Введение к работе
Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена исследованию априорной оценки и разрешимости третьей двухточечной краевой задачи вида
z" = P(t, z,z') + f(t,z,z'), 0<*<1, zeRn, (1)
/(0) = A0{z{0), z(l)) + ho(z), z\l) = A1{z{0), z(l)) + /ii(z), (2)
где отображения
P: [0,1]хГхГи En, f: [0,1]хГхГи Rn,
AQ)AX: ГхГиГ, /ю,/гі: ^([0,1]^) i-> En непрерывны и удовлетворяют условиям:
Р(, Л^і, Л^) = XmP(t, z\, Z'i) для всех Л > 0 и фиксированного m > 1;
A,-(Azi, Л^) = XAi(z\, Z'i) для всех Л > 0, j = 0,1;
max I fit, Z\, Z2)\i\zi\ + \zo\)~m —> 0 при \z\\ + Izol —> oo;
||z||^|/ij(z)| —> 0 при ІІ^Цс1 -^ oo, j = 0,1.
Здесь через С1 ([0,1]; Rn) обозначено пространство непрерывно-дифференцируемых на отрезке [0,1] вектор-функций с нормой
WzWc1 = \\z\\c + \\z'\\c = max \zit)\ + max U'f^l.
В краевой задаче (1), (2) положительно-однородные отображения Р, Aq, А\ являются главными нелинейными членами, а отображения /, ho, hi — возмущениями. Априорная оценка и разрешимость краевой задачи (1), (2) исследуются в терминах свойств главных нелинейных членов Р, Aq, А\. Если множество решений краевой задачи (1), (2) ограничено по норме пространства С1([0,1]; Rn) или пусто, то будем говорить, что задача (1), (2) допускает априорную оценку. В работах С. Н. Бернштейна, Н.Нагумо, К. Шредера, ЮА. Клокова в основном исследована первая краевая задача для скалярных уравнений второго порядка у" = f(t,y,yf), в случае когда правая часть / относительно у' имеет
порядок роста не больше, чем 2. Доказано, что в случае порядка роста больше 2 первая краевая задача не всегда разрешима. В связи с этим представляет интерес выделение широкого класса сильно нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, для которых разрешима краевая задача не с первыми краевыми условиями, а с третьими.
В работах Э. М. Мухамадиева, А. Н.Наимова краевая задача (1), (2) исследована в скалярном и векторном случаях. В них разрешимость краевой задачи исследуется методом априорной оценки и эффективным вычислением вращения вполне непрерывного векторного поля, порожденного краевой задачей, в случае, когда множество нулей P(t,x,y) = 0 состоит лишь из поверхности у = 0. Основная проблема состоит в согласовании множества нулей P(t^x^y) = 0 с отображениями Ао: А\, участвующими в краевых условиях. В настоящей диссертационной работе краевая задача (1), (2) исследуется в случаях, когда множество нулей P(t^x^y) = 0 состоит из одной нетривиальной гиперповерхности у = B(t,x) или из двух гиперповерхностей у = Bi(t,x): у = B2(t,x). В этих случаях необходимо развить методы априорной оценки и вычисления вращения.
Цель работы. Нахождение новых условий существования априорной оценки и разрешимости краевой задачи (1), (2) в случаях, когда главная нелинейная часть системы (1) обращается в ноль на одной или двух нетривиальных гиперповерхностях.
Методы исследования. В работе применяются методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и линейной алгебры, методы нелинейного анализа: метод априорной оценки, метод направляющих функций, методы вычисления вращения векторных полей.
Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми:
Для краевой задачи (1), (2) доказана оценка производной x'(t) решения через само решение x(t).
Доказаны новые достаточные условия существования априорной оценки для решений краевой задачи (1), (2) в терминах свойств главных нелинейных
членов в случаях, когда главная нелинейная часть системы уравнений обращается в ноль на одной или двух нетривиальных гиперповерхностях.
В условиях априорной оценки доказана инвариантность свойства разрешимости краевой задачи (1), (2) при непрерывном изменении Р, Ао: А\ и при любых возмущениях /, ho, h\.
Доказаны новые достаточные условия разрешимости краевой задачи (1), (2) в условиях априорной оценки в случаях п = 2 и п ^ 2.
При п = 2 в отдельных случаях разрешимость краевой задачи (1), (2) исследована посредством решения задачи гомотопической классификации.
Теоретическая и практическая значимость работы. Работа носит теоретический характер. В ней применяются и развиваются методы исследования краевых задач для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Результаты работы могут быть использованы при исследовании нелинейных краевых задач для дифференциальных уравнений.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научных семинарах в Вологодском государственном техническом университете и в Вологодском государственном педагогическом университете, на конференциях Воронежской зимней и весенней математических школ (Воронеж, 2008-2011 г.г.), на шестой и седьмой Всероссийской научно-технической конференции «Вузовская наука — региону» (Вологда, 2008-2009 г.г.), на шестой международной научно-технической конференции «ИНФОС-2011» (Вологда, 2011 г.), на международной научной конференции «Современные проблемы математики и её приложения» (посвященной 70-летию член-корреспондента Академии наук Республики Таджикистан Э. М. Мухамадиева, Душанбе, 2011 г.).
Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [1]-[9]. Из совместных публикаций [2], [3], [5], [9] в диссертацию вошли результаты, принадлежащие лично автору. Работы [5] и [9] опубликованы в изданиях, соответствующих списку ВАК РФ.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, библиографического списка, содержащего 44 наименования. Общий объем работы — 125 страниц.
