Содержание к диссертации
Введение
1 Введение и обзор методов 4
1.1 Теория струн и D-браны 4
1.2 D-браны и кольцо дифференциальных операторов 8
1.3 Эффективное действие суперсимметричных теорий 11
1.4 Я = 2 теория Янга-Миллса и Супер КХД 12
1.4.1 Калибровочная теория 12
1.4.2 Центральный заряд и кривая маргинальной стабильности 15
1.5 Соответствие между гравитацией и калибровочной теорией поля 17
1.5.1 Обзор основных результатов 17
1.5.2 AdS/КТП соответствие 19
1.5.3 Решение Клебаиова-Штрасслсра и бариопная ветвь 22
1.6 Структура работы 25
2 Квантование сингулярных многообразий и физика D-бран 27
2.1 Введение 27
2.2 Кольцо дифференциальных операторов на подмногообразии 28
2.3 Примеры 34
2.3.1 Пересечение гиперплоскостей 34
2.3.2 Прямая с двойной точкой 37
2.3.3 Точка на сингулярной кривой 38
2.3.4 Точка на C2/Zro орбифолде 39
2.4 Выводы и обсуждение 42
3 Я = 2 Янг-Миллс и БПС состояния 43
3.1 Введение 43
3.2 Действие Я = 2 Супер КХД 46
3.3 Монодромии пространства модулей Я = 2 теории 48
3.4 Фермионная нулевая мода 51
3.5 Анализ решения 55
3.6 Электрический заряд БПС состояния 59
3.6.1 Методы вычисления зарядов 59
3.6.2 Электрический заряд БПС состояния 61
3.7 Выводы и обсуждение 65
4 Я = 1 калибровочные теории и голографический принцип 68
4.1 Введение 68
4.2 Конифолд и решение Клебанова-Штрасслера 71
4.2.1 Конифолд 71
4.2.2 Решение уравнений супергравитации 73
4.2.3 Барионная ветвь решений 76
4.3 Линеаризованные уравнения 78
4.3.1 Гравитон 78
4.3.2 U{\)TI векторная частица 80
4.4 Спектр гравитона 82
4.4.1 Вычисления на фоне решения КШ 82
4.4.2 Анализ на барионной ветви 83
4.5 Спектр векторной частицы 85
4.6 Выводы и обсуждение 87
Заключение 90
Приложение 93
- Центральный заряд и кривая маргинальной стабильности
- Кольцо дифференциальных операторов на подмногообразии
- Монодромии пространства модулей Я = 2 теории
- Решение уравнений супергравитации
Введение к работе
Актуальность темы
Суперсимметричные теории поля в силу ряда причин представляют интерес для современной физики. Во-первых, некоторые из этих теорий являются упрощенными вариантами более сложных реалистических физических теорий. Суперсимметричные аналоги зачастую обладают качественными сходствами и, вместе с тем, являются более доступными для сложных квантовых вычислений. Во-вторых, некоторые суперсимметричные теории всерьез претендуют на роль моделей, описывающих реальный мир.
Существенный вклад в развитие суперсимметричных теорий в последние два десятилетия внесли методы, разработанные в рамках теории струн. В некоторых случаях теория струн не только оказала существенное влияние на методы используемые в изучении суперсимметричных теориях ПОЛЯ, но и предсказала свойства этих теорий, позже воспроизведенные в рамках методов теории поля.
Особенный интерес вызывают успехи суперсимметричных теорий и теории струн в описании неабелевых калибровочных теорий в режиме сильной связи. В частности, в определенных суперсимметричных моделях, являющихся аналогами теории Янга-Миллса и КХД, было найдено эффективное низкоэнергетическое действие. В других примерах был открыт метод вычисления корреляционных функций теории поля в пределе сильной связи, используя классическое приближение в дуальной теории супергравитации.
Начало изучения эффективных теорий для суперсимметричных моделей было положено в 1982 году в работе Венециано и Янкеловича. Изучение киральной аномалии в АҐ = 1 суперсимметричной SU(N) калибровочной теории Янга-Миллса, подтолкнуло этих авторов к идее вывода низкоэнергетического эффективного действия из простых соображений симметрии. Действие Венециано-Янкеловича,
SVY = f с14жс12# NS (log^ - 1J .
совместимое со свойствами симметрии квантовой теории, обладает N ваку-
умами, характеризующимися значением вакуумного среднего квадрата глю-инных полей (S) = (XX) = e2mklN Л3, где к = 0... N — 1. Этот интересный результат имеет прямую аналогию с нарушением киральной симметрии и устройством вакуума КХД.
В 1994 году Зайберг и Виттен построили эффективное действие в АҐ = 2 суперсимметричной SU(2) теории Янга-Миллса. В отличие от действия Ве-нециано-Янкеловича, которое содержит только суперпотенциал, действие Зайберга-Виттена является точным эффективным действием на любом масштабе. Вычисление точного действия оказалось возможным благодаря исключительным ограничениям, накладываемым ЛГ = 2 суперсимметрией. Так, действие АҐ = 2 теории описывается всего лишь одной голоморфной функцией Т - препотенциалом.
Важную роль в построении действия Зайберга-Виттена сыграли БПС состояния, масса которых пропорциональна модулю центрального заряда алгебры суперсимметрии. Центральный заряд М = 2 теории с калибровочной группой SU(2) и Nf ароматами материи выражается через электрический, магнитный и глобальные U(l)Nf заряды:
Z = пеа + птав + ^ т^/л/2,
г=1
где ті - масса соответствующего кварка, а а и ад параметризуют пространство вакуумов теории. Более точно, а и ар образуют базис сечения SL(27 Z) расслоения над пространством модулей. Поскольку пространство модулей является некоторой римановой поверхностью, при обходе по замкнутому контуру сечение, вообще говоря, подкручивается на некоторую нетривиальную SX(2,Z) матрицу - матрицу монодромий. В то же время физическая масса БПС состояния, а следовательно и центральный заряд, должны оставаться инвариантными при таких преобразованиях, поэтому SL(27 Z) преобразование перемешивает также и заряды пе, пт и S.
Физически SX(2,Z) преобразования являются преобразованиями дуальности, аналогичными электромагнитной дуальности Монтонена и Олива. При преобразованиях дуальности физическая теория получает эквивалентное представление, но с другими константами связи и другим спектром БПС
состояний. Изучив действие дуальности на БПС состояния, Зайберг и Вит-тен восстановили эффективное действие.
Большое влияние на результат Зайберга и Виттена оказали методы теории струн. Метод монодромий для препотенциала ЛГ = 2 теории, полученной методом компактификации теории струн на многообразие Калаби-Яу, применялся ранее в работах Канделаса. В дальнейшем теория струн обогнала теорию поля в предсказании действия для ЛГ = 1 SU(N) теории Янга-Миллса с мультиплетами материи, которое было построено в 2002 году в работах Дикграафа и Вафы. Действие ЛГ = 1 КХД было сначала получено, опираясь на результаты топологической теории струн, матричных моделей теории струн и методы зеркальной симметрии, и лишь позднее при помощи полевого подхода. Причем действие Венециано-Янкеловича, отвечающая чистому Янгу-Миллсу, получается как мера интегрирования в матричном интеграле, но не воспроизводится методами теории поля.
Суперсимметричная теория струн естественно определяется в 10 измерениях. В рамках теории струн существует ответ на вопрос, что происходит с 6 ненаблюдаемыми измерениями. Эти измерения должны быть компактными, причем для существования минимум одной суперсимметрии в четырех измерениях компактное 6-мерное многообразие должно быть кэллеровым с нулевым тензором Риччи, то есть многообразием Калаби-Яу. Особенный интерес представляют модели, в которых наблюдаемый четырехмерный мир помещен на мировой объем совокупности 1)3-бран, помещенных в некоторую область пространства Калаби-Яу. Во-первых, это позволяет решить «проблему иерархии» для гравитации: слабость гравитационного взаимодействия объясняется тем, что часть его может «ускользать» в дополнительные измерения. Во-вторых, низкоэнергетическим пределом теории на мировом объеме D-бран является неабелева калибровочная теория поля.
D-браны являются непертурбативными объектами теории струн. Они возникают как решения классических уравнений гравитации - классического предела теории замкнутых струн. В теории открытых струн D-браны реализуют граничные условия: концы открытых струн заканчиваются на D-бранах. Это дает калибровочную теорию в низкоэнергетическом пределе теории открытых струн на мировом объеме D-браны. Соответственно
конфигурации из совпадающих D-бран обеспечивают неабелеву калибровочную теорию. Эффективным действием для Dp-браны является действие Дирака-Борна-Инфельда, которое обобщает концепцию действия частицы в пространстве-времени
Sp = -Тр I dp+1^ e-W^gab + ВаЪ + 2na'Fab),
где а' задает масштаб массы в теории открытых струн. Поля ф, даь, Ваь и Fab являются степенями свободы открытой теории струн. Полагая Ваь равным нулю, и, раскладывая действие ДБИ в ряд по а', в первом порядке можно получить действие Янга-Миллса на мировом объеме Dp-браны.
Двойственное описание D-бран как солитонов в теории замкнутых струн, с гравитацией в пределе а' —> 0, и граничных объектов в теории открытых струн, несущих калибровочную теорию поля, а также связь замкнутых и открытых струн подтолкнуло физиков к идее дуальности теории гравитации в пространстве и калибровочной теории на границе пространства. Эта дуальность получила название голографического принципа. Конкретная реализация голографического принципа была осуществлена в работе Мальда-сены в 1997 году и получила название AdS/КТП (Конформная Теория Поля) соответствия. Согласно этому соответствию теория струн на классическом решении ПВ супергравитации, описывающем N совпадающих 1)3-бран на границе пространства AdS5 в 10-мерном пространстве AdS х S'\ дуальна SU(N) конформной ЛҐ = 4 теории Янга-Миллса на мировом объеме избран. Имеет место следующее сопоставление параметров двух теорий:
RA = ol2g\MN.
Здесь R - радиус пространства AdS$ и сферы S5. Это соответствие наиболее интересно в пределе большой константы 'т Хоофта А = ^yMiV. Такой предел отвечает описанию теории Янга-Миллса в режиме сильной связи в пределе большого N. С точки зрения гравитации такой предел означает малую кривизну - классическую гравитацию.
Таким образом, основной интерес к AdS/КТП соответствию вытекает из возможности описания неабелевой калибровочной теории в режиме сильной связи, с использованием решений классических уравнений гравитации. В
частности, возбуждения над классическим решением супергравитации соответствуют операторам в теории поля. Массы этих возбуждений равны аномальным размерностям этих операторов. AdS/КТП соответствие позволяет вычислять корреляционные функции дуальных операторов в калибровочной теории поля.
Недостаток AdS/КТП соответствия заключается в том, что оно формулируется для конформной теории с ЛГ = 4, в которой отсутствуют явления асимптотической свободы и конфайнмента. В связи с этим были произведены попытки обобщить AdS/КТП соответствие на неконформный случай. Наиболее успешной из них на данный момент следует признать модель Клебанова-Штрасслера (КШ).
В модели КШ N 1)3-бран помещаются в вершину деформированного 6-мерного конуса - конифолда. Это соответствует геометрии К3,1 х S3 х S2, что дает ЛГ = 1 теорию на мировом объеме. Кроме того, к обычным 1)3-бранам добавляются М дробных 1)3-бран - 1)5-бран, намотанных двумя измерениями на S2. Дробные браны делают теорию неконформной. Калибровочной теорией на D-бранах в такой конфигурации является SU(N + М) х SU(N) теория ЛГ = 1 Янга-Миллса с двумя киральными суперполями A.%i t>i в (N + М, N) и (N + М, N) представлениях калибровочной группы и суперпотенциалом
W = X e^ekl Tr {AiAjBkBi).
Как показало исследование дуальной теории, данная теория не лежит в одном классе эквивалентности с АҐ = 1 калибровочной теорией Янга-Миллса, как изначально предполагали Клебанов и Штрасслер, однако она обладает многими схожими свойствами и заслуживает подробного изучения как суперсимметричный аналог КХД.
Цель работы
Целью диссертации является:
квазиклассическое исследование поведения спектра БПС состояний, отвечающих безмассовому кварку, на пространстве параметров в ЛГ = 2 теории
Янга-Миллса с калибровочной группой SU(2) и одним гипермультиплетом материи;
вычисление электрического заряда БПС состояния в этой теории;
изучение неабелевых теорий, возникающих на различных геометрических конфигураций D-бран;
применение голографического принципа для изучения АҐ = 1 калибровочной теории, возникающей на конфигурации из 1)3-бран на вершине шестимерного конуса в модели Клебанова-Штрасслера (КШ).
Научная новизна
Исследовано поведение БПС состояния при движении вокруг сингулярности на пространстве модулей на уровне классических уравнений.
Дано качественное объяснение явления «распада» БПС состояния при помощи классических объектов, таких как связанное состояния кварка и монополя.
Найдено явное решение, описывающее массивную фермионную частицу в поле монополя 'т Хоофта-Полякова.
Получена квазиклассическая формула для электрического заряда БПС состояния.
Изучен спектр дифференциальных операторов на сингулярных алгебраических многообразиях, аналогичным интересным конфигурациям D-бран в теории струн.
Найден спектр возбуждений в модели КШ и на барионной ветви, дуальных оператору энергии-импульса T^v в калибровочной теории поля. Показано, что эти возбуждения описываются простым уравнением Клейна-Гордона.
Найдено уравнение, описывающее векторную частицу в модели КШ, для которой дуальным оператором является J^ - поперечная компонента U(1)-jz тока.
Практическая и научная ценность
Найдено качественное объяснение явления «распада» БПС состояний в АҐ = 2 SU(2) теории Янга-Миллса с материей. Свойства монодромий тео-
рий на пространстве модулей интерпретируются в терминах классических частиц и полей.
Предложена формула для электрического заряда, явно отражающая свойства голоморфности теории.
Построена общая процедура нахождения кольца дифференциальных операторов на алгебраически нетривиальных многообразиях.
В модели Клебанова-Штрасслера и ее однопараметрическом обобщени изучено устройство спектра гравитона - бесследового поперечного возбуждения метрики, которое является дуальным оператору тензора энергии-импульса в теории поля.
Показано, что спектр векторной частицы, дуальной сохраняющейся части оператора U(1)tz тока, совпадает со спектром гравитона. Это позволяет объединить операторы T^v и J^ в один супермультиплет в эффективной низкоэнергетической теории ПОЛЯ.
Апробация диссертации и публикации
Основные результаты диссертации неоднократно докладывались на теоретических семинарах ИТЭФ, на семинаре отделения теоретической физики университета Уппсалы (Uppsala, Sweden, 2002),а также международных школах и конференциях «Ломоносов 2002» (Москва 2002), «Progress in String, Field, and Particle Theory» (Cargese, France, 2002), «XXXI ITEP Winter School of Physics», (Москва 2003), «XV летняя школа-семинар Волга 2003» (Казань, 2003), «Cargese Summer School», (Cargese, France, 2006). По теме диссертации опубликовано 5 работ.
Структура и объем диссертации
Центральный заряд и кривая маргинальной стабильности
В 1998 году в работе X. Мальдасены [23] было высказано интересное предположение о дуальности 10-мерной теории ИВ супергравитации на пространстве AdSb х S5 и N = 4 конформной суперсимметричной теорией Янга-Миллса на четырехмерной границе AdSs- Основным результатом сопоставления двух теорий явилась возможность изучения калибровочной теории поля в режиме сильной связи, используя сравнительно простые классические (или пертурбативные) методы теории супергравитации (теории струн). Однако гораздо больший интерес для физики представляют неконформные теории, обладающие нетривиальной динамикой, включающей явления асимптотической свободы и конфайнмента. В этой связи были осуществлены попытки построения дуальных моделей с N = 1 суперсимметрией.
Одной из первых Я = 1 моделей соответствия стала модель, предложенная И. Клебановым и Э. Виттеном. В работе [38] этими авторами было рассмотрено супергравитационное решение, соответствующее N .Ш-бранам на границе AdSf,. Степень суперсимметричности теории поля на мировом объеме 3-бран определяется изометриями трансверсального пространства. Как нам известно, для получения Я = 1 четырехмерной теории транс-версалыюе пространство YQ ДОЛЖНО иметь спинор Киллинга, то есть являться многообразием Калаби-Яу. В качестве такого многообразия авторы [38] предложили рассмотреть 6-мерный конус с базой Г1 1 - 5-мерным пространством с топологией 53 х S2. Согласно [38] калибровочной теорией на мировом объеме ЛЗ-бран для такой конфигурации должна являться N = 1 суперконформная теория с калибровочной группой SU(N) х SU(N), а степенями свободы - киральные дублеты суперполей (А\, Лг) и (В\, .) в представлениях (N,N) и (N,N). В теории также есть суперпотенциал W = \ег: ekltrAiBkAjBi, совместный с глобальными симметриями.
Конформная инвариантность является помехой для необходимых нам бега константы связи и явления асимптотической свободы. Чтобы нарушить конформную инвариантность, И. Клебанов и Н. Некрасов в работе [39] предложили добавить 2)5-браны, два измерения которых намотаны на 52-цикл в Т1 1. С точки зрения четырехмерной теории такие браны могут восприниматься как обычные ЛЗ-браны, обладающие дробным зарядом по форме F ,. Отсюда возникает название дробные браны (fractional branes). Добавление М дробных бран приведет к изменению калибровочной группы, которая теперь будет SU(N+M)xSU(N), что в свою очередь нарушит симметрию в динамике двух групп, входящих в прямое произведение. В отличие от конформного случая, относительная константа связи д [2 — %Г2 будет бежать логарифмически. Логарифмический бег константы связи в супергравитационной интерпретации был продемонстрирован в [39] в лидирующем порядке по M/N.
Более детально теория с дробными бранами была изучена в работе И. Клебанова и А. Цейтлина [40]. Авторами было найдено полное решение системы уравнений супергравитации, включающее 10-мерную метрику, формы F3, Fb из Рамон-Рамоновского сектора и Щ форму в Невё-Шварцевском секторе. Полное решение также описывает логарифмический бег константы связи N = 1 калибровочной теории. При этом ранг калибровочной группы, с точки зрения супергравитационного решения, эффективно уменьшается, и, на некотором масштабе, вообще становится равным нулю. В полевой интерпретации это означает, что в теории происходит фазовый переход в результате которого ранг каждого из множителей калибровочной группы уменьшается на М единиц [41]. Однако, более серьезная проблема заключается в том, что метрика решения [40] имеет сингулярность в начале координат. Кроме того, симметрия супергравитационного решения, которую мы отождествляем с и{1)ц симметрии в теории поля сохраняется также и в инфракрасном режиме, что не согласуется с нашими знаниями об инфракрасном поведении N = 1 суперсимметричной калибровочной теории. По аналогии с полевым случаем естественно ожидать, что эти проблемы должны решаться включением непертурбативных эффектов.
Сингулярность метрики в решении [40] в первую очередь связано с тем, что мы рассматриваем теорию на конусе, имеющем сингулярность в начале координат. И. Клебанов и М. Штрасслер в работе [25] предложили рассматривать теорию на деформированном конусе. Метрика на деформированном конусе имеет гладкое поведение в начале координат и совпадает с метрикой на обычном конусе в ультрафиолетовом режиме. Кроме того, такое решение нарушает {/(1)тг симметрию и поэтому подходит нам как полное дуальное описание непертурбативного режима калибровочной теории.
Ниже мы более подробно опишем идеи принципа AdS/КТП соответствия и обсудим его обобщение на случай неконформной теории и решения Клебанова-Штрасслера.
Основная идея AdS/КТП соответствия лежит в так называемом гологра-фическом принципе. Как, в частности, было отмечено в [42], энтропия черной дыры, т.е информация о ее макросостоянии, определяется площадью ее горизонта. Таким образом, информация о черной дыре, доступная удаленному наблюдателю, содержится в двумерном подпространстве трехмерного пространства.
Достижения теории струн, изучавшей конформные теории и теории супергравитации, подсказали мысль о возможной эквивалентности четырехмерной калибровочной теории поля и пятимерной теории гравитации [43]. Эта эквивалентность и была сформулирована в «принципе AdS/КТП соответствия» [23], [44]. Этот принцип постулирует «дуальность» двух конкретных теорий: теории суперструн типа ПВ в пространстве AdS$ X S5, редуцированной в пять измерений AdS и конформной N = 4 суперсимметричной SU(N) калибровочной теории Янга-Миллса на четырехмерной границе пространства AdS$. С точки зрения теории открытых струн, JV = 4 SU(N) Янг-Миллс - теория, живущая на мировом объеме стопки из JV 3-бран. Обобщения нелинейного эффективного действия для теории на jD-бранах (1.1) на случай теории с различным количеством суперсимметрий можно получать, частично нарушая суперсимметрию, накладывая нелинейные условия на линейные представления суперсимметрии [45]. С другой стороны, известно, что стопка N .Ш-бран является классическим решением ИВ теории супергравитации [46]. Это классическое решение включает нетривиальную метрику
Кольцо дифференциальных операторов на подмногообразии
В этой главе нами были изучены различные примеры алгебр дифференциальных операторов, возникающих на различных, в том числе и сингулярных многообразиях. Мотивация такого исследования состоит в построении геометрического подхода к изучению таких объектов, как D-браны в супергравитации и теории струн. Действительно, результаты, полученные еще в [11], могут быть интерпретированы как возникновение неабелевых степеней свободы на мировых объемах таких нетривиальных геометрических объектов, как совпадающие D-браны.
При выводе результатов мы опирались на методы алгебраической геометрии. Была предъявлена общая конструкция, позволяющая строить кольцо дифференциальных операторов на произвольных подмногообразиях, задаваемых алгебраическими уравнениями. Как можно было убедиться методы алгебраической геометрии становятся незаменимыми при работе с сингулярными многообразиями. Они позволяют работать со структурами, недоступными другим математическим методам. Именно поэтому алгебраическая геометрия играет большую роль в аппарате современной математической физики.
Различные примеры, рассмотренные нами в разделе 2.3, оправдали наши ожидания на связь структуры алгебры дифференциальных операторов и физических состояний на мировом объеме D-бран. В частности, мы обнаружили не только неабелевы степени свободы на совпадающих гиперплоскостях, но и подалгебру нелокальных операторов, очевидно отвечающих массивным состояниям струн, натянутых между стопками бран. Мы также увидели, что алгебра дифференциальных операторов естественным образом знает о разрешении сингулярности многообразия, что в очередной раз подтверждает ее корректность с точки зрения физики.
К сожалению, описанные здесь результаты применимы лишь к бозон-ному сектору. Тем не менее мы верим, что изученные явления остаются качественно теми же и в суперсимметричном случае. Кроме того, большая часть геометрии супсрсиммстричных теорий контролируется именно бозонным сектором. Мы надеемся, что данные результаты возможно будет впоследствии обобщить также и на суперсимметричные теории.
В суперсимметричных теориях особая роль принадлежит т.н. БПС состояниям. Эти состояния зануляются ровно половиной генераторов и реализуют массивные короткие представления алгебры суперсимметрии. В виду того, что размерности массивных и безмассовых представлений различны, последнее свойство важно для существования эффекта Хиггса в суперсимметричной теории. Изучение БПС состояний явилось ключом к решению проблемы Зайберга и Виттена о нахождении низкоэнергетического эффективного действия теории N = 2 суперсимметричного Янга-Миллса [16]. В данной главе изучается явление «распада» БПС состояния в N = 2 суперсимметричной теории Янга-Миллса с материей, обнаруженное в работе [17].
Суперсимметрия накладывает сильные ограничения на теорию. Например, действие N = 2 суперсимметричного Янга-Миллса определяется в терминах всего лишь одной голоморфной функции. Кроме того, благодаря суперсимметрии, в этой теории отсутствуют старшие петлевые поправки. В М = 4 теории Янга-Миллса поправки вообще отсутствуют - эта теория является конечной. Суперсимметрия позволяет понять устройство квантового пространства модулей, не прибегая к сложным квантовым вычислениям. В частности, гиперкэллерова метрика на хиггеовской ветви пространства модулей N — 2 теории с материей фиксируется однозначно, что означает отсутствие квантовых поправок для этой ветви пространства модулей.
Изучение БПС состояний на пространстве модулей основывается на формуле для центрального заряда, который является генератором расширенной алгебры суперсимметрии и, собственно, отвечает за появление БПС состояний. Центральный заряд как правило присутствует в теориях с нетривиальной топологией. Выражение для центрального заряда для N = 2 суперсимметричного Янга-Миллса было получено в работе [67]. В теории с материей центральный заряд записывается в виде [17]:
Поля материи несут дополнительный абелев глобальный заряд, названный в статье [17] -зарядом, который по смыслу является фермионным числом, т.е. разницей количества фермионных мод с положительной и отрицательной энергиями. Действие для материи обладает в случае отсутствия массового члена глобальной SU(Nf) симметрией. Однако, введение массы нарушает эту симметрию в общем случае до некоторой подгруппы SU(Nf). Если массы разные для всех кварковых ароматов, то симметрия нарушается до произведения U(l)Nf, генерируя тем самым Nf 5-зарядов. Наряду с магнитным пт и электрическим пе зарядами 5-заряд характеризует спектр БПС состояний теории в различных точках пространства модулей.
Пространство модулей J\f = 2 теории с материей представляет собой комплексную плоскость кулоновской ветви, с прикрепленными к некоторым точкам конусами хиггеовской ветви. Кулоновская ветвь теории с материей, характеризующаяся вакуумным значением скалярного поля ф в присоединенном представлении, является специальным кэллеровым многообразием. Кэллеров потенциал и, соответственно, метрика, так же как и действие выражаются, благодаря суперсимметрии, в терминах единственной голоморфной функции. Эта функция-препотенциал, имеет на пространстве модулей точки ветвления - особые точки пространства модулей. С точки зрения физики, эти точки соответствуют появлению безмассовых частиц в спектре эффективной теории. Нас будет особенно интересовать одна из таких точек, соответствующая безмассовому кварку a = ±m/v2.
Вышеуказанная сингулярность хороша тем, что она доступна также и для квазиклассического анализа. При т $ А эта точка лежит в области слабой связи, в которой подавлены непертурбативные поправки. Константа связи имеет логарифмическое поведение, поскольку старшие пертурба-тивные поправки отсутствуют, поэтому эффективная теория может быть легко восстановлена из (1.7) в окрестности этой сингулярности.
Монодромии пространства модулей Я = 2 теории
Теперь представим, что мы нашли некоторое решение, регулярное в нуле. Из асимптотик (3.29) следует, что первая производная в нуле зануляет-ся, в то время как вторая производная положительна. Более того, вторая производная будет положительна в любой точке, в которой первая производная будет равна нулю. Это значит, что всякое регулярное решение будет иметь только минимумы. Таким образом, решение (3.26) не может быть регулярно и в нуле и на бесконечности.
Необходимое нам убывание на бесконечности могут обеспечить функции Хо и 77о из (3.24). Действительно, решения (3.26) имеют на бесконечности асимптотики: Здесь мы снова воспользовались асимптотиками (3.25) для фиксации коэффициентов.
Обратимся теперь к спектру теории. Нас будет интересовать область пространства модулей энергий, где находится непрерывный спектр. Найдем условие непрерывного спектра для фиксированной энергии Е. Изучая асимптотики решений уравнения Дирака, которые на бесконечности превращаются в систему линейных уравнений, мы находим условия на коэффициенты этих уравнений, определяющие границу непрерывного спектра: Рассмотрим пространство с координатами Е, Ше т, $т т. В этом пространстве область непрерывного спектра ограничена конусом с центром в точке а = 2т (Рис.3.1). Ненормируемые решения с непрерывным спектром находится внутри этого конуса. Пространство нормируемых решений уравнения Дирака представлено наклонной полуплоскостью Е = 5sm(m) (3.19), ограниченной прямой Е = 5sm(m) проходящей через точку a = 2га. Таким образом, пространство нормируемых решений касается границы непрерывного спектра.
Попробуем теперь дать описание распаду БПС состояний, предсказанному при изучении монодромий на пространстве модулей. Заметим, во-первых, что пользуясь С/(1)7г симметрией, можно заменить обход сингулярности в плоскости а на обход в плоскости комплексного т. Движение в пространстве (Е, т) при обходе сингулярности на комплексной плоскости строго ограничено уравнениями движения. Двигаясь непрерывно по комплексной плоскости, мы требуем, чтобы теория менялась также непрерывно, т.е. состояния в теории не рождались и не исчезали спонтанно.
Начнем с некоторого вещественного значения то 2а недалеко от точки сингулярности. В этой точке существует нулевая мода оператора Дирака. Ближайшее по энергии решение уравнения (3.18) лежит в непрерывном спектре5. Стартуя с точки на вещественной оси, мы можем двигаться только по наклонной плоскости нормируемых решений. Движение должно быть таким, чтобы проекция траектории на комплексную плоскость представляла собой замкнутый контур вокруг точки т — 2а. Очевидно невозможно замкнуть контур, двигаясь только в плоскости нормируемых решений. Рано или поздно мы должны уйти в область непрерывного спектра.
Внутри непрерывного спектра можно без затруднений обойти вокруг сингулярности. Однако, при попытке замкнуть контур на плоскости, т.е. вернуться к исходному значению массы, выясняется, что мы не можем вернуться назад в дискретный спектр. Доступными оказываются лишь состояния с энергией Е то - 2а из непрерывного спектра. Ненормируемость фермионной моды в непрерывном спектре означает отсутствие связанного кварк-монопольного состояния. Иными словами, после обхода мы обнаруживаем, что первоначальное состояние распалось, что и было предсказано на основании изучения монодромий.
Рассмотрим другое представление (Рис.3.2). Пусть (/ -угол, параметризующий обход вокруг сингулярности в комплексной плоскости. Начиная с нулевой энергии и двигаясь в плоскости нормируемых решений, мы достигаем непрерывного спектра при р = тг/2. Дискретный уровень движется при этом наверх, в определенный момент касаясь конуса с непрерывным спектром. При р от 7г/2 до 37г/2 никакого связанного состояния уже нет, фермионная мода свободно «улетает» от монополя на бесконечность. Совершенно аналогично возможно движение в противоположную сторону. Стартуя с (р — 2ж, мы опускаемся по энергиям вниз и при (р = у достигаем непрерывного спектра в области отрицательных энергий.
Заметим, что в силу непрерывности и адиабатичности движения, а также того факта, что дираковское море состояний снизу полностью заполнено, мы можем обратить движение в отрицательную область и получить, что при движении от 37г/2 до 27Г, кроме состояния в непрерывном спектре, мы находим дискретный уровень энергии, пришедший из области отрица проведенном в [72].
Решение уравнений супергравитации
В КХД киральная симметрия нарушается до Z2j\r подгруппы, что приводит к появлению N дискретных вакуумов. Вакуумные средние мезонных полей нарушают эту симметрию далее до 1 . Такая конденсация мезонов есть прямое указание на конфайнмент.
В суперсимметричном варианте кроме киралыюй /(1)тг симметрии, аномальными являются также масштабная и суперконформная симметрии. Довольно давно было отмечено, что различные аномалии могут быть объединены в один супермультиплет [15]. Уравнение (4.2) обобщается в су-перполевой записи.
Низкоэнергетическое эффективное действие для SU(N) теории Янга-Миллса было предложено Венециано и Янкеловичем [14] в начале восьмидесятых. Авторами было найдено сравнительно простое решение для суперсимметричного действия, обладающее аномальной симметрией. В качестве низкоэнергетической степени свободы было выбрано суперполе S. Необходимо, впрочем отметить, что аргументы Венециано и Янкеловича применимы лишь для построения потенциального члена в действии, роль которого в N = 1 суперсимметричных теориях играет суперпотенциал, или F-член. Для кинетического же слагаемого остается некоторая свобода выбора. В [14] был получен следующий суперпотенциал: Как легко убедится, данное действие не обладает /(1)тг симметрией. В то же время %2N подгруппа сдвигает действие на целый множитель от 27Г, что является симметрией квантового действия.
Минимизируя суперпотенциал, мы находим, что действие обладает N вакуумами, вращаемыми Ъч$ группой. В самом деле, уравнение имеет N корней вида S = e2mklNh?. Вакуумное среднее S спонтанно нарушает Z2A/- симметрию до Ъ . Наличие нарушенной /(1)тг симметрии и N дискретных вакуумов, различающихся значением вакуумного среднего билинейной комбинации фермионных полей, указывает на прямую аналогию с процессами в низкоэнергетической КХД.
Число степеней свободы в эффективной теории Венециано-Янкеловича определяется числом степеней свободы кирального Я = 1 суперполя. Последнее содержит комплексное скалярное поле и 2-х компонентный вейлевский спинор на массовой поверхности. Однако, согласно результатам исследования эффективной N = 1 теории Янга-Миллса на решетке [81], низкоэнергетическая теория обладает в два раза большим числом степеней свободы.
Кроме того, глюбол - оператор F F в теории Венециано и Янкеловича выступает как вспомогательное поле, и, таким образом имеет тривиальную динамику. Однако это противоречит нашему опыту в КХД, где этот оператор приобретает нетривиальное вакуумное среднее.
Для разрешения этих проблем были произведены попытки модифицировать действие Венециано и Янкеловича используя методы суперсимметричных полевых теорий [82], [83], однако результаты этих работ не согласуются с предсказаниями вычислений на решетке. В то же время, сравнительно недавно появилась возможность получать новую информацию о низкоэнергетической теории поля в режиме сильной связи из классических и пертурбативных вычислений в суиергравитации.
Прескрипцию таких вычислений дает голографический принцип, который обсуждался нами в разделе 1.5. Согласно этому принципу линеаризованные возбуждения над определенными решениями теории супергравитации, определенной в пятимерном пространстве, соответствуют операторам в калибровочной теории на четырехмерной границе. Например, решение Клебанова-Штрасслера (КШ) [25] является фоновым решением для линеаризованных возбуждений, дуальных операторам в N = 1 теории с суперпотенциалом (1-24). Несмотря на то, что эта теория и чистая калибровочная теория N = 1 Янга-Миллса принадлежат разным классам эквивалентности, мы надеемся, что изучение низкоэнергетических свойств теории Клебанова-Штрасслера прольют свет на структуру эффективной теории (4.5).
Данная глава посвящена изучении спектров простейшего скалярного уравнения на фоне решения КШ, а также его обобщения, известного как ба-рионная ветвь. Как оказывается этим уравнением описывается гравитон -бесследовое симметричное возбуждение фоновой метрики 2++. Кроме того, в соответствии с предсказаниями пятимерной Л/" = 8 супергравитации, гравитон принадлежит тому же супермультиплету, что и векторная частица 1++, дуальная трансверсалыюй составляющей /(l)# тока. Мы убедимся, что это верно в случае десятимерной теории. Для этого мы найдем линеаризованные уравнения для соответствующего векторного возбуждения. Изложение организовано следующим образом: раздел 4.2 будет посвящен несколько более детальному описанию модели КШ и барионной ветви решений. Там же будут записаны основные уравнения модели. В разделе 4.3 будут найдены линеаризации этих уравнений для гравитона и векторной частицы. В разделах 4.4 и 4.5 будет изучен спектр линеаризованных уравнений. В заключительном разделе 4.6 мы делаем выводы и замечания по поводу полученных результатов.
