Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Поля температуры и напряжений в тонких телах (Обзор литературы), 9
1.1. Метод асимптотического интегрирования в задачах теории теплопроводности и упругости для тонких тел. 9
1.2. Пограничный слой в задачах теории теплопроводности и упругости 13
1.3. Расчет температуры и термоупругих напряжений в профилированных кристаллах, выращиваемых из расплава 18
1.4. Цели работы 23
ГЛАВА II. STRONG Асимптотика решения задачи теплопроводности для тонких анизотропных тел (основной итерационный процесс)
STRONG 25
2.1. Стержень произвольного-сечения 25
2.2. Кристаллические стершш круглого и прямоугольного сечения 40
2.3. Тонкая узкая лента. 46
ГЛАВА III. Расчет температурных напряжений в тонких анизотропных пластинах 52
3.1. Асимптотическое интегрирование уравнений термо упругости для тонкой пластины в случае общей анизотропии её тепловых и упругих свойств (основной итерационный процесс) 52
3.2. Асимптотические формулы для тонкой узкой анизотропной ленты 65
3.3. Анализ влияния ориентации кристаллической ленты на термоупругие напряжения, возникающие в ней при выращивании из расплава 71
ГЛАВА IV. Термоупругие напряжения в тонких стержнях произвольного сечения 77
4.1. Асимптотическое интегрирование уравнений
термоупругости для тошсого анизотропного стержня произвольного сечения (основной итерационный процесс) 77
4.2. Структура поля напряжений при вытягивании монокристаллов из расплава 92
4.3. Расчет термозшругих напряжений в монокристаллах круглого и прямоугольного сечений 99
ГЛАВА V. Пограничные слои в задачах теории теплопроводности и термоупругости анизотропного тела . 114
5.1. Пограничные слои в задачах анизотропной теплопроводности для тонкого стержня произвольного сечения и тонкой узкой ленты 114
5.2. Пограничный слой в задачах теории упругости анизотропного тела 134
5.3. Построение погранслойных поправок для кристал лических, стержней круглого сечения 147
Приложение 155
Заключение 163
Литература
- Пограничный слой в задачах теории теплопроводности и упругости 13
- Кристаллические стершш круглого и прямоугольного сечения
- Асимптотические формулы для тонкой узкой анизотропной ленты
- Расчет термозшругих напряжений в монокристаллах круглого и прямоугольного сечений
Введение к работе
Тонкие тела (стержни, пластины) широко используются в народном хозяйстве в качестве элементов различных конструкций. Обширный класс тонких тел образуют профилированные кристаллы, применяющиеся в радио- и оптоэлектронике, лазерной технике, оптике, приборостроении и других областях. Одним из распространенных методов получения профилированных монокристаллов является метод выращивания из расплава. Современная техника предъявляет высокие требования к качеству выращиваемых кристаллов. Одной из основных причин образования дефектов структуры при выращивании кристаллов из расплава является пластическая деформация под действием термических напряжений, возникающих в них при остывании по мере вытягивания. Поэтому расчет температурных полей и термических напряжений с целью управления структурой кристаллов, выращиваемых из расплава, является актуальной задачей.
Эта задача является достаточно сложной, требующей больших затрат времени даже при использовании мощных современных ЭВМ. С другой стороны, наличие малых геометрических параметров позволяет эффективно использовать при таком расчете метод асимптотического интегрирования исходных трехмерных уравнений теории теплопроводности и термоупругости. Большинство известных из литературы расчетов температуры и тепловых напряжений в кристаллах, выращиваемых из расплава, выполнялось в изотропном приближении. Широкое применение сильно анизотропных материалов требует отхода от этого приближения.
Целью настоящей работы является развитие метода непосредственного асимптотического интегрирования уравнений теории теплопроводности и термоупругости в тонких телах для случая наличия общей
анизотропии тепловых и упругих свойств материала; разработка алгоритмов построения внешних и внутренних асимптотических разложений в этом случае; применение разработанных алгоритмов для получения приближенных формул, описывающих температурные поля и поля термоупругих напряжений в профилированных кристаллах, выращиваемых из расплава; расчет на ЭВМ термических напряжений в некоторых монокристаллах низших и средних сингоний пилиндрической и ленточной форм.
Поставленная цель обусловила структуру диссертационной работы. Диссертация состоит из Введения, пяти глав, заключения и приложения.
В первой главе приведен краткий обзор литературы по теме диссертации и сформулированы задачи исследования.
Во второй главе решается стационарная задача анизотропной теплопроводности для тонкого прямого стержня произвольного поперечного сечения при условиях теплообмена на его боковой поверхности, обеспечивающих существование квазиодномерной модели. Рассматривается случай, когда коэффициенты теплопроводности зависят от координат и температуры. Строится алгоритм основного итерационного процесса, находятся первые члены внешнего разложения, функциональная структура общего члена и соответствующие одномерные уравнения. Построенный алгоритм применяется для получения приближенных формул, описывающих распределение температуры в средней части кристаллического стержня, выращиваемого из расплава по способу Степанова. Выводятся асимптотические формулы для однородных стершей круглого, квадратного и прямоугольного сечений и исследуется зависимость температурных полей от ориентации образца. Строится внешнее разложение для решения задачи теории теплопро-
водности в стержне прямоугольного сечения при наличии двух малых геометрических параметров. С его помощью выводятся асимптотические формулы для описания распределения температуры в средней части тонкой и узкой кристаллической ленты, выращиваемой по способу Степанова.
В третьей главе диссертации разыскивается внешнее разложение для решения линейной стационарной задачи теории термоупругости в тонкой однородной пластине при наличии общей анизотропии коэффициентов теплового расширения и упругой податливости. Для прямоугольной пластины со свободной боковой поверхностью решается задача плоского напряженного состояния, соответствующая нулевому приближению основного итерационного процесса. В случае, когда длина одной из сторон прямоугольника много меньше длины другой, выводятся асимптотические формулы для компонент тензора термоупругих напряжений. Эти формулы применяются для анализа влияния ориентации кристаллической ленты на термические напряжения, возникающие в ней при выращивании из расплава по способу Степанова.
В четвертой главе проводится асимптотическое интегрирование уравнений теории термоупругости в стационарном случае для тонкого прямого однородного стержня произвольного сечения, обладающего прямолинейной анизотропией тепловых и упрутих свойств общего вида. Находятся одномерные уравнения, соответствующие задачи в їсечении и предлагается алгоритм построения произвольного приближения основного итерационного процесса. С помощью построенного алгоритма определяется структура главных членов внешнего разложения для компонент тензора термоупругих напряжений в частном случае, связанном с выращиванием из расплава по способу Степанова кристаллических стержней произвольного поперечного сечения. Подробно ис-
- 7 -следуются стержни круглого и прямоугольного сечений. Выводятся приближенные формулы, описывающие напряженно-деформированное состояние, и с их помощью исследуется влияние ориентации кристаллического стержня на величину и распределение в нем термических напряжений.
В пятой главе рассматриваются вопросы, связанные с построением пограничных слоев в задачах теории теплопроводности, упругости и термоупругости для тонких стержней и пластин при наличии общей анизотропии. Подробно исследуется проблема нахождения условий затухания пограничных слоев и возможности применения метода однородных решений для их построения. С помощью методов теории несамосопряженных операторов изучаются свойства спектра, вопросы полноты и минимальности части системы следов однородных решений, предлагается алгоритм построения пограничных поправок и дается оценка остаточного члена асимптотического представления решения в задачах анизотропной теплопроводности. Определяется первый член внутреннего разложения для решения задачи теории теплопроводности в кристаллическом стержне круглого сечения. Приводятся результаты численных расчетов для монокристаллов германия, выращиваемых из расплава.
В заключении сформулированы основные результаты работы. В приложении приведен алгоритм численного решения задачи о плоском напряженном состоянии, полученной в третьей главе, с помощью метода сплайн-коллокадии.
В результате проведенного комплекса исследований на защиту выносятся следующие основные положения:
I. Алгоритм основного итерационного процесса для решения нелинейной стационарной задачи анизотропной теплопроводности в тонком прямом стержне произвольного сечения.
Необходимое условие затухания пограничного слоя в задаче теплопроводности для стержня; достаточные условия полноты и минимальности системы, состоящей из "половины" собственных и присоединенных функций; оценка остаточного члена асимптотического разложения решения задачи теплопроводности.
Алгоритм основного итерационного процесса для решения задачи термоупругости в тонком анизотропном однородном прямом стержне произвольного сечения, приводящего к системе одномерных уравнений.
Замкнутая форма условий затухания пограничного слоя в задаче теории упругости для полуполосы при наличии плоскости упругой симметрии, ортогональной торцевой стороне. Эти соотношения являются замыкающими двумерную задачу.
Приближенные формулы, описывающие распределение температуры и термических напряжений в кристаллических стержнях и лентах и основанный на них анализ влияния ориентации выращиваемого кристалла на величину термоупругих напряжений.
Основные результаты, полученные в диссертации, опубликованы в статьях [15-20, 24-27, 39-41, 44, 58-65, 151, 152J . Они были доложены на Международной конференции по росту кристаллов (Москва, 1980), Федоровских сессиях (Ленинград, 1978,1979) , 5-ом Всесоюзном совещании по росту кристаллов (Тбилиси, 1977), 8, 9 и 10 совещаниях по выращиванию монокристаллов способом Степанова и их применению в народном хозяйстве, на семинарах в ЛОШ им.В.А.Стек-лова, ЛГУ им.А.А.Жданова, ФТИ им.А.Ф.Иоффе.
Результаты работы были использованы при отработке оптимальной технологии выращивания лент сапфира, кристаллов цинка, каломели и других материалов.
Пограничный слой в задачах теории теплопроводности и упругости
Одна из центральных проблем, которая возникает при построении моделей меньшей размерности в теории теплопроводности и упругости для тонких тел, есть проблема нахождения граничных условий для полученных одномерных, либо двумерных уравнений, исходя из граничных условий исходной пространственной задачи. В том случае, когда для подобных построений используется метод непосредственного асимптотического интегрирования уравнений трехмерной задачи и условия существования квазиодномерных, либо квазидвумерных решений [82J выполнены, искомые граничные условия могут быть получены из условий затухания погранслойных поправок [50] . Таким образом определяются граничные условия при построении двумерной теории тонких пластин [67, І60І и оболочек [70] . Для эллиптических уравнений второго порядка в областях, одно измерение которых мало по сравнению с другими, аналогичный прием нахождения граничных условий использован в [76 ] . В задачах теории теплопроводности для тонких стержней и пластин этот прием реализуется в [82] . Итак, в рассматриваемом случае проблема нахождения граничных условий для уравнений, описывающих полученные модели меньшей размерности, тесно связана с проблемой нахождения условий затухания пограничных слоев, компенсирующих невязки, возникающие в ходе основного итерационного процесса [82] .
Для эллиптических уравнений второго порядка общего вида в тонких областях (в случае специальных граничных условий) условие затухания пограничного слоя представляет собой условие ортогональности единице заданной граничной функции [76 ] . Условия затухания погранслойных поправок в задачах теории теплопроводности для тонких стержней и пластин в изотропном случаен при некоторых частных случаях анизотропии теплопроводности найдены в [82] -они также имеют вид условий ортогональности единице. Однако, при наличии у материала анизотропии теплопроводности общего вида, задача нахождения условий затухания усложняется. В теории упру - 15 -гости рассматриваемая проблема связана с обоснованием принципа Сен-Венана [35, 156, 159, 175, 176 ] . В случае свободного края тонкой изотропной пластины необходимые и достаточные условия затухания пограничных слоев совпадают с условиями уравновешенности в целом полуполосы, стороны которой и её бесконечно удаленный торец свободны от внешних сил [70 ] . Необходимые и достаточные условия затухания решений плоской задачи теории упругости в изотропном случае для полуполосы со свободными длинными сторонами при различных вариантах граничных условий на торце разыскиваются в с помощью преобразования Лапласа. В случае, когда на торце заданы перемещения, условия затухания не выписываются в явном виде, а задача их нахождения сводится к задаче определения функции из её разложения по неортогональной системе функций. Обобщение условий, полученных в [75] (исключая случай заданных на торце перемещений), для ортотропной полуполосы проводится в
В работе [Зб] с помощью энергетических методов показано, что для задач теории упругости и теплопроводоиости в полубесконечном цилиндре со свободной боковой поверхностью решения с конечной энергией всегда имеют характер погранслоя, то есть экспоненциально затухают при удалении от торца. Интересная форма условий затухания для решений уравнений теории упругости.в полубесконечных цилиндрических областях со свободной от внешних усилий боковой поверхностью и заданных на торце перемещениях при наличии неоднородности и анизотропии общего вида предложена в [Пб"] . В случае отсутствия объемных сил условия затухания представляют собой условия ортогональности заданных граничных функций некоторым вспомогательным функциям, которые являются решениями соответствующих однородных задач со специальными ус - 16 ловиями на бесконечности. Способы нахождения вспомогательных функций в данной,статье не обсуждаются, примеры отсутствуют, сообщается только о их существовании и единственности.
Кристаллические стершш круглого и прямоугольного сечения
Применим построенный в предыдущем параграфе алгоритм асимптотического интегрирования уравнения теплопроводности для получения приближенных формул, описывающих распределение температуры в тонких кристаллических стерших, выращиваемых из расплава по способу Степанова. Как известно [ I22] , этот способ выращивания допускает большое разнообразие форм поперечного сечения стержня (круглое, прямоугольное, эллиптическое, звездообразное сечение и так далее). Остановимся на двух сшлых распространенных формах: стершіях круглого и прямоугольного сечений. В связи с тем, что определение температурных полей с учетом реальных условий теплообмена в установке, на которой производится выращивание монокристаллических стержней по способу Степанова [Ї22), сопряжено с большими математическими трудностями; введем некоторые предположения, упрощающие задачу.
Рассмотрим установившийся режим выращивания, который характеризуется тем, что длина кристалла больше длины тепловой зоны (затравка вышла за пределы этой зоны). Поскольку термоупругие напряжения возникают именно в части кристалла, находящейся в -тепловой зоне, то распределение температуры и напряжений (4.2) будет определяться только в области, представляющей собой пересечение области, занимаемой выращиваемым образцом, с тепловой зоной (то есть в прямой призме высоты б ). Так как условия выращивания не меняются во времени, в качестве математической модели этого процесса примем стационарщш задачу термоупругости. Скорость вытягивания кристалла из расплава обычно невелика (порядка 1-2мм в минуту) и переносом тепла за счет вытягивания пренебрегаем. Критерий Пекле, определяющий интенсивность переноса тепла движущимся кристаллом, мал [84 J , и расчеты проводим в приближении Ре =0.
Для уменьшения температурных градиентов, возникающих в кристалле в процессе выращивания, и, следовательно, уменьшения термических напряжений, образец окружается тепловыми экранами [l22j . Предположим, что теплообмен на боковой поверхности кристалла малоинтенсивен (критерий Био, характеризующий этот Ten s лообмен, имеет порядок ). Фронт кристаллизации считаем плоским, а температуру на нем равной температуре плавления ( з«д яФм ) Температура на верхнем торце задана из эксперимента ( 0 аа (И)= Оэкс Выращиваемый кристалл предполагаем непрозрачным ( Q = О ) и однородным ( \ц = Con si ). Направление выращивания совпадает с направлением оси 3 Считаем также, что внешний тепловой поток меняется только по высоте кристалла, то есть О = О (Х ). Выращивание монокристаллов по способу Степанова обычно производят в вакууме, и теплообмен на боковой поверхности в этом случае осуществляется излучением где с50 - коэффициент черноты поверхности, Q - постоянная Стефана-Больцмана, Оэ = QB (х ) - заданное распределение температуры по высоте экрана. В случае конвективного теплообмена имеет место закон Ньютона где fi - коэффициент теплообмена.
После введения этих предположений, приходим к задаче (2.1.I)-(2.1.3) с постоянными коэффициентами теплопроводности, Q O и а(Х)=- ty(X3) . Условия (2.1.6а) и (2.1.66) считаем выполненными с / = /(= 2. На основании результатов предыдущего параграфа можно заключить, что для К -го члена внешнего разложения температуры Эк в кристаллическом стержне произвольного сечения, выращиваемом из расплава по способу Степанова, справедливо представление (2.1.44), причем & =0 . При наличии плоскости тепловой симметрии ортогональной оси #з ( А/Ч= Хоъ 0) искомое разложение (2.1.II) будет содержать только четные степени Zn+i 0 /1= О, І, ,...) Представление (2.1.44) в этом случае также упростится, так как JUL = JUZ = Q Перейдем к рассмотрению кристаллических стержней круглого и прямоугольного (в частности, квадратного) сечений. В том случае, когда поперечное сечение стержня Г2 представляет собой крут единичного радиуса или квадрат со стороной 2, задача (2.1.42) допускает аналитическое решение
Асимптотические формулы для тонкой узкой анизотропной ленты
Полученные в настоящем параграфе выражения для rK (/(=0,1,...), очевидно, не могут удовлетворить условиям (3.2.6) на торцах пластины. Для компенсации возникающих невязок необходимо, следуя [бо] , прибегнуть ко второму итерационному процессу (внутреннее разложение), добавляя к фуніщиям, найденным выше в ходе основного итерационного процесса, слагаемые, локализованные в приторцевых областях (погранслойные поправки). Проблемы, связанные с построением пограничного слоя в задачах теории упругости,рассматриваются в 5.2.
Было проведено сравнение результатов расчетов тердаупрутих напряжений для монокристаллов ленточной формы по асимптотическим формулам (3.2.10) и численных расчетов, выполненных методом сплайн-коллокации по методике, изложенной в Приложении. Сравне-ние проводилось на примере монокристаллической ленты сапфира, ориентированной следующим образом: направление выращивания с (ось #з ) коллинеарно оси Х± » а нормаль к плоскости ленты jfl - оси _Х кристаллофизической системы координат. Отношение полуширины ленты к её длине равнялось і/б(б= ) Температура менялась только вдоль оси QC3 , причем квадратичным образом. Для этого случая максимальное относительное отклонение в значениях компоненты QQ тензора термоупругих напряжений в средней части ленты, полученных по асимптотической формуле, от значений, полученных с помощью численных расчетов по соответствующей программе, составило 2.8$. Таким образом, проведенное сравнение позволяет сделать вывод, что асимптотические формулы (3.2.10) достаточно точно описывают обобщенное плоское напряженное состояние в средней части тонкой и упругой анизотропной ленты. Кроме того, эти формулы дают возможность оценить, во всяком слу - 71 чае качественно, как влияет анизотропия физико-механических свойств материала ленты на величину и распределение термоупругих напряжений, возникающих в ней в процессе выращивания. Анализ влияния ориентации кристаллической ленты на термоупругие напряжения, возникающие в ней при выращивании из расплава
Приближенные формулы (3.2.10), полученные в предыдущем параграфе, благодаря своей простоте, могут быть использованы для качественного анализа влияния ориентации выращиваемой ленты на распределение и величины термических напряжений в ней. Для ленточных монокристаллов ориентация определяется заданием направления выращивания Z и нормали к плоскости ленты її . Переход от исходной ориентации ленты, при которой направление выращивания совпадает с осью Ха » а нормаль к плоскости ленты с осью }{., к любой заданной С , ҐІ ) может быть осуществлен тремя последовательными поворотами: на угол вокруг оси Х t на угол вокруг оси 0С% и на угол вокруг оси Х± . Как уже упоминалось, при таком переходе необходимо каждый раз производить пересчет коэффициентов, описывающих тепловые и упругие свойства данного кристалла (для пересчета упругих постоянных использовалась процедура [25]). При этом можно так выбрать ориентацию ленты, что даже для кристаллов средних сингоний после пересчета станут отличными от нуля все коэффициенты (6 коэффициентов теплопроводности, 6 коэффициентов теплового расширения и 21 упругая постоянная). Заметим, что при использовании для расчетов компонент тензора термоупругих напряжений изотропного приближения, ориентация ленты вообще не влияет на их величины. Для оценки влияния ориентации -ленты на величины компонент тензора термоупругих напряжений в работе [l52j была введена следующая характеристика: K &fD-Cnjr , (3.3.1) где /У- постоянная, определяющаяся по первой из формул (3.2.9), Ex/ усредненный (по Фогту) модуль Юнга. Постоянная J\ (фактор анизотропии термоупрутих напряжений l52j ) для данной ори-ентации ( с f tl ) представляет собой не что иное, как отношение главного члена в разложении любой из компонент тензора напряжений (3.2.10) к главному члену в разложении той же компоненты, но сосчитанному в изотропном приближений.
Были проведены исследования зависимости фактора анизотропии л хВ J\ от ориентации ленты для монокристаллов германия и селена [іб] , сапфира [15, I52J и ниобата лития Г15] . Германий имеет кубическую решетку и принадлежит к наивысшему классу симметрии тЗ/п.Анизотропия свойств этого кристалла невелика: различия в модулях Юнга для разных ориентации не превышают 20$, а тепловые свойства вообще изотропны. Как показали проведенные расчеты, использование изотропного приближения в случае лент германия является вполне приемлемым. Селен принадлежит к тригональной син-гонии и обладает сильной анизотропией как упругих, так и тепловых свойств, в частности, коэффициент теплового расширения селена в направлении оси третьего порядка имеет обратный знак.
Расчет термозшругих напряжений в монокристаллах круглого и прямоугольного сечений
Условие (5.1.30) имеет место, например, в случае однородного стержня. Итак, если коэффициенты теплопроводности удовлетворяют условию (5.1.30), то существует функция о и функция ir , определяющая оператор Д. в (5.1.28), примет вид (в силу эллиптичности исходной задачи). Отсюда вытекает, что опе-ратор А в этом случае будет положительным ( /\± 0). Следовательно, условие (5.1.30) есть достаточное для того, чтобы собственные числа пучка (5.1.29), а значит и пучка (5.1.23) располагались на мнимой оси и имели асимптотику ы /г при П. - оо . Собственные векторы пучка (5.1.29), отвечающие различным собствен-ным числам, ортогональны с оператором /\. ([AiUfiyUg J= О, К= Е ) 5 в отличие от собственных векторов пучка (5.1.23). Точка нуль принадлежит, очевидно, спектру задачи Сб.1.29) и соответствующая собственная функция есть единица.
Таким образом, можно оценить модуль первого ненулевого собственного числа пучка (5.1.23), характеризующего скорость затухания погранслойной поправки. А именно, если выполнено условие (5.1.30), то справедлива оценка
Кроме того, используя преобразование (5.1.27) и необходимое и достаточное условие существования присоединенной цепочки [81J , можно показать [64І , что если выполнено условие (5.1.30), то веб собственные векторы Цк пучка (5.1.23),за исключением собственного вектора, соответствующего нулевому собственному числу, не имеют присоединенных цепочек. Собственному числу ol0 =0, очевидно, соответствует единичный собственный вектор U0 =1 и единственный присединенный к нему вектор Но , являющийся решением задачи (5.1.21).
Итак, задача (5.1.20) имеет дискретный спектр, состоящий из нормальных собственных чисел с единственной точкой сгущения на бесконечности и расположенный в секторе (5.1.25). При дополнительном условии (5.1.30) все собственные числа этой задачи расположены на мнимой оси, имеют асимптотику о( ҐІ при /? -» о , соответствующие им собственные векторы, за исключением единичного, не имеют присоединенных цепочек, и можно оценить скорость затухания погранслойной поправки и± с помощью (5.1.31). Если выполнено условие (5.1.26), то система функций 2? = і 1 ственная функция, отвечающая собственному числу ОСЛітОС О, /(=0,1,...), a UK М-к - присоединенные к ней функции, полна и минимальна в W ($2 ) (/ ( 2)) Если (5Л.26) и (5.1.30) имеют место одновременно, то 7У1-[1М± 1у ...9UJ?,...} . Перейдем к выяснению условий затухания погранслойных поправок. Как показано в б4J , необходимое условие для того, чтобы 7J± была функцией типа пограничного слоя при У3-»+оо (необходимое условие затухания погранслойной поправки 2J± ), в случае условия первого рода (5.1.9) на торце имеет вид ( Фх , Шо ) = О , (5.1.32) где ( , ) здесь и далее означает скалярное произведение в 4(Я). С00= 1%0 Щ\ 0 , j -Р. Вопошга тельная функция СО есть решение задачи (5.1.18), удовлетворяющее условиям со /ъ=о= О, (5Д-33) Ь&г.1і1г Т3 /"0,+ оо), у,3 (5.1.34) и растущее при уъ - 4 оо не быстрее линейной функции. Аналогичный прием получения условий затухания на бесконечности для решений системы уравнений теории упругости был использован в [ііб] В изотропном случае C0o-l/j »7і«Хг и условие затухания есть условие ортогональности единице функции, заданной на торце, то есть обычное условие затухания, использованное в [82, 76J .
