворяющая вместе с условиями 1) - 3) теоремы 1.1, условиям

limz_n(x,y,t,s) =]imz₂i(x,y,t,s) = 0,

t->l t-l

lim z_n(x, у, t,s) = lim z₂2(x,y,t,s) = 0.

->0 t-tO

Будем обозначать

_{«йю -}

^ Г(/і + ап)Т(5 - /Зп)

- функцию типа Райта.

Матрица Грина имеет вид

G(x, у, t, s) = S{x, у, t, s) + Г(х, у, t, s),

где S(x, у, t, s) = \\Sij(x, y, t, s)\\ - матрица с элементами

S\2 S21 S22

Г(х Гц

Г₂і Г22

/і Г оо оо

0 п=0

ОО ОО

х, у, t, s) = ge^a* / g(Y, т) E КЧ*, *, r)dr,

0 n=0

x, у, t, s) = ї$е^ах J g(Y, t) Z ФІЧх, t, r)dr,

0 n=0

/j Г оо ОО

*, 2/, *, 8) = ^^^ J g(Y, г) E Ф²Лх, t, r)dr;

0 71=0

,y,t,s) = T(x — t,y — s) = Г(Х, Y) - матрица с элементами

X, Y) = 4f^"^X h(Y, іО-ЙЗрЧ*. r)dr + {e^xg(Y, X)r,(X),

X, Y) = l%e^ax f g(Y, r)h₀(X, r)dr,

2A²'

X, Y) = ^pe«o* ]g(Y, rl^fX, г)Л-+$е^(У, -Х)гу(-Х); ^ = ^,^), X = x-t, Y = y-s,

ФІ¹ = -/4,271+1(^1,71, t) —/li,271+1 №,n, ^) + /11,271+3(-^3,71+1, T) + /ll,2n+lPQ,n+l, Т), Фт\² = -^1,271(^1,71,^)-^1,271+2(^2,71,^)+/^1,271+2(^3,71+1,^) + /^1,271+2(-^4,71+1, Т),

Ф*¹ = -Лх ,271+2(-^1,71, Т)—/*1,271 (-^2,71, ^) + /^1,271+2(-^3,71+1, ^) + /^1,271+2(-^4,71 + 1, т),

Ф²² = -Лх ,27i+i(-^i,n, ^)-/^1,271+1(-^2,71, ^)+/^1,271+1(-^3,71+1^)+/^1,271+3(-^4,71+1, т);

X, Y) = g^* f g(Y, r)h₀(X, _T)dT,

"^ ^Г) " < (- *Г^^?>^ - X), a_l2a₂₁ > 0,

^Л '^{T> S} Ыау/т* - X*)_V(t - \X\),a_ua₂₁ > 0,

. m+2n no / \m+2n

^_ X^J ' 'm(^) = E п\Т(тп+п+1) ^И ^т(^г) = E п!Г(т+п+1)

' 71=0 71=0

- функции Бесселя, ?7(т) - функция Хевисайда, a₀,i = ^Яі12д^Д"², ^a = f'"" , -^i,n = -^i,n(ж, 0 = ж + * + 2nl, Х₂,п = X₂,_n(x,t) = -х - t + 2(n + 1)/,

X^n = X^_n(x,t) = -x + t + 2nl, X^_n = X^_n(x,t) = x-t + 2nl, [/3] - целая часть числа /3.

В 3 доказана теорема существования и единственности решения первой краевой задачи для системы (0.3).

Теорема 1.2. Пусть y¹~^af(x,y) Є С{П) П С¹^), ір(х) Є С[0;/]П ПС¹(0;1), y¹'^afi{y),y¹~^ai^(y) GClOjTjnC^OiT), и выполняются условия согласования

Тогда существует единственное решение задачи 1.1, такое, что y¹~^aw(x,y) Є ОДПС¹^). Решение имеет вид

u(s)

ds+

(х, у) = Л / [G(x, у, I, s) + G(x, у, 0,5)]

і у і

+ [G(x,у,*,0)у»(*)Л+ /" JG(x,y,t,s)f(t,s)dtds.

В 4 рассмотрена смешанная задача для системы (0.2). Задача 1.2. Найти решение w(x,y) = ||и(ж,?/),г;(аг,2/)|| системы (0.2), удовлетворяющее следующим условиям:

\\mDn~^lw = у?(ж), 0 < ж < /, 7п«(0, у) + 712^(0, г/) = //(г/), 0 <у <Т, І2іи(1, у) + 722^, 2/) = "Ы> < У < ^т.

где (f(x) = \\(y), v(y) - заданные функции.

Ф)ЄС[0;1]ПС¹(0;1), у¹-^а^(у)У-^аи(у) Є С[0;Г]ПС¹ (0; Г), ₇и722 ^ 0, « выполняются условия согласования

Доказана

Теорема 1.3. Пусть В =

Л О О -Л

_{, y}^l_~^a_{f{x,y) еОДпсН}

lim>j-V(0 - Tii^i(0) + 7i2

(0.4)

1 *>(*) = 721^1 (0 + 722^2 (О-

(0.5)

Тогда существует единственное решение задачи 1.2, такое, что y¹-^aw(x,y)E С(й)пС\П).

В 5 теорема существования и единственности решения смешанной задачи доказана для системы более общего вида.

, Xi = (-1)^г'⁺¹х/=ЖВ,

Теорема 1.4. Пусть В —

?21

»и

detB < 0, (6ц - Л07г2 ф Ьі27іі (* = 1,2), >(*) Є С[0; I] П С^О;/), У^МЙ.^МЙЄСІОіГІПС^ОіГ), ^/(^гіеОДПСНО), ивы-полняются условия согласования (0.4), (0.5). Тогда существует единственное решение задачи 1.2, такое, что y¹~^aw(x,y) Є C(Q) П C^l(Q).

Во второй главе рассматриваются краевые задачи для системы (0.3) в неограниченных областях.

В 1 исследована задача Коши в нелокальной постановке.

Задача 2.1. В области О = {(а:, у) : —оо < х < +оо, 0 < у < Т}, Т < оо, найти решение w(x, у) системы (0.3) удовлетворяющее следующему условию:

у->0

limDoy ^{lw =} ф{^х)і ~ < х < +00,

где (f(x) = \\cpi(x), (f2(x)\\ - заданная вектор-функция.

Доказана

Теорема 2.1. Пусть у^г~^а/{х,у) = 0(ехр(х^є)), (р(х) = 0(ехр(х)), є < і ^пР^и \х\-+оо и y¹~^af{x,y) Є С^ПС^П), у?(ж) Є (^(-00,+00), тогда существует единственное решение задачи 2.1, такое, что y¹~^Qw(x,y) Є C(U) nC^l(Q) и y¹~^aw(x,y) = 0(ехр(х^є)) при \х\ -> со. Решение задается формулой

+оо у + 0О

«>(*> 2/) = У" Г(яг, 2/, , 0)у»(«)Л + У" ( Г(ж, г/, *, e)/(t, e)dfcfe,

—00 0 —оо

где Г(ж, у, , s) = Г(х — t,y — s) = Г(Х, У) - матрица с элементами

А Ї

Г_п(Х,У) = il^p^ J _g{Y,r)^^,h_l(X,r)dr+\g{Y,X)r,(X),

Гі₂(Х, У) = Ш19(Y, Фо(Х, r)dr,

Г₂₁(Х, У) = gr / ^(У, г)Ло(Х, r)dr, о

Г₂₂(Х,Г) = ^^/в(Г,т)^рЛ,(Х,т)Лг + ^(У,-Х)_Ч(-Л-),

h-(X т) = [ ("^(Hv^^^Mt- |Х|),а₁₂а2і < О, | ^(ач/т² - Х*)гі{т - |Х|), а₁₂а₂₁ > О,

0(_у,г) = ^е!(-^), ^ = ^^, а = ^р, ту(т) - функциж Хеви-сайда.

В 2 для матрицы Г(:г, ?/, , s) получена оценка

r(x,y,t,s) < АГеВДу»-^ (~]рІ) ^і(АА:У^в;1), и асимптотическая формула

Г(х, у, t, s) ~ Ко ехр (-*о|*Г⁰), |Х| -+ оо,

где єо = jz, Ei(z,fi) = Yl г(оти-м) ~ ФУ^{НКЦИЯ типа} Миттаг-Леффлера

n=0

[23, с. 117], К и Ко - некоторые постоянные матрицы, а к и ко - положительные числа, зависящие от а.

В 3 для системы (0.3) рассматривается следующая Задача 2.2. В области Q⁺ = {(х,у) : 0 < х < +оо, 0 < у < Т}, Т < оо, найти решение w(x,y) системы (0.3), удовлетворяющее начальному

2/->0 ^иу

(р(х), О < х < +оо,

и краевому

и{о,у) = Ку), 0<у<Г,

условиям, где <р(х) = ||и fi(y) - заданные функции. Доказана Теорема 2.2. Пусть y¹~^af(x,y) — 0(ехр(х^є)), ір(х) — 0(ехр(ж)),

^є < ih > ⁿP^{u x} -> + > V¹~^af(^x^ У) ^є C(U⁺) П C^Q+J, Є C[0, +оо)П ПС¹(0,+оо), у¹~^ац(у) Є C[0, Т] П C¹(0,T), w выполняется условие согласования limD^'¹ ц(у) = <^і(0)- Тогда существует единственное решение задачи 2.2, такое, что y¹~^aw(x,y) Є С(0⁺) П C¹(Q⁺) и y¹~^aw(x, у) = 0(ехр(ж)) при х —> +0O . Решение имеет вид

+оо у

»(jj, 2/)=/ ^G+0s> У, *, 0)y>(*)J G⁺(x, у, 0, s)

+оо у

ds+

w(x,y) =

0 О

₊

Ї/ +0О

f [ G⁺{x,y,t,s)f{t,s)dtds,

о 0

где G⁺(x,y,t,s) = \\Gi~j(x,y,t,s)\\ - матрица с элементами

GU^y,t,s) = ^^!g(Y,r)l0_TM\X\,T)-^_rM\X_ilr)

dr+

- - [vr-л- - ' ут'-л" -" " 'J

+\g(Y_tX)r,(X)_t

+(*, y, t, s) = fgi- /0(|^і|, т)] dr,

G+ (я,у,t,e) = gr fg(Y,r) MlXl^-hMX^r^dr,

G₂⁺₂(x,y,(,_s) = 4P³/9(У,т)[^рЛ,(|А-|,т) - ^,Лі(|Х,|,т)]А-+

+1₉(У,-А-)_Ч(-Х), здесь X = ж — і, Хі = ж + .

В третьей главе результаты первых двух глав применяются к решению краевых задач для уравнения с оператором дробной диффузии в главной части.

В 1 исследуется задача Копій в нелокальной постановке.

Задача 3.1. Найти решение и(х,у) уравнения

Щ_уи(х,у) - и_хх(х,у) + bD$_yu(x,y) + си(х,у) = f(x,y), (0.6)

в области О, = {(х,у) : —со < х < +оо, 0 < у < Т}, Т < со, такое, что у¹~^аи(х, у) Є C(Ci), и_хх, и_у Є C(Q), и удовлетворяющее начальному условию

limDZ^u = т(х), — со < х < +со, у-ю ^иу

где а = 2/3 Є (0,1), 6, с - заданные действительные числа, f(x,y), т(х) - заданные функции.

Методом редукции уравнения (0.6) к системе уравнений с частными производными дробного порядка доказана

Теорема 3.1. Пусть y¹~^af(x,y) = 0(ехр(#^є)), r(x) = 0(ехр(х^є)), є < j=0 ^пР^и И -> оо и y¹~^af(x,y) Є C^njnC¹^), т(х) (7^-00,+00),

тогда существует единственное решение задачи 3.1, такое, что у¹~^аи(х,у) Є C(Q), и_хх, и_у Є C(Q), и y^l~^au(x,y) = 0(ехр(х^є)) при \х\ —> сю . Решение задается формулой

+оо г/ +оо

и(*,у) = J T{x,y,t,0)r{t)dt+ J J T{x,y,t,s)f(t,s)dtd_Sl

—оо 0 —оо

|x-f|

' Jodalv/r²-^-*)²), Ь² < 4c,

Г(х,у,і,з) = - у ^ ^-^--I—j /io(a;-t,T)dr,

h₀(x-t,r) =

/o(«v/r²-(x-0²), 6² > 4c,

Jo(z) u Л)^) ~ функции Бесселя, a\ = — |, a = ^⁶₂~^4c .

В доказательстве теоремы 3.1 использован метод редукции уравнения (0.6) к системе уравнений с частными производными дробного порядка.

В 2 получено общее представление решения уравнения (0.6) в прямоугольной области.

Теорема 3.4. Пусть функция v = v(x,y,t,s) удовлетворяет следующим условиям:

1) в области Ц, = {(, s) : 0 < t < I, 0 < s < у} при фиксированных
(х, у) Є Г2 функция v является решением уравнения

L*v = Dy*_sv(x, у, t, s) - vtt(x, у, t, s) + bD^_sv(x, y, t, s) + cv(x, y, t, s) = 0;

2) для любой функции g(x) Є C[xi, X2], 0 < x\ < X2 < /, выполняет-

ся соотношение

lim / g{i)D"-^lv{x, у, t, s)dt = g(x), x_x < x < x₂\
s->y J ^y

3) функция v непрерывна в Q x Q_y \ {y = s} , и для любых точек (х,у) Є Q и (, s) Є Q_y выполняется неравенство

\v(x,y,t,s)\¹⁺P,

где к - положительная константа.

Функция и(х,у) такова, что у¹~^аи(х,у) Є C(Cl), и_хх, и_у Є C(Q), производная и_х непрерывна вплоть до участков границы х = 0 и х = I, и и(х,у) является решением уравнения (0.6) удовлетворяющим краевому условию

\\mD%-^lu{x,s) = т(х), О < х < I.

Тогда для функции и{х, у) выполняется соотношение

у и(х, у)= [v(x, у, /, s)u_t(l, s) - v{x, г/, О, s)u_t(0_: s)-о

-v_t(x, у, I, s)u(l, s) + v_t(x, y, 0, s)u(0, s)]ds+

і і у

+ / r(t)v(x,y,t, 0)dt + I J v(x,y,t,s)f(t,s)dtds.
о oo

В 3 исследуется краевая задача для уравнения (0.6) в полубесконечной полосе. С помощью метода функции Грина выписано решение и доказана его единственность.

Задача 3.2. В области Q = {(х,у) : 0 < х < +оо, 0 < у < Т},

T < со, найти решение и(х,у) уравнения (0.6), удовлетворяющее условиям

lim Dq~¹w(a:, у) = т(х), 0 < х < +оо,

у—0 У

и{0,у) = р(у), 0<у<Т,

где т{х) и ур(у) - заданные функции.

Доказана

Теорема 3.5. Пусть у^г~^а/(х,у) = 0(ехр(х^е)), т(х) = 0(ехр(х^є)), є < jzz, при х -* +оо, y^l~^af{x,y) Є С(П)ПС¹(П), т(х) Є С[0,+оо)П ПС^х(0, +оо), у¹~^аф{у) Є CfC^TjnC^O, Т), и выполняется условие согласования \\тЩГ¹ір(у) = г(0). Тогда существует единственное решение у-+о ^у

задачи 3.2, такое, что у¹~^аи(х,у) Є C(Q), и_хх, и_у Є С(Г2), гг_х Є L(Q) и у¹~^аи(х,у) = 0(ехр(а?^є)) при х —»> +оо. Решение имеет вид

+ 00 J/

(х,у)= I G(x,y,t,G)T(t)dt+ J G_t(x,y,0_}s)

+оо

+ // G(x,y,t,s)f(t,s)dtds, о о

г^е С(ж, і/, i, s) = Г(ї, J/, f, s) - Г(х, і/, -t, s), T(x,y,t, s) -фундаментальное решение уравнения (0.6).

В 4 рассматриваются первая, вторая и смешанные краевые задачи для уравнения (0.6). Найдены функции Грина этих краевых задач.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [31]—[41].

Построение матрицы Грина первой краевой задачи

Далее будем считать матрицы В и С в уравнении (1.1) постоянными. Пусть при этом коэффициент В - диагональная матрица. Рассмотрим уравнение Сформулируем первую краевую задачу для уравнения (1.7). Задача 1.1. В области П = {(х,у) : 0 х I, 0 у Т}, Т оо, найти решение w(x,y) = \\u(x,y),v(x,y)\\ системы (1.7), удовлетворяющее следующим условиям: где р(х) = \\ pi(x),(p2(x)\\, /i(y), v{y) - заданные функции. Матрицу z(x, y,t, s), удовлетворяющую условиям 1) - 3) теоремы 1.1, и условиям назовем матрицей Грина первой краевой задачи. Пусть f(x,y) = 0, ЙІ2«2І Ф 0, перепишем систему (1.7) в виде Будем искать решение задачи (1.12), (1.8), (1.9) при fi(y) = v(y) = О, в классе функций, растущих при у — оо не быстрее функции еСу, где С - некоторая константа. Введем следующие обозначения: S(x,y,t,s) = \\Sij(x,y,t,s)\\ - матрица с элементами Будем обозначать f(y) = F(p) тот факт, что функция F(p) яляется оо изображением функции-оригинала /(у), то есть F(p) = f f{y)e pvdy о преобразование Лапласа функции f(y). Имеют место следующие свойства преобразования Лапласа (см. [30, с. 504-512]): 1. Произведение двух изображений F(p) и G(p) также является изображением, причем 2. Если функция f(t) непрерывна при t 0 и f n\t) является ори гиналом, то под fk(0) понимается правое предельное значение \imfk(t). 3. Пусть дано изображение F(p) = f(t) и аналитические функции Пусть w(x,y) -решение задачи (1.12), (1.8), (1.9). Применим к системе (1.12) преобразование Лапласа по переменной у. Изображение дробной производной D yfit) функции-оригинала f(y), имеющей функцию-изображение F(p), можно найти, используя (1-14) и (1.15). Так как У где f(y) h(y) = J f(t)h(y — i)dt - есть свертка функций f(y) и h(y). о Пусть и(х,у) == U(x,p) и v(x,y) = V(x,p), тогда из (1.12), (1.8) и (1.18) получим систему обыкновенных диференциальных уравнений с параметром р: Решение системы (1.19) при этом должно удовлетворять условиям: Единственное решение задачи (1.19), (1.20) имеет вид: Грина задачи (1.19), (1.20), с элементами Приводя слагемые в представлении Оц к общему знаменателю и разлагая множитель кіЄ і\к2ЄІІ2і = fc2-fcl i. -Mit в геометрическую прогрес можно выбрать такое ро, что при Rep ро, Найдем обратное преобразование функции (1.21). Элементы матри — — Wx цы G(x,y;p) являются линейными комбинациями функций вида к2п цг , „-Wx ki -y -. Найдем оригиналы этих функций. Для этого перепишем функцию (Ш)кгпе вввде Используя (1.17), из последнего равенства, при a\ia i\ 0, получим: соотношением Im{x) = i mJm(ix)y ДЛЯ ai2 221 0, по лучим найден оригинал где - функция типа Миттаг-Леффлера [23, с. 117], Г(г) - гамма-функция Эйлера.

Пользуясь (1.22) и тем, что ez = Ei(z, 1), получим где с — sign(ai2a2i) Учитывая то, что к\ = / + -W и то, что e Wx = — ( wr-J представим функцию fci -pf- в виде к2-цг- — : \ w ) И3 (1-23) видно, что справедливы соотношения: Продифференцировав последнее соотношение по х , получим Пользуясь формулами (1.23) и (1.24), получим функция является оригиналом для функции (1.21). В представлении элементов матрицы G(x, г/, t, s) участвуют ря -30-Исследуем сходимость ряда Sk{X,r) при ai2 22i 0: Так как 0 X т, то т — X т, и ат -А. Заменяя в последнем интеграле переменную интегрирования на г) — и, пользуясь затем первой теоремой среднего значения, получим 00 р 1п+к{ат) = arexp (—) / ехр (——г]2] Ik.i(aTrj)drj = 71=0 і arexp ат {l-e2)\J г Ч агф (1.29) где 0 [0,1]. Из (1.28) и (1.29) следует, что оо Из теоремы Дини и (1.29) следует, что ряд Y11п+к(ат) 5 а следовало -31- (X,т) сходятся равномерно для любого конечного т. Аналогично, пользуясь формулой (1.27), можно показать сходимость ряда Sk(X, т) при ai2«2i 0. При х —) +оо имеют место следующие ассимптотические формулы (см., например, [50]): В работе [53] показано, что интеграл сходится, если фукция г;(я) интегрируема на любом конечном отрезке положительной полуоси и выполняются асимптотические неравенства: Рассмотрим интеграл о заменяя переменную интегрирования на = , получим из (1.30), (1.31), (1.32) и сходимости последнего интеграла, в силу при знака Вейерштрасса, следует, что все интегралы, участвующие в представлении G(x, у, t, s), сходятся равномерно по х и t, а при у — s имеют особенность порядка не больше а — 1. Отсюда же следует выполнение условия 3) теоремы 1.1. Покажем теперь, что G(x, у, t, s) является матрицей Грина первой краевой задачи. Справедливы следующие соотношения [62]:

Смешанная задача для системы общего вида

Рассмотрим задачу (1.64) - (1.67), в случае когда &21 —Ьц п + 12621 Пусть Z\ и Z2 - собственные вектора матрицы В, Соответствующие СОбСТВеННЫМ Значениям Лі = \/&п + 12 21 и В А2 = —л/ 11 + 12 21 » т0 есть (В - \E)zi = 0. (1.75) Обозначим Z = \\zij\\ матрицу, столбцы которой составлены из собственных векторов z\ и Z2, тогда BZ = ZK , или Z lBZ = Л , где Лі 0 Л = Так как Лі ф Л2, то матрица Z - невырождена, по 0 Лс этому, сделав обратимую подстановку w(x,y) = Z\\ui(x,y),vi(x,y)\\ = Zwi(x,y), перепишем систему (1.64) в виде DQVWI(X, у) + Л —wi(x, у) + Ciwi(x, у) = д(х, у), (1.76) где С\ = Z 1CZ, д(х,у) = Z 1f(x,y). При этом условия (1.65) - (1.67) примут вид: limD wi = Z l4 (x), 0 х I, j/- (1.77) -51 diiui(O,y) + di2Vi(O,f,) = Ai(0), 0 2/ T, (1.78) d2iui(l,v)+d22Vi(lty) = i/(y), 0 J/ Г, (1.79) где I dy = fell I Ml, , j = 1,2. Таким образом, если d\\d22 ф О, задача (1.64) - (1-67) сводится к задаче (1-76) - (1.79), которая была рассмотрена в 4. Найдем условия, при которых d\\d22 ф 0. Равенство d\\d22 = 0 имеет место тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из равенств: Запишем (1.75) в виде тогда из (1.80), (1.81) и последних равенств получим То есть, выполнение равенства с?цб?22 = 0 эквивалентно тому, что вектор (—7г2,7гі) является собственным вектором матрицы В, относящимся к собственному значению Х{ (г = 1, 2), в противном случае d\\d22 ф 0. Из вышесказанного и теоремы 1.3 вытекает справедливость следующей теоремы. В области Q = {{х,у) : —оо х +оо, 0 у Т}, Т оо, рассмотрим А о о -л , w(x,y) = \\u(x,y),v(x,y)\\ где а Є (0,1), А = \\aijW, А = - искомая, a f(x,y) = \\fi(x, у), /г( 5 у) заданая вектор-функции, А 0, aij - заданные действительные числа (i,j = 1, 2). Сформулируем задачу Коши в нелокальной постановке для системы (2-1). Задача 2.1. Найти решение w(x,y) системы (2.1), удовлетворяющее следующему условию: Справедлива следующая Доказательство. Известно [76], (см. [53]), что функция Райта имеет асимптотическое разложение где = (1 — 0-)(0 2)1 , ат — константы, зависящие от а и 6.

Также при доказательстве мы будем пользоваться асимптотической формулой, которая будет доказана в 2: при X — оо Используя результаты, полученые в 3 главы 1, можно выписать решение краевой задачи для системы (2.1) в прямоугольной области D = Найдем пределы этих выражений при при А — — со и В — +оо : Из (1.33) и (1.34), с учетом условий, наложенных на ф\{х)» следует, что интеграл (2.11) сходится. Рассмотрим случай, когда a\ ia,2\ 0. Изменяя в (2.9) пределы ин Используя замену = \/т2 — X2 для внутренних интегралов, получим Используя то, что eaVr2- 2 еат при a0 0 и eflv 2- 1 при ao 0, (1.32), условия наложенные на p(x), условия (1.34) сходимости интеграла (1.33), легко видеть сходимость несобственного интеграла Рассмотрим внутренние интегралы в правой части (2.12) Заменяя переменную интегрирования t на = yV2 — ( + X0)2, и пользуясь тем, что из т Xi)U 0, Л x,t В следует тт _х п — X т - 2(t = 0, (2.13) (2.8), окон чательно получим соотношение (2.3). Покажем, что полученная таким образом функция w(x,y) является решением задачи (2.1), (2.2). Учитывая равенства (1.41), (1.62), (1.63), (1.44) - (1.47), можно показать, что функция (2.3) является решением системы (2.1), а также то, что матрица Г(х,7/, t, s) является решением сопряженной системы Из (1.52) и (1.53) следует, что для любого вектора д{х) = gi(:r), (ж)!! Є Є С[хі,Х2І, и для любых х\,Х2 : —оо х\ Х2 +оо, выполняется соотношение Из этого свойства и представления (2.3) следует выполнение условия (2.2). В 2 будет получена асимптотическая формула где Єо = j4 , Ко и к\ - соответственно постоянная матрица и положительное число, зависящие от а. Из последней формулы следует справедливость условий, наложенных на порядок роста функций на бесконечности. Теорема доказана. Таким образом, матрица Г(х,у, t, s) есть фундаментальная матрица решений системы (2.1).

Асимптотическое поведение фундаментальной матрицы решений

Оператор дробного интегродифференцирования по Риману и Лиу-виллю и различные его обобщения играют существенную роль в теории краевых задач со смещением для уравнений в частных производных, меняющих свой тип в замыкании области их определения. Основополагающие результаты в этом направлении получены в известных работах А.В. Бицадзе [4], Т.Д. Джураева [5], В.И. Жегалова [6] - [8], Е.И. Моисеева [42], A.M. Нахушева [43], [44], О.А. Репина [68] - [71], М.С. Сала-хитдинова [72], М. Сайго [77], [78]. Краевые задачи со смещением для вырождающихся гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа сделали вполне очевидным, что без развития дробного исчисления невозможно реализовать ал-гебраизацию теории уравнений смешанного типа. Матричные и скалярные дифференциальные уравнения с частными производными дробного порядка, являясь принципиально новым обобщением уравнений с частными производными целого порядка, кроме большого теоретического интереса, имеют и важное практическое значение. Такие уравнения выступают в качестве математических моделей различных процессов и явлений в средах с фрактальной структурой [45], [47], [48]. В настоящее время, "дробное (дифференциальное и интегральное) исчисление в теории фракталов и систем с памятью приобретает такое же важное значение, как и классический анализ в физике (механике) сплошных сред" [47, с.8]. В частности, этим обусловлен рост внимания исследователей к дробному исчислению, и актуальность развития методов решения краевых задач для уравнений и систем с частными производными дробного порядка. Многие вопросы переноса и диффузии физических и биологических субстанций в средах с фрактальной геометрией и классической теории тепла сводятся к решению начальных, краевых и смешанных задач для систем двух дифференциальных уравнений в частных производных вида где и = u(x,y) и v = v(x,y) - действительные функции действительных переменных х и у, а Є (0,1), Л 0, а (i,j = 1,2) - заданные величины, Dvay - оператор дробного (в смысле

Римана-Лиувилля) инте-гродифференцирования порядка \v\ с началом в точке а и с концом в точке у, определяющийся следующим образом [47, с. 9]: и] - целая часть числа и. В частности, к системе (0.1) с а = , оц = а\2 = а22 = 0 редуцируется задача определения потока тепла на торце полубесконечного однородного стержня, который в начальный момент времени имеет нулевую температуру [47, с. 160]. Уравнениям переноса в средах с фрактальной геометрией посвящены работы [25] - [27], [74], [75]. Краевым задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений с дробными производными и со спектральным параметром посвящены работы Т.С. Алероева [1] - [3]. Системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений дробного порядка исследовались в работах В.К. Вебера и М.И. Иманали ева [9] - [12], [24] . Интенсивному развитию дифференциальных уравнений дробного порядка значительно способствовала книга С.Г. Самко, А.А. Килбаса и О.А. Маричева [73]. Краевые задачи для нелокальных уравнений в частных производных, содержащих дробные производные исследовались в ряде работ, цитируемых в монографии [47]. Так, в работах [28] и [29] было найдено решение задачи Коши для уравнения диффузии дробного порядка с ре-гуляризованной дробной производной. Уравнение диффузии дробного порядка и обобщенное волновое уравнение исследовались в работах [13] -[22], [49], [59] - [63], [66]. В работах А.В. Псху рассмотрены краевые задачи для модельных дифференциальных уравнений дробного порядка. Получены решения краевых задач для уравнений с частными производными ниже первого порядка [52], [54] - [58]. Для диффузионного и волнового уравнений дробного порядка найдены функции Грина основных краевых задач [59] - [63], [66]. Получены условия типа Тихонова для диффузионно-волнового уравнения дробного порядка и для уравнения с частными производными ниже первого порядка [64], [65]. В работе [51] исследована краевая задача и получен аналог формулы Шварца для системы Коши-Римана дробного порядка. В работах С.Х. Геккиевой [13] - [22] исследованы краевые задачи для уравнения дробной диффузии. Получено фундаментальное решение [14], доказаны теоремы существования и единственности решений первой краевой задачи [13], задачи Коши в видоизмененной постановке [14] и краевой задачи в полубесконечной полосе [19], [20]. Для уравнений смешанного типа с оператором дробной диффузии в одной из частей смешанной области доказаны теоремы существования и единственности решений аналогов задачи Трикоми в канонических областях [15] - [18], [21].

Краевая задача в полуполосе

Задача 3.2. В области О, = {(ж, у) : х 0, 0 у Т} , Т оо, найти решение и{х,у) уравнения (3.1), удовлетворяющее условиям где т{х) и tp(y) - заданные функции. Теорема 3.5. Пусть y1 af(x y) = 0(ехр(х)), т(ж) = 0(ехр(жє)), е ї= пРи CfOjTjnC O, Т), и выполняется условие согласования \imDZ7lv(v) = T(0). Тогда существует единственное решение Доказательство. Покажем, что функция G(x, у, t, s) вместе с условиями 1) - 3) теоремы 3.4, сформулированным для функции v(x,y,t, s), удовлетворяет условиям Из (3.19), (1.31), (1.32), (2.4) и (2.18) следует выполнение условия 3) теоремы 3.4, а также, что при \х — t\ — со где o — ЇЬЙ , ко, k\, k2 - некоторые положительные постоянные. Из (3.19), (3.23) и (3.24) легко видеть выполнимость условий (3.20) - (3.22). Пользуясь формулами (1.49) и (1.41), и учитывая, что ho(X, \Х\) = 1, что 1ъо(Х,т) является решением уравнения - h0(X, г) - ft0(I, г) - a2h0(X, т) = О, равенств (1-40) и Из (3.19) и (3.29) следует, что функция G является решением уравнения (3.10). теорем 3.3 и 3.4 видно: Xi Отсюда и из (3.15) получим Из (3.30) и (3.25) получим Пусть функция G(x, у, t, s) вместе с условиями 1) - 3) 2 удовлетворяют условиям а функция u(x,y) является решением первой краевой задачи для уравнения (3.1), то есть удовлетворяет условиям Аналогично тому, как это было сделано в 2, можно показать, что функция G определяется соотношением где Г(х,у, t, s) - фундаментальное решение уравнения (3.1). удовлетворяет условиям 1) - 3) и условиям Поэтому, если функция и(х,у) является решением второй краевой задачи для уравнения (3.1), то есть удовлетворяет условиям (3.32), и то из (3.13), (3.36), (3.32), (3.37) получим, что и(х,у) представима в виде Это означает, что G\ является функцией Грина второй краевой задачи для уравнения (3.1). Для решения смешанной краевой задачи с краевыми условиями (3.32) Для функции G2(x,y,t,s) должны выполняться условия Нетрудно показать, что есть функция Грина задачи (3.1), (3.32), (3.38). Аналогично функция есть функция Грина задачи с краевыми условиями (3.32) и для уравнения (3.1). Функция ( удовлетворяет условиям 1) - 3) и Решение задачи (3.1), (3.32), (3.41), с учетом (3.42), представляется -e, 2 W\ (y-syj-Отсюда следует, что при 6 = 0, с = 0, функции (3.4), (3.19), (3.34), (3.35), (3.39), (3.40) совпадают с фундаментальным решением [13] и функциями

Грина соответствующих краевых задач [19], [62], [59]. Выполненные исследования, посвященные основным краевым задачам для широких классов систем нелокальных дифференциальных уравнений с частными производными и уравнения с оператором дробной диффузии в главной части, позволяют сформулировать следующие основные научные результаты диссертационной работы: 1. Для систем нелокальных дифференциальных уравнений с частными производными: 1.1. Доказана теорема 1.1 об общем представлении решения системы в прямоугольной области. Построена матрица Грина (1.13) первой краевой задачи. 1.2. Доказаны теоремы 1.2, 1.3, 1.4 существования и единственности решений первой краевой 1.1 и смешанной 1.2 задач для системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами. 1.3. Доказаны теоремы 2.1 и 2.2 существования и единственности решений задачи Коши 2.1 в нелокальной постановке и краевой задачи 2.2 в полубесконечной полосе. 1.4. Построена фундаментальная матрица (см. стр. 55) решений системы и матрица Грина краевой задачи в полубесконечной полосе (см. стр. 68). 1.5. Для фундаментальной матрицы решений системы получена оценка (2.19) и асимптотическая формула (2.20). 2. Для линейного нелокального дифференциального уравнения с оператором дробной диффузии в главной части: 2.1. Доказана теорема 3.1, существования и единственности решения задачи Коши 3.1 в нелокальной постановке. Построено фундаментальное решение (3.4). 2.2. Доказана теорема 3.4 об общем представлении решения уравнения в прямоугольной области. 2.3. Доказана теорема 3.5, существования и единственности решения краевой задачи 3.2 в полубесконечной полосе и построена ее функция Грина (3.19). 2.4. Построены решения и функции Грина (3.34), (3.35), (3.39), (3.40) первой, второй и смешанных краевых задач.

Похожие диссертации на Краевые задачи для системы уравнений с частотными производными дробного порядка

Совпадение классических и обобщенных решений некоторых краевых и смешанных задач для систем уравнений второго порядка с неограниченными младшими коэффициентамиСафиев, Эльшан Кавы оглы

Классические граничные задачи для эллиптических систем уравнений второго порядкаТупякова, Вера Павловна

Задачи граничного управления в условиях первой краевой задачи для систем гиперболических уравнений второго порядкаКозлова, Елена Александровна

Исследование регулярности обобщенных решений краевых задач для эллиптических нелинейных систем уравнений высокого порядкаАлдохина, Виктория Николаевна

Краевые задачи для эллиптических систем дифференциальных уравнений второго порядка с разрывными граничными условиями Оганян Вагаршак Айастанович

О двухточечных краевых задачах для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка Гаприндашвили Георгий Давидович

О разрешимости задач Дарбу и Трикоми для систем уравнений второго порядкаКурбанкулыев, Гурбанназар

Общая линейная характеристическая задача для системы уравнений в частных производных первого порядкаХасан Хуссейн, Зомот Насер

Краевые задачи для систем уравнений с частными производными высокого порядка, порожденных интерацией матричными операторами первого порядкаМуллоева Мавджигул Сафаровна

Задача Дирихле для многомерных эллиптических систем уравнений второго порядкаХалилов Шавкат Бобоевич