Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Динамика активных сред 8
1.1 Общие свойства активных сред 8
1.2 Отношение к сердечной ткани 13
1.2.1 Проводящая система сердца 14
1.2.2 Потенциал действия 15
1.2.3 Аритмии 18
1.2.4 Фибрилляция 20
1.3 Сред: приложение к деятельности сердца 22
1.3.1 Системы взаимодействующих пейсмекеров 22
1.3.2 Модели возбуждения 36
1.4 Спирально-волновая турбулентность и характеристики хаоса 42
1.4.1 Спектральная плотность 44
1.4.2 Отображение Пуанкаре 45
1.4.3 Показатели Ляпунова и энтропия Колмогорова-Синая 45
1.4.4 Корреляционная энтропия 47
1.5 Стабилизация хаотической динамики 49
ГЛАВА II. Активная среда как проводящая система 56
2.1 Модель двух взаимодействующих пейсмекеров с учетом времени рефрактериости 56
2.1.1 Принцип построения модели 56
2.1.2 Непрерывная кусочно-линейная модель 59
2.1.3 Синусоидальная модель 64
2.1.4 Полиномиальная модель 68
2.1.5 Аналогия с патологическими сердечными ритмами 74
2.2 Стабилизация сложной динамики и возможность полного контроля 76
2.3 Обобщеннаямодель N пейсмекеров 79
2.3.1 Общий случай взаимодействия двух пейсмекеров 79
2.3.2 Обобщение на N пейсмекеров 83
2.3.3 Анализ модели 85
2.3.4 Аппроксимация активной среды какрешетки импульсных осцилляторов 94
ГЛАВА 3. Исследование ионной модели фентона-кармы .99
3.1. Упрощенная ионная модель (УИМ) 99
3.2 Фазовые сингулярности. 105
3.2.1 Методы обнаружения фазовых сингулярностей 106
3.2.2 Сравнение фазового метода с методом пересечения изолиний 111
3.2.3 Траектории фазовых сингулярностей 122
3.2.4 Зависимость количества фазовых сингулярностей от времени 124
3.3 Методы нелинейной динамики 127
3.3.1 Расчет энтропии Колмогорова-Синая 127
3.3.2 Оценка корреляционной энтропии из временного ряда 130
3.3.3 Анализ спектральной плотности 130
3.4 Алгоритм сжатия, чувствительный к порядку 131
3.5 Подавление сложной активности в УИМ 134
Заключение 143
Литература 150
- Спирально-волновая турбулентность и характеристики хаоса
- Непрерывная кусочно-линейная модель
- Аппроксимация активной среды какрешетки импульсных осцилляторов
- Сравнение фазового метода с методом пересечения изолиний
Введение к работе
Актуальность темы
В настоящее время активные среды образуют весьма перспективную область исследований, поскольку к ним относятся самые разнообразные физические, химические, биологические и др. объекты: электронные твердотельные системы, ряд химических расі воров и гелей (в том числе реакция Белоусова-Жаботинского), нервные и мышечные ткани, колонии микроорганизмов, экологические системы и т.п. Представление активных сред посредством ансамблей сцепленных возбудимых или автоколебательных элементов является достаточно полезным методом анализа, т.к. позволяет глубоко понять основные динамические процессы, протекающие в таких средах. Как известно, данный подход восходит к модели Винера и Розенблюта [1], согласно которой возбудимая среда состоит из совокупности взаимодействующих элементов, находящихся в одном из трех возможных состояний: возбуждения, рефрактерности или покоя. Позднее такие модели, как осцилляторы с предельным циклом и хаотические отображения [2-3], также стали играть важную роль не только в довольно реалистичном описании активных сред, но и в понимании возможного поведения систем, далеких от равновесия. Множество полезных понятий, например, захваты фаз, синхронизация и пространственно-временной хаос стали популярными благодаря детальным изучениям сходных нелинейных моделей [4-6].
Анализ систем взаимодействующих элементов позволяет определить ряд закономерностей поведения активных сред, зачастую скрытых и неявных. Например, становится возможным на качественно ином уровне описать сложные (в том числе хаотические) динамические режимы, рассчитать ряд инвариантных характеристик динамики процесса и дать наглядное представление полученного решения.
Развитие теории динамических систем и компьютерных методов позволило по-новому подойти к исследованию такой сложной активной среды, как сердечная ткань. Совокупное использование этих двух подходов, а также рассмотрение сердечной ткани как системы, состоящей из автоколебательных и возбудимых элементов, дает возможность глубоко понять процессы, лежащие в основе функционирования сердца, и описать различные сердечные патологии (аритмии). Одним из очень актуальных и практически важных направлений здесь является задача стабилизации работы сердечной мышцы при некоторых видах глубоких аритмий [7-8].
Под стабилизацией неустойчивого или хаотического поведения динамических систем обычно подразумевается искусственное создание в изучаемой системе устойчивых (как правило, периодических) колебаний посредством внешних мультипликативных или аддитивных воздействий. Иными словами, для стабилизации необходимо найти такие внешние возмущения, которые вывели бы систему из хаотического режима на регулярный. Решение этой задачи, несмотря на простоту формулировки, оказывается достаточно сложной современной научной проблемой.
Актуальность данной проблемы в применении к активным средам очевидна. Например, для сердечной ткани выведение системы на требуемый динамический режим дает возможность управлять ритмом и, таким образом, восстанавливать требуемую динамику. Такой подход к стабилизации опасных аритмий позволяет надеяться на создание новых эффективных водителей ритма. При этом немаловажной оказывается минимизация энергетических затрат, поскольку приложение импульсов большой амплитуды к биологическим тканям недопустимо.
Цели работы
Ю Построение математической модели активной среды, состоящей из автоколебательных элементов.
ю Исследование динамики системы двух взаимодействующих
источников возбуждения в целях прогнозирования некоторых видов
сердечных патологий.
ю Анализ сложного поведения возбудимой среды на примере ионной
модели.
&о Подавление хаотического режима системы с помощью
локализованного периодического воздействия.
Научная новизна результатов
Построена и исследована достаточно универсальная математическая модель произвольного числа взаимодействующих источников возбуждения, позволяющая описать активную среду в приближении дискретной системы автоколебательных элементов.
На основе теории динамических систем показана возможность управления динамикой представленной модели.
Предложены и апробированы различные критерии сложности спирально-волновой турбулентной динамики распределенных возбудимых сред.
Впервые применен низкоэнергетический подход к подавлению пространственно-временного хаоса в ионной модели реальной среды.
Практическая значимость
На основе модели нелинейного взаимодействия колебательных импульсных систем можно предсказывать некоторые виды сердечных патологий.
Найдено соответствие данной модели реальной активной среде (в частности, сердечной ткани) с любым количеством источников возбуждения.
Обоснованный в работе новый низкоэнергетический метод подавления пространственно-временного хаоса в распределенных системах является альтернативным к существующим
высокоэнергетическим методам дефибрилляции сердечной ткани и в дальнейшем может широко применяться в кардиологии.
Структура работы
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. В первой главе диссертационной работы приводится обзор литературы по данной проблеме и вводятся необходимые математические понятия, во второй главе строится и исследуется оригинальная импульсная модель, а также излагаются результаты, полученные при аппроксимации экспериментальной кривой фазового отклика различными функциями. Здесь же проводится аналогия с патологическими состояниями сердечной ткани, и результаты, касающиеся возможности управления динамикой построенной модели. Модель взаимодействия двух пейсмекеров обобщается на случай любого количества взаимодействующих импульсных осцилляторов. В третьей главе рассматривается распределенная реакционно-диффузионная система Фентона-Кармы, приводятся критерии определения сложности турбулентной активности и анализ поведения этой ионной модели с помощью методов идентификации фазовых сингулярностей, стандартных методов нелинейной динамики и нового алгоритма сжатия, чувствительного к порядку. Приводятся результаты подавления хаотической динамики системы с помощью слабого внешнего точечного воздействия.
Спирально-волновая турбулентность и характеристики хаоса
Ясно, что для применения аксиоматической теории не требуется детальных знаний о кинетике реальных объектов, что дает возможность рассматривать широкий класс задач в общем виде, а также достаточно просто осуществлять компьютерный эксперимент. Однако наблюдать более тонкие эффекты, а тем более добиться количественного соответствия с экспериментальными данными, на такой модели невозможно.
В соответствии с динамическим подходом активная среда может быть описана гораздо более детально: основываясь на построении микроскопических дифференциальных уравнений с частными производными, имеющих параболический (диффузионный) нелинейный вид [18-20]. При этом связи между элементами среды выражаются диффузионными членами уравнений, а динамика отдельного элемента -реакционными слагаемыми, чтобы реакционный член достаточно адекватно описывал сложное локальное поведение активного элемента, он должен быть нелинейным. Размерность среды в такой системе определяется количеством независимых пространственных переменных и может меняться от одной до трех. Нелинейные функции описывают динамику величин (компонент), характеризующих среду. Как правило, это концентрации веществ в химической системе, мембранные токи и напряжения при описании нервной или мышечной ткани и т.д.
В общем виде уравнения активной среды при отсутствии внешних воздействий записываются следующим образом:где и - вектор состояний элементарного объема активной среды (например, его компонентами могут быть концентрации реагентов вхимической системе [21]), матрица!) определяет коэффициенты диффузии, а функция /(и) задает скорость химических реакций в элементарном объеме. В средах иной природы компоненты и могут иметь смысл температуры, потенциала и т.д., а элементы матрицы D могут быть коэффициентами теплопроводности или электрической проводимости.
Заметим, что такие реакционно-диффузионные (РД) системы оказываются довольно сложной математической моделью. До сих пор не получено точного решения какой либо РД-системы в виде спиральной волны. Поэтому используются приближенные методы исследования. Например, к автоволнам в возбудимых средах применимы методы, основанные на изучении движения фронта волны, что позволяет понизить размерность задачи на единицу. Самый известный из таких асимптотических методов - так называемый кинематический подход (см., например, [22-23]), разработанный специально для возбудимых сред. Он применим для сред с малой рефрактерностью, т.е. при условии малости времени релаксации среды к стационарному состоянию после прохождения волны возбуждения по сравнению с промежутком времени между прохождением последующих волн.
Вообще, возбудимой, бистабильной или осциллирующей активная среда (и соответствующие условно выделенные элементы) может оказаться в зависимости от вида реакционных членов и числа уравнений (1). В диссертационной работе рассматривается, в частности, такая жизненно важная активная среда как сердечная ткань.
Сердечной ткани присущи следующие свойства: ВОЗБУДИМОСТЬ -способность отвечать на действие раздражителей возбуждением в виде электрических импульсов при условии нахождения сердечных клеток (кардиомиоцитов) в покое (в течение времени рефрактерности кардиомиоциты не реагируют на внешнее воздействие); АВТОМАТИЯ -способность самовозбуждаться, т.е. генерировать электрические импульсы вотсутствие внешних раздражителей; ПРОВОДИМОСТЬ - способность проводить возбуждение от клетки к клетке без затухания; СОКРАТИМОСТЬ - способность мышечных волокон укорачиваться или увеличивать свое напряжение [8]. В составе сердечной мышечной ткани выделяют несколько видов кардиомиоцитов, из которых основными являются проводящие сердечные клетки, обладающие свойством автоматии, и сократительные кардиомиоциты, соответственно этим свойством не обладающие. Следовательно, совокупное рассмотрение сердечной ткани как среды, состоящей из двух типов активных элементов: автоколебательных и возбудимых, позволит учесть основные ее свойства, за исключением сократимости.
В нашу задачу, однако, не входит исследование структур, возникающих в осциллирующих средах и не имеющих отношения к сердечной ткани. Мы сосредоточимся на построении модели связанных автоколебательных элементов на основе нового дискретного подхода и анализе явлений, имеющих место при взаимодействии пейсмекеров: синхронизации ритмов, захватов фаз, хаотической динамики, играющих важную роль при описании некоторых видов патологий сердечной деятельности. Напротив, в возбудимых средах мы рассмотрим все эти типы структур в двумерии, за исключением V-образной структуры, и на основе РД-уравнений изучим сложную активность, образованную при распаде спиральных автоволн и приводящую к опаснейшей сердечной патологии - фибрилляции. При этом, в диссертационной работе мы будем пользоваться теорией динамических систем [10, 24], а не традиционно используемыми при исследовании активных сред асимптотическими методами. 1.2.1. Проводящая система сердца
Непрерывная кусочно-линейная модель
Изучение эффекта периодического воздействия на релаксационные колебания, возникающие в осцилляторе типа Ван-дер-Поля, сильно повлияло на развитие математики в этом направлении. Ранние исследования таких моделей демонстрировали как бистабильность (возможность наблюдения одного из двух режимов в зависимости от начальных условий), так и апериодическую динамику [50-51]. Эти и некоторые другие результаты предопределили развитие теории отображений со сложной динамикой [52].
Исследования периодического воздействия на нелинейные осцилляторы показали, что мультистабильность и апериодическую динамику можно объяснить, рассматривая одномерные отображения окружности (функции, отображающие окружность круга на себя, см. ниже) [53-54]. Также было показано, что такие отображения могут демонстрировать апериодическую динамику в результате последовательности бифуркаций удвоения периода [55-58].
Огромное число работ было посвящено исследованию динамики непрерывных отображений окружности как с точки зрения математического интереса, так и с точки зрения отношения к физическим и биологическим проблемам [59-61]. Отображения окружности также могут быть разрывными; бифуркации этих отображений не так хорошо исследованы. Среди изученных разрывных отображений можно выделить кусочно-линейное монотонно возрастающее необратимое отображение окружности. Кинер (Keener) [62] рассматривал отображения в случае, когда они имеют, по крайней мере, одну неподвижную точку. Такие отображения рассматривались в эргодической теории (см., например, [63]). Динамика необратимых разрывных отображений, не имеющих неподвижных точек, была исследована для кусочно-линейных моделей в приложении к изучению нейронных сетей и аналогово-цифровых преобразователей. Но нас, прежде всего, интересуют приложения отображения окружности к исследованию сердечных аритмий.
Баб (Bub) и Гласе (Glass) [64] рассмотрели возможную динамику обобщенного класса разрывных необратимых отображений окружности без неподвижных точек и применили результаты к математической модели вентрикулярной, или желудочковой парасистолы, В работах [65-70] также предпринимались попытки моделирования парасистолы, но первым, кто догадался использовать отображение окружности для изучения сердца, был акад. В.И. Арнольд [71].
В 1959 году научный руководитель В.И. Арнольда, акад. А.Н. Колмогоров, попросил его опустить в дипломной работе раздел, касающийся приложений отображений окружности к изучению сердечных аритмий, вызванных взаимодействием и конкуренцией двух пейсмекеров. Объяснение А.Н. Колмогорова состояло в том, что содержимое данного раздела не относится к классическим проблемам, над которыми должен трудиться настоящий ученый. Как бы опровергая его слова, свою статью [72] Леон Гласе назвал «Сердечные аритмии и отображения окружности -классическая проблема». Вот цитата из этой работы: «Данная проблема имеет отношение к человеческому здоровью, и в ней остается множество интригующих и сложных аспектов для изучения». В другой своей статье [64] Л. Гласе писал: «Несмотря на явную сложность моделирования сердечных патологий, сведение проблемы к математическим вопросам, вовлекающим в рассмотрение отображения окружности, позволяет делать теоретические предсказания, которые в некоторых случаях могут подтверждаться клиническими изучениями».
Хотя Гласе и признавал, что САУ и эктопический пейсмекер, а также САУ и АВУ не генерируют импульсы независимо, а взаимодействуют сложным образом в зависимости от электрофизиологических свойств сердечной ткани, в его работах взаимное влияние осцилляторов никак не учитывалось, даже при моделировании наведенной парасистолы (синусный пейсмекер и эктопический воздействуют друг на друга), не говоря уже о чистой парасистоле (когда пейсмекеры не взаимодействуют).
В работах Икеды (Ikeda) [67-68] предложена кусочно-линейная импульсная модель двустороннего взаимодействия пейсмекеров, основанная на отображении окружности. Эта модель хотя и учитывала взаимное влияние источников генерации импульсов и их разную природу, но была достаточно примитивной, так как в ней использовалась довольно грубая аппроксимация экспериментально полученной кривой фазового отклика (КФО) (см. ниже), и она не позволяла предсказывать аритмии высших порядков (например, захваты кратности 1:NHN:(N-1)) .
Хонеркамп (Honerkamp) [73], пытаясь исследовать динамику системы связанных осцилляторов, также применял кусочно-линейную КФО, основываясь на скудных данных, полученных из рассмотрения электрокардиограмм. По сути, он оперировал одними рассуждениями, но модель так и не представил.
Вообще говоря, для математического описания взаимодействия двух пейсмекеров в активной среде можно использовать известное отображение окружности, если это взаимодействие представить как влияние некоторого внешнего периодического возмущения (с постоянным значением амплитуды и частоты) на нелинейный осциллятор [20, 31, 74-75].
Аппроксимация активной среды какрешетки импульсных осцилляторов
Поскольку ЖФ, продолжающаяся всего лишь несколько минут, приводит к смерти, необходимо экстренное вмешательство. В скорой помощи для восстановления нормального ритма обычно прикладывается высокоэнергетическое электрическое воздействие к грудной клетке пациента. Стандартный дефибрилляционный протокол включает в себя применение электрических шоков высокого напряжения (0,01-5 мс/0,1-10 кВ), которые возвращают все возбудимые клетки сердца в одно и то же состояние, таким образом, останавливая спирально-волновую активность.
Обычно первый дефибриллирующий шок устанавливается на определенный энергетический уровень (200 Джоулей), и, в случае неудачи, может быть приложен второй или третий шок той же самой (или даже более высокой) энергии. При этом сила электрического тока зависит от расположения электродов. Современные клинические исследования направлены на улучшение дефибрилляционных протоколов для минимизации процента неудачи и уровня используемой энергии и, следовательно, риска повреждения ткани, поскольку высокоэнергетические шоки могут вызвать некроз миокарда или дать начало функциональным повреждениям, выраженным нарушениями в предсердно-желудочковом проведении [7-8,26].
Хотя используемый в медицине метод довольно эффективен, большая часть познаний в клинической дефибрилляции лишь практическая и эмпирическая. Начальное понимание двумерных свойств возбудимых сред, в частности сердечной ткани, было продуктом российской школы, полученное, по большей части, из работ В. Кринского и его коллег [125]. Недавние исследования дают теоретическое проникновение в лежащие в основе дефибрилляции механизмы (см., например, [126-131] и ссылки там). Однако все еще нет полного понимания прекращающих активность механизмов и полной непротиворечивой теории сердечной дефибрилляции. Применение электрической стимуляции для прекращения фибриллятивной активности также используется в имплантируемых дефибрилляторах (ИД) - приборах, хирургически вживляемых в тела пациентов высокого риска и автоматически вырабатывающих электрические импульсы низкой мощности при фиксации опасной активности. Если эти импульсы не дают результата, ИД начинают вырабатывать сильные дефибриллирующие шоки. Очень важным фактором в дизайне современных ИД является уменьшение амплитуды стимуляции для избежания болезненных высокоэнергетических шоков и анатомических повреждений как самого сердца, так и окружающей его ткани, и в тоже время сохранение способности к надежной дефибрилляции миокарда. Таким образом, существует высокая потребность в разработке альтернативных методов дефибрилляции, которые бы имели дело с более низкими напряжениями.
Недавнее исследование [132] по низкоэнергетической дефибрилляции может оказаться альтернативой к традиционной ИД терапии, т.к. здесь для прекращения ре-ентрантных аритмий используются напряженности поля в 5-Ю раз ниже (или прикладываемая энергия в 25-100 раз), чем обычные дефибриллирующие шоки. Идея метода, описанного в [132], основана на том факте, что 80% пациентов, носящих ИД, имели предыдущие инфаркты, а при определенных условиях ре-ентри может прикрепиться к шрамам непроводящей ткани, возникших из-за инфаркта (так называемое анатомическое ре-ентри). Однако не все пациенты высокого риска имели предыдущие инфаркты. Поэтому возникающие в сердцах большого числа пациентов ре-ентрантные аритмии обычно ассоциируются с функциональным ре-ентри (свободно дрейфующими вращающимися волнами) и требуют иных способов устранения.
Оказывается, что как для нахождения альтернативных низкоэнергетичеких подходов к дефибрилляции (поскольку фибриллятивная активность проявляет черты пространственно-временного хаоса, см. раздел 1.4), так и для контроля хаотической динамики систем взаимодействующих пейсмекеров, можно применять методы теории дестохастизации, или стабилизации. Проблема стабилизации хаотической динамики различных систем является частью более общей задачи управления динамическими системами. Она является достаточно разветвленной и корректно может быть сформулирована следующим образом.
Если рассмотреть внешний источник возбуждения (параметрический, силовой), действующий сразу на всю среду или на выделенные элементы, то при некоторых условиях он способен вывести систему на регулярный режим движения. Этот режим может быть как периодическим, так и каким-либо другим. В общем виде, несмотря на простоту формулировки, эта задача чрезвычайно сложна, поскольку в хаотической системе нет выделенных частот. Однако общий анализ возмущаемых систем позволяет выявить ряд их важных свойств.
Предположим, что рассматриваемая система задается обыкновенными дифференциальными уравнениями вида
Проблема стабилизации заключается в том, чтобы найти такое внешнее возмущение G, при котором фазовый поток F (x,G), порождаемый возмущенной динамической системой х = \(x ,a,G), стремился бы к выбранному подмножеству X(G) ее фазового пространства. Подмножество X(G) может быть как аттрактором так и неустойчивым множеством. В последнем случае возмущения G модифицируют систему (3) таким образом, что фазовые траектории подходят к подмножеству X(G) и остаются в достаточно малой его окрестности под действием G. Как правило, в приложениях в качестве подмножества X(G) выбирается цикл определенного периода или, для распределенных систем, определенное состояние среды.
Сравнение фазового метода с методом пересечения изолиний
В заключение данного раздела проведем аналогию между полученными результатами и патологическими состояниями сердечной ткани. С помощью построенных моделей можно, например, описать взаимодействие синусного и эктопического пейсмекеров, САУ и АВУ, и воздействие внешнего возмущения на синусный ритм.
Если, например, считать первый импульсный осциллятор САУ, а второй - АВУ, то можно обнаружить, что некоторые устойчивые захваты фаз соответствуют наблюдаемым в клинической практике патологиям. В этом случае среди различных построенных захватов имеются как нормальный синусный ритм (захват кратности 1:1), так и классические ритмы Венкебаха (захваты кратности N:(N-1)) и N\l АВ-блокады. Если же первую импульсную систему считать АВУ, а вторую - САУ, то появляются инвертированные ритмы Венкебаха (аналогичные прямым, но в которых меняются роли желудочков и предсердий), наблюдаемые у некоторых пациентов.
Следует отметить, что рассмотренные функции отклика !г ( ) = yh(x) и /2 {х) — eh{x) при различных аппроксимациях вида функции h(x) являются модельными. Они были взяты для анализа характерных особенностей динамики двух нелинейно взаимодействующих источников колебаний. На практике данные функции необходимо выбирать с учетом дополнительных физических предположений о характере взаимодействия и учитывать экспериментальные данные по отклику отдельной колебательной системы на одиночные импульсы внешнего возмущения. Например, в работе [69] рассматривалось воздействие короткими импульсами на агрегаты спонтанно осциллирующих клеток из сердца эмбриона. Экспериментально полученные кривые фазового отклика аппроксимировались экспоненциальными функциями, причем «внутренние» параметры выбирались из соображений наилучшего соответствия графиков кривых экспериментальным точкам. Их зависимость от физических параметров также выбиралась подобным образом. В результате фазовая диаграмма, полученная численно, достаточно хорошо соответствовала реальной динамике системы.
Наличие широких областей захватов фаз (см. рис. 4-5, 7, 9-Ю, 12-16) говорит о том, что в таких системах возможны различные виды синхронизации двух осцилляторов, которые качественно соответствуют некоторым видам сердечных аритмий. Фазовая диаграмма позволяет выявить, при каких условиях взаимодействия (т.е. при каких значениях параметров а, -у, є и 6) возможен тот или иной вид синхронизации. Более того, все фазовые картины, представленные в данной работе, свидетельствуют о том, что при увеличении нелинейности (т.е. при росте параметра 7) области с различными захватами начинают накладываться друг на друга. Знание таких областей и динамики системы в этих областях позволяет путем внешнего возмущения (к примеру, серией одиночных импульсов) выводить систему из нежелательного режима синхронизации на более благоприятный режим, что жизненно важно.
Отметим также, что анализ фазовых диаграмм дает возможность найти пути управления такими системами. Например, можно рассмотреть влияние дополнительного периодического импульсного воздействия на поведение взаимодействующих колебательных подсистем. Исследование возможных режимов поведения такой системы путем варьирования частоты и амплитуды внешнего возмущения позволит приводить ее динамику к заранее заданной, например, к полному подавлению эктопического пейсмекера синусным. Эта проблема, рассмотренная в следующем разделе, весьма актуальна для общей теории управления нелинейными динамическими системами и возбудимыми средами, в частности, сердечной тканью, которая удовлетворительно описывается приведенными в работе моделями (см. также [154-155]).
Очевидно, свойствам 1), 2), описанным в конце раздела 1.5 первой главы, удовлетворяют все семейства полимодальных отображений, к которым при некоторых условиях относится исследуемое отображение (2).
Поскольку любой цикл вида xc x2,...,xN при произвольных хі Є У является устойчивым (в этот цикл входит критическая точка), то приведенное утверждение позволяет практически использовать данный метод управления динамикой систем, которые эффективно описываются такими семействами.
