Содержание к диссертации
Введение
Глава II Спин-волновое взаимодействие в антиферромагнетиках, на ходящихся в слабом магнитном поле 16
2.1 Общие соотношения 17
2.2 Поправки (1/S1) к спектру спиновых волн 20
2.3 Спиновые функции Грина 25
2.4 Выводы 27
Глава III Низкоэнергетическая синглетная динамика кагоме гейзен берговских антиферромагнетиков со спином 1/2 28
3.1 Теоретико-групповое рассмотрение 28
3.2 Синглетная динамика 34
3.3 Выводы 44
Глава IV Термодинамические свойства кагоме-кластеров 46
4.1 Теплоемкость изолированной звезды 46
4.1.1 Низкотемпературный пик 51
4.1.2 Зависимость низкотемператургіого пика от магнитного поля . 53
4.2 Теплоемкость больших кагоме-кластеров 54
4.3 Магнитная восприимчивость 57
4.4 Энтропия кагоме-кластеров 60
4.5 Термодинамический предел 60
4.6 Выводы 61
Заключение по результатам диссертационной работы 63
Приложение
- Поправки (1/S1) к спектру спиновых волн
- Синглетная динамика
- Зависимость низкотемператургіого пика от магнитного поля
- Термодинамический предел
Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ
В Последние два десятка лет в связи с открытием высокотемпературной сверхпроводимости сильно возрос интерес к двумерным анти-ферромагнитньм системам. В частности, большое внимание уделялось теоретическому изучению 2D антиферромагнетика Гейзенберга со спином 1/2 (АФГ) на квадратной решетке.
Спин-волновое взаимодействие в рамках этой модели изучается преимущественно с помощью l/S-разложения, где 5 — величина спина. Выло показано, что в изотропном обменном приближении члены (1/S1) дают главные поправки для спектра спиновых волн, намагниченности подрешеток и спиновых функций Грина, а члены (1/S2) малы. При этом было установлено, что в выражениях для собственно энергетических частей есть члены, имеющие инфракрасные расходимости. Однако в выражениях для всех физических наблюдаемых они сокращались. Это сокращение получило название "заговора" (conspiracy). Его связывают с выполнением закона сохранения полного спина (ЗСПС), который, Как считают, является причиной отсутствия сильного взаимодействия между длинноволновыми спиновыми возбуждениями.
В то же время в любом реальном магнетике существуют взаимодействия (как правило, слабые), нарушающие ЗСПС. Они приводят к нарушению "заговора". Таким образом, несмотря на свою малость, они могут существенно влиять на свойства магнетиков.
Примером того, насколько важны могут быть взаимодействия, нарушающие ЗСПС, служат результаты экспериментального изучения спектра спиновых волн в двумерном антиферромагнетике Р12С11О4. Была обнаружена сильная зависимость спин-волновой щели от температуры при малых Г. Эту зависимость связывают с сильной перенормировкой спектра, возникающей из-за наличия псевдодиполыюго взаимодействия и анизотропии.
Таким образом, изучение спин-волнового взаимодействия при наличии взаимодействий, нарушающих ЗСПС, представляет сейчас большой интерес.
Двумерные фрустрированные антиферромагнетики являются еще одним видом низкоразмерных магнитных систем, которые сейчас активно изучаются как теоретически, так и экспериментально. В частности,
*i
СУц -оикиндльндяf
Cftotrtwr і*? \
Рис. 1: Кагоме-решетка. В каждом ее узле находится спин. Показано также представление кагоме-решетки в виде набора звезд, упорядоченных в треугольную решетку. Каждая звезда содержит 12 спинов. Затемненная область — элементарная ячейка кагоме-решетки.
большой интерес исследователей привлекают кагоме1 гейзенберговские антиферромагнетики со спином 1/2 (КГАФ). Кагоме-решетка изображена на Рис. 1. Несмотря на огромные усилия теоретиков, удовлетворительного описания низкоэнергетического сектора КГАФ до сих пор предложено не было. Качественное понимание физики КГАФ при низких температурах основывалось преимущественно на результатах численной диагонализации кластеров с числом спинов N < 36. В этих работах было обнаружено, что основное состояние не упорядочено и является синглетным. От первого триплетного уровня оно отделено щелью, которая равномерно заполнена большим количеством синглетных возбуждений. Число состояний в этой синглешой полосе росло с числом спинов в кластерах как aN, где а яз 1.15 и 1.18 для четных и нечетных N, соответственно. Численные расчеты обнаружили также экспоненци-
1 Слово "кагоме" (в английской литературе kagome) имеет японское происхождение. Так называется бамбуковая корзина, прутья которой образуют узор, изображенный на Рве. 1 (ttago — бамбуковая корзина, те — стиль плетения), В научную литературу оно было введено в 1951 году японцем Itiro SySzi, рассмотревшем ферромагнетик на решетке такого типа.
альное убывание димер-димер и спин-спиновых корреляционных функций. Поэтому в настоящее время широко распространено представление о КГАФ как о спиновой жидкости. При этом, однако, отмечалось, что самый большой из изученных кластеров с N — 36 все же слишком мал для того, чтобы можно было с уверенностью судить о том, какова будет картина низкоэнергетического сектора КГАФ в термодинамическом пределе (N -* оо). Поэтому вопрос о природе основного состояния и первых возбужденных уровней сейчас считается открытым.
Термодинамические свойства КГАФ изучались численно. В ряде работ была вычислена теплоемкость С(Т) кагоме-кластеров с N = 12, 18, 24 и 36. Оказалось, что она имеет двухпиковую структуру. Причем низкотемпературный пик находится при температуре 7} < Д (Д — величина триплетной щели). Было обнаружено, что он слабо зависит от магнитного поля. В настоящее время считается, что большое число синглетов внутри триплетной щели приводит к возникновению низкотемпературного пика в теплоемкости, а также объясняет его слабую зависимость от магнитного поля.
Подчеркнем, что изучение свойств фрустрированных антиферро-магиитиых кластеров представляет сейчас особый интерес. Недавно были синтезированы вещества, имеющие в своей структуре практически невзаимодействующие друг с другом группы магнитных атомов. В настоящее время теоретическому изучению таких соединений уделяется большое внимание.
Таким образом, исследование низкотемпературных свойств КГАФ и изучение свойств фрустрированных антиферромагнитных кластеров являются сейчас весьма актуальными задачами.
Данная диссертационная работа имеет три цели:
изучение спин-волнового взаимодействия в 2D и 3D антиферромагнетиках Гейзенберга (АФГ) на квадратной и простой кубической решетках с анизотропией типа "легкая ось" в слабом магнитном поле, перпендикулярном намагниченности подрешеток и легкой оси;
исследование нижнего синглетного сектора кагоме гейзенберговского антиферромагнетика со спином 1/2 (КГАФ);
3. изучение термодинамических свойств кагоме-кластеров со спином
1/2.
Первое из этих исследований необходимо для углубления понимания роли взаимодействий, нарушающих закон сохранения полного спина, в АФГ. Второе и третье направлены на решение актуальных задан построения модели, описывающей нижний синглетный сектор КГАФ, исследования низкотемпературных свойств КГАФ, а также на изучение свойств фрустрированных антиферромагнитных кластеров. Для достижения этих целей были решены следующие задачи.
Вычислить первые поправки по 1/5 к спектру спиновых волн и спиновым функциям Грина в АФГ с анизотропией типа "легкая ось", помещенном в слабое магнитное поле. Поскольку в этом случае в выражениях для собственно энергетических частей будут содержаться инфракрасно расходящиеся члены, проследить за тем, сократятся ли они в выражениях для физических наблюдаемых.
Создать физически наглядную модель нижнего синглетного сектора КГАФ и исследовать ее свойства. Для этого представить кагоме-решетку как набор некоторых блоков (предполагается выбрать наиболее оптимальный вариант такого разбиения, учитывая конечную цель — построение модели нижнего синглетного сектора КГАФ). Детально изучив свойства этих блоков при помощи численной диагонализации их гамильтониана, построить модель, описывающую низкоэнергетический сектор КГАФ. При этом рассматривать взаимодействие между блоками по теории возмущений. Обсудить возможность предельного перехода от слабого межблочного взаимодействия к изотропному случаю.
Рассмотреть термодинамические свойства кагоме-кластеров при малых температурах и детально исследовать причины возникновения низкотемпературного пика у теплоемкости и его слабой зависимости от магнитного поля. Обсудить возможность появления * таких особенностей в теплоемкости КГАФ (т.е. в термодинамическом пределе). Рассмотреть возможность появления двух пиков в теплоемкости других фрустрированных антиферромагнитных кластеров.
Впервые покачано, что н 2D и 3D антнферромагнетиках Гейзен-берга с квадратной и кубической решетками поправки (1/51) в выражении для недиагоналыюй компоненты тензора магнитной восприимчивости .\;Т, которая возникает в магнитном поле Я, становятся большими при малых значениях Я. Таким образом, впервые установлено, что в этом случае происходит сильная пе-реноршфонка кпральных флуктуации. Отмечено, что эта перенорм прав кі может быть нчученд и экспериментах по рассеянию НОЛЯрИЗОШШПЫХ нептроиои.
Предложен Новый подход к проблеме основного состояния и первых возбужденных уровней КГАФ. Кагоме-решетка рассматривается как набор звезд, содержащих 12 спинов и упорядоченных в треугольную решетку (см. Рис. 1). Показано, что звезда имеет двукратно вырожденное основное сииглетное состояние. Показано, что о нижний сииглетный сектор КГАФ состоит из уровней, образовавшихся из основных состояний звезд в результате межзвездного взаимодействия.
В рамках данного подхода установлен вид эффективного гамильтониана, описывающего нижний синглетный сектор КГАФ. Параметры "эффективного гамилыоннана вычислены во втором неис-чезающем порядке теории возмущений. Энергия основною состояния оказалась ниже энергии самого большого из кагоме-кластеров, изученных ранее численно. Основное состояние имеет дальний синглегный порядок, образованный звездами, находящимися в одном из своих основных состояний.
На основании анализа спектров кагоме-кластеров впервые предложены простые модели, выявляющие причину появления низкотемпературного инка теплоемкости при температуре Т/ < Д (Д — величина триплетной щели). Показано, что ею является не большая плотность синглетов внутри триплетной щели, как это считали раньше, а быстрый рост плотности состоянии над щелью. Эти модели позволили также правильно понять причину слабой зависимости низкотемпературного пика от магнитного поля. Подчеркнем, что выводы, касающиеся природы низкотемпературного
инка теплоемкости кагомг-к.nun еров, являются новыми и кроти-
поречат общепринятой сейчас точке зрения на этот вопрос.
Поправки (1/S1) к спектру спиновых волн
Обсудим первые 1/5-члеиы в выражениях для собственно энергетических частей. В обменном приближении они соответствуют однопетлевой диаграмме Хартри-Фока, Рис. 2.3: Диаграммы первого порядка по 1/S: (а) Диаграмма Хартри-Фока, (Ь) диаграмма, возникающая при Н ф 0 и дающая инфракрасно расходящиеся вклады в собственно энергетические части Е, На П+. Внутренним линиям соответствуют функции Грина G, F и F+ с 2 = П = П+ = 0. показанной на Рис. 2.3(a) и, как это было показано раньше [4, 5, 6, 7, 8, 9], дают главные поправки к наблюдаемым. В частности, перснормированный спектр спиновых волн имеет вид 4Л = с 2с, где е = {SJQ)2 — (SJk)2 и Интегрирование в (2.16) и (2.17) ведется по химической зоне Бриллюэна. Например, для 3D АФГ имеем: Ьг к 0.127 и 62 « 0.078. Когда Н ф 0, вступают в игру взаимодействия с нечетным числом частиц (2.6) и (2.8). Трехчастичпое взаимодействие приводит к появлению в выражениях для собственно энергетических частей членов, имеющих инфракрасную расходимость. Эти члены происходят от диаграммы, показанной на Рис. 2.3(b), к рассмотрению которой мы и приступаем. Если внешняя частота ы g. SJo и внешний импульс к находится вблизи нуля или ко, то, как это видно из (2.6) и (2.10)-(2.14), при малых Н наиболее сингулярные члены пропорциональны 67R, где Здесь D(u}, k) = (tw)2 - 4 и ы, W] - частоты Мацубары. После суммирования по wi и аналитического продолжения па вещественные и) 4- І5 из (2.18) получим: где k2 = k — ki — ко и iVk = (eCk T — I)-1 — число магнонов с импульсом к. При Т = О имеем /Vk = 0 и для R получаем: При к к0, используя выражения (2.14) и (2.20), можно заключить, что собственно энергетические части содержат расходимости типа ($2\n(q2 + А2/с2)) и (67(q2 + Д2/с2)-1 2)) (где q= (ш/с,п)) для 3D и 2D АФГ, соответственно. В случае же А; к0, из (2.20) имеем для 3D и 2D АФГ (02ln(g2 + Д /с2)) и (02(q2 + Д /с2)-1 2), соответственно, где теперь q = (ш/с,к).
При Т Ф 0, когда ск(ск)Ан S Г, можно сделать следующую замену Лґк : Т/СЬ, и из (2.19) получаем: В случае 3D АФГ при к ко имеем расходимость типа (T92(q2 + Д2/с2)"1/2), а при к к0 выражение (2.21) дает {T67{q2 + А2п/с2)-1 2). При A = 0 для 2D АФГ интеграл в (2.21) расходится в окрестности к0 даже при q ф 0. Это следствие отсутствия дальнего порядка в 2D АФГ при Т ф 0. Приняв во внимание щель в к = ко, получим, что собственно энергетические части содержат члены, пропорциональные T(6/max{cq, Дя})21п(тах{сд, Дя}/Д) при к к0 и пропорциональные Td2(q2 + Д2/ )"1 при к ко. Найдем знаменатель функций Грина D в первом порядке по 1/5 в случае А = 0. Для этого необходимо учесть перенормировку угла отклонения подрешеток. В согласии с результатами работы [63], имеем следующее соотношение между перенормированным в и классическим в значениями этого угла: sine = sin#(l + f/S), где После подстановки (2.2) в (2.1) учет этой квантовой поправки к углу приведет к появлению нового члена в %: Появление такого члена означает просто, что E(S) в формулах (2.10)-(2.12) необходимо заменить на () — 2/ J0 sin3 в. В первом порядке по 1/S нужно рассмотреть только первый член в выражении (2.12) для К. Обсудим сначала случай к kQ. В результате прямых вычислений было получено, ЧТО К(0, kg) = 0 и Вычисление нечетной части дает Для выражения П + П+ имеем: В выражениях (2.23)-(2,25) представлены только расходящиеся члены. В результате, из (2.11) получим для D: Простые, но громоздкие вычисления показывают, что в случае к -С kg все члены в выражении для щели, пропорциональные R, сокращаются и знаменатель имеет вид Как видно из уравнений (2.26) и (2.27), расходящихся (1/51) поправок к спин-волновому спектру при А = О нет. Покажем, что ситуация не меняется и при учете анизотропии. При к С ко для D можно пользоваться выражением (2.27).
Вычисление знаменателя функции Грина при к к0 дает где в согласии с [9, 10j. Таким образом, мы показали, что расходящиеся инфракрасные члены порядка 1/S1 не влияют па спектр спиновых волн. Покажем, что множитель (1 — 4(R/S) sin2 0), появившийся в выражениях (2.26) и (2.28) для знаменателя D, не приводит к возникновению больших поправок к спиновым функциям Гршга (СФГ): в числителях этих величин возникает точно такой же множитель. Рассмотрим выражения для СФГ, определяемых как
Синглетная динамика
В этом разделе будет установлен общий вид эффективного гамильтониана, описывающего нижний синглетный сектор. Межзвездное взаимодействие рассматривается как возмущение несмотря на то, что оно не мало по сравнению с внутризвездным. Приводятся некоторые доводы в пользу правомерности использования теории возмущений в этом случае. Взаимодействие двух звезд. Начнем с рассмотрения взаимодействия двух звезд, по-прежнему пренебрегая вторым членом в гамильтониане (3.1). Изначально ЄСТЬ ЧеТЫреЖДЫ ВЫрОЖДеННОе ОСНОВНОе СОСТОЯПие С ВОЛНОВЫМИ фуНКЦИЯМИ {Фпі Фпг } (здесь Щ = +, — И ВерХНИЙ ИІГДЄКС Нумерует ЗВеЗДы) И ЭНерГИСЙ Ещщ = J5„I + Епг = —9Ji. Как видно из Рис. 3.4, взаимодействие имеет вид Согласно общей теории [66], для того, чтобы можно было рассматривать V как возмущение, необходимо выполнение следующих условий: где = (Фп?Фпа У ФІпІФтІ), тіт2 обозначает возбужденные состоя ния двух звезд и щ = +,—. Мы вычислили ( для тц — +, —, используя волновые функции возбужденных состояний, найденные численно, и обнаружили, что все эти коэффициенты по абсолютной величине не превышают 0.09. Таким образом, условия (3.5) выполнены. Кроме того максимальное значение суммы 2т т \С \ г\2 оказалось равным 0.28 и также является достаточно малым. Поэтому в дальнейшем взаимодействие между звездами будет рассматриваться как возмущение. Рис, 3.4: Взаимодействия между двумя звездами. Операторы взаимодействия имеют , где верхние индексы нумеруют звезды. Система симметрична по отношению к отражению относительно пунктирной линии. Перейдем к вычислению поправок к энергии основного состояния двух звезд. Поскольку исходный уровень четырежды вырожден, необходимо решить секулярное уравнение [66]. Соответствующие матричные элементы в третьем порядке теории возмущений имеют вид где Tij.ftj = +, —.
Очевидно, что первый член в (3.6) равен нулю, а второй может быть представлен в следующем виде: где "щ гамильтонианы соответствующих звезд и 5 - 0. Третий член в выражении (3.6) будет рассмотрен позднее. Используя свойства симметрии функций Ф+ и Ф_, обсуждавшиеся выше, и инвариантность системы к отражению относительно пунктирной линии, приведенной на Рис. 3.4, можно показать, что отличные от пуля элементы секулярной матрицы будут находиться на двух ее диагоналях (т.е. это элементы с тії = кі, П2 — к% и с щ ф к1у Пг ф &г). Они были вычислены с очень высокой точностью1 путем разложения операторной экспоненты в выражении (3.7) в ряд до степени 150. Результаты могут быть представлены в следующем виде: где а і = О-256/і, аг = 0.015J\ и аз = 0.0017J]. Элементы второй диагонали намного меньше, чем аи аг и аз. Таким образом, взаимодействие сдвигает все уровни на величину — а\ и снимает их вырождение. Константы аг, аз и а определяют величину расщепления. Видно, что величина расщепления намного меньше величины общего сдвига. В данном приближении получилось, что КГАФ является набором двухуровневых взаимодействующих систем. При этом низкоэнергетический синглетный сектор гильбертова пространства естественно представить в терминах псевдоспинов: jt) = Ф и Отличия результатов, полученных путем разложения экспоненты до степени 149, от результатов, полученных при разложении ее до степени 150, оказались порядка Ю-5 %. Таким образом, выбранный метод даст почти точные значения элементов секулярной матрицы. ) — Ф±. Как видно из выражений (3.8)-(3.12), в этих терминах взаимодействие между звездами описывается гамильтонианом анизотропного ферромагнетика во внешнем магнитном иоле: где (i,j) теперь обозначают ближайшие псевдоспины на треугольной решетке, образованной звездами, s является оператором спина \, С = — 5.268J\M, Зх = 4а3 = -0.0С17./Ь Jy = 4о4 = -0.001 Л и h = -6а2 = -0.092./І. Здесь Я - N/12 это число звезд в исходной решетке. Множитель 6 в выражении для h появился из-за того, что каждая звезда имеет 6 соседок. Величина магнитного ноля в эффективном гамильтониане (3.13) намного больше величины обмена. Поэтому в данном приближении звезды ведут, себя как свободные спины в магнитном поле, и основное состояние КГАФ имеет дальний синглетный порядок, образованный звездами в состоянии Ф_, Поправки V3. Поле остается наибольшим параметром эффективного гамильтониана, и основное состояние КГАФ имеет тот же дальний синглетный порядок, если учесть поправки Vі ряда теории возмущений. В случае двух звезд они даются третьим членом в выражении (3.6). Учет поправок Vі предполагает также анализ взаимодействия трех звезд. В этом случае ненулевой вклад получается только для конфигурации, показанной па Рис. 3.3(b). Секуляриая матрица в случае трех звезд имеет размер 8x8. Поправки V3 были вычислены с очень высокой точностью с использованием интегрального представления, подобного представлению (3.7), для второго члена в выражении (3.6). Все операторные экспоненты раскладывались до степени 150. В
Зависимость низкотемператургіого пика от магнитного поля
Перейдем к рассмотрению зависимости низкотемпературного пика от величины внешнего магнитного поля Н. В изотропном нефрустрировашюм антиферромагнетике появление пика у величины С(Т) означает переход в упорядоченную фазу. Температура, при которой эта особенность наблюдается, уменьшается до нуля в поле Н, величина которого соответствует температуре пика. В этом отношении зависимость теплоемкости звезды от поля при малых Т также необычна. Результаты вычисления С при помощи спектра гамильтониана (4.1), пай-денного численно, представлены на левом графике рисунка 4.4. При Н = Т; m 0.085 высота пика уменьшается всего на 11%. При этом величина Ті уменьшается незначительно. Пик полностью размывается только в поле Н Д. Рис. 4.4: Зависимость низкотемпературного пика теплоемкости звезды С(Т) от магнитного поля Я, вычисленная при помощи спектра гамильтониана (4.1) (слева) и в модели, рассмотренной в тексте (справа). В обоих случаях 7} Д/3. Эволюция низкотемпературного пика в магнитном поле может быть описана в результате моделирования ПС, подобного проведенному выше для случая Н = 0. Эта модель позволит правильно понять причину слабой зависимости пика от поля. Из Таблицы 4.1 видно, что низкоэнергетический сектор представлен преимущественно триплетпыми уровнями. Поскольку поле расщепляет уровни с S ф О, ПС при # Д может быть смоделирована следующим образом: Эволюция низкотемпературного пика в поле, вычисленная в этой модели, представлена на правом графике Рис. 4.4.
Мы видим, что модель воспроизводит не только качественно, но и количественно основные тенденции в изменении низкотемпературного пика при увеличении Н. Поле размазывает участок, на котором происходит скачек в плотности состояний, и, тем самым, вызывает уменьшение пика. Итак, изменения теплоемкости значительны только при ЯЙД. Поэтому причиной слабой зависимости низкотемпературного пика от поля является следующее обстоятельство: Ті ss Д/3. Как отмечалось выше, двухпиковая структура теплоемкости в кагоме-кластерах с четным числом спинов N была обнаружена во многих предыдущих численных рас четах [18, 21, 23, 42, 43). Высота и положение высокотемпературного пика, найденные путем высокотемпературного разложения [43] и путем численной диагонализации конечных кластеров [18, 21, 23, 42, 43], совпадают друг с другом и с нашими результатами. Низкотемпературный пик при Т[ Д был обнаружен в [21, 23, 42, 43], но его положение и высота зависели от N и формы кластеров. Покажем, что причина появления низкотемпературного пика в этих случаях та же, что и у звезды: быстрый рост плотности состояний над щелью. Рассмотрим только самый большой из изученных до сих пор кластеров (N — 36). Его спектр был получен в работах [20, 21], и термодинамические свойства изучены в [23]. Согласно [20], спектр выше спиновой щели Д у него почти сплошной, как у звезды. Но в отличии от звезды, эта щель заполнена синглетными уровнями, отделенными от невырожденного основного состояния маленькой щелью As -С Д. Согласно результатам работы [20], синглеты распределены довольно равномерно и ПС внутри щели равна примерно 1000. Плотность состояний над щелью намного больше (примерно на порядок), чем внутри нее [20, 45]. Качественное понимание природы низкотемпературного пика может быть получено при помощи модели, похожей на рассмотренную выше.
Предположим, что при Е Д ПС равна W, где Д Д, и существует скачек величины W W в ПС при Е = Д . Выражение для теплоемкости, полученное по формуле, похожей на (4.4), в интересующем нас интервале температур А3 С Т Д имеет вид: Мы попытались воспроизвести низкотемпературный пик, полученный в работе [23] при помощи уравнения (4.8). Удалось получить пик с нужными характеристиками (высота 0.152 и 3] « 0.05 Д 0.074) при следующих значениях параметров: Д = 0.23, W = 43000 и W = 1000. В этой модели теплоемкость не оказалась пропорциональной Т2 при Т Т(. Как видно, при такой подгонке существует два варьируемых параметра — Д и W. Как показано ниже, при описании пика с заданной высотой и положением они определяются однозначно. Получим уравнение на Ті. В рассматриваемом случае ZA /Ti «ги члены в выражении (4.8), содержащие Z, могут быть опущены. В результате искомое уравнение имеет вид Итак, мы получили, что свойства низкотемпературного пика определяются величиной Д и отношением г. Поэтому на эти свойства влияют уровни, расположенные как ниже, так и выше Д . Этот вывод находится в качественном согласии с выводом работы [23]. Как видно из уравнений (4.8) и (4.9), величина Д не влияет на высоту пика, но определяет его положение Зі. Очевидно, TJ уменьшается при уменьшении Д . Величина г определяет как положение пика, так и его высоту. Высота пика и 7} уменьшаются при увеличении г. Поэтому ясно, что если величина ПС ниже Д выбрана равной 1000, величины Д и W при моделировании низкотемпературного пика, изученного в [23], определяются однозначно. Покажем, что причина слабой зависимости этого пика от поля, обнаруженной в работе [23, имеет ту же природу, что и в случае звезды. В указанной работе бы
Термодинамический предел
Отметим, что согласно (4.13) и (4.14) при увеличении ПС пад щелью (т.е. при уменьшении г) Тх уменьшается, а высота пика увеличивается. Этот эффект был отмечен на качественном уровне в работе (72] при сравнении графиков х{Т) для кластеров с N = 36 и N = 18. Для проверки модели мы сравнили график восприимчивости, построенный с использованием выражения (4.13), с графиком хСО Для кластера с N = 36, приведенном в работе [72). При этом параметры г, W и Д были взяты такими же, какие были использованы выше для моделирования низкотемпературного пика теплоемкости этого кластера. В результате оказалось, что высота пика почти такая же, а Тх отличались на 44% (в модели — 0.065, а в кластере — 0.045). При этом, также как и в случае звезды, модель давала более быстрое убывание в области Т } ТК. В обоих случаях это расхождение связано с неучтенным вкладом верхних уровней (в том числе и уровней с S 1). Итак, мы видим, что положение пика магнитной восприимчивости в кагоме-клас-терах при столь низких температурах является следствием большой плотности со стояний над щелью. График энтропии звезды S(T) приведен на Рис. 4.1. Здесь мы встречаем ту же особенность в поведении S(T), какая наблюдалась в температурной зависимости энтропии больших кагоме-кластеров: 50% полной энтропии, S(oo), приходится на интервал Т 0.2, т.е. на низкотемпературный пик [23, 43]. Как видно из рассмотрения, проведенного выше, эта особенность происходит от быстрого роста ПС над триплет-иой щелью. Уровни, расположенные выше Д , дают главный вклад в энтропию при Т 0.2. Отметим, что такая лее особенность S(T) была обнаружена и в других моделях фрустрированных антиферромагнетиков, упоминавшихся выше, которые имеют двухпиковую структуру теплоемкости [50, 51]. В заключение этой главы остановимся подробнее на вопросе возможности существования низкотемпературных пиков теплоемкости с описанными свойствами в реальных системах. К сожалению, в данный момент нельзя с уверенностью сказать, сохранится ли низкотемпературный пик, наблюдавшийся в кагоме-кластерах, при переходе к термодинамическому пределу (N — со). Дело в том, что для понимания термодинамических свойств кагоме гейзенберговских антиферромагнетиков со спином 1/2 на данный момент мы располагаем, помимо результатов численной диагонализации класте ров, только результатами высокотемпературного разложения. Причем, как показано в работе [43], последний метод в данном случае применим только в области Т 0.2 и не описывает низкотемпературный пик,
В области применимости результаты высокотемпературного разложения совпадают с результатами численных расчетов [43]. Поэтому единственный вывод, который можно сделать, это то, что 50% полной энтропии приходится на область Т 0.2. Но этого, конечно, недостаточно, чтобы сказать, как будет при этом вести себя теплоемкость, будет она иметь пик или "плечо". Данная работа также не может дать точного ответа на этот вопрос. Согласно нашим результатам, низкотемпературный пик очень чувствителен по отношению к конкретному поведению ПС около основного состояния (например, размытие области, на которой происходит скачек в ПС, магнитным полем приводит к исчезновению пика). Отметим, что этот вывод находится в согласии с тем фактом, что высота и положение низкотемпературного пика сильно зависели от размеров и формы кластеров в предыдущих численных расчетах [21, 23, 42, 43]. Тем не менее, пик в теплоемкости, происходящий от скачка в ПС, может существовать в реальных системах. Для этого необходимо, чтобы над основным состоянием существовали достаточно плоские зоны. Итак, в этой главе мы рассмотрели термодинамические свойства кагоме-кластеров, уделив наибольшее внимание самой, на наш взгляд, интересной особенности — днух-пкковой структуре теплоемкости С(Т). На осноье анализа спектра кагоме-кластеров были предложены простые модели, выявляющие причину появления низкотемпературного пика в точке Т} Д (Д — величина триплетной щели). Продемонстрировано, что ею является не большая плотность синглетов внутри триплетной щели, как это считали раньше, а быстрый рост плотности состояний над щелью. Эти модели позволили также правильно понять причину слабой зависимости низкотемпературного пика от магнитного поля. Указанная особенность спектра кагоме-кластеров приводит к тому, что пик магнитной восприимчивости находится при достаточно низких температурах, а энтропия имеет довольно большое значение при Т «- Д. Отмечено, что рассмотренные особенности могут наблюдаться в реальном кагоме-аптиферромагнетике и в более сложных антиферромагнитных кластерах. Итак, в данной диссертационной работе с помощью l/5-разложения рассмотрено взаимодействие спиновых волн в аптиферромагиетике Гейзенберга, находящемся и слабом магнитном поле, при учете анизотропии типа "легкая ось". Изучен также нижний синглетный сектор кагоме гейзенберговских антиферромагнетиков со спином 1/2 (КГАФ). Рассмотрены термодинамические свойства кагоме-кластеров. В результате на защиту выдвигаются следующие результаты; 1. Показано, что в первом порядке по 1/5 сильной перенормировки спин-вол нового спектра и спиновых функций Грина (СФГ) Ххх и Хуу (ось У направлена вдоль поля, а ось z — вдоль намагниченности подрешеток) не происходит. Напротив, поправки (1/51) в выражении для Xzx, появляющейся в магнитном поле Я, становятся большими при малых значениях Н. Таким образом, впервые установлено, что в этом случае происходит сильная перенормировка кираль-ных флуктуации. Отмечено, что эта перенормировка может быть изучена в экспериментах по рассеянию поляризованных нейтронов, 2. Предложен новый подход к проблеме основного состояния и первых возбужденных уровней КГАФ. Кагоме-решетка рассматривается как набор звезд, содержащих 12 спинов и упорядоченных в треугольную решетку (см. Рис. 3.1). Показано, что звезда имеет двукратно вырожденное основное синглетное состояние. Показано, что нижний синглетный сектор КГАФ состоит из уровней, образовавшихся из основных состояний звезд и результате межзвездного взаимодействия.
