Введение к работе
Актуальность темы. Работа посвящена исследованию разрешимости вариационной задачи Дирихле для вырождающихся нелинейных дифференциальных уравнений.
Краевые задачи для вырождающихся дифференциальных уравнений часто и естественным образом возникают в процессе моделирования ряда прикладных задач в теории малых изгибаний поверхностей, в газовой динамике и других разделах механики. Как отмечено авторами многих обзорных работ, существуют разнообразные способы вырождения, которые требуют применения соответствующих разных методов, и в настоящее время не существует единой теории, которая охватывала бы все результаты этого направления.
Подход к исследованию граничных задач для вырождающихся эллиптических дифференциальных уравнений на базе теории вложения весовых функциональных пространств впервые был продемонстрирован в работе Л.Д.Кудрявцева1. Результаты этой работы позже обобщались и дополнялись в работах СМ. Никольского, П.И. Лизоркина, X. Трибеля, Л.Д. Кудрявцева, А. Куфнера, СВ. Успенского, Н.В. Мирошина, Ю.Д.Салманова, К.Х. Бойматова, СА. Исхокова и др.
Исследования, проведенные в настоящей диссертационной работе, примыкают к работам указанных выше авторов и по сравнению с ними рассматриваются новые классы нелинейных дифференциальных уравнений с вырождением.
Цель работы
Исследование разрешимости вариационной задачи Дирихле с однородными граничными условиями для нелинейных дифференциальных уравнений в полупространстве Д+ = {х = (х\} Х2, , хп) Є Rn : хп > 0} с нестепенным вырождением на гиперплоскости хп = 0 и при хп —> оо.
Исследование разрешимости вариационной задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями для нелинейных дифференциальных уравнений в полупространстве R^.
Исследование разрешимости вариационной задачи для нелинейных дифференциальных уравнений, вырождающихся на неограниченных многообразиях размерности т : 0 < т < п — 1, удовлетворяющих условию
Кудрявцев Л. Д. Прямые и обратные теоремы вложения. Приложения к решению вариационным методом эллиптических уравнений // Труды Математического института им. В.А. Стеклова АН СССР, 1959, т. 55, с. 1-182.
конуса.
Методы исследования. Применяемый в диссертации метод основан на элементах функционального анализа и теории весовых функциональных пространств (теоремы вложения, эквивалентные нормировки, прямые и обратные теоремы о следах, теоремы о плотности гладких функций и Т.Д.)
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:
Доказана теорема об однозначной разрешимости вариационной задачи Дирихле с однородными граничными условиями для одного класса нелинейных дифференциальных уравнений в полупространстве R^ с нестепенным вырождением на гиперплоскости хп = 0 и при хп —> оо.
Доказаны интегральные неравенства разных метрик со степенными весами для функций, определенных в полупространстве Щ, и их применением исследована разрешимость вариационных задач Дирихле с неоднородными граничными условиями для нелинейных дифференциальных уравнений в полупространстве R^.
Доказаны интегральные неравенства разных метрик со степенными весами для функций, определенных в области Q = Rn \ ЭДТ, где ЭДТ-неограниченное С0-многообразие размерности т < п, удовлетворяющее условию конуса, и их применением исследована разрешимость вариационных задач Дирихле с однородными и неоднородными граничными условиями для нелинейных дифференциальных уравнений в Q со степенным вырождением на многообразии ЭДТ.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты, полученные в диссертации, носят теоретический характер. Они могут послужить основой для дальнейших теоретических исследований в теории вложения весовых функциональных пространств, в теории краевых задач для вырождающихся дифференциальных уравнений.
Практическая ценность работы определяется прикладной значимостью вырождающихся дифференциальных уравнений в решении прикладных задач механики и других разделов физики.
Апробация результатов. Основные результаты диссертации обсуждались на международной научной конференции "Современные проблемы
математического анализа и их приложений", посвященной 60-летию академика АН РТ Бойматова К.Х. (г. Душанбе, 23-24 июня 2010 г.), на международной научной конференции "Современные проблемы математки и ее приложения", посвященной 70-летию академика АН РТ Мухамадиева Э.М (г. Душанбе, 28-29 июня 2011 г.), на научно-исследовательских семинарах отдела теории функций и функционального анализа ИМ АН Республики Таджикистан (руководители: доктор физ.-мат. наук, академик АН РТ, профессор Шабозов М.Ш. и доктор физ.-мат. наук, профессор Исхоков С.А.) в 2006 - 2011 гг.; общеинститутском семинаре Института математики АН Республики Таджикистан (руководитель семинара: доктор физ.-мат. наук, член-корреспондент АН РТ, профессор Рахмонов З.Х.) в 2011 г.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в пяти научных работах, список которых приведен в конце автореферата. Три из них написаны в соавторстве с научным руководителем С.А. Исхоковым, которому принадлежат постановка задач и выбор метода доказательств результатов.
Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Работа изложена на 105 страницах компьютерного набора. Библиография насчитывает 54 наименования.
Похожие диссертации на О разрешимости вариационной задачи Дирихле для некоторых классов нелинейных дифференциальных уравнений с вырождением
