Введение к работе
Актуальность темы. Развитие теории фундаментальных взаимодействий в последние годы тесно связано с построением и исследованием новых динамических моделей, использующих идеи и методы калибровочной теории, суперсимметрии и супергравитации, теории суперструн и функциональных струнных полей. При этом существенно расширился арсенал теоретических методов, привлекаемых для анализа таких моделей. Активно используются методы континуального интегрирования, супералгебры и сулеранзлиза, теории струн, конформной теории поля, квантовой обратной задачи рассеяния. Необходимость применения такого широкого спектра теоретических методов связана с включением в динамические модели полей разной функциональной, динамической и алгебраической природы: функциональных попей в теории струн, вспомогательных полей в суперсимметричных моделях, "духов" Фаддеева-Попова в калибровочной теории, супермультиплетов в суперкалибровочных теориях и в супергравитации. Это, в свою очередь, стимулировало развитие соответствующих теоретических методов.
- Системы с градуированными переменными естественно возникли в квантовой теории при попытках построить общий формализм для описания возбуждений, обладающих различными статистиками. Попытка описать классический предел для фермионов потребовала ввести антикоммутирующие переменные в классической теории. В работах Дж. Мартина была определена скобка Пуассона и построена каноническая динамика на функциях от таких переменных. Фактически, эти работы стали началом развития суперматематики - направления исследований в рамках которого развиваются методы алгебры, анализа и геометрии, применимые х изучению функций как от коммутирующих, так и антикоммутирующих переменных и описываемых в их терминах геометрических; объектов. Т\шие переменные являются частным случаем общих Г-градуированных «-коммутативных переменных, где Г - абелева группа, ас- коммутационный фактор на ней. В качестве примера общих градуированных переменных могут быть рассмотрены некоторые типы q-деформированных переменных (?" = 1).
Другим источником введения антикомму тирую .днх переменных в ..вантовую теорию стало построение Ф. А. Березиным функционального представления для метода вторичного квантования фермионов. Была обнаружена тесная аналогия формул операторного исчисления в фермиевском и бозевском вариантах меіода вторичного квантования. При этом было необходимо обычный интеграл по евклидовым переменным в бозевском случае заменить на интеграл по антикоммутиру-ющим переменным. Введение такого интеграла, определяющего линейный функционал на грассмановой алгебре, позволило поставить вопрос о построении ферми-онного аналога основных конструкций квантовой теории: когерентных состояний для фермионов, когерентного представления для оператора эволюции квантовых систем с фермионными степенями свободы и континуального интеграла в когерентном представлении. В первой главе диссертации рассмотрены соответствующие конструкции. При этом оказалось необходимым использовать антикоммутирующие
переменные для параметризации когерентных состояний, а в континуальном интеграле в когерентной представлении существенно адекватно учитывать граничные члены в действии под континуальным интегралом.
Важность единого описания бозонов и фермионов в рамках анализа функций от градуированных переменных существенно повысилась в связи с открытием Ю. А. Гольфандом, Б. П. Лнхтманом и Д. В. Волковым, В. П. Акуловым, В. А. Сорокой суперсимметричных моделей в квантовой теории поля и физике элементарных частиц. Супер симметрия сделала интерес к суперматематике в теоретической физике повсеместным. Теория суперструн существенно расширила спектр динамических теорий, использующих градуированные переменные как для формулировки классических моделей, так и для построения функционального представления квантовых величин. Одной из наиболее привлекательных черт суперполевых и суперструнных теорий является наличие в них механизма сокращений расходнмостей, связанного с суперсимметрией.
Разработка калибровочных моделей фундаментальных взаимодействий с вклю
чением спинорных полей, описывающих кварки и лептоны, и суперкалибровочных
моделей стимулировало изучение калнбровочно-инвариантных струнно-полевых фу
нкционалов, соответствующих адронным состояниям в калибровочной теории силь
ных взаимодействий — квантовой хромодинамике. Для таких функционалов во вто
рой главе установлен струноподобнын характер динамических уравнений, соответ
ствующий взаимодействию струн концами. Связь локальной калибровочной теории
с теорией суперструн определяется возможностью построения в квантовой хромо
динамике функционалов суперструнных полей методом, развитым во второй главе
на базе предложенного там обобщения Р-экспоненты Вильсона на случай, когда
пробный заряд обладает спиновыми степенями свободы. '
Суперсимиетрия, т. е. симметрия относительно преобразований с антикомму-тирующими параметрами, которые связывают бозоиные и фермионные состояния, первоначально возникла в рамках квантовой теории поля. Б. Виттеном было введено понятие суперсимметричного гамильтониана в квантовой механике и предложен общий метод построения суперсимметричных гамильтонианов со скалярным суперпотенциалом. Суперсимметрия приводит к особой структуре спектра собственных состояний квантового гамильтониана, которая описана в третьей главе в терминах многомерного метода факторизации и преобразования Дарбу. Все со б ственные состояния с положительной анергией делятся на равное число бозонныэ И фермионных состояний, а разность чисел бозонных и фермиониых со стоянні с нулевой энергией (индекс Виттена) оказывается величиной, устойчивой относи тепьно непрерывных изменений суперпотенциала и других параметров суцерсим метричного гамильтониана. Это позволяет связать супер симметрию с топологиче скими вопросами спектральной теории и сформулировать новый, квантовомехани ческий, подход к доказательству теорем об индексе эллиптических операторов ні компактных многообразиях, основанный на методе континуального интегрирова них по коммутирующим 11 шггикоммутирующнм переменным. В третьей главе ДЛ-квантовых гамильтонианов, обладающих обобщенной суперсимметрией, на основ
многопараметрической градуировки векторов из пространства состояний строится серия топологических индексов, обобщающих индекс Виттена.
Квантовомеханический погляд на природу теоремы об индексе на компактных , многообразиях, соответствующих случаю дискретного спектра, естественно поставил вопрос о развитии методов квантовой теории рассеяния для суперсимметричных гамильтонианов и установлению связи топологических характеристик квантовых гамильтонианов с непрерывным спектром со спектральными данными задачи рассеяия. Такая суперсимметричная теория рассеяния построена в четвертой главе диссертации. В ее рамках оказалось возможным ввести топологически-устойчивую характеристику суперсимметричных гамильтонианов с непрерывным спектром - суперсимметричный индекс рассеяния и построить для него аналитическое представление на основе суперсимметричных формул следов. В суперсимметричной теории рассеяния на препятствиях в евклидовом пространстве суперсимметричный индекс рассеяния, определяемый разностью полных фаз рассеяния в бооонном и фермионном секторах, оказался связанным с эйлеровой характеристикой препятствия и его границы. Тем самым оказалось возможным связать топологические характеристики рассеивателя со спектральными данными для случая абсолютно-непрерывного спектра. Это позволяет рассматривать суперсимметрич-ную теорию рассеяния в качестве систематической основы для формулировки и доказательства теорем об индексе для некомпактных многообразий. Исследования в гтой области активно ведутся в настоящее время.
Цель диссертационной работы. Основная цель диссертации состоит в разработке теоретических методов исследования квантовых систем, обладающих фер-мионными степенями свободы и суперсимметрией - методов континуального интегрирования и суперсимметричнон теории рассеяния и применении этих методов к задачам квантовой теории калибровочных полей, квантовой механики к теории индекса.
Методом континуального интегрирования в когерентном представлении для фер-мионов получены точные представления для функций Грина фершгагов в калибровочных полях, построен аналог Я-экспоненты Виль _>на для случая, ког?,.. пробный заряд обладает спиновыми степенями свободы, построены калибровочно-инвари-антные фунгционалы, соответствующие струнам с распределенным спином.
Методами суперсимметричной теории рассеяния проанализирована струх./ра супер симметричной матрицы рассеяния, введены топологически устойчивые характеристики суперсимметричных гамильтонианов с непрерывным спектром, связанные со спектральными данными рассеяния, доказаны суперсимметричные формулы следов, исследованы топологические обратные оадачи рассеяния - восстановление топологических характеристик рассеивателя по данным рассеяния, доказаны теоремы об индексе для некомпактных многообразий.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются оригиналь-
ными и получены впервые.
Развит общий подход к построению представлений ядер операторов эволюции ферми-систем и матричных Р-эхспонент континуальным интегралом в когерентном представлении с учетом граничных членов. Построение основано на использовании полной системы когерентных состояний для ферми-операторов с анти-коммутирующими параметрами и процедуре "фоковского" расширения матричной системы.
Получено представление фермионного пропагатора в калибровочном поле континуальным интегралом в координатном суперпространстве с действием, соответствующем супер симметричному действию для точечной спинорнои частицы в калибровке собственного времени.
Построена матричная Р-экспонента для траекторий в суперпространстве, описывающая вклад в функцию Грина от взаимодействия калибровочного заряда, обладающего спиновыми степенями свободы, с .внешним калибровочным полем. С испольоовашіем этой спинорнои Р-экспоненты построены новые калибровочно-инвариантные струнно-полевые функционалы в квантовой хромодинамике, соответствующие спиновым струнам.
Обнаружена неоднозначность калибровочных условий Лоренца в окрестности инстантона. Исследована природа калибровочных повторений и построены калибровочные уловия, однозначно параметризующие окрестность инсі антона.
Установлена связь многомерного метода факторизации и преобразования Дарбу
с матричными реализациями многомерных суперсимметричных гамильтонианов.
Введено понятие квантового гамильтониана' с обобщенной супер симметрией
(GSQM - гамильтониана), описана структура спектра собственных состояний и
построены новые топологические индексы для такого гамильтониана.
Суперсимметричная теория рассеяния определена в терминах сплетания полного и асимптотического суперзарядов волновыми операторами. Доказана супер-симметричность 5-матрицы в такой теории и показано, что она влечет за собоі унитарную эквивалентность боаонной и фермионной 5-матриц при заданной анер гии при всех энергиях выше порога.
Введен новый топологический инвариант для супер симметричных гамильтони анов с непрерывным спектром - суперсимметричный индекс рассеяния. Впервы получены супер симметричные формулы следов, выражающие супер симметричны индекс рассеяния через суперслед разности полугрупп полного и асимптотическог гамильтонианов.
Описана общая структура суперсимметричной 5-матрицы для квантовых cj персимметричных гамильтонианов с быстроубывающим суперпотенциалом.
Построена суперсимметричная теория рассеяния для оператора Лапласа ї
формах во внешней области компактного препятствия в евклидовом пространств
порождаемая абсолютными (относительными) граничными условиями на форм
на поверхности препятствия. Доказано, что соответствующчй суперсимметри
цый индекс рассеяния выражается через относительную (абсолютную) айлерої
характеристику препятствия. .
Доказана супер симметричность теории рассеяния для оператора Лапласа на некомпактных миогообрэязях, евклидовых на бесконечности, и вычислены супер-симметричный индекс рассеяния через интеграл от формы Черна-Гаусса-Бонне я числа гармонических квадратично-интегрируемых форм.
Научная и практическая ценность. Представленные в диссертации методы исследования квантовых систем, обладающих градуированными переменными и полученные «, нх помощью результаты могут быть использованы для построения инвариантных полевых систем и исследования спектра наблюдаемых в суперсим-метрнчных моделях теории элементарных частиц и ядерной физики.
Представления ядер операторов эволюции ферми-систем и матричных Т-вкс-понент континуалышм интегралом в когерентном представлении для фермпонов с учетом граничных членов позволяют формулировать различные приближенные методы их вычисления в задачах квантовой теории поля, статистической физике и теории струн.
Выражение для функции Грина спинорной частицы в калибровочном поле через континуальный интеграл в координатном суперпространстве с граничными членами использовалось при выводе представлений для индексов оллиптичесхих операторов через континуальные интегралы по замкнутым траекториям. Эти представления стали основой нового подхода к доказательству теорем об индексе для компактных многообразий, основанного на суперсимметричной квантовой механике.
Многомерный метод факторизации позволяет строить точно-решаемые многомерные квантовые гамильтонианы с матричными потенциалами.
Суперсимметричная теория рассеяния дает общий подход к исследованию следствий суперсимметрии на языке данных рассеяния для квантовых гамильтонианов. Суперсимметрачный индекс рассеяния, выражающийся через аномалию в полной фазе рассеяния, дает возможность связать топологию задачи с характеристиками задачи рассеяния. Суперсимметричиые формулы следа для супер симметричного индекса рассеяния позволяют вычислить его на основе локальных т горем об индексе. Это позволяет сформулировать общий подход к обобщению классических теорем об индексе на операторы с непрерывным спектром, заданные на некомпактных многообразиях.
Результаты первой главы включены в монографию: В. Н. Попов, В. С. Друнин "Коллективные эффекты в квантовой статистике из лучения я вещества.", изд. ЛГУ, Ленинград, 1985 г.
Апробация работы. Основные результаты диссертации опубликованы а работах [1 — 16} и неоднократно докладывались на сессиях Отделения Ядерной физики АН СССР, на научных семинарах СПбГУ, МИАН, ПОМИ РАН, Харьковского государственного университета, университетов Берлина, Барселоны, Валенсии, Индианаполиса, Турку; были представлены на IV Международный семи-
нар по проблемам физики высоких энергий н квантовой теории поля (Протвино, ИФВЭ, 1981 г.), на Международный ссиинар "Геометрические аспекты квантовой теории" (Дубна, О ИЛИ, 1988 г.), XVIII Международный коллоквиум. "Теоретико-групповые методы в физике" (Москва, ФИАН, 1990 г.), IV Крымскую осеннюю математическую школу-семинар по спектральным и эволюционным оадачаи (Севастополь, СГУ, 1993 г.).
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит по введения, четырех глав и заключения. Полный объем диссертации - SS^ стР-> включая список литературы из 3.60 наименований.
Похожие диссертации на Методы континуального интегрирования и суперсимметричной теории рассеяния для квантовых систем с градуированными переменными
