Введение к работе
Актуальность темы. Эллиптические по Петровскому системы уравнений с частными производными второго порядка помимо многочисленных приложений в проблемах физики имеют чисто теоретический интерес. Важным разделом теории уравнений с частными производными является теория краевых задач для эллиптических уравнений и систем упангений. Среди таких задач наибольший интерес представляют так называ-.:мь'с нефредгольмовые задачи, исследование которых, как правило, сводится к изучению сингулярных интегральных уравнений. А они в многомерном случае далеко не всегда относятся к классам достаточно изученных.
В настоящее время хорошо разработана теория эллиптических систем уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными (см., например, работы А.В. і;і-.цг>дле. М.И. Вишика. !>.!* !>оярского, В.В. Золотарёвой, Н.Е. Товмасяна и ;зр. авторов). Значительно еллосе изучены многомерные эллиптические системы, хотч и для них получены интересные результаты в работах B.C. Виноградова, Р.С. Сакса, А.И. Янушаускаса, Г.В. Васильевой и др. Известно, что для многомерных эллиптических систем, не удовлетворяющих условию сильной эллиптичности, нарушаются не только фредгольмовость, но и нётеровость задачи Дирихле. Поэтому остаётся актуальным исследование разрешимости задачи Неймана и других граничных задач для тех систем, для которых нарушается корректность задачи Дирихле.
Настоящая работа является продолжением исследований по теории разрешимости граничных задач для многомерных эллиптических систем.
Целью работы является исследование разрешимости задач Дирихле, Неймана и других граничных задач в полупространстве для широкого класса не сильно эллиптических систем уравнений с частным производными второго порядка специальной структуры с тремя и более независимыми переменными.
Научная новизна и практическая значимость работы. Изучение классических граничных задач проводится с помощью преобразования Фурье. Так вопрос о разрешимости задачи Дирихле сводится к изучению некоторого уравнения с частными («роизводными второго порядка, которое рассматривается на границе полупространства. Эта редукция позволила обозреть все возможные ситуации нарушения нётеровости задачи Дирихле. Исследованы также вопросы разрешимости задачи Неймана и других граничных задач для многомерных эллиптически* сеотем в полупространстве путем сведения исходной задачи к системе линеш;и\ алгебраических уравнений.
Полученные результаты представляют интерес для теории многомерных эллиптических систем и могут быть использованы при исследовании корректности постановок граничных задач.
Апгюбацил_работы. Результаты диссертации докладывались: на научном семинаре кафо.фы магматического анализа it дифференциальных и интегральных уравнений ИГУ под руководством Трубина В.Г. (Иркутск, 1992); на научном семинаре Института динамики систем и теории управления Сибирского отделения РАН под руководством профессора Ю.Е. Бояринцева (Иркутск, 1998); на областной научной студенческой конференции " Молодежь и современный мир" (Чита, 1997); на ежегодных научных конференциях Читинского государственного технического университета (Чита, 1993-1998 гг.) и систематически па семинаре кафедры прикладной математики ЧитГТУ под руководством Розовой II.В.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-8].
Объём и структура работы. Диссертация изложена на 88 страницах машинописного текста и состоит из введения, четырёх глав и списка литературы, включающего 44 наименования.
На защиту выносятся следующие результаты:
1) сведение вопроса о разрешимости задачи Дирихле для некоторого
класса не сильно эллиптических систем к изучению уравнения с частными производными второго порядка;
2) исследование характера разрешимости первой краевой задачи в зави
симости от вида этого уравнения;
3) сведение вопроса о разрешимости задачи Неймана и других граничных
задач для многомерных эллиптических систем в полупространстве к исследова
нию системы линейных алгебраических уравнений.
