Содержание к диссертации
Введение
2 Гидродинамические уравнения с учетом спин-токового взаимодействия 32
2.1 Операторы плотностей наблюдаемых величин 32
2.2 Уравнения для плотностей наблюдаемых величин . 34
2.3 Уравнение непрерывности 35
2.4 Уравнение баланса энергии 36
2.5 Связь с кинетическими уравнениями 38
2.6 Некоторые свойства гамильтониана Брейта 46
2.7 Вывод уравнений квантовой гидродинамики с учетом спин-токового взаимодействия 48
2.8 Выводы 55
3 Электромагнитные, плазменные и акустические волны в системах частиц с собственным магнитным моментом 57
3.1 Постановка задачи 57
3.2 Решение линеаризованных уравнений 59
3.3 Волны вдоль внешнего магнитного поля 66
3.4 Волны поперек внешнего магнитного поля 68
3.5 Акустические волны 71
3.6 Выводы 72
4 Волна с круговой поляризацией в системе заряженных частиц 74
4.1 Постановка задачи 74
4.2 Волна с круговой поляризацией в квантовой гидродинамике 75
4.3 Выводы 78
5 Волна с круговой поляризацией в системе нейтральных частиц с собственным магнитным моментом 79
5.1 Постановка задачи 79
5.2 Точное решение уравнений квантовой гидродинамики . 80
5.3 Дополнительные решения 84
5.4 Предельные случаи 86
5.5 Выводы 87
6 Заключение 89
Литература
- Уравнения для плотностей наблюдаемых величин
- Волны вдоль внешнего магнитного поля
- Волна с круговой поляризацией в квантовой гидродинамике
- Точное решение уравнений квантовой гидродинамики
Введение к работе
Объект исследования и актуальность темы. Для проектирования современных электронных систем применяются методы квантовой гидродинамики, пришедшие на смену обычным гидродинамическим и квантово-механическим методам. Методы квантовой гидродинамики позволяют рассматривать поведение многочастичных систем во внешнем электромагнитном поле в 3-мерном физическом пространстве. Учет же явлений, связанных с наличием у частиц собственного магнитного момента позволяет применять метод для расчета задач спиновой электроники.
Цель работы. Основной целью работы является вывод уравнений квантовой гидродинамики с самосогласованным электромагнитным полем из уравнения Шредингера с гамильтонианом, учитывающим спин-токовое взаимодействие, а также, применение уравнений квантовой гидродинамики для расчета волн в системах многих частиц во внешнем магнитном поле.
Научная новизна. В работе впервые проведен вывод уравнений квантовой гидродинамики с магнитным моментом для систем многих частиц, взаимодействие которых описывается гамильтонианом, учитывающим взаимодействие спина частиц и тока частиц. Впервые в уравнения квантовой гидродинамики получены вклады, отвечающие спин-орбитальному (токовому) взаимодействию частиц. Впервые получены точные аналитические решения предложенных уравнений, приводящие к зависимости дисперсионных соотношений от амплитуд.
Результаты диссертации являются обоснованными и достоверными, так как они получены с помощью строгих математических методов на основе общепринятых уравнений квантовой механики и приводят к результатам, согласующимся с классической электродинамикой сплошных сред. Решения уравнений в частных случаях совпадают с результатами других авторов. ОСНОВНЫЕ НАУЧНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ
Вывод уравнения квантовой гидродинамики, учитывающие спин-токовое взаимодействие.
Решение уравнений квантовой гидродинамики в линейном прибли-
жении в виде электромагнитных, плазменных и акустических волн в системе многих заряженных частиц.
Решение уравнений квантовой гидродинамики в виде волн с круговой поляризацией, распространяющихся вдоль внешнего магнитного поля в системе многих заряженных частиц с собственными магнитными моментами.
Решение уравнений квантовой гидродинамики, учитывающих спин-токовое взаимодействие, в виде волн с круговой поляризацией, распространяющихся вдоль внешнего магнитного поля в системе электрически нейтральных частиц с собственными магнитными моментами.
Научная и практическая значимость. Полученные в диссертации фундаментальные уравнения квантовой гидродинамики: уравнение баланса числа частиц, баланса импульса и баланса плотности магнитного момента, учитывающие спин-токовое взаимодействие, могут быть использованы для расчета линейных и нелинейных физических процессов в пространственно-распределенных системах многих частиц. Найденные решения уравнений квантовой гидродинамики могут быть использованы в экспериментальных и теоретических исследованиях плазменноподобных сред. Также результаты могут применяться для более точного расчета распределенных электронных устройств.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 112 наименований. Общий объем текста - 103 машинописных страницы. Работа содержит 3 рисунка.
Уравнения для плотностей наблюдаемых величин
Для систем же тождественных частиц свертка с суммой J-функций сведется к сумме тождественных слагаемых в силу симметрии волновой функции относительно перестановок тождественных частиц. В результате рассмотрения систем многих частиц как в квантовой так и в классической механике получается классическое уравнение непрерывности. Однако в уравнение для тока из-за наличия межчастичных взаимодействий будет входить двухчастичная плотность распределения, которая, в общем случае, не сводится к одночастичным функциям. Таким образом, получается аналог цепочки Боголюбова, заканчивающийся на уравнении для iV-частичной функции распределения и уравнения для тока в ЗЛГ-мерном пространстве. Таким образом, для замыкания системы уравнений квантовой гидродинамики необходимо внести предположения о системе. В частности, одним из способов замыкания системы может быть предположение о том, что двухчастичная функция распределения является произведением одночастичных функций распределения. В действительности, двухчастичная функция не равна произведению одночастичных функций, а отличается от него на корреляционную функцию: п(х,у) = п(х)п(у) + (х,у). (1.27)
Корреляционная функция зависит от конкретной системы. Для систем частиц со слабым взаимодействием, таких как разреженные газы, она обращается в ноль.
Уравнения квантовой гидродинамики для систем многих частиц с ку-лоновским взаимодействием получены в работе [99].
Многочастичное уравнение Шредингера описывает системы частиц, взаимодействующих при помощи потенциального взаимодействия во внешнем электромагнитном поле. Уравнение Паули учитывает взаимодействие спинов частиц с внешним магнитным полем, но не учитывает взаимодействия спинов этих частиц друг с другом. Ранее [95, 96] были получены уравнения квантовой гидродинамики для систем частиц со спинами, учитывающие взаимодействие спинов. В качестве гамильтониана для уравнения Шредингера бралась часть гамильтониана Брейта. Это привело к появлению в уравнениях квантовой гидродинамики самосогласованного магнитного поля, источником которого являлись магнитные моменты частиц. Но в системе многих заряженных частиц с собственным магнитным моментом самосогласованное магнитное поле может появляться не только из-за наличия магнитного момента у частиц, но так же и из-за движения этих заряженных частиц. В частности, для получения поля, создаваемого токами частиц в квантовой гидродинамике, необходимо учитывать взаимодействие спина частицы с током другой частицы (спин-токовое взаимодействие).
В главе 2 при помощи операторного формализма [1] производится вывод гидродинамических уравнений с учетом спин-токовых взаимодействий [100, 101]. Выводятся уравнения баланса плотности числа частиц, плотности потока частиц, плотности магнитного момента из уравнения Шредин-гера с учетом спин-токового взаимодействия. В уравнениях баланса плотности потока частиц и плотности магнитного момента возникают электромагнитные поля, частично удовлетворяющие уравнениям Максвелла. Источниками этих самосогласованных полей являются заряды и токи частиц. Кроме того, в правых частях уравнений баланса импульса и магнитного момента появляются слагаемые, описывающие взаимодействие магнитных моментов движущихся частиц с электрическим полем, создаваемым другими частицами.
В плазмоподобных средах частицы могут обладать не только электрическим зарядом, но и магнитным моментом. При рассмотрении систем многих частиц с собственными магнитными моментами в уравнениях квантовой гидродинамики необходимо учитывать взаимодействие спинов и квантовый потенциал Бома. Возникает задача о распространении волн в таких системах. При этом существует возможность в рамках одного и того же формализма исследовать электромагнитные, плазменные и акустические волны.
В главе 3 выполнен расчет дисперсионных соотношений для волн в линейной теории многих заряженных частиц с собственным магнитным моментом в постоянном внешнем магнитном поле [102,103]. Показано, что часть квантового потенциала Бома, предложенная Вайцзеккером, обращается в ноль в линейном приближении. Найдены решения вдоль и поперек магнитного поля.
В линейном приближении можно получить дисперсионные соотношения для малых отклонений полевых характеристик системы (таких как электрическое, магнитное поле, плотность магнитного момента, концентрация частиц, скорость частиц) от равновесного состояния. Однако при большой интенсивности интерес представляет точное решение, что дает возможность получить решение и для больших амплитуд возмущений в системе.
В главе 4 найдено точное решение уравнений гидродинамики для систем поляризованных заряженных частиц с собственным магнитным моментом в постоянном внешнем магнитном поле [104, 105]. Показано, что решение согласуется с результатами главы 3.
В потоке нейтронов, например, идущих из реактора, могут возникать различные волны. Так как у нейтронов имеется собственный магнитный момент, при гидродинамическом рассмотрении необходимо учитывать взаимодействие спинов нейтронов. Исследовалось влияние "спин-орбитальных"поправок к уравнению баланса импульса для систем многих нейтральных частиц, полученной при учете спин-токового взаимодействия в уравнениях квантовой гидродинамики. Выснилось, что эти поправки влияют на поведение системы при больших амплитудах волн.
Волны вдоль внешнего магнитного поля
Если волна распространяется под углом а к направлению внешнего магнитного поля, то дисперсионное соотношение для волны примет вид:
Видно, что наличие спина частиц не влияет на дисперсионное соотношение для акустической волны, в то время как наличие внешнего магнитного поля и заряда вносит свой вклад в дисперсионное соотношение. Дисперсионное соотношение можно записать в виде выражения для волнового вектора, зависящего от частоты:
Это дисперсионное соотношение в случае распространения волны под углом к внешнему магнитному полю имеет две ветви, но в случае распространения вдоль направления внешнего магнитного поля эти ветви объединяются, а в случае распространения перпендикулярно направлению внешнего магнитного поля одна из ветвей приобретает нулевую частоту, то есть, перестает зависеть от времени. Таким образом, в этих случаях остается лишь одна нетривиальная ветвь акустических волн.
В данной главе получены решения уравнений квантовой гидродинамики для систем многих частиц с собственными магнитными моментами в линейном приближении. Таким образом, в рамках одного формализма были получены дисперсионные соотношения для оптических, акустических и плазменных волн, распространяющихся вдоль внешнего магнитного поля. Кроме того, получено одно дисперсионное соотношение для волн, распространяющихся поперек внешнего магнитного поля с вектором электрического поля, направленным вдоль внешнего магнитного поля. Кроме того, получено дисперсионное соотношение для акустических волн, распространяющихся в данной системе в произвольном направлении относительно внешнего магнитного поля. Показано, что дисперсионное соотношение для акустической волны имеет две ветви, но в крайних случаях распространения волны вдоль внешнего магнитного поля и поперек внешнего магнитного поля, остается лишь одна ветвь. Кроме того, показано, что вклад квантового потенциала Бома в линейном приближении оказывает влияние лишь на скорость звука в системе, давая ей квадратичную зависимость от волнового вектора распространяющейся волны.
В данной главе мы ставим своей целью получить точное решение уравнений квантовой гидродинамики для нелинейных волн, распространяющихся вдоль магнитного поля, в таких системах частиц и исследовать их динамику. Для систем частиц без спина подобные волны с круговой поляризацией рассмотрены в работе [112].
Рассмотрим систему многих частиц с электромагнитным взаимодействием, обладающих также собственными магнитными моментами. Будем считать, что заряды частиц в равновесном состоянии скомпенсированы фоном зарядов более тяжелых частиц таким образом, что система остается электрически нейтральной.
Из уравнения Шредингера следует, что пространственная и временная зависимость таких полевых характеристик системы, как концентрация частиц п, давление р, поле скоростей V, плотность удельного магнитный момента /х, электрическое поле Е, магнитное поле В (внешнее и создававмое самими частицами) подчиняются следующей системе уравнений:
Рассмотрим распространение в этой системе частиц электромагнитной волны с круговой поляризацией частотой ш. Будем считать, что все величины постоянны вдоль осей абсцисс и ординат, а изменяются только вдоль оси аппликат. Векторный потенциал А ищем в виде: где А± подлежит определению, a Bz - внешнее магнитное поле, через "с.с."обозначает слагаемые, полученные путём комплексного сопряжения предыдущих слагаемых. В этом случае общий вид векторов J и v определяется выражениями:
Будем искать решение, в котором составляющая плотности магнитного момента, параллельная ez, не зависит от времени, а перпендикулярная составляющая зависит от времени как е шЬ. Из уравнений (4.1) в этом случае следует, что параллельная (fiz) направлению внешнего магнитного поля и перпендикулярная (ц±) составляющие удельной плотности магнитного момента связаны соотношением: М± = М Ж- (4Л) тс еВ При и = составляющая плотности магнитного момента параллельная направлению внешнего магнитного поля обращается в ноль. Получившееся линейное уравнение можно решить при помощи преобразования Фурье. Отсюда получается дисперсионное соотношение для таких волн:
Следует отметить, что зависимость дисперсионного соотношения от амплитуды волны неявно входит через Mz, который может быть выражен из (4.20). Приведенное дисперсионное соотношение согласуется с результатами предыдущей главы, а в случае обращения Bz и Mz в ноль, приведенное дисперсионное соотношение совпадает с дисперсионным соотношением для плазменных волн.
Таким образом, показано, что в системе многих частиц с собственными магнитными моментами возможно распространение электромагнитной волны, с дисперсионным соотношением, в общем случае, зависящем от амплитуды.
Волна с круговой поляризацией в квантовой гидродинамике
В последнее время в связи с расчетом электронных приборов встает необходимость в использовании адекватных моделей. В течение длительного времени в качестве таких моделей выступали обычные гидродинамические модели. Но классические гидродинамические модели не способны описывать процессы туннелирования (проникновения под барьером) при низких температурах. Поэтому в таких случаях пользовались модельным одночастичным уравнением Шредингера. Но в таком подходе есть недостатки: уравнение Шредингера описывает лишь Гамильтоновы системы и не может описать диссипативные силы, действующие в системе, такие как трение и электрическое сопротивление. Поэтому в последнее время для таких исследований используют метод квантовой гидродинамики, основанный на уравнении Маделунга с квантовым потенциалом Бома. Это позволяет одновременно учитывать квантовые свойства многочастичных систем в трехмерном физическом пространстве, в частности, туннелирова-ние и диссипативные свойства систем, такие как электрическое сопротивление.
Научная новизна. В работах, посвященных квантовой гидродинамике в качестве исходного уравнения выступает уравнение Шредингера для одной частицы во внешних электрическом и магнитном полях. В настоящее время получены уравнения квантовой гидродинамики для заряженных частиц без спина и со спином во внешних электрическом и магнитном полях. Кроме того, для систем многих частиц учтено кулоновское и спин-спиновое взаимодействия частиц, что привело к появлению в уравнениях кванто 9 вой гидродинамики самосогласованных электрического и магнитного полей, источниками которых являлись плотность числа частиц и плотность собственного магнитного момента. То, что источником самосогласованного магнитного поля могут быть токи частиц, получено не было. Таким образом, ранее не было учтено спин-токовое взаимодействие частиц.
Объект исследования. В работе исследуются системы многих частиц, обладающих собственным магнитным моментом. В частности, одной из таких систем может быть плотная плазма, состоящая из электрически заряженных частиц, либо поток нейтронов, обладающих собственным магнитным моментом. Но результаты работы могут быть использованы и при исследовании других систем многих частиц.
Метод исследования. В качестве метода для получения уравнений квантовой гидродинамики из уравнения Шредингера использовались аналитические вычисления с применением операторного формализма для операторов плотностей наблюдаемых величин, предложенные в работе [1]. Метод был адаптирован к применению в исследовании систем многих частиц с собственными магнитными моментами.
Цели и задачи диссертации. Основной целью диссертациии является получение уравнений квантовой гидродинамики, учитывающей взаимодействие спинов частиц с токами частиц. Это должно привести к тому, что в уравнениях для самосогласованного магнитного поля в качестве источника должен появиться ток заряженных частиц. Следующей целью диссертации было получение решений уравнений для конкретных физических систем многих частиц, обладающих магнитным моментом и исследование физических процессов в таких системах.
Достоверность научных положений. Результаты диссертации являются обоснованными и достоверными, так как они получены с помощью строгих математических методов на основе общепринятых уравнений квантовой механики в рамках хорошо зарекомендовавших себя приближений и приводят к результатам, согласующимся с классической электродинамикой сплошных сред. Решения уравнений в частных случаях согласуются с результатами других авторов.
Точное решение уравнений квантовой гидродинамики
Актуальность. В квантовой механике для описания состояния системы необходимо задать волновую функцию в конфигурационном пространстве, то есть, зависящую от 3N координатных переменных и одной временнбй переменной. Для нахождения волновой функции в произвольный момент времени необходимо решить уравнение Шредингера. Если система состоит из нескольких невзаимодействующих частиц, уравнение Шредингера для си 14 стемы сводится к совокупности уравнений Шредингера для каждой из частиц. Однако, в общем случае, необходимо находить решение дифференциального уравнения в частных производных, из-за чего при решении задач с большим числом взаимодействующих частиц нахождение точной волновой функции представляет собой сложную задачу. Кроме того, волновая функция дает избыточную информацию о системе, хотя бы из-за того, что калибровочные пробразования волновой функции (например, умножение на произвольное комплексное число с единичным модулем) приводят к другому решению уравнения Шредингера, отвечающего тем же физически наблюдаемым величинам. В то же время, в эксперименте могут быть измерены лишь наблюдаемые величины, даваемые усреднением эрмитовых операторов наблюдаемых величин с волновой функцией. Встает задача о переформулировании уравнений квантовой механики в терминах полевых наблюдаемых величин, таких как плотность числа частиц, плотность импульса, плотность магнитного момента. Это приведет к явному выделению в уравнениях классических и квантовых слагаемых.
В связи с известной сложностью рассмотрения систем многих частиц в квантовой механике используют приближенные методы, такие как метод Томаса-Ферми [2, 3] или усовершенствованные методы функционала плотности [4, 5, 6]. Метод Томаса-Ферми широко применяется для расчета распределения плотности вещества в системах многих частиц, таких как многоэлектронные атомы, молекулы, большие ядра, модельные системы с непроницаемыми стенками, твердых тел [5, 7, 8, 9, 10]. Метод Томаса-Ферми допускает ряд усовершенствований, позволяющих учитывать различные поправки, не учитываемые в его классическом варианте [3, 5, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14]. Исследование уравнения Томаса-Ферми соста-вяет отдельную математическую задачу [15, 16, 17, 18]. Однако метод Томаса-Ферми не позволяет рассматривать временную эволюцию систем многих частиц. В частности, вне рассмотрения оказываются волны, возбуждаемые в таких системах. Поэтому для расчета реальных физических систем часто пользуются гидродинамическим методом. Гидродинамический метод применяется при расчете поведения квантовых ям, точечных контактов [19, 20, 21].
Гидродинамический метод являтся естественным для описания пространственно-временного поведения систем многих частиц, позволяет феноменологически учитывать макроскопические характеристики веществ, такие как подвижность носителей заряда, проводимость вещества, инерционность зарядов. Но метод классической гидродинамики имеет существенные ограничения, связанные с отсутствием проявления квантово-механических эффектов при его применении. В частности, не учитывается эффект туннелирования, что не позволяет применять гидродинамический метод для расчета и моделирования современных и перспективных полупроводниковых устройств.
Для описания систем многих частиц, в частности, полупроводниковых приборов, применяется метод квантовой гидродинамики, сочетающий в себе преимущества гидродинамического и квантовомеханического описаний систем. Квантово-гидродинамический метод состоит в исследовании гидродинамических уравнений и квантовых поправок к ним, полученных непосредственно из уравнения Шредингера. В частности, такое преобразование уравнения Шредингера необходимо для исследования волн в системах многих частиц, так как волны распространяются в 3-мерном физическом пространстве, в то время как уравнение Шредингера записывается в конфигурационном пространстве.
Научные положения, выносимые на защиту.
1. Произведен вывод уравнений квантовой гидродинамики из уравния Шредингера для систем многих частиц с гамильтонианом, учитывающим спин-токовое взаимодействие. Получены уравнения баланса числа частиц, баланса плотности импульса частиц, баланса плотности магнитного момента частиц и уравнения для самосогласованного поля. В качестве источников для части самосогласованного магнитного поля выступает ток заряженных частиц. К уравнениям баланса плотности числа частиц и баланса плотности магнитного момента получены поправки, связанные со спин-токовым взаимодействием частиц.
2. Для систем многих частиц с собственным магнитным моментом в линейном приближении получены решения в виде волн. В рамках одного и того же формализма получены дисперсионные соотношения для оптических, плазменных и акустических волн в системе вдоль внешнего поля. Кроме того, получено выражение для моды, распространяющейся поперек магнитного поля.
3. Для системы многих частиц с собственным магнитным моментом найдено точное решение в виде волны с круговой поляризацией. Показано, что при малых амплитудах решение согласуется с решением в линейном приближении. 4. Для потоков электрически нейтральных частиц с собственным магнитным моментом найдено точное решение в виде нелинейной волны с круговой поляризацией. Показано, что при малых амплитудах решение согласуется с решением в линейном приближении. Показано, что при увеличении амплитуды зависимость показателя преломления менятся, увеличивая ширину "запрещенной зоны"для волн с правой поляризацией.
