Вариационная задача Дирихле для некоторых классов эллиптических операторов, вырождающихся на многообразиях произвольной размерности Тарасова Галина Ивановна

Содержание к диссертации

Введение

1 Внешняя вариационная задача Дирихле для эллиптических операторов, вырождающихся на многообразиях различных размерностей 13

1.1 Теоремі)! вложения пространств функции, определенных во внешности ограниченной области 13

14394

1.2 Внешняя вариационная задача Дирихле с; однородными граничными условиями 22

1.3 Внешняя вариационная задача Дирихле с неоднородными граничными условиями па многообразиях 31

1.4 О решениях вариационной задачи Дирихле, стабилизирующихся к заданному многочлену 40

2 Вариационная задача Дирихле для эллиптических операторов, вырождающихся на m-мерных гиперплоскостях 93

2.1 Весовые пространства функций, определенные в П = R"\.Rm. 50

2.2 О вариационной задаче Дирихле для эллиптических операторов, вырождающихся па m-мсрпых гиперплоскостях 59

2.3 Вариационная задача Дирихле с неоднородными граничными условиями на гиперплоскости 03

3 Вариационная задача Дирихле для эллиптических операторов, вырождающихся на неограничен пых ш- мерных многообразиях

3.1 Теоремы вложения для некоторых весовых пространств функции

3.2 Вариационная задача Дирихле для эллиптических операторов, вырождающихся па неограниченных m-мериых многообразиях 72

3.3 Вариационная задача Дирихле для вырождающегося уравнения 77

Литература

• Внешняя вариационная задача Дирихле с; однородными граничными условиями
• О решениях вариационной задачи Дирихле, стабилизирующихся к заданному многочлену
• О вариационной задаче Дирихле для эллиптических операторов, вырождающихся па m-мсрпых гиперплоскостях
• Вариационная задача Дирихле для эллиптических операторов, вырождающихся па неограниченных m-мериых многообразиях

Введение к работе

Одним из методов исследования граничных задач для вырождающихся дифференциальных уравнений является метод, основанный па теории вложения весовых функциональных пространств. Этот метод впервые был продемонстрирован Л.Д. Кудрявцевым в работе "Прямые и обратные теоремы вложения. Приложения к решению вариационным методом эллиптических уравнений" [30) и получил дальнейшее развитие в работах СМ. Никольского [52-5G], П.И. Лизоркина [3G-39], СВ. Успенского [7G-79], О.В. Бесова [2|, X. Трибеля (75|, А. Куфнера |32], Н.В. Миро-шипа [44-51], И.Е. Егорова [10], К.Х. Боііматола ]3-8|, С.А. Исхокова [15-25] и других. Большинство этих исследований относится к эллиптическим дифференциальным уравнениям, определенным в некоторой области О, С Я" и вырождающимся па многообразии размерности п — 1.

В частности, в работе Н.В. Мирошипа [40] рассмотрена обобщенная внешняя вариационная задача Дирихле для эллиптического оператора, заданного во внешности ограниченной области Q С R", коэффициенты которого могут степенным образом вырождаться на (п — 1)-мерпой границе дії и иметь степенные особенности па бесконечности. Им доказана теорема о гладкости решении рассматриваемой задачи в зависимости от гладкости коэффициентов и правой части уравнении. Также; доказана фредгольмовость задачи, в которой па конечной части границы задаются пулевые граничные данные, по требуется, чтобы па бесконечности искомое решение выходило на заданный полипом.

В работе Салмапова Ю.Д. [01| изучаются теоремі)] вложении для весовых классов функций, определенных в ограниченной области и-морпого пространства, имеющей границу, состоящую из многообразий любых измерений.

Краевые задачи для эллиптических уравнений в полупространстве R'l — {х = (х,х_п) Є R^H;x_n > 0}, вырождающиеся па гиперплоскости х_п ~ 0, рассмотрены в работах Ю.В. Рыбалова [5⁽J-G0| , И.И. Матвеевой 42-43], С.А. Исхокова [16-18, 22|, СВ. Успенского |7С|, В.В. Катрахова. [2G, 27| и других.

В работе С.А, Исхокова |22], в частности, рассматриваются весовые функциональные пространства типа V?" (Q), где П-произнолыюе открытое множество в Rⁿ. С помощью свойств этих пространств найдена апри-0])пая оценка решений вырождающихся эллиптических уравнений в произвольной области, причем допускается более общий случай вырождения дифференциальных операторов, чем степеипо-логарифмичеекпй. Им также доказана однозначная разрешимость и гладкость решения обобщенной задачи Дирихле для эллиптических уравнений 15 полупространство.

Также в работе С,А. Иехокоиа [17] па основе теории вложении весовых функциональных пространств исследована вариационная задача Дирихле для квазилинейного эллиптического уравнения в полупространстве R+ ~ {х ~ {х,х_п) Є Rⁿ;x_n > 0}, которое вырождается на гиперплоскости х_п — 0 и при х -> оо. Им доказана теорема о существовании и единственности обобщенного решения задачи Дирихле.

Таким образом, тема диссертационной работы, целью которой является исследование вариационной задачи Дирихле; для некоторых классов эллиптических операторов, вырождающихся на многообразиях произвольной размерности, является актуальной.

В диссертации получены следующие основные результаты:

Получены теоремы вложения и компактность вложения весовых пространств типа С.Л. Соболева, с помощью которых доказаны теоремы повышения гладкости решения внешней вариационной задачи Дирихле с однородными граничными условиями в зависимости от правой части.

Доказана фредгольмовость вариационном задачи Дирихле¹ с; неоднородными граничными условиями па многообразиях и вариационной задачи Дирихле, решения которой стабилизируются к заданному многочлену на бесконечности.

Получены соответствующие теоремы вложения для вариационной задачи Дирихле для эллиптических операторов, вырождающихся па -мерных гиперплоскостях, па основе которых доказаны однозначная разрешимость и гладкость решения однородной и неоднородной задач.

Доказаны однозначная разрешимость и гладкость решения вариационной задачи Дирихле для эллиптического оператора, вырождающегося на неограниченных многообразиях произвольной размерности, и вариационной задачи Дирихле для вырождающегося квазилинейного эллиптического оператора.

Основным методом исследования является метод, основанный па. теории вложения весовых функциональных пространств. Методика, исследования основана на работах Н.В. Мирошииа, С,А. Иехокоиа.

В нерпой главе рассматривается вариационная задача Дирихле для эллиптических операторов, вырождающихся на ограниченных многообразиях различных измерений.

В первом параграфе главы рассматриваются теоремы вложения пространств функций, определенных во внешности ограниченной области. Пусті, в пространстве R" заданы ограниченные попарно не пересекающиеся многообразия размерностей т без края Г_т С І?", где т = 0,1,..., п — 1, класса С⁰⁰ такие, что ${) = тіпр(Г_т,Г() > О, і ф т, г,т — 0,1, ...,п — 1.

Далее символами Сі', Кц обозначим соответственно область в R'¹ с достаточно гладкой (п — 1)-мерпой Г])ашщей и шар радиуса R с центром в начале координат такие, что для них выполнено условие U Г_т С О' С її С K_R.

Пусть Q,"- ограниченная область, границей которой является Г₇₁_і. п--і ^

Далее всюду положим Г = U Г_ш, Q* = Л"\(П"иГ). Пусть а = (йо, а\,..., а_п-\) и Р - вещественное число. Символом а^ _д (х) обозначим бесконечно дифференцируемую положительную в П* функцию, для которой выполнено условие

С дР(х) \fxeRⁿ\Kfh ^а~1в М ~ { ⁿfi f% _{х) v.t є (п'\ у¹ Г,Л П ІГ, \ т=() \ ш=0 / где р_т (х^-регуляризоваппое расстояние от х Є ( Ї2'\ U 1Л» }гїП*доГ_ш, \ m=0 / d[x) = I 1 + \х\ J и знак ~ означает наличие двусто]>оіпіей оценки с положительными постоянными. ое число и р Є (1; со). Символом /

Пусты- целое неотрицательное число up Є (1;со). Символом U -, (U* ft'Ji ->' обоЗПаЧИМ МНОЖесТВО ВССХ ИЗМерИМЫХ В Q* фуПКЦИЙ, ИМеЮЩНХ В П* ІІСЄ- возможные обобщенные производные до порядка г включительно, и для которых конечна величина

и; U -+ jr_tn,0 = (е/(^м1^«м1) {1*1=4 где к = (hi,..., к_п) - мультиипдокс и D^hu{x) = и^(х) = '_кі "^{х\._п-

Ниже символом В обозначим банахово пространство с нормой \\щ В\ u;W-,(fi*) p;a,fi ^{v !} ₊ / \u (х)\^р dx

К „пи* _«; ^,у_{;;„-Д7 HI={||}^ц_; ^l_{'a, ("*)"+її»;}^L_{" (}^fi,_"i"}^1/P «; 1^ Ш) p;n (і ^v ' (0.0.1) где p(x) - бесконечно дифференцируемая is fi* положительная (функция, которая соппадает с р_т (х) в некоторой окрестности многообразия Г_ш и с d(x)~ⁱ в Н^п\Кц. Если В (D) - некоторое банахово пространство изме- римых в D С R^H (функций и Сц (D) С B{D), то символом В (D) обозначим пополнение класса С (D) в норме нростраис^ггна В (D), а через (В (>)) - множество всех аитилинейиых непрерывных па В (D) функционалов, наделенное нормой сопряженного пространства. Для введенных весовых пространств доказаны теоремы вложения и компактности вложения.

Рассмотрим билинейную форму

В[щ<р]= Е ! <ш(х)и^ШЪ [x)dx (_М, «р Cf (fi*)). (0-0.2) !*1,1<1<4

Предполагается, что коэффициенты а^(х) являются измеримыми в Q* комплекенозпачными функциями, удовлетворяющими условиям Re Е <*ы(:с)&6 > Kff^(x)² Е l&f \k\,\l\«І? (*) ^^Wp-^¹⁴^-¹'¹^) (0.0,1) длм Є Q* и всох мультииндексов к, І, к таких, что \к\, |/| < г, & < So-

Задача Д. Для заданного числа ) G Ли заданного функционала F Є (И⁷^-* (^*)J требуется найти функцию м (ж), удовлетворяющую условиям

В [„, Н + А („, 0₇ = (F, „) ^ є ( Г_2;._ІД7 (П')) , ₍₎ ^ue(*Wn'>)' ['до А - некоторое комплексное число и (, ) - скалярное; произведение в L_2;7(Q*).

Во втором параграфе доказаны теоремы повышения гладкости решений задачи (0.0.5). В третьем параграфе рассматривается задача Дирихле с неоднородными граничными условиями на многообразиях. /с. V

Задача Д. Для заданного функционала F Є [ И⁷ 2-,?д₇ (^*) ^{и ?}'^л~ данной финитной относительно бесконечности функции / (х) Є ^2-<х в т (^*) требуется найти функцию и (х), удовлетворяющую условиям

В [и,<р] + А (щ <р)_у = (F,7 5_;ад₇ <"*)> _{{п д6)}

С помощью неравенства Харди, доказана фредгольмовость задачи (0.0.С).

В четвертом параграфе рассматриваются решения вариационной задачи Дирихле, стабилизирующиеся к заданному многочлену.

Пустії Р_г-\ - конечномерное пространство многочленов, точная степені) которых не превосходит г — 1.

Задача Д. Для заданного числа у Є R, заданного функционала. F Є ( И⁷ 2_;(7д₇ (П*) j и заданного многочлена Р (х) Є P_r~i степени в Є [0, г — 1] требуется панти функцию и(х), удовлетворяющую условиям ^{в [и, и + а (щ <р)7 = №v) v^ є w ;.ад? (iv), {} и(х)-Р(х)е_пЄ\^г₂._ЛРп(П*), где (, ) - скалярное произведение пространства L-2_;1 (fi*). Доказана, фред-гольмовость задачи (0.0.7).

Во второй главе рассматривается вариационная задача Дирихле для эллиптических операторов, вырождающихся па m-мерпых пикф-плоскостях,

Пусть О, ~ Rⁿ\H_m, где R_m - гиперплоскость х_п = х_п-\ = ... ~ х_т+\ = О размерности т ~ 1,п — 1. Расстояние от точки х = (жі, „.,„) Є П до гиперплоскости совпадает с р(х) ~ \/xf_n+l + ... + х\.

Пусть функция ip{t) Є С {R\) такая, что 0 < (p(t) < 1 для всех t [^ll% 1] и ц> it) = 0, когда t>l,n(p(t) = l для всех і Є [0; Щ. Для любых двух вещественных чисел а, 0 определим функцию х)) Р {я)"" + (1 - Ч> (Р (^х))) Р (^х)⁰

Пусть р Є (1;+оо) и Г - некоторое неотрицательное целое число. Определим следующие весовые классы функции, заданных в П: w',W,7 («) = {" W^; lh;^W.7(")ll = = {||«; і;,_№/, (П)Ц' + ||_U;»_ол (П)!'}¹* < +оо} , ^„„,(п) = {«(Ф ||»;v;w(ⁿ)ll =

Пусть Р[и, v] - билинейная форма P[«,v]= X] (^а^^У)' (0-»-8) |fc|,|/|kl(x)\0(x)p^2r+^H^), (0.0-9) для всех мультииидексов к, I, подлине пе превосходящих ; существует число такое, что r(fc) (0.0.10) \k\,\\<г-Пусті) s - фиксированное целое неотрицательное число. Получены соответствующие теоремы о вложении весовых функциональных пространств, и на их основе исследуется следующая задача.

Задача Д. Для заданного элемента F Є l\V 2_;ад₇ (^)) требуется найти функцию и(х), удовлетворяющую условиям P[u,v] = {F,v) \/уЄС^{П),

Доказана теорема об однозначной разрешимости и гладкости решения задачи.

В третьем параграфе второй главы исследуется неоднородная задача. Дирихле.

Задача Д. Для заданного элемента F [W 2_;ад₇ (П)) » жданной функции /(ж) Є W_rt0 (f2) ^тР^ебуется найти функцию и(х), удовлетворяющую условиям P{u_}v] = {F,v) VveC^{tt), и-JEW 5_;вд₇ (О) -

Для этой задачи также доказаны однозначная разрешимость и гладкость решения.

В третьей главе исследуется вариационная задача Дирихле дли эллиптических операторов, вырождающихся па неограниченных ш-мерпых многообразиях.

Сначала доказаны соответствующие теоремы вложения. Обозначим через Г_т - неограниченное многообразие размерности т, т = 0,1,..., п — 1, удовлетворяющее услошпо конуса. Это означает, что существует линейное преобразование , осуществляющее; поворот вокруг начала координат в IV\ такое, что xeAV_hcRⁿ\T_m VA>0, УхЄГ_т.

Здесь Vh - множество, являющееся объединением всех конусов К/, (/;), когда г] пробегает dS]_t. = (x_h.,.,x_n) Є Rⁿ : x_x = ... = x_m = 0, ]T ^xf < ^h7 i=m+l V_h = I x = (xi,...,x_n) Є Я" : 0 < x_n < h, ^xi < a²xl > , где a, h > 0. Черга Kfi(r))_} 77 Є Rⁿ, \r}\ — h, обозначим конус, который получается путем поворота К\_х вокруг начала координат так, что при этом точка (0,...,0, h) Rⁿ переходит її точку ц.

Пусть Q = Rⁿ\F_m, где Г_т - неограниченное многообразие размер-пости т, т = 0,1,...,п — 1, удовлетворяющее условию конуса, р{х) -расстояние от точки х = (жі, ...,ж„) Є О. до многообразия Г_?н.

Функция (p{t) Є С⁰⁰ (Rf) такая, что 0< (t) = 0 при t>l,a(p(t) = l для всех Є [О; \].

Для любых двух вещественных чисел а, /? определим функцию <г_а,р {х) = <Р (р (х)) р {х)~^а + (l-tp(p (ж))) р (.т)'^?.

Пусть р Є (1; +со) и г - некоторое неотрицательное целое число. Определим весовые классы функции, заданных в П, нормы которых имеют вид: їх ) < +оо, щ ц_у^(Щ\ = \ Е [(^(х)\им(х)\у<1

РЛ /г \щ W[,_aAl(Q)\\ = {||_U; L^(Q)\\^p+\\u; I?_m„{Q)\\^p} *Р < +оо llfc|

Для этих пространств получены соответствующие теоремы вложения. Пусть Р[ц, v] - билинейная форма р[им= Е (^w«^(t).«⁽ⁱ⁾)' [fc|,|/| 0 такое, что a_kl{x)\p{x)p{x) -2Р+ІАІ+! (0.0.12) для всех мультииидексов k,l, по длине не превосходящих г; суїдесі'вуот число с > 0 такое, что (0.0.13)

Щ,\1\<г \к\=г в любой точко ж Є П и для любого набора комплексных чисел { /и.і^ .*

Задача Дирихле. Для заданного элемента F Є О'^'ч,/7,7 (^)) ^ТР^0_ буотся паіїти функцию и (х), удовлетворяющую условиям P[u₁v] = {F₁v) УиєС₀(П),

Доказаны однозначная разрешимость и гладкость решения этой зада-

В последнем параграфе третьей главы рассматривается вариационная задача Дирихле для вырождающегося квазилинейного оператора.

Обозначим через F^a (Q) подмножество множества 1\У 2_;„д₇(^)) такт», что для каждого элемента F ^а'д₇ (Щ псе соответствующие функции fk(x), когда jfc| < г, тождественно рампы пулю.

Для заданных операторов Аи (\к\ = \1\ = г), таких, что (Аі-іф)(х) -

Измеримые фуНКЦИИ ДЛЯ ВСЄХ (f Є W 2;аД7 ^)' " ^^ЛИ ФУ^{!ІКІШ0шиін} ^ Є _{/о у}

I W 2-а $< {Щ ) рассмотрим уравнение J2 f (Лии) (х) и (х) Щ^вх - (F, v), V v Є W 5_;(lt/Ji7 (П) (0.0.14) Предположим, что опе])ато])ы уі^ удовлетворяют следующим услови- vrai sup (^W) М 0ал (я) vrai sup (Аыч>) {x) - (АиФ) W и ^^{|я ЛІ}бого набора комплексных чисел {С^}|м_<г- Положительные числа Л/,с не зависят от tp,}x,.

Задача Дирихле. Для заданного функционала F Є (^Щ-_а а-у (^)) требуется найти решение и (ж) уравнения (0.0.14), принадлежащее просі страпству W 2;«д₇(Ф-

Доказаны однозначная разрешимость и гладкості) решения задачи.

Результаты диссертационной работы неоднократно докладывались и обсуждались на семинаре "Дифференциальные уравнения с частными производными" профессора НЕ. Егорова (НИИ математики при ЯГУ), на научной конференции "Лаврентьсвские чтения РС(Я)" в 2001, 2005, 200С г.г., на конференции "Информационные технологии в пауке, образовании и экономике" (2003г., Якутск), на IV Международной конференции но математическому моделированию (2004 г., 51кутек), на Всероссийской школе семинаре студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов "Математическое моделирование развития сонорных территорий в условиях рынка" (2004 г., Якутск), па Международной конференции "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ", посвященной столетию Сергея Михайловича Никольского (2005 г., Москва).

Результаты данной работы носят теоретический характер и могут быть использованы для дальнейшего развития теории краевых задач для вьірождающихся эллиптических дифференциальных уравнений, а также в учебном процессе при чтении спецкурса для студентом и аспирантов.

Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы. Главы состоят из пунктов. Формулы в каждой главе нумеруются тремя натуральными числами, первое их которых указывает на номе]) главы, второе -- поме]> пункта, третье - номе]) формулы в пункте.

Внешняя вариационная задача Дирихле с; однородными граничными условиями

Пусть Рг-[ - конечномерное пространство многочленов, точная стенеш» которых не превосходит г — 1. Задача Д. Для заданного числа 7 Є R, заданного функционала / о у F Є I W 2;(тд7 ( ) ) и заданного многочлена Р (х) Є Р,-_і степени О Є [0,г — 1] требуется найти функцию и(х), удовлетворяющую условиям В [и, р] + А (щ р) = {F1tp)1 V Є W r2.Ml (CI ), (ы u () - P (x) en Є W г2.ДАі (ft ), ГД - ( ) ) - скалярное произведение пространства L (ft ) Введем (функцию е„, такую, что еп = 0 для всех х Яп\Кц и еп = О при ж Є Д"УОї Наряду с задачей (1.4.1) рассматриваются отвечающие ей однородная и формально сопряженные задачи: В [и, р} + \ (и, tp)y = О, V Є W r2,lte, f № (L4.2) u-P(x)cnWr2.CxAl(iT), B+[vt4 ]+\(v, p)y= (Ф, , V G If/ 5;адт(П ), (1A3) B+ [и, И + A (v, rf7 = 0, V Є W r2,yil (ft ), {ыл) v P(x)eneWr2.rtAl(W), Теорема 1.4.1. Пустг 7 /? + г, г — am 0 ?ля осел; m = 0,1,..., п — 1, /3 + г — 0, в - степень многочлена Р (х), it выполнены условия -/3 {1,2,...,г}, am+ - {1,2,...,г}

Тогда задача (1.4-1) фредголъмооа. Это означает, что: 1) задача (1.4-1) разрешима для тех и только тех F, для которых (F, v) = 0 на всех функциях v, являющихся решениями, задачи (1.4-4): 2) размерности пространств решений задач (1.4-2) и (1.4-4) конечны и равны между совой; 3) задача (1-4-2) имеет отличные от нуля решения лишь для счетного числа значения параметра А = А,;, г 1,2,..., причем А,- — —со при і —ї со; при этом сопряоїсеппая однородная задача (1-4-4) имеет. нетривиальные решения при тех otce X, что и (1.4-2).

Доказательство. Решение задачи (1.4.1) можно представить is пнде и (х) = щ (х) -\- ii2 (х), где щ (х) - решение неоднородного уравнения с неоднородными граничными условиями, т.е. В К И + А К ф)у = (F, р) V / Є W 5;ад7 (W), о «іМє 5;ДД7(о ), 1.4. a U 2 (х) - решение однородного уравнения с неоднородными граничными условиями, т.е. о В Ь, р] + А (и, rf7 = О V W k/ ,7 (W), (L4 fi) Справедлива следующая лемма. Лемма 1.4.1. При выполнении условий теоремы 1.4-1 задача (1-4-5) фредгольмова. Доказательство следует из теоремы 3 работы J23J.

Лемма 1.4.2. Пусть выполнены условия (3 + г 7) (3 + г — в. Тогда любой многочлен Р (х) Є Pr-i по формуле (G, Ф) = -В [Ре„, Ф] -А (Реп, Ф) порождает функционал G Є i\V 2;«,/?,7 ( ) ) В данной главе исследуется однородная и неоднородная задачи Дирихле для эллиптического оператора вырождающегося на гиперплоскости и на бесконечности степенным образом. Пусті. О, — Rn\Rm, где Rm - гиперплоскость хп = хп-\ — ... = xm+i = О размерности m = 1,п— 1. Расстояние от точки х = (хі,...,хп) Є f2 до гипе])плоскости совпадает с р(х) Пусть функция p(t) Є С (Я\) такая, что 0 (p(t) 1 для всех і Є \}l% 1] и (р (t) — 0 когда і 1, а р (t) — 1 для всех і Є [0; /г].

Для любых двух вещественных чисел а, /3 определим функцию 0-«,/Ї = v {рМ) Р (ж)"" + (і - у (р М)) рHlj Пусть р Є (1;+оо) и Г - некоторое неотрицательное целое число. Определим следующие весовые классы функций заданных в 7: Если D - иокоторос вссоїюс пространство функций па 12, то через D обозначим пополнения класса С (12) в метрике п])острапетва D. Теорема 2.1.1. Пусть выполнены условия — а + {1,...г},/? + 1L p {1, ...г},/? — г 7- ГогЛі с точностью до эквивалентности норм имеет место равенство V о (Я) — Wp.a.a (Я).

Дли доказательства этой теоремы используем следующую лемму. Лемма 2.1.1. р (1;+оо) -а + . {1, ...г} ,/3 + {1,-г}. IWu для любого целого числа гп такого, что 0 го г справедливо неравенство «; % -,. (п) « «; LJ (12)114 щ Lp (і2Д12]/2) (« Є С (fl)), (2.1.1) Ян= {х : ж Є 12, /)(ж) а} для всех а 0. Доказательство. Пусть 12 - произвольное подмножество пространства 12. Обозначим Ц,.и(Я) = Ьгр{Я; ри). Дли произвольной функции и Є С (Я) по определению положим «і = (р(я))"М) «і = (1 - (/ (ж)))м(лт). Применяя неравенство треугольника, имеем: Из соответствующих теорем вложения следует, что г ;ijp ( ГїДі і г = 1,2 (2.1.11) щ\Ь1 ОДПі « + ujLJInAfii Из (2.1.10) и (2,2.11) следует (2.1.1). Лемма доказана. Далее докажем теорему 2.1.1. Согласно теореме 1.1 работы 4j VZfl/?(fi) = Vrp.a${ty и норму пространства VZaa (О) можно задавать следующим образом 11«; У ЛЩ (Ih №1Г + lh +г,/ї-г(п)ІГ}1/р - (2-1.12) Поэтому для доказательства теореми 2,1.1 достаточно доказать, что на функциях и Є Qj0 (fi) норма п]юстрапства U7L.(/? (Q) эквивалентна, норме (2.1.12). Применяя лемму 2.1.1 при Гц — г, имеем: щ ЬІ,Ї+ _Г(ЩР « «; LJ;a (n)ir+«; МПі\аі/2)Г,« Є С(П Отсюда, в силу очевидного неравенства Пусть Р[и, v] - билинейная форма P[u,v]= 53 (ти{к\ ), (2.2.1) ,1 г где - скалярное произведение Li (Г2), щ\ - комплекс позначные функции, удовлетворяющие следующим условиям Ы )\ м ,(х) т{х) для всех мультиипдексоїз &, / по длине но превосходящих ; существует число такое, что (2.2.2) Re ан {х)ЄЧ % (х) J2 И ( ) \k\A\ r \к\=г в любой точке х Q и для любого набора комплексных чисел { } Используя неравенство Копій Буи я конского для всех и, v Є Ср0 (2), имеем: t,[/ rh м Е .(( МР Г+1Ц ( ) (fc) И) К М/ +i j М К" М) ь ВД гП ifc,KI .-n ,/ гП J А/0«;К (П)-«; (П). (2.2,1) Так как CQ (fi) плотно в пространстве У я ( )) то билинейная скорма (2.2.1) оп] еделена для всех и, и Є V (fi). Если числа, а, р, у удо-влетво])яют всем условиям теоремы 2.1.1, то с точностью до эквивалентности до норм выполняется равенство Поэтому билинейная форма Р[ад,г ] определена для всех Пусть s - фиксированное целое неотрицательное число. Задача Д. Для заданного элемента F Є [W 2-а в-у ()) требуется тйти функцию и($), удовлетворяющую условиям P[u,v] = {F,v) VveC (ty " е W r2,nAl (П). 2.2.5] (2.2.G) Теорема 2.2.1. Пусть числа а, (3, j удовлетворяют условиям —a + ІЦр Є {1,...,7-),/3 + 21 Є {1, ...,г},/3 - r 7 « ИЇ/СШЇ) коэффициенты аи (ж) билинейной формы (2.2.1) удовлетворяют условиям (2.2.2), (2.2.3), so - лш ое і(елос число, такое, что О so s. ТогЛї Л/ut любого заданного элемента F І -а- « -з ( )) существует единствен.} і ос, решение и (х) задачи Д, которое на самом деле принадлежит иростраи-с.пшу \У 2 s p+s 7 (П) ад /фи зтосш справедлива оценка

О решениях вариационной задачи Дирихле, стабилизирующихся к заданному многочлену

Теорема 3.1,1. Пусть г-целое неотргщательиое, а, [3- естественные числа. Тогда множество Со(П) плотно в пространстве V.nJQ). Для любого натурального числа s справедливо вложение (П) с v; iSJ,_s(a). Доказательство следует из лемм 1.1 - 1.3 работы [9]. Теорема 3.1.2. Пусть выполняются условия -с+ 2-- : 13+ {1,2,...,г}; /9-г 7.

Тогда с точностью до эквивалентности норм, выполняется равенство Лемма 3.1.1. Пусть р Є (1, +оо) и пусть -а+ у {1,2,..., г}; /5+ ! Р {1,2,...,г}. Тогда для любого числа s, такого, что 0 s г имеет место неравенство l!«; W-,(n)l!p « «; ит11(Щ + \\щ „(}, \ П1/2)" (V« Є СПП)), (3.1.1) где 7а = {л; : а; Є О, р(ж) а} для всех а 0. Доказательство. Пусть функция Ї/(Ж) Є (7 (0) такая, что:0 »;(ж) 1 для всех х Є fi; (я) = 0 для всех ж Є ST2 \ ST21; //(а;) = 1 для всех ж Є П1/2 и г/ (я;) М Уk : fc г, ж Є П. Произвольную функцию и Є Со(Г2) представим ЇЇ виде и(х) = щ(х) +щ(х), где иі(ж) = и(х)г](х), и2{х) = и(х)(1 - v(x)) При необходимости, осуществляя поворот вокруг начала координат, далее будем считать, что Л является тождественным отображением. Точек многообразии ЯЯ можно представить в виде (х,Мх), где G8

Рассмотрим произвольную точку х — (х ,... ,ж"пж"1+і,..., xJ) Є П. Тогда (х[),Мх[)) Є 9Я и согласно определению 3.1.1 (ЯО Ду/ 0\ , т/(т) pu,XJu) + 4 с VA O. Из этого включения следует, что р(#0) = dist{x{); Щ] не превосходит d(x ) = fiisija; ; (J ,Mi0)} и по меньше чем расстояния от точки х до границы Vj) . Поэтому а \/1+а2 ж0 - Мх\ р{х) \х - Мх\. (3.1.2) Заметим, что соотношение (3,1,2) выполняется Vx Є 12. Если -5 {1,2,,..,г}, то V/(i) Є C(f(0,1) справедливо (см. например, f 13]) следующее неравенство Харди J {rs-s\f(t)\)Pdt « j (t- \fM(t)\)Pdt (3.1.3) Далее символом Пі обозначим проекцию області Пі па гиперплоскости Ет = {х 6 Я" : хт+і — " — хп — 0}, а через Пі- проекцию области Пі на Еп т = {х Є Rn : хі - хт — 0}. Применяя неравенство (3.1.2) имеем «1;ІРІ_„_Я(П1)"« [([ {\х-МЩ-а- \щ(х;Щр ш) В. Jtli Vll,

Bo шіутрешюм интеграле произведем замену переменных интегрирования х — + Мх и затем переходим в полярную систему координат. Функцию «і в новых независимых переменных обозначим этим же символом. В результате имеем где шо-едшіичпая сфера в пространстве Rn m l. Далее применяем неравенство (3) и обратно переходим к переменным х = (хт+\, хп). Таким образом мы приходим к неравенству h;Vft-e(fi,) «U,;LJ;_n(n,)r. В этом неравенстве заменим щ{х) па и (х), где jfcj = г — s и после суммирования по к получим lui;i;r-«-(ni)llp«ll«i; ;-«(fii)llp- (3-1-4) G9 Действуя по этой же схеме относительно Ї 2(а:)получаем неравенство 1Ь; Lr-J_a{Q \ n1/2)f « u2; Lrp.p(Q \ fi1/2) \ (3.1.5) Так как и(х) = щ(х) -\-щ(х), то применяя неравенства (3.1.4), (3.1.5) и учитывая свойства функции г)(х) имеем \к\ г Отсюда следует (3.1.1) если воспользоваться неравенством Х;іі«№ р№\адіі іі«;едпі\адіі + іі«;М«і\"і/2)іі \к\ г Лемма доказана. Из неравенства (3.1.1) при s = г следует, что 11«; ь1а+г Ш « 11«; иї„д7(п) (v« є с0(П)). Следовательно «;VJ0)/?(fi) « «;И д7(П) (V« Є C0(fi)). (3.1.6) Так как /3 —г 7, то аа,7(ж) аа+Г)7_г(ж). Поэтому имеет место обратное по отношению к (3.1.G) неравенство, что и завершает доказательство о теоремы 3.1.2, если учесть равенство V ,г,-0д( ) = К а «(}). Теорема 3.1.3. Пусть выполнены условия п — т п — т п — га -г + —— а — 1, г-Р — .so - 1, 2 2 2 (3.1.7) п — т п — т . „ п — т , 13 + — r, 7 + — + so O, 7 + —Y + 5п 1, г ?е А о- елос число, которое удовлетворяет неравенствам г + а — 1 11 б о г+а— р+1. Wa по функциях и Є C(j(f2) полунорма \\щ L 2n (i(U)\\ жвааалептиа норме пространства И а (П). Доказательство. Вводим следующую функцию одного аргумента V,#() — (V(0 + (1 (0) ( 0). Если выполняются условия (3.1.7), то применяя результатов работы [18] получаем неравенство J ( (t)tB=ri\f{t)\y dt « О ( Ф І/ Оі) dt У/єС0(0,оо). (3.1.8) Далее действуя так же как is доказательстве неравенства (3.1.4) на основе (3.1.2), (3.1.8), получим неравенство \\щь1 (щ\ \\щщ. (п)\\ (Уиестт Следовательно, «; W Ay(Q)\\ « \\щ Ьг2.а/Щ (Vu Є С$ {0,)). Обратное неравенство очевидно. Теорема 3.1.3 доказана. 3.2 Вариационная задача Дирихле для эллиптических операторов, вырождающихся на неограниченных m-мерных многообразиях В этом пункте исследуем однозначную разрешимость аналога поріши красной задачи с однородными граничными условиями для эллиптического уравнения lu= Y, (-lf(aki(x)u{k)(x)y] = F, (3.2.1) ВД Г вырождающегося па многообразии ЙЯ. Постановка и изучение разрешимости краевых задач для уравнения (3.2.1.) связаны с рассмотрением билинейной формы B[u,v]= J2 (аы(х)4к)(х)ФЧх. (3.2.2) \k\,\i\ rJn Коэффициенты аы(х) являются измеримыми в О комплекспозмачными функциями, удовлетворяющими условиям: существует число к 0 такое, что 1,Н г \к\=г для всех х Є U и любого набора комплексных чисел С — {Ok}jfc n существует константа М 0 и целое неотрицательное число то такие, что (А) ы а (х) М і3(х)/ І+І"-2г-А( (ж Є fi) (3.2.4) для всех мультиипдексов к, /, А таких, что \к\, \1\ г, А тц. Рассмотрим следующую задачу Задача Д Для заданного функционала. F Є V La _#( ) требуется о найти решение и(х) EW 2;пд7( ) уравнения B[utv] = {F,v) Уг єСо(Ю). (3-2-5) Любое решение уравнения (3.2,5) называется обобщенным решением уравнения (3.2.1). Результат о разрешимости задачи Д) сформулируем с учетом гладкости ее решения.

О вариационной задаче Дирихле для эллиптических операторов, вырождающихся па m-мсрпых гиперплоскостях

Одним из методов исследования граничных задач для вырождающихся дифференциальных уравнений является метод, основанный па теории вложения весовых функциональных пространств. Этот метод впервые был продемонстрирован Л.Д. Кудрявцевым в работе "Прямые и обратные теоремы вложения. Приложения к решению вариационным методом эллиптических уравнений" [30) и получил дальнейшее развитие в работах СМ. Никольского [52-5G], П.И. Лизоркина [3G-39], СВ. Успенского [7G-79], О.В. Бесова [2, X. Трибеля (75, А. Куфнера 32], Н.В. Миро-шипа [44-51], И.Е. Егорова [10], К.Х. Боііматола ]3-8, С.А. Исхокова [15-25] и других. Большинство этих исследований относится к эллиптическим дифференциальным уравнениям, определенным в некоторой области О, С Я" и вырождающимся па многообразии размерности п — 1. 5040

В частности, в работе Н.В. Мирошипа [40] рассмотрена обобщенная внешняя вариационная задача Дирихле для эллиптического оператора, заданного во внешности ограниченной области Q С R", коэффициенты которого могут степенным образом вырождаться на (п — 1)-мерпой границе дії и иметь степенные особенности па бесконечности. Им доказана теорема о гладкости решении рассматриваемой задачи в зависимости от гладкости коэффициентов и правой части уравнении. Также; доказана фредгольмовость задачи, в которой па конечной части границы задаются пулевые граничные данные, по требуется, чтобы па бесконечности искомое решение выходило на заданный полипом.

В работе Салмапова Ю.Д. [01 изучаются теоремі)] вложении для весовых классов функций, определенных в ограниченной области и-морпого пространства, имеющей границу, состоящую из многообразий любых измерений.

Краевые задачи для эллиптических уравнений в полупространстве R l — {х = (х,хп) Є RH;xn 0}, вырождающиеся па гиперплоскости хп 0, рассмотрены в работах Ю.В. Рыбалова [5(J-G0 , И.И. Матвеевой 42-43], С.А. Исхокова [16-18, 22, СВ. Успенского 7С, В.В. Катрахова. [2G, 27 и других.

В работе С.А, Исхокова 22], в частности, рассматриваются весовые функциональные пространства типа V?" (Q), где П-произнолыюе открытое множество в Rn. С помощью свойств этих пространств найдена апри-0])пая оценка решений вырождающихся эллиптических уравнений в произвольной области, причем допускается более общий случай вырождения дифференциальных операторов, чем степеипо-логарифмичеекпй. Им также доказана однозначная разрешимость и гладкость решения обобщенной задачи Дирихле для эллиптических уравнений 15 полупространство.

Также в работе С,А. Иехокоиа [17] па основе теории вложении весовых функциональных пространств исследована вариационная задача Дирихле для квазилинейного эллиптического уравнения в полупространстве R+ {х {х,хп) Є Rn;xn 0}, которое вырождается на гиперплоскости хп — 0 и при х - оо. Им доказана теорема о существовании и единственности обобщенного решения задачи Дирихле.

Таким образом, тема диссертационной работы, целью которой является исследование вариационной задачи Дирихле; для некоторых классов эллиптических операторов, вырождающихся на многообразиях произвольной размерности, является актуальной.

1) Получены теоремы вложения и компактность вложения весовых пространств типа С.Л. Соболева, с помощью которых доказаны теоремы повышения гладкости решения внешней вариационной задачи Дирихле с однородными граничными условиями в зависимости от правой части.

2) Доказана фредгольмовость вариационном задачи Дирихле1 с; неоднородными граничными условиями па многообразиях и вариационной задачи Дирихле, решения которой стабилизируются к заданному многочлену на бесконечности.

3) Получены соответствующие теоремы вложения для вариационной задачи Дирихле для эллиптических операторов, вырождающихся па -мерных гиперплоскостях, па основе которых доказаны однозначная разрешимость и гладкость решения однородной и неоднородной задач.

4) Доказаны однозначная разрешимость и гладкость решения вариационной задачи Дирихле для эллиптического оператора, вырождающегося на неограниченных многообразиях произвольной размерности, и вариационной задачи Дирихле для вырождающегося квазилинейного эллиптического оператора.

Основным методом исследования является метод, основанный па. теории вложения весовых функциональных пространств. Методика, исследования основана на работах Н.В. Мирошииа, С,А. Иехокоиа.

Вариационная задача Дирихле для эллиптических операторов, вырождающихся па неограниченных m-мериых многообразиях

Ниже символом В обозначим банахово пространство с нормой где p(x) - бесконечно дифференцируемая is fi положительная (функция, которая соппадает с рт (х) в некоторой окрестности многообразия Гш и с d(x) i в Нп\Кц. Если В (D) - некоторое банахово пространство изме римых в D С RH (функций и Сц (D) С B{D), то символом В (D) обозначим пополнение класса С (D) в норме нростраисггна В (D), а через (В ( )) - множество всех аитилинейиых непрерывных па В (D) функционалов, наделенное нормой сопряженного пространства. Для введенных весовых пространств доказаны теоремы вложения и компактности вложения.

Рассмотрим билинейную форму В[щ р]= Е ! ш(х)и ШЪ [x)dx (М, «р Cf (fi )). (0-0.2) ! 1,1 1 4 Предполагается, что коэффициенты а (х) являются измеримыми в Q комплекенозпачными функциями, удовлетворяющими условиям Re Е ы(:с)&6 Kff (x)2 Е l&f \k\,\l\ r =г для всех ,т Є П и любого набора комплексных чисел {}ц,і ,.; пуст]) «о - некоторое целое неотрицательное число, тогда (0.0.3) «І? ( ) WP- 14 -1 1 ) (0.0,1) G длм \wcxx Є Q и всох мультииндексов к, І, к таких, что \к\, / г, & So Задача Д. Для заданного числа ) G Ли заданного функционала F Є (И7 - ( )J требуется найти функцию м (ж), удовлетворяющую условиям В [„, Н + А („, 07 = (F, „) є ( Г2;.ІД7 (П )) , () ue( Wn ) [ до А - некоторое комплексное число - скалярное; произведение в L2;7(Q ). Во втором параграфе доказаны теоремы повышения гладкости решений задачи (0.0.5). В третьем параграфе рассматривается задача Дирихле с неоднородными граничными условиями на многообразиях. /с. V Задача Д.

Для заданного функционала F Є [ И7 2-,?д7 ( ) и л данной финитной относительно бесконечности функции / (х) Є 2- х в т ( ) требуется найти функцию и (х), удовлетворяющую условиям В [и, р] + А (щ р)у = (F, p) V р Є И7 5;ад7 " ) {п д6) С помощью неравенства Харди, доказана фредгольмовость задачи (0.0.С). В четвертом параграфе рассматриваются решения вариационной задачи Дирихле, стабилизирующиеся к заданному многочлену. Пустії Рг-\ - конечномерное пространство многочленов, точная степені) которых не превосходит г — 1. Задача Д. Для заданного числа у Є R, заданного функционала. /о V F Є ( И7 2;(7д7 (П ) j и заданного многочлена Р (х) Є Pr i степени в Є [0, г — 1] требуется панти функцию и(х), удовлетворяющую условиям в [и, и + А (щ р)7 = №v) v є w ;.ад? (iv), { и(х)-Р(х)епЄ\г2.ЛРп(П ), где (, ) - скалярное произведение пространства L-2;1 (fi ). Доказана, фред-гольмовость задачи (0.0.7). Во второй главе рассматривается вариационная задача Дирихле для эллиптических операторов, вырождающихся па m-мерпых пикф-плоскостях, Пусть О, Rn\Hm, где Rm - гиперплоскость хп = хп-\ = ... хт+\ = О размерности т 1,п — 1. Расстояние от точки х = (жі, „.,„) Є П до гиперплоскости совпадает с р(х) \/xfn+l + ... + х\. Пусть функция ip{t) Є С {R\) такая, что 0 (p(t) 1 для всех t [ll% 1] и ц it) = 0, когда t l,n(p(t) = l для всех і Є [0; Щ. Для любых двух вещественных чисел а, 0 определим функцию ? tS = f(p (х)) Р {я)"" + (1 - Ч (Р (х))) Р (х)0 Пусть р Є (1;+оо) и Г - некоторое неотрицательное целое число. Определим следующие весовые классы функции, заданных в Пусть Р[и, v] - билинейная форма P[«,v]= X] (а У) (0-»-8) fc,/ r где скалярное произведение Li (О), а - комплекспозпачпые функции, удовлетворяющие следующим условиям: \akl(x)\ Mal0(x)p2r+ H ), (0.0-9) для всех мультииидексов к, I, подлине пе превосходящих ; существует число такое, что r(fc) (0.0.10) \k\,\\ r \k\=r в любой точко х Є Єї и для любого набора комплексных чисел { }п.\ г-Пусті) s - фиксированное целое неотрицательное число.

Получены соответствующие теоремы о вложении весовых функциональных пространств, и на их основе исследуется следующая задача. Задача Д. Для заданного элемента F Є l\V 2;ад7 ( )) требуется найти функцию и(х), удовлетворяющую условиям P[u,v] = {F,v) \/УЄС {П), Доказана теорема об однозначной разрешимости и гладкости решения задачи. В третьем параграфе второй главы исследуется неоднородная задача. Дирихле. Задача Д. Для заданного элемента F [W 2;ад7 (П)) » жданной функции /(ж) Є Wrt0 (f2) тРебуется найти функцию и(х), удовлетворяющую условиям P{u}v] = {F,v) VveC {tt), и-JEW 5;вд7 (О) Для этой задачи также доказаны однозначная разрешимость и гладкость решения. В третьей главе исследуется вариационная задача Дирихле дли эллиптических операторов, вырождающихся па неограниченных ш-мерпых многообразиях. Сначала доказаны соответствующие теоремы вложения. Обозначим через Гт - неограниченное многообразие размерности т, т = 0,1,..., п — 1, удовлетворяющее услошпо конуса.

Похожие диссертации на Вариационная задача Дирихле для некоторых классов эллиптических операторов, вырождающихся на многообразиях произвольной размерности

Редукция псевдодифференциальных операторов на некомпактном многообразии к псевдодифференциальным операторам на компактном многообразии удвоенной размерностиАрутюнов Андроник Арамович

Вариационная задача Дирихле для некоторых классов эллиптических уравнений с вырождениемКаримов Алишер Гашович

О разрешимости вариационной задачи Дирихле для некоторых классов нелинейных дифференциальных уравнений с вырождениемГаниев, Муродбек Шамсивиеч

Полный инвариант диффеоморфизмов Морса-Смейла на многообразиях размерности большей, чем 3Гуревич Елена Яковлевна

Краевые задачи о контакте упругих тел разных размерностейНеустроева Наталья Валериановна

Задача Дирихле и видоизмененные задачи для уравнений смешанного типа с характеристическим вырождениемТрегубова (Сулейманова) Альбина Хакимьяновна

О разрешимости в слабом смысле задачи Дирихле для полностью нелинейных эллиптических уравнений общего видаЯкунина, Галина Владимировна

Задача Дирихле для эллиптической системы четного числа уравнений с частными производными второго порядкаАртемьева, Светлана Вадимовна

Задача Дирихле на двумерных стратифицированных множествахКовалева Лидия Александровна

Задача Дирихле для нагруженных уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа в прямоугольной областиМелишева, Екатерина Петровна