Введение к работе
Актуальность темы. Одним из важнейших достижений теоретической физики второй половины XX века стало построение объединенной теории электромагнитного, слабого и сильного взаимодействий, получившей название стандартной модели. Четвертое фундаментальное взаимодействие - гравитационное - не вкладывается полностью в систему идей стандартной модели, и его объединение на квантовом уровне с тремя другими фундаментальными взаимодействиями требует принципиального другого подхода. В настоящее время построение единой теории всех взаимодействий связано с изучением суперсимметричных моделей, моделей в высших измерениях, калибровочных теорий общего вида, а также с общим развитием теории струн. Особые надежды возлагаются на последнюю. Представляется, что теория струн является внутренне полностью самосогласованной квантовой теорией, хотя многие аспекты этой теории еще не полностью разработаны. Важно отметить, что спектр частиц, возникающий в теории струн, естественным образом содержит как безмассовые состояния со спином 1 и спином 2, так и бесконечный набор массивных состояний с произвольным значением спина. Поэтому теорию струн, в принципе, можно трактовать как теорию бесконечного числа взаимодействующих полей всех спинов. Это, в свою очередь, может служить мотивацией для исследования полей высших спинов со стороны теории поля.
На сегодняшний день нелинейная теория полей высших спинов достаточно хорошо развита только для безмассовых (калибровочных) полей. Фундаментальный результат такой теории в d > 4 измерениях можно сформулировать в двух утверждениях
Наиболее адекватным пространственно-временным фоном является не пространство Минковского, а пространство анти де Ситтера
Включение взаимодействия для поля со спином 3 немедленно влечет за собой включение бесконечного набора взаимодействующих полей всех спинов
Первое утверждение позволяет обойти доводы теоремы Коулмана и Ман- дулы о запрете взаимодействующих безмассовых полей высших спинов в плоском пространстве и служит аргументов в пользу общего развития AdS/СFT-соответствия. Второе утверждение хорошо согласуется с теорией струн, где спектр состояний также содержит бесконечный набор полей произвольного спина.
Однако, в любой реалистичной теории (такой как теория струн) состояния с высшими спинами являются массивными. Естественно предположить, что в теории безмассовых полей массы будут генерироваться с помощью спонтанного нарушения симметрии, наподобие того, как это работает в стандартной модели. К сожалению, к настоящему времени данный механизм не разработан и не имеет четкой формулировки, по этой причине независимое изучение массивных полей высших спинов представляет самостоятельный интерес.
Универсальным принципом при изучении безмассовых полей является калибровочная инвариантность, которая определяет как основные свойства свободной теории так и сильно ограничивает форму возможных взаимодействий. Так например, в теории полей низших спинов данное требование полностью воспроизводит такие физически важные модели как теория поля Янга-Миллса и (супер)гравитация. Общая схема построения вершин взаимодействия в теории формулируется в рамках подхода, называемого конструктивным, который реализуется следующим образом. Лагранжиан и калибровочные преобразования представляются в виде ряда по степеням полей
C = Co + C1 + C2..., S = So + S1 + $2... (1)
где C0 - свободный лагранжиан, квадратичный по полям, C1 - лагранжиан взаимодействия в линейном приближении, кубический по полям и т.д. Аналогично для калибровочных преобразований, S0 - исходные калибровочные преобразования свободной теории, ^1 - линейная поправка по полям и т.д. Условие калибровочной инвариантности SC = 0 требует обращения вариаций в каждом порядке по отдельности
SoCo = 0
SoCi + SiCo = 0
S0C2 + SiCi + S2C0 = 0
и так далее. На базе такого рассмотрения, в принципе, можно строить вершины взаимодействия любого порядка. На практике, построение вершин выше кубических сталкивается с серьезными трудностями. Особенность кубического взаимодействия заключается в том, что теории в этом приближении не ощущают на себе наличие или отсутствие полей, которые возможно следовало бы вводить, рассматривая высшие порядки взаимодействия. Тем самым если для той или иной теории не удается построить кубическое взаимодействие, то оно не может быть построено вообще.
Имея ввиду универсальность и удобство конструктивного подхода была развита калибровочно-инвариантная формулировка массивных полей. В настоящее время существует несколько подходов к калибровочно- инвариантному описанию массивных полей высших спинов. В каждом из них калибровочная симметрия в конечном итоге обусловлена набором вспомогательных штюкельберговских полей. В предлагаемой диссертации для калибровочно-инвариантного описания массивных полей и вывода вершин взаимодействия используется конструктивный подход.
Принимая во внимание всю сложность проблем в теории полей высших спинов и технические трудности, возникающие при работе в пространствах размерности d > 4, представляется, что рассмотрение теории в трех измерениях, должно быть намного проще и может служить хорошим полигоном для приобретения полезного опыта для работы в высших измерениях. В частности, оказывается, что в отличие от ситуации d > 4 в трех измерениях нет необходимости рассматривать бесконечное количество безмассовых полей высших спинов, чтобы построить непротиворечивую взаимодействующую теорию, достаточно ограничится конечным числом полей. Важно, что многие такие теории могут рассматриваться на основе моделей Черн-Саймонса с некоторой калибровочной алгеброй. В данной диссертации одной из задач ставиться калибровочно-инвариантная формулировка массивных полей высших спинов в d = 3, которая ранее не была известна.
Построение электромагнитного и гравитационного взаимодействий является важной проверкой на состоятельность той или иной модели. В случае скалярных и спинорных полевых моделей такие взаимодействия хорошо исследованы и сводятся к замене в лагранжиане обычной производной на ковариантной. Для полей высших спинов применение этой процедуры приводит к трудностям в силу наличия своей собственной калибровочной симметрии. В предлагаемой диссертации на основе конструктивного подхода выводятся кубические вершины взаимодействия массивных полей высших спинов с электромагнитным и гравитационным полями в пространствах размерности d > 3.
Цели диссертационной работы
Используя калибровочно-инвариантное описание полей высших спинов, в рамках конструктивного подхода, построить непротиворечивые кубические вершины взаимодействия безмассовых и массивных полей высших спинов с внешним постоянном электромагнитном полем в плоском пространстве Минковского размерности d > 4. Проанализировать построенные модели на согласованность с основными физическими требованиям, такими как калибровочная инвариантность, отсутствие нефизических степеней свободы и духов, причинность.
Расширить калибровочно-инвариантное описание массивных полей высших спинов на случай трех-мерного пространства-времени. В частности, в рамках реперного формализма построить калибровочно- инвариантный лагранжиан свободного массивного поля произвольного целого спина в 3-мерном пространстве (анти) де Ситтера с произвольной космологической постоянной Л, включая трех-мерное пространстве Минковского Л = 0. Используя особенности реперного формализма и трех-мерных пространств изучить специфические свойства построенной теории, не характерные для высших измерений.
На основе развитого нами калибровочно-инвариантного описания массивных полей высших спинов в трех-мерных пространствах, исследовать возможные взаимодействия таких моделей, в частности, гравитационного, как одного из самых фундаментальных. Построить лагранжиан взаимодействия в линейном приближении. Выяснить особенности такой моделей, характерные именно для трехмерных пространств и сравнить их с теми, что возникают в высших измерениях.
Методы и подходы. При изучении вершин взаимодействия массивных полей высших спинов в различных размерностях и пространственно- временном фоне использовался метод калибровочно-инвариантного описания с включением минимально возможного числа вспомогательных штю- кельберговских полей. Этот подход является универсальным и хорошо работает как для формулировки свободной теории, так и для построения возможных форм взаимодействия. Использование данного подхода, априори, не требует знания о какой-либо глубиной структуре теории - будь то калибровочная симметрия в безмассовой теории или набор связей в массивной. По существу, возможная форма лагранжиана взаимодействий строится из соображений лоренцевской ковариантности, размерности и калибровочной инвариантности.
Научная новизна и практическая значимость. Все основные результаты, представленные в диссертации, являются новыми и получены впервые. Практическая значимость полученных результатов состоит в их дальнейшем использовании для решения открытых проблем теории полей высших спинов:
развитие общей калибровочно-инвариантной формулировки массивных полей высших спинов в пространствах различной геометрии и размерности;
последовательное развитие общей нелинейной теории массивных полей высших спинов;
изучение механизма спонтанного нарушения калибровочной симметрии в безмассовой теории;
построение вершин взаимодействия для фермионных полей высших спинов;
построение четвертичных вершин взаимодействия и высших порядков;
Апробация работы Основные результаты диссертации докладывались на следующих международных конференциях и семинарах: Международная конференция "Quantum field theory and gravity", Томск (2010, 2012); Международная школа-семинар "On strings and fundamental physics", Мюнхен, Германия (2010); Международный семинар по проблемам гравитации, космологии и астрофизики "RUSGRAV-14", Ульяновск (2011); Международный семинар "Quantum symmetries and supersymmetries", ОИЯИ, Дубна (2011); Результаты работы обсуждались также на семинарах кафедры теоретической физики ТГПУ.
Публикации По материалам диссертационной работы опубликовано 5 статей, в том числе 4 статьи - в журналах из списка рекомендованных ВАК [1-4].
Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, одного приложения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 118 страницы и содержит библиографический список из 137 наименований.
