Содержание к диссертации
Введение
1 Вспомогательные топологические результаты 20
1.1 Вложения в многообразие 20
1.2 Евклидовы полиэдры 23
1.3 Вложение полиэдров в евклидово пространство . 38
1.4 Пространство орбит действия группы 45
1.5 Теорема об 5-кобордизме 48
2 Структура неблуждающего множества диффеоморфизмов класса G\{Mn) и топология несущего многообразия Мп 53
2.1 Основные определения 53
2.2 О вложении сепаратрис седловых периодических точек диффеоморфизма G\{Mn 55
2.3 Доказательство теоремы 1 57
3 Необходимые и достаточные условия топологической сопряженности диффеоморфизмов класса Gi(Mn) 61
3.1 Локальная сопряженность 61
3.2 Каноническая модель окрестности седловой точки . 71
3.3 Допустимые окрестности седловых периодических точек диффеоморфизма из Gi(Mn) 77
3.4 Доказательство теоремы 2 79
4 Теорема реализации 82
4.1 Допустимый граф 82
4.2 Доказательство теоремы 3 84
Заключение 99
Список литературы 102
- Вложение полиэдров в евклидово пространство
- О вложении сепаратрис седловых периодических точек диффеоморфизма G\{Mn
- Каноническая модель окрестности седловой точки
- Допустимые окрестности седловых периодических точек диффеоморфизма из Gi(Mn)
Введение к работе
Предмет исследования. Настоящая диссертация посвящена топологической классификации структурно устойчивых дискретных динамических систем, заданных на замкнутых ориентируемых многообразиях размерности большей трех, и охватывает исследования автора 2002-2008 годов.
Актуальность темы. Данная работа относится к одному из важнейших разделов качественной теории дифференциальных уравнений — топологической классификации структурно устойчивых динамических систем на замкнутых многообразиях.
Топологическая классификация динамических систем включает в себя следующие направления:
• нахождение топологических инвариантов для класса рассматриваемых динамических систем;
• доказательство полноты множества найденных инвариантов, то есть доказательство того, что совпадение топологических инвариантов является достаточным условием топологической эквивалентности (сопряженности) двух динамических систем;
• построение по заданному множеству топологических инвариантов стандартного представителя в каждом классе топологические эквивалентных систем.
Приведем краткую информацию о результатах по топологической классификации гладких динамических систем, заданных на замкнутых многообразиях. Более подробную информацию об этом можно найти в книгах [65], [51], а также в обзорных статьях [3], [4], [7], [8], [6], [82], [22].
На двумерной сфере задача топологической классификации структурно устойчивых непрерывных динамических систем (потоков) была полностью решена в работах А. А. Андронова, Е. А. Леон-тович, А. Г. Майера, Л. С. Понтрягина ([1], [58], [59]). Фундаментом для этого явились идеи А. Пуанкаре и И. Бендиксона, связанные с выделением тех траекторий, знание и взаимное расположение которых однозначно задает качественную структуру разбиения фазового пространства динамической системы на траектории, а также идея грубости, принадлежащая А. А. Андронову и Л. С. Понтряги-ну (см. [1]).
Следующим шагом была топологическая классификация дискретных структурно устойчивых динамических систем (каскадов) на окружности, полученная вначале А.Г. Майером в [61] и затем независимо В. И. Арнольдом и В. А. Плиссом ([9], [73]).
Существенным продвижением в классификации структурно устойчивых потоков на поверхностях, отличных от двумерной сферы, явились работы [69], [70] М. Пейкшото. В частности, для таких потоков он нашел полный топологический инвариант, называемый теперь графом Пейкшото. Фактически, этот инвариант обобщает понятие схемы потока, введенной Е. А. Леонтович и А. Г. Майером для потоков на сфере, и сводит проблему топологической классификации к решению комбинарных задач. Достигнутый прогресс в классификации структурно-устойчивых потоков на поверхностях обусловлен тем, что эти потоки имеют конечное число гиперболических состояний равновесия и замкнутых гиперболических траекторий которые вместе с сепаратрисами седловых состояний равновесия однозначно определяют разбиение несущей поверхности на траектории.
При переходе к диффеоморфизмам на многообразиях размерности большей единицы или к потокам на многообразиях размерности большей двух становится возможным существование гомоклиниче-ских траекторий у структурно устойчивых систем, что приводит к существованию счетного множества периодических траекторий.
Этот феномен, обнаруженный в работах [2], [81] Д. В. Аносова и С. Смейла в 60-х годах, привел к-выделению и интенсивному изучению важного класса систем — динамических систем с гиперболической структурой неблуждающего множества, а также систем, не являющихся гиперболическими в строгом смысле, но обладающих предельными множествами с хаотическим поведением траекторий. Этой тематике посвящены работы таких математиков как Д. В. Аносов, В. И. Арнольд, В. Н. Белых, В. 3. Гринес, Ю. С. Ильяшенко, Л. М. Лерман, Ю. И. Неймарк, В. А. Плисе, Р. В. Плыкин, Е. А. Са-таев, Я. Г. Синай, А. М. Степин, А. Н. Шарковский, Л. П. Шильни-ков, Хр. Бонатти, Р. Боуэн, А. Каток, Р. Мане, Ш. Ньюхаус, Д. Орн-стейн, Дж. Пали, Я. Песин, Р. Робинсон, Д. Рюэль, А. Санами, С. Смейл, Д. Сулливан, Ф. Такенс, У. Терстен, Дж. Френке, М. Шуб и многих других (см., например, [3], [4], [5], [6], [7], [8], [10], [19], [64], [74], [78], где содержится обширная библиография по данной тематике) .
В то же время С. Смейл ввел класс динамических систем (потоков и диффеоморфизмов), аналогичных грубым потокам на поверхностях (см. [82]). Неблуждающее множество таких систем (получивших впоследствии название систем Морса-Смейла) состоит из конечного числа гиперболических периодических движений, устойчивые и неустойчивые многообразия которых пересекаются трансверсаль-но. И хотя потоки (диффеоморфизмы) Морса-Смейла не являются типичными на многообразиях размерности большей двух (большей единицы), они представляют класс структурно устойчивых динамических систем, имеющих важное значение в качественной теории и ее приложениях, связанных с адекватным описанием процессов, в которых отсутствуют хаотические явления. Следует отметить, что новые проблемы в топологической классификации систем Морса-Смейла связаны с тем, что блуждающее множество потока (диффеомрфизма) на многообразии размерности большей двух (большей единицы) устроено, вообще говоря, значительно сложнее, чем в соответствующих динамических системах на многообразиях меньшей размерности. Так, В. С. Афраймович и Л. П. Шильников в [11] доказали, что ограничение многомерных потоков Морса-Смейла на замыкание множества гетероклинических траекторий сопряжено с надстройкой над марковской цепью.
К настоящему времени имеются весьма законченные результаты по топологической классификации диффеоморфизмов Морса-Смейла на двумерных многообразиях, полученные в работах В. 3. Безденежных, Е. А. Боревич, И. Ю. Власенко, В. 3. Грине-са, X. Бонатти и Р. Ланжевена (см. [14]-[18], [28], [32], [45], [27]). Одним из основных инвариантов для перечисленных классов топологической сопряженности является некоторый граф, аналогичный графу Пейкшото, снабженный дополнительной информацией, описывающей структуру множества гетероклинических траекторий.
Что касается вопроса топологической классификации потоков Морса-Смейла на многообразиях размерности большей двух, то здесь имеется небольшое число законченных результатов. Среди них отметим результат Ж. Флейтаса, который на языке диаграмм Хегора дал классификацию полярных потоков на замкнутых 3-многообразиях, то есть потоков Морса-Смейла, неблуждающее множество которых состоит в точности из одной стоковой, одной источниковой и 2k, к 2 седловых особых точек (см. [41]). Я. Л. Уман-ским в [90] найдены необходимые и достаточные условия топологической эквивалентности потоков Морса-Смейла с конечным множеством особых траекторий на трехмерных ориентируемых многообразиях. Топологический инвариант Я. Л. У майского является обобщением схемы динамической системы, введенной Е. А. Леонтович и А. Г. Майером. С. Ю. Пилюгин в [71] полностью решил задачу классификации для потоков Морса-Смейла на сфере Sn размерности п 3, в предположении, что эти потоки не имеют замкнутых траекторий и гетероклинических пересечений. Инвариантом для таких потоков является граф, аналогичный графу Пейкшото.
В неавтономном случае системы типа Морса-Смейла изучались Л. М. Лерманом и Л.П. Шильниковым, которые построили инварианты равномерной сопряженности таких систем (см. [60]).
Как стало ясно сравнительно недавно, классификация диффеоморфизмов Морса-Смейла, заданных на многообразиях размерности 3 и выше, является принципиально более сложной по сравнению с классификацией аналогичных потоков или диффеоморфизмов на двумерных многообразиях. В частности, из работы [21] следует, что уже в классе диффеоморфизмов трехмерной сферы с неблуждающим множеством, состоящим из четырех неподвижных точек: седла, одного источника и двух стоков, существует счетное множество топологически несопряженных диффеоморфизмов (при этом их графы Пейкшото изоморфны). Этот результат связан с возможностью дикого вложения инвариантных многообразий седловых периодических точек.
Отметим, что примеры диких вложений кривых и двумерных сфер были открыты в работах Дж. Александера (1924 г.), Е. Артина и Р. Фокса (1948 г.), а их существование в качестве замыкания инвариантных многообразий структурно устойчивых диффеоморфизмов было обнаружено Д. Пикстоном (см. [72]).
Построению топологических инвариантов для диффеоморфизмов Морса-Смейла, заданных на многообразиях размерности 3, в предположениях различной общности посвящены работы Хр. Бо-натти, В. 3. Гринеса, В. С. Медведева, Е. Пеку и О. В. Починки [21], [23], [24], [25], [26]. Топологические инварианты, введенные в этих работах, представляют собой комбинацию классических комбинаторных инвариантов, аналогичных графу Псйксото, с новыми топологическими инвариантами, описывающими вложение сепаратрис.
В диссертации выделен важный класс Gi(Mn) диффеоморфизмов Морса-Смейла, заданных на ориентируемых многообразиях размерности большей чем 3, для которого удалось доказать, что полным топологическим инвариантом диффеоморфизмов из G\(Mn) вновь является граф Пейкшото (с заданным на нем автоморфизмом).
Доказательство этого результата существенно основано на полученных относительно недавно фактах из топологии многообразий высших размерностей, не имеющих места в размерности 3. Наиболее важными из них являются результаты Дж. Кантрелла, А. В. Чер-навского и Р. Давермана о вложении в многообразие размерности п 3 дуг и многообразий коразмерности 1 (см. [35], [87] и [38]), следствием которых явилась невозможность дикого вложения замыкания сепаратрис седловых периодических точек диффеоморфизмов Морса-Смейла из рассматриваемого в диссертации класса.
Пусть Gi(Mn) — класс сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов Морса-Смейла, заданных на связном замкнутом гладком ориентируемом многообразии Мп размерности п 4 и таких, что любой / Є Gi(Mn) удовлетворяет следующим условиям:
1) неустойчивое многообразие любой седловой периодической точки из множества l(f) является одномерным;
2) неустойчивые и устойчивые многообразия различных седловых периодических точек из (/) не пересекаются.
Вложение полиэдров в евклидово пространство
Этот феномен, обнаруженный в работах [2], [81] Д. В. Аносова и С. Смейла в 60-х годах, привел к-выделению и интенсивному изучению важного класса систем — динамических систем с гиперболической структурой неблуждающего множества, а также систем, не являющихся гиперболическими в строгом смысле, но обладающих предельными множествами с хаотическим поведением траекторий. Этой тематике посвящены работы таких математиков как Д. В. Аносов, В. И. Арнольд, В. Н. Белых, В. 3. Гринес, Ю. С. Ильяшенко, Л. М. Лерман, Ю. И. Неймарк, В. А. Плисе, Р. В. Плыкин, Е. А. Са-таев, Я. Г. Синай, А. М. Степин, А. Н. Шарковский, Л. П. Шильни-ков, Хр. Бонатти, Р. Боуэн, А. Каток, Р. Мане, Ш. Ньюхаус, Д. Орн-стейн, Дж. Пали, Я. Песин, Р. Робинсон, Д. Рюэль, А. Санами, С. Смейл, Д. Сулливан, Ф. Такенс, У. Терстен, Дж. Френке, М. Шуб и многих других (см., например, [3], [4], [5], [6], [7], [8], [10], [19], [64], [74], [78], где содержится обширная библиография по данной тематике) .
В то же время С. Смейл ввел класс динамических систем (потоков и диффеоморфизмов), аналогичных грубым потокам на поверхностях (см. [82]). Неблуждающее множество таких систем (получивших впоследствии название систем Морса-Смейла) состоит из конечного числа гиперболических периодических движений, устойчивые и неустойчивые многообразия которых пересекаются трансверсаль-но. И хотя потоки (диффеоморфизмы) Морса-Смейла не являются типичными на многообразиях размерности большей двух (большей единицы), они представляют класс структурно устойчивых динамических систем, имеющих важное значение в качественной теории и ее приложениях, связанных с адекватным описанием процессов, в которых отсутствуют хаотические явления. Следует отметить, что новые проблемы в топологической классификации систем Морса-Смейла связаны с тем, что блуждающее множество потока (диффеомрфизма) на многообразии размерности большей двух (большей единицы) устроено, вообще говоря, значительно сложнее, чем в соответствующих динамических системах на многообразиях меньшей размерности. Так, В. С. Афраймович и Л. П. Шильников в [11] доказали, что ограничение многомерных потоков Морса-Смейла на замыкание множества гетероклинических траекторий сопряжено с надстройкой над марковской цепью.
К настоящему времени имеются весьма законченные результаты по топологической классификации диффеоморфизмов Морса-Смейла на двумерных многообразиях, полученные в работах В. 3. Безденежных, Е. А. Боревич, И. Ю. Власенко, В. 3. Грине-са, X. Бонатти и Р. Ланжевена (см. [14]-[18], [28], [32], [45], [27]). Одним из основных инвариантов для перечисленных классов топологической сопряженности является некоторый граф, аналогичный графу Пейкшото, снабженный дополнительной информацией, описывающей структуру множества гетероклинических траекторий.
Что касается вопроса топологической классификации потоков Морса-Смейла на многообразиях размерности большей двух, то здесь имеется небольшое число законченных результатов. Среди них отметим результат Ж. Флейтаса, который на языке диаграмм Хегора дал классификацию полярных потоков на замкнутых 3-многообразиях, то есть потоков Морса-Смейла, неблуждающее множество которых состоит в точности из одной стоковой, одной источ-никовой и 2k, к 2 седловых особых точек (см. [41]). Я. Л. Уман-ским в [90] найдены необходимые и достаточные условия топологической эквивалентности потоков Морса-Смейла с конечным множеством особых траекторий на трехмерных ориентируемых многообразиях. Топологический инвариант Я. Л. У майского является обобщением схемы динамической системы, введенной Е. А. Леонтович и А. Г. Майером. С. Ю. Пилюгин в [71] полностью решил задачу классификации для потоков Морса-Смейла на сфере Sn размерности п 3, в предположении, что эти потоки не имеют замкнутых траекторий и гетероклинических пересечений. Инвариантом для таких потоков является граф, аналогичный графу Пейкшото.
В неавтономном случае системы типа Морса-Смейла изучались Л. М. Лерманом и Л.П. Шильниковым, которые построили инварианты равномерной сопряженности таких систем (см. [60]).
Как стало ясно сравнительно недавно, классификация диффеоморфизмов Морса-Смейла, заданных на многообразиях размерности 3 и выше, является принципиально более сложной по сравнению с классификацией аналогичных потоков или диффеоморфизмов на двумерных многообразиях. В частности, из работы [21] следует, что уже в классе диффеоморфизмов трехмерной сферы с неблуждающим множеством, состоящим из четырех неподвижных точек: седла, одного источника и двух стоков, существует счетное множество топологически несопряженных диффеоморфизмов (при этом их графы Пейкшото изоморфны). Этот результат связан с возможностью дикого вложения инвариантных многообразий седловых периодических точек. Нарис. 1, изображены инвариантные многообразия двух топологически не сопряженных диффеоморфизмов /, / , принадлежащих данному классу. Замыкание двумерной сепаратрисы и одной из одномерных сепаратрис седловой неподвижной точки а диффеоморфизма / являются дикими сферой и дугой соответственно.
Отметим, что примеры диких вложений кривых и двумерных сфер были открыты в работах Дж. Александера (1924 г.), Е. Артина и Р. Фокса (1948 г.), а их существование в качестве замыкания инвариантных многообразий структурно устойчивых диффеоморфизмов было обнаружено Д. Пикстоном (см. [72]).
О вложении сепаратрис седловых периодических точек диффеоморфизма G\{Mn
Пусть V С Rn — произвольное множество, р Є Rn \ V — точка такая, что для любой пары различных точек х,х Є У отрезки рх, рх пересекаются в единственной точке р. Тогда совокупность p(V) всех отрезков рх, где х Є V, называется конусом с основанием V и вершиной в точке р.
Отметим, что если точка р и совокупность вершин некоторого симплекса Ак Є Rn, к п, является множеством в общем положении, то конус р(Ак) является симплексом размерности к + 1. Комплексом К евклидова пространства Rn называется объединение симплексов, удовлетворяющее следующим условиям: 1) если симплекс А является элементом комплекса К, то все его грани так же являются элементами комплекса К; 2) два симплекса комплекса К либо не имеют общих точек, либо один из них является гранью другого, либо они имеют общую грань, являющуюся пересечением обоих симплексов; 3) каждый симплекс А из К лежит в открытом множестве U(А) С Rn, которое пересекается только с конечным числом эле ментов к. Два симплекса комплекса К, имеющие непустое пересечение, называются инцидентными. Комплекс К называется п—мерным, если он содержит по крайней мере один п—мерный симплекс, но не содержит симплексов размерности выше п. Комплекс К называется конечным, если он состоит из конечного числа симплексов. Согласно [50] комплекс размерности п называется однородным, если каждый его к—мерный симплекс (к п) является гранью по крайней мере одного n-мерного симплекса. Границей (границей по модулю 2) однородного n-мерного комплекса называется совокупность всех его (п — 1)-мерных симплексов, инцидентных с нечетным числом n-мерных симплексов. Границу комплекса К будем обозначать К. Полиэдром размерности q будем называть топологическое пространство, образованное множеством точек некоторого q—мерного комплекса К с топологией, индуцированной из Rn. Комплекс К в этом случае называется триангуляцией (симплициальным разбиением) полиэдра. Полиэдр, образованный точками комплекса К, будем обозначать \К\. Пусть К, L С Rn - комплексы такие, что \К\ = \L\, и каждый симплекс комплекса К содержится в некотором симплексе комплекса L. Тогда К называется подразбиением L. Пусть \К\ и \L\ - полиэдры. Гомеоморфизм ф : \К\ —у \L\ называется кусочно-линейным, если существуют подразбиения К\, Ь\ комплексов К, L соответственно такие, что: 1) гомеоморфизм ф отображает каждый симплекс А Є К\ на симплекс комплекса L\, 2) для любой точки х Є К\ координаты точки ф(х) линейно выражаются через координаты точки х. Будем называть комбинаторным п—шаром [комбинаторной (п— 1) —сферой) полиэдр, кусочно-линейно гомеоморфный п—симплексу (границе п—симплекса). Комбинаторный 1-шар будем называть комбинаторной дугой. Пусть BQ, Вп — комбинаторные шары в Rn, такие, что BQ С int Вп. Согласно [49] (см. также [86], следствие 3.19) множество /Cn = Вп\В$, кусочно-линейно гомеоморфно прямому произведению Ап х [0,1]. Назовем полиэдр К.п комбинаторным кольцом. Пусть К, L комплексы, и - взаимно-однозначное соответствие между вершинами комплексов К и L. Будем говорить, что отображение индуцирует изоморфизм ip : К —У L, если комплекс L содержит симплекс с вершинами (Po),(Pi), {Pq) тогда и только тогда, когда комплекс К содержит симплекс с вершинами Будем говорить, что кусочно-линейный гомеоморфизм ф : \К\ —» \L\ индуцирован изоморфизмом р между разбиениями Ki, L\ комплексов К, L соответственно, если ф отображает каждый симплекс А К\ на изоморфный ему относительно р симплекс комплекса L\. Согласно [76] (7, В) справедливо следующее утверждение. Предложение 1.7 Пусть К, L - конечные комплексы пространства Rn и р - изоморфизм между К и L. Тогда существует единственный кусочно-линейный гомеоморфизм Ф : \К\ — \L\, индуцированный изоморфизмом р. Следствие 1.2.1 Пусть К, L - конечные комплексы. Полиэдры \К\ и \L\ кусочно-линейно гомеоморфны тогда и только тогда, когда комплексы К и L имеют изоморфные подразбиения. Согласно [50] (11 гл. 2) справедливо следующее утверждение. Предложение 1.8 Пусть К С Rn -q-мерный конечный комплекс с вершинами Р\, ...,Pk и 2q + 1 п. Тогда для любого множества точек Qi, ...,Qk из Rn; находящихся в (2g f 1)-обш ем положении, и любого изоморфизма : {. ,...,/} - {Qi, ...,Q&} существует комплекс L С Rn с вершинами в точках Qi,...,Qk, изоморфный комплексу К при помощи изоморфизма р : К — L, индуцированного отображением . Как следствие из предложения 1.8 получается результат о минимальной размерности евклидова пространства Rn, в которое может быть кусочно-линейно вложен произвольный полиэдр. Следствие 1.2.2 Любой полиэдр размерности q кусочно-линейно гомеоморфен некоторому полиэдру, лежащему в R2q+1. Будем обозначать через d(x, у) евклидово расстояние между точками х,у Є Rn. В силу [86] (теорема 5.3) справедливо следующее утверждение.
Каноническая модель окрестности седловой точки
Как любезно сообщил Л. Зибенман, справедливость этого утверждения следует из топологической теоремы об s-кобордизме. В этом разделе мы приводим схему доказательства этого утверждения, предваряя его необходимыми определениями и фактами.
Непрерывное отображение h : X —У Y называется гомотопической эквивалентностью, если существует такое непрерывное отображение д : Y -» X, что отображения gh : X — X и hg : Y - - Y гомотопны тождественному отображению пространств X и У соответственно.
Кобордизмом называется тройка (W, Mo,Mi), где W - многообразие размерности п с краем, состоящим из двух непересекающихся непустых многообразий MQ И М\. Кобордизм (W, MQ, М\) называется h-кобордизмом, если включения io : MQ — W и г і : Мі — W являются гомотопическими эквивалентиостями.
Зафиксируем компактное многообразие MQ и обозначим через С множество всех /ї-кобордизмов (И7, Mo, Мі) с компактным W. Согласно [94] существует отображение г : С — Wh(?ci), множества С в группу Уайтхеда Wh{ir\), которая представляет собой некоторую абелеву группу, определяемую фундаментальной группой 7Гі = 7Гі(Mo) = TX\{W) (точное определение смотри в [62]). Элемент т(с) называется кручением Уайтхеда. Кручение Уайтхеда является комбинаторным ([94]), гладким ([83]) и топологическим ([37]) инвариантом пары (W, Мо), то есть, если для двух /і-кобордизмов (W, MQ, MI), (W, MQ, M[) существует САТ-гомеоморфизм ф : W - W такой, что ф(М0) = М0 (где CAT Є {PL, Diff,Top}), то Предложение 1.15 (теорема об s-кобордизме) Пусть (W, MQ, М\) — h-кобордизм и W - компактное многообразие размерности dim W — п 6. Многообразие W гомеоморфно прямому произведению MQ х [0,1] тогда и только тогда, когда r(W,M0) = 0.
Теорема об s-кобордизме для гладких многообразий была доказана независимо Б. Мазуром, Д. Барденом и Дж. Сталлингсом в 1964. Для топологических многообразий эта теорема доказана Р. Кирби и Л. Зибенманом в 1977 ([54], Essay 3).
Аналог теоремы об s-кобордизме для случая dim W = п = 5 для гладких многообразий, вообще говоря, неверен, согласно [39], а для топологических многообразий является открытой проблемой. Однако, М. Фридман и П. Тайхнер доказали, что теорема верна для 5-мерных /г-кобордизмов с так называемыми "хорошими "фундаментальными группами (смотри [42]). Прежде чем сформулировать теорему М. Фридмана и П. Тайхнера, дадим определение скорости роста группы. Пусть G - группа с конечным множеством образующих Л — {ai, а,2,..-, а&}- Любой элемент g Є G может быть представлен в виде g = а а .-.а , где для любого j Є {1,..., s} либо (. Л, либо щ1 Є Л. Обозначим через lAG(x) наименьшее число s, для которого допустимо представление вида g (2 (... и через jAG{y) число элементов g Є G, таких, что lAG(x) п. Функция 7AG(v) называется функцией роста группы G. Очевидно, что 1AG{V) 2 2kl (2k + 1)п. Будем говорить, что две неубывающие функции 7;7 : — N эквивалентны, если существует константа с 0 такая, что 7( ) т (п) 7(сп) Для всех Є N. Класс эквивалентности функций jAG{v) называется скоростью роста группы G. Отметим, что функция роста 7 z( ) группы Z эквивалентна функции 7 — п. Предложение 1.16 (М. Фридман и П. Тайхнер) Пусть (ТУ, Мо, М\) - h-кобордизм, W - компактное многообразие размерности dim W = п = 5 и 7Гі имеет скорость роста меньшую чем 2V. Многообразие W гомеоморфно прямому произведению MQ х [0,1] тогда и только тогда, когда г (ТУ, Mo) = 0. Что касается случая dim W = п = 4, то в [36] построен пример 4-мерного s-кобордизма, который не диффеоморфен и даже не гомеоморфен прямому произведению. С. Квасик в [56] доказал, что топологическая теорема об s-кобордизме верна для /ькобордизмов (ТУ, MQ, MI) таких, что многообразие Мо является замкнутым связным 3-многообразием с полициклической фундаментальной группой. В частности, теорема верна для случая М0 = S1 х 52 ([56], prop. 4): Предложение 1.17 (С. Квасик) Пусть (ТУ, Мо, Mi) — h-кобордизм такой, что Мо = S1 х S2. Тогда многообразие W гомеоморфно прямому произведению MQ х [0,1]. Вернемся к утверждению 1.14. Первым шагом его доказательства является следующая лемма, доказательство которой любезно предоставил Ф. Лауденбах. Лемма 1.10 (ТУ, 9То, дТ\) является h-кобордизмом. Второй (и последний) шаг доказательства утверждения 1.14 заключается в следующей лемме. Последняя лемма верна в силу того, что группа 7Гі(5п 2 х S1) изоморфна группе целых чисел Z, и, согласно, Г. Хигману, группа Уайтхеда Wh(G) тривиальна для бесконечных циклических групп (смотри [48] и [62] для ссылок). Отметим, что в 1964 году X. Басе, А. Хеллер и Р. Сван доказали, что группа Уайтхеда любой свободной абелевой группы тривиальна (смотри [13]). Теперь утвержение 1.14 следует для случая п 6 из теоремы об s-кобордизме, для п — 5 из утверждения 1.16 и для п = 4 из утверждения 1.17.
Допустимые окрестности седловых периодических точек диффеоморфизма из Gi(Mn)
В силу условий, определяющих класс Gi(Mn), множество 2(/) содержит хотя бы один источник. Предположим, что множество 2(/) содержит более одной отталкивающей периодической точки. В силу [82] (теорема 2.3) многообразие Мп можно представить в виде объединения неустойчивых многообразий всех периодических точек диффеоморфизма /. Положим X = ( U Wu(a)) U ( U и). Тогда Мп = U Wu(a) U X.
Для любых а, а Є 2П(/), а ф о/, множества Wu{a) и Wu(a ) непусты, открыты и не пересекаются, следовательно множество U Wu(a) — Мп \ X несвязно. Так как множество X состоит aenn(f) из конечного числа простых дуг, то его размерность равна 1. Тогда в силу [47] (гл. 4, теорема 4) множество Мп\Х связно, что противо речит предположению. Следовательно, в неблуждающем множестве Q(/) содержится ровно один источник. о Доказательство теоремы 1 Не ограничивая общности предположим, что неблуждающее множество диффеоморфизма / состоит только из неподвижных точек (если это не так, то можно перейти к степени N диффеоморфизма / такой, что для диффеоморфизма fN все неблуждающие точки будут неподвижными). Согласно лемме 2.2 для каждой седловой точки а диффеоморфизма / замыкание Е = Ws(a) \ а устойчивой сепаратрисы есть цилиндрически вложенная (п — 1)—сфера. Следовательно, существует замкнутая окрестность V(a) С Мп сферы Е, гомеоморфная прямому произведению Sn_1 х [—1,1] посредством некоторого гомеоморфизма , такого, что (Е) = S11 1 X {0}. Пусть Si С f S11-1 X (—1, 0)) (S2 С -1(Sn-1 х (0,1))) — (п — 1)-сфера, являющаяся гладким подмногообразием Мп, и такая, что _1(Sn_1 х (—1,0)) \ S\ ( -1(Sn_1 х (0,1)) \ 52) является объединением двух непересекающихся открытых колец16. Обозначим через U(a) замкнутую окрестность сферы Е, ограниченную сферами 5i и $2- Обозначим через 1\ и її неустойчивые сепаратрисы точки т, через а; і и со2 - стоковые точки, принадлежащие замыканиям її и соответственно (возможно, u i = а ). Из локальной сопряженности диффеоморфизма / с линейным отображением следует, что дуги її П U(а) и І2 П U[a) лежат в разных компонентах связности множества U(cr) \ Е. Так как является топологическим репеллером, то существует целое положительное число г(а) такое, что U(a) С int fr(a\U(а)). Положим / = /г(ст). Удалим из многообразия Мп внутренность окрестности U(а). Многообразие Мп \ int U(cr) является гладким компактным многообразием с краем, состоящим из двух непересекающихся гладких (п — 1)-сфер. Обозначим через М{1 компактное многообразие без края, полученное из многообразия Мп \ int U(a) приклеиванием вдоль его края двух замкнутых п—шаров В и В2. Зададим диффеоморфизм /і : М{1 — Mf таким образом, что: 1) fl\M?\(B?UB!l) — f\M?\(B?\JB%)\ 2) /іВриВ? ИМееТ ТОЛЬКО ДВЄ НеПОДВИЖИЫе ТОЧКИ (Xi Є В, ОІ2 Є Br?) каждая из которых является отталкивающей. Неблуждающее множество Г2(/і) диффеоморфизма /і содержит в точности две отталкивающие точки и к — 1 седловые периодические точки, при этом общее количество периодических точек диффеоморфизма /і совпадает с числом периодических точек диффеоморфизма /.
Диффеоморфизм /і принадлежит классу Gi(Mn), следовательно для него выполняется лемма 2.4. Так как неблуждающее множество Г2(/і) содержит две отталкивающие периодических точки, то из леммы 2.4 следует, что многообразие Mf состоит из двух компонент связности iVf и Щ. Так как 1{ \UaC iV/\ то ш{ С N?, і = 1, 2.
Проделаем описанную процедуру еще к — 1 раз. В результате получим компактное многообразие без края MJ} и диффеоморфизм fk : М —Y М% со следующими свойствами. Многообразие М% состоит из fc-f-І компонент связности JVf,..., Nj}+1, каждая из которых содержит 1 источник и 1 сток диффеоморфизма fk. Следовательно, каждое многообразие Щ гомеоморфно n-сфере, а многообразие Мп является связной суммой (А; + 1) экземпляров n-сфер17. Поэтому Мп гомеоморфно п—сфере. Неблуждающее множество диффеоморфизма fk содержит только притягивающие и отталкивающие неподвижные точки, и их общее количество равно числу неподвижных точек диффеоморфизма /. Следовательно, неблуждающее множество диффеоморфизма / содержит 2к + 2 точки: 1 источник, к седловых точек и к + 1 стоков. Теорема доказана. 3 Необходимые и достаточные условия топологической сопряженности диффеоморфизмов класса Gi(Mn)
Пусть диффеоморфизмы /,/ принадлежат классу G\{Mn) и существует сохраняющий ориентацию ребер изоморфизм графов r\ : Г(/) -+ Г(/ ) такой, что P(f ) = r)P(f)rj-\
Обозначим через 77 изоморфизм множеств (/) и Г2(/ ), индуцированный изоморфизом г]. Будем говорить, что точка р Є Щ/) изоморфна точке р Є Q{f )i если р = rj (p ). Будем говорить, что сепаратриса / изоморфна сепаратрисе / , если сепаратрисы /, / соответствуют изоморфным при отображении rj ребрам графов Г(/),
г(Л Пусть ш1 со - изоморфные стоковые периодические точки диффеоморфизмов /, / соответственно, и т - период точек со) со . Обозначим через Ьш — {1ц, ..-, } множество всех сепаратрис седловых периодических точек диффеоморфизма /, в замыкании которых содержится сток со. Из условий, определяющих класс Gi(Mn), следует, что для любого і Є {1,..., к} сепаратриса 1ги принадлежит одномерному неустойчивому многообразию некоторой седловой периодической точки (Т{. Обозначим через Ь ш, = { ,--- /} множество всех сепаратрис седловых периодических точек диффеоморфизма / , в замыкании которых содержится сток со . Не уменьшая общности будем полагать, что при выбранной нумерации сепаратрисы 1гш и 1гш, изоморфны.
