Введение к работе
Диссертационная работа посвящена изучению нового класса задач о контакте упругих тел разных размерностей и проблемы жестких включений в контактных задачах.
Актуальность темы. С каждым годом наблюдается возрождение интереса к теории упругости, как в отношении физических основ, так и в отношении математической теории. Объектом исследования данной теории являются математические модели, описывающие многие реальные физические явления. С помощью таких моделей можно описать широкий класс процессов деформирования твердых тел. Моделирование процессов в виде краевых задач не только быстро находит приложение на практике, но и нередко бывает вызвано требованиями науки и техники на текущий момент. Возникающие при этом математические задачи оказываются весьма интересными и актуальными.
Среди математических задач механики деформируемого твердого тела важное место занимают контактные задачи со свободной границей. В этом случае область контакта заранее неизвестна и определяется в процессе самого решения. Задачи с неизвестной областью контакта, как правило, нелинейные. Они привлекают в настоящее время все большее внимание математиков - как специалистов по уравнениям с частными производными, так и специалистов по вычислительной математике.
Значительное продвижение в исследовании контактных задач с неизвестной областью контакта произошло в связи со становлением и развитием теории вариационных неравенств. Вариационный подход оказался очень эффективным. Такая постановка задачи учитывает возможный отход пластины от жесткого или упругого тела. Впервые задача о равновесии упругого тела с односторонними ограничениями была рассмотрена в работе А. Синьорини (1933 г.). Исследованная им задача состоит в определении напряженно - деформированного состояния линейно упругого тела Г2, контактирующего с жесткой поверхностью, когда (при использовании вариационного подхода) на кинематически возможные состояния v накладывается дополнительное ограничение в форме неравенства
w < 0 на dQ,
где dQ - граница тела Г2, v - единичная внешняя нормаль к dQ. Результаты А. Синьорини были обобщены в различных направлениях в ряде работ Ж.Л. Лионса, Ж. Дюво, Г. Фикеры, Г. Леви. Отметим, что свойства
решений этой задачи впервые исследованы в работе Г. Фикеры, стимулировавшей исследования широкого класса контактных задач с неизвестной областью контакта.
Впоследствии развитию теории и методов решения конкретных задач были посвящены работы многих исследователей, как зарубежных, так и отечественных. Среди них отметим работы А.С. Кравчука, L.A. Caffarelli, Г.И. Львова, A.M. Хлуднева, И. Главачека, В. Schild, G. Dal Maso, К. Бай-окки, П. Панагиотопулоса, А. Фридмана, В.М. Садовского, J. Sokolowski, В.А. Ковтуненко и др.
В данной диссертационной работе изучаются краевые задачи в областях с негладкими границами, описывающие контакт двух упругих тел разных размерностей и проблему жестких включений. Это новый класс задач механики деформируемого твердого тела в приложении к теории упругости. Основная трудность в задачах определяется наличием ограничений типа неравенств, налагаемых на решения. Ограничения носят геометрический характер и являются условиями взаимного непроникания упругих тел. Следовательно, краевые условия на негладких компонентах границы будут иметь вид системы уравнений и неравенств. Учет включений при контакте упругих тел разных размерностей приводит к новым постановкам задач, существенно отличных от постановок классических контактных задач теории упругости. Несмотря на своеобразие указанных задач, они по своей физической природе и структуре описывающих их уравнений и краевых условий родственны классическим контактным задачам (задачам типа Синьорини).
В рамках работы мы исследуем однослойные пластины из неоднородного анизотропного материала, которые являются упругими и подчиняются линейному уравнению состояния (и соответствуют линейной модели Кирхгофа-Лява). Равновесие таких пластин описывается эллиптическим уравнением четвертого порядка, которое выполнено в области с разрезом.
Цель диссертационной работы — постановка и строгое математическое обоснование разрешимости краевых задач о контакте упругих тел разных размерностей.
Методы исследования, достоверность и обоснованность результатов. Работа носит теоретический характер. Выводы и теоремы, сформулированные в диссертации, базируются на строгих математических доказательствах.
Доказательства основаны на получении априорных оценок для вариационных неравенств с использованием пространств Соболева. Применяются
методы теории дифференциальных уравнений и функционального анализа, выпуклого анализа, вариационного исчисления.
Основные результаты диссертации, выносимые на защиту, и их научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты:
установлена разрешимость задачи о контакте упругой пластины с тонкой упругой балкой; найдены краевые условия, выполняющиеся на множестве возможного контакта и их точная формулировка; обоснована смешанная формулировка рассматриваемой задачи;
исследован предельный переход от упругого включения к жесткому в задаче об одностороннем контакте двух упругих пластин; показано, что предельные задачи в точности описывают контакт упругой пластины с жесткой балкой и задачу о равновесии упругой пластины с жестким включением; установлена разрешимость задач, найдены краевые условия, выполненные на возможном множестве контакта, и дано полное описание характера их выполнения;
установлена разрешимость задач об одностороннем контакте упругих пластин с жесткими включениями; найдены краевые условия, выполняющиеся на множестве возможного контакта, и соотношения, описывающие влияние внешних сил, действующих на жесткую часть пластины; доказана эквивалентность двух постановок; доказано, что задачи являются предельными для семейства задач с упругими включениями при стремлении параметра жесткости к бесконечности.
Теоретическая и практическая значимость результатов. Область приложений полученных результатов - краевые задачи для уравнений математической физики. Полученные результаты могут стать основой для постановки и исследования новых краевых задач механики деформируемого твердого тела. Результаты также могут быть использованы при дальнейшем аналитическом и численном анализе контактных задач с неизвестной областью контакта для тел разных размерностей.
Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих научных семинарах: «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы анализа», ИМ СО РАН (рук. проф. B.C. Белоносов и д.ф.-м.н. М.В. Фокин); «Математические проблемы механики сплошных сред», ИГиЛ СО РАН (рук. чл.-корр. РАН П.И. Плотников); семинар отдела механики деформируемого твердого тела, ИГиЛ СО РАН (рук. чл.-корр. РАН Б.Д. Аннин); «Теоретические и вычислительные проблемы задач математической физики», ИМ СО РАН (рук. д.ф.-м.н. A.M. Блохин).
Результаты работы докладывались на следующих конференциях: Научная конференция «Лаврентьевские чтения PC (Я)» (Якутск: 2005, 2008); XLIII Международная научная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск: 2005); Всероссийская научная конференция студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов «Математическое моделирование развития Северных территорий Российской Федерации» (Якутск: 2009); XVII Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «ЛОМОНОСОВ» (Москва: 2010).
Исследования по теме диссертации выполнены при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных исследований (проект №06-01-00209), гранта Президента Республики Саха (Якутия) молодым ученым и студентам на 2009 г., гранта ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы по мероприятию 1.3.2. «Проведение научных исследований целевыми аспирантами» (госконтракт №533 от 05 августа 2009 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 9 работах [1] - [9]. Из них 3 работы - в журналах из списка изданий, рекомендованных ВАК.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка цитируемой литературы. Общий объем составляет 86 страниц. Общее количество иллюстраций в работе 4. Список цитируемой литературы содержит 103 наименования.
