Содержание к диссертации
Введение
1 Вариационные методы в квантовой задаче трех тел. 7
1.1 Вариационный принцип для связанных состояний 7
1.2 Вариационные разложения для основного состояния атома гелия . 9
1.3 Вариационные разложения для произвольных систем трех частиц. Состояния с ненулевым угловым моментом 12
1.4 Экспоненциальное разложение 16
2 Метод комплексного вращения и резонансы. Вариационные методы. 22
2.1 Аналитическая дилатация и теоремы Агилара, Балслева, Комба 22
2.2 Метод комплексного вращения и теория возмущений для резо-нансов 25
2.3 Вычисление характеристик резонансов методом комплексного вращения координат 29
3 Вычисление релятивистских и КЭД поправок 34
3.1 Нерелятивистская квантовая электродинамика 34
3.2 Гамильтониан Брейта 39
3.3 Собственная энергия электрона во внешнем поле 43
3.4 Эффективные операторы порядка та5 48
3.5 Вычисление логарифма Бете 50
4 Физические приложения. 58
4.1 Энергия ионизации основного состояния атома гелия 58
4.2 Релятивистские поправки к диполыюй поляризуемости основного состояния молекулярного иона Щ 64
4.3 Вычисление логарифма Бете для ротациоиао-вибрационных состояний молекулярных ионов Н^ и HD+ 68
4.4 Релятивистские и радиационные поправки к 2pau(v=l) состоянию молекулярного иона 74
4.5 Слабосвязанные состояния мюонных молекулярных ионов ddjx и dtfx 79
5 Метастабильные состояния антипротошюго гелия . 87
5.1 Фешбаховский формализм. Построение проекционных операторов на подпространство закрытых каналов 89
5.2 Скорости Оже распада 93
5.3 Прецизионный расчет резонансных состояний с преобладанием Оже распада 105
5.4 Тонкая и сверхтонкая структура уровней метастабильных состояний антипротонного гелия 113
Заключение
- Вариационные разложения для основного состояния атома гелия
- Метод комплексного вращения и теория возмущений для резо-нансов
- Собственная энергия электрона во внешнем поле
- Релятивистские и радиационные поправки к 2pau(v=l) состоянию молекулярного иона
Введение к работе
Квантовая задача трех тел с кулоновским взаимодействием является одной из наиболее известных неинтегрируемых задач квантовой механики. Вместе с тем задача на связанные состояния для системы трех частиц допускает "сколь угодно" точные численные решения на современных компьютерах. К примеру, нерелятивистская энергия основного состояния гелия с ядром бесконечной массы известна в настоящее время с точностью до 35 значащих цифр.
С другой стороны имеется широкий класс физических задач, которые имеют практический интерес.
Классическим примером субатомной физики является мюонный катализ и физика экзотических мюонных атомов и молекул. Одной из ключевых задач мюонного катализа является прецизионное исследование слабосвязанных состояний мюонных молекулярных ионов ddfin и dt/Лц. Энергии этих слабосвязанных состояний определяют скорости резонансного образования мюонных молекул, и в конечном итоге определяют ключевые параметры полного цикла мюонного катализа [1, 2].
Другим примером из физики экзотических атомов и молекул является атом антипротонного гелия Не+/л Антипротон замещает один из электронов атома гелия и при определенных условиях формирует метастабильные состояния со временем жизни в несколько микросекунд! Кроме того, что это рекордное время жизни для античастицы, находящейся в обычной (реальной) среде. Это также астрономическое время по меркам обычной атомной физики, где время жизни IP состояния атома водорода имеет порядок одной наносекунды.
Атом антипротонного гелия представляет нетривиальный пример квантовой системы, у которой состояния дискретного спектра являются корот-коживущими, тогда как в непрерывном спектре существует остров метаста-бильных состояний. Эти состояния по своим свойствам практически ничем не отличаются от состояний дискретного спектра в обычном атоме (или молекуле). Они допускают прецизионную спектроскопию энергий переходов и тонкой сверхтонкой структуры уровней, что позволяет получить ценную информацию о физических свойствах антипротона.
В настоящий момент в ЦЕРНе проводятся эксперименты по исследова- нию атомов антипротонного гелия на установке AD (эксперимент ASACUSA). Результаты недавних прецизионных измерений энергий переходов показывают, что они уже чувствительны к погрешности отношения масс протона к электрону. По всей видимости дальнейший анализ позволит впервые определить массу античастицы, антипротона (по отношению к массе электрона) с точностью лучшей, чем это известно для реальной частицы, протона.
Большое значение трехчастичные системы с кулоновскнм взаішодействи-ем имеют для метрологии [3]. Так, в рекомендуемых CODATA-98 значениях физических констант, для магнитного момента ядра атома гелия-3 дается значение "экранированного" магнитного момента. Иначе говоря это значение было получено в экспериментах с атомом и включает в себя также поправки на связанное состояние атома. Прецизионные измерения тонкого расщепления в 23Р состоянии атома гелия-4 [4, 5] вместе с точными теоретическими расчетами могут быть использованы для определения значения константы тонкой структуры, а. В настоящий момент результаты различных экспериментов, использующие такие эффекты как квантовый эффект Холла или эффект Джозевсона, находятся в противоречии с наиболее точным экспериментом, основанном на измерении g-фактора электрона. И имеются основания полагать, что измерения тонкой структурой атома гелия помогут объяснить и, может быть, устранить эти противоречия.
Следует отметить такой важный аспект, как взаимное влияние атомной и ядерной физики [6] при определении статических характеристик ядер. Так, к примеру, среднеквадратичный радиус заряда ядра гелия, определяемый из экспериментов по рассеянию электронов на ядрах, имеет точность порядка 1-3%. В то же время экспериментальное определение радиуса заряда 4Не из спектроскопии мюонных атомов позволяет уменьшить погрешность этой величины в 10 и более раз.
Основной целью данной диссертации является разработка универсального метода для решения квантовой задачи трех тел с кулоновскнм взаимодействием. Это включает в себя как проблему вычисления нерелятивистских уровней энергии, так и развитие методов расчета релятивистских и радиационных поправок в системе трех частиц. Известно, что квантовая электродинамика связанных состояний хорошо разработана для системы двух частиц [7, 8]. Более того, существование аналитического решения значительно облегчает решение проблемы сокращения расходимостей, возникающих в высших порядках. Однако большинство известных подходов, таких как уравнение Бете-Салпитера или эффективное уравнение Дирака, плохо распространяются на системы с большим числом частиц. В диссертации рассматривается подход, основанный на эффективной теории поля, нерелятивистской квантовой электродинамике, который, как нам представляется, наиболее естественным образом позволяет обобщить теорию на три и более частицы. Помимо этого в диссертации также рассматриваются методы для исследования ре-зонансов в системе трех частиц; теория возмущения для резонансов, необхо- димая для построения квантовой электродинамики квазистационарных состояний. Таковыми являются, например, метастабильные состояния атома антипротонного гелия.
В первой главе формулируется вариационный принцип для связанных состояний, и предлагается вариационный метод, который определяет вид базисных функций разложения решения, а также стратегию выбора вариационных параметров при построении волновой функции. В дальнейшем этот метод для определенности будем называть экспоненциальным разложением с многослойным выбором нелинейных вариационных параметров или просто "экспоненциальным" разложением. В этой главе проводится анализ основных подходов к постоению вариационного разложения решений для систем трех частиц, в том числе для основного состояния атома гелия и для состояний с ненулевым орбитальным угловым моментом. Здесь же представлены расчеты нерелятивистских уровней энергий различных физических систем, выполненные с использованием "экспоненциального" вариационного разложения. Сравнение с расчетами, полученными другими вариаціюнньши методами, показывает значительное превосходство предлагаемого в диссертации подхода.
Вторая глава посвящена изложению метода комплексного вращения координат, как метода для исследования резонансов. Здесь же формулируется теория возмущений для изолированных резонансов и приводится пример ее применения для вычисления релятивистских поправок к скорости распада резонансного состояния. В последнем параграфе этой главы рассматривается одна из сложнейших с вычислительной точки зрения задач, определение квадрата амплитуды волновой функции в точке парного соударения двух ядер. На примере резонанса Фешбаха в молекулярном ионе Чіесіц демонстрируются вычислительные возможности метода "экспоненциального" вариационного разложения.
В третьей главе рассматривается эффективная теория поля, "нерелятивистская квантовая электродинамика и методы построения на основе данной теории эффективного гамильтониана поправок высших порядков в разложении по константе связи кулоновского взаимодействия, а, для системы нескольких частиц. В конце главы излагаются два эффективных метода вычисления логарифма Бете для системы трех частиц, основанных на "экспоненциальном" разложении волновых функций промежуточных состояний. Средняя энергия возбуждения или логарифм Бете является наиболее сложной с вычислительной точки зрения величиной в ведущих поправках для энергии связанного состояния. Удовлетворительное решение этой задачи было получено сравнительно недавно. В том числе, большой вклад в ее решение сделан автором диссертации, что демонстрируется представленными в главе результатами и сравнением с расчетами других авторов.
Приложению методов, изложенных в предыдущих главах, посвящена глава 4. Здесь описываются: расчет энергии ионизации основного состояния атома гелия с учетом поправок до а4 Ryd включительно; релятивистские поправки к диполыюй поляризуемости основного состояния молекулярного иона водорода Н^; вычисление логарифма Бете для ротациошю-вибрационных состояний молекулярных ионов Щ и HD+ и другие физические задачи.
В последней главе представлены результаты по прецизионной спектроскопии метастабильных состояний атомов антипротошюго гелия, полученные автором. Сначала формулируется подход, основанный на формализме Феш-баха, строятся проекционные операторы на подпространство закрытых каналов. Предложенный подход позволяет применять вариационные методы для вычисления уровней энергий состояний. Использование формализма Фешба-ха дало возможность увеличить точность расчетов сразу на много порядков и однозначно подтвердить гипотезу Кондо о природе метастабилыюсти в антипротонном гелии. Далее в главе рассматриваются методы определения скоростей Оже распада, эта характеристика важна для определения острова стабильности состояний Не+р, находящихся в непрерывном спектре атома. Использование метода комплексного вращения координат и вычисление релятивистских и радиационных поправок позволяет довести теоретические расчеты энергий переходов до уровня порядка Ю-9 относительной точности, что делает из чувствительными к погрешностям в отношениях масс частиц протона (антипротона) к электрону. В последнем параграфе описываются расчеты тонкого и сверхтонкого расщепления уровней рассматриваемых состояний.
В Заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.
Содержание диссертации отражено в работах [28, 44, 45, 60, 62, 84, 91, 92, 100, 113, 120, 125, 161, 163, 164, 165, 171, 175, 183, 184], опубликованных в ведущих научных физических журналах: ЖЭТФ, Physics Review, Physics Review Letters и многих других. Материалы докладывались на международных конференциях, в том числе как приглашенные доклады на ІТАМР'96 в Гарварде, Кембридж, США; LEAP'96, Дипксльсбюль, Германия, LEAP'03, Иокогама, Япония; Asia Pasific Few-Body (APFB'99), Токио, Япония; Hydrogen-II: Precise Spectroscopy of Atomic Systems (PSAS'2000), Кастильоне делла Пескайя, Италия; Европейская Few-Body (EFBP'00), Евора, Португалия; /xCF and Exotic Atoms, 1998, Аскона, Швейцария, и ^uCF, 2001, Шимода, Япония.
Вариационные разложения для основного состояния атома гелия
Как уже упоминалось в предыдущем параграфе, развитие вариационных методов в решении стационарного уравнения Шредингера для системы нескольких частиц было тесно связано с вычислениями энергии ионизации основного состояния атома гелия. Поэтому в этом параграфе мы рассмотрим как изменялись и усовершенствовались вариационные пробные функции на примере основного состояния атома гелия.
Пусть Г\ и Г2 - расстояния от электронов до ядра, а г\ч - расстояние между электронами. Нерелятивистское уравнение Шредингера для атома с двумя электронами и бесконечно тяжелым ядром (в атомных единицах k = е = те = 1) задается уравнением: vj + vl Ф +(---- + — I Ф = ЯФ. (1.8) г\ г2 гп; В первых работах Хиллераас [9] использовал разложение вариационной функции решения по базису Ф = е— Y, Cnlmslumt2n, (1.9) 1,т,п 0 где введены новые переменные: s = г\ + г2, t = г2 — Т\ и и = г 12- Скалярный параметр к, также как и коэффициенты Cimn, определялись из минимизации вариационного функционала (1.3). Полученное значение энергии ионизации с волновой функцией, включающей 7 первых членов разложения (1.9), равнялось 2.90324.
Позднее Кинопшта [10] модифицировал базис Хиллерааса, включив в; него отрицательные степени по переменным s и и, — Е (=Ш
Благодаря неравенству: t и s, волновая функция не имеет сингуляр-ностей в области интегрирования. Использование отрицательных степеней позволило увеличить скорость сходимости вариационного разложения и достичь точности в 7 значащих цифр: Е = 2.9037225. Вычисления проводились на компьютере UNIVAC. Следующим шагом стала работа Пекериса [11], который предложил использовать периметрические координаты: « = г1+г1а-г2 V = r2+ri2-rU W = ri +Г2-Г12, и ортогональные многочлены (многочлены Лагерра) в разложении волновой функции: ф = e K(u+v+2W)/2 J- C/mnL,(Ku/2)Lm(KU/2)Ln(/u/). (1-Ю) l,m,n
Преимущество периметрических координат состоит в том, что они не связаны неравенством треугольника, и фактически являются независимыми переменными, изменяющимися от 0 до бесконечности. Использование ортогональных многочленов приводит к разреженным матрицам А и В с матричными элементами, которые выражаются рекуррентными соотношениями в целочисленной арифметике. Последнее свойство позволяет вычислять матричные элементы абсолютно точно, не связывая точность с представлением чисел с плавающей запятой в памяти компьютера. Платой за эти преимущества метода является достаточно медленная сходимость вариационного разложения в зависимости от числа базисных функций. Так, для того чтобы получить рекордную точность, Пекерису потребовалось 1078 базисных функций, при этом значение энергии составило: Е = —2.90372437s.
В то же время было подмечено [16], что точное решение уравнения Шре-дингера для основного состояния атома гелия не выражается через чисто полиномиальные разложения вида (1.9). Позднее Бартлетт [17] и более строго Фок [18] показали, что точное решение содержит логарифмы в аналитическом разложении в точке тройного соударения частиц. Более точно, пусть Р — \А? + г1 гиперрадиус системы двух электронов (или радиус гиперчастицы в пространстве R6), тогда решение уравнения Шредингера при малых р представляется в виде: Ф = -000 + рФю + Р2(1пр ф2\ + Ы + Р3(1пр «Азі + Фзо) + (1-И) где функции фпк зависят только от угловых переменных и являются конечными и однозначными функциями на гиперсфере (р = const).
Основываясь на этих результатах сначала Г.М. Шварц [19] вводит полуцелые степени в разложение Хиллерааса, демонстрируя ускорение сходимости, затем Фраиковский и Пекерис [20] включают в разложение дополнительно члены содержащие In 5: Ф = е— Cnlmijslumt2n(s2 + t2y/2(\nSy. (1.12) l,m,n,i,j 0 Окончательный результат, полученный Фрапковским и Пекерисом, Е = 2.90372 43770 333, надолго стал самым точным расчетом для иерелятивистской энергии ионизации основного состояния атома гелия. Недавно Ч. Шварц в работе [21] подробно исследовал скорость сходимости разложений, описанных в этом параграфе. Он также ввел два новых базиса: Л-1 (U\m (t\2n 1,т,п 0 і г \ u\m /t\2n u\m /t\2n l,m,n 0 (1.14) l,m,n 0
Его анализ показал, что наиболее высокой скоростью сходимости обладает последний базис, включающий как логарифм, так и отрицательные степени неременной s. Окончательный результат для нерелятивистской энергии ионизации обладает рекордной на сегодняшний момент точностью и достоен того чтобы быть воспроизведен здесь полностью:
Метод комплексного вращения и теория возмущений для резо-нансов
В методе комплексного вращения координат (Complex Coordinate Rotation, CCR) [58], все координаты динамической системы преобразуются, "поворачиваются в комплексной плоскости: гц - це , (2.3) где р — параметр комплексного вращения. При этом гамильтониан системы с кулоновским взаимодействием изменяется особенно просто, Hv = Te 2i + Ve- , (2.4) где Т и V — операторы кинетической и кулоновскогй потенциальной энергии, соответственно.
Непрерывный спектр Яу, вращается в комплексной плоскости вокруг точек ветвления ("порогов"), чтобы открыть полюса резонансов, расположенных на нефизическом листе римановой поверхности энергий, в соответствии с теоремой Агилара, Балслева, Комба. Резонансные энергии затем определяются решением комплексной задачи на собственные значения для повернутого гамильтониана, (Я„ - Е)% = 0. (2.5) Собственная функция Ф , полученная из уравнения (2.5), является квадратично интегрируемой и соответствующее комплексное собственное значение, Е = ЕГ- гГ/2, (2.С) определяет энергию Ет и ширину Г резонанса. Последняя связана со скоростью кулоновского распада (процесс Оже, с испусканием электрона, для атомов и/или предиссоциация для молекулярных систем) как \с = Т/Н. При точном решении уравнения (2.5), значение Е не зависит от выбора угла вращения ц) при условии, что положение резонанса не закрывается линиями разреза непрерывного спектра.
Для широкого класса потенциалов было показано (см. [59] и ссылки в ней), что комплексная энергия Е, полученная методом комплексного вращения координат из уравнения (2.5), соответствует положению полюса S-матрицы исходной задачи. А волновая функция CCR решения, Ф , после выполнения обратного преобразования, аналитического продолжения к нулевому значению угла поворота ip = 0, соответствует решению волновой функции для полюса 5-матрицы. Это решение, Ф ,=0, не является более квадратично интегрируемым и отвечает граничному условию излучения. Использование конечного базиса в разложении волновой функции Ф , сводит задачу (2.5) к обобщенной.задаче на собственные значения, {А - Щх = 0, (2.7) где А = (фЦН ф ) — конечная N х N матрица гамильтониана, и В — матрица перекрытия, В — (ф \ф .
Собственное значение X(0r, р, N) является функцией параметра вещественной дилатащш вг, г$ —» ГуЄ0г, угла вращения, р, и числа базисных функций, N. В случае, когда вариационные параметры определены и сходимость достигнута, то должны выполняться следующие условия: д\/двгъО, дХ/д О, дХ/dN O. (2.8)
На практике положение резонансов находятся из графиков "ротационных путей" \( р) при различных значениях параметра вещественной дилатации вг, как показано на рисунке 2.2. Из этого рисунка видно, что ротационные пути стягиваются в одну точку, в которой функция \(ip) изменяется медленно, стационарную точку в смысле уравнений (2.8). Отдельные точки на графике соответствуют решению уравнения (2.7) для различных значений 9Г и ip, здесь угол поворота р меняется с шагом 0.02. Если увеличить число пробных функций, N, то станет заметно как множество точек-решений стягивается (сходится) к стационарному значению, которое и является местом расположения резонанса, Е = -0.4859503092(2) + г0.336(2) Ю-7 а.е. Re(E) Рис. 2.2: Ротационные пути \( р) для резонанса в системе 3Не++ — d/f, распо ложенного ниже порога dfi(n = 1). Узел в центре графика соответствует ста ционарной точке (2.8), определяющей положению резонанса Е в комплексной плоскости энергий. , .
В данном случае эта энергия описывает положение резонанса в системе 3He++(i/i, образуемого поляризационным потенциалом d\i атома в основном состоянии в присутствии ядра гелия-3 (гелиона) [60]. Из этих данных определяется энергия связи (относительно порога d\x атома), ЕБ = —70.9758124(3) эВ, и скорость кулоновской предиссоциации в канал 3He++/t + d, равной Хс = 5.75(3) 10п с-1.
Во многих задачах, в частности при вычислении релятивистских и КЭД поправок, необходима теория возмущений для резонансов.
В том случае, когда используется фешбаховский формализм, волновая функция нулевого приближения может быть выбрана как связанное решение в закрытых каналах, а оператор "оптического" потенциала рассматривается как еще один оператор возмущения. Однако такая функция нулевого приближения не всегда оказывается достаточно точной для задач прецизионной спектроскопии.
Если же в качестве нулевого решения брать волновую функцию, соответствующую полюсу 5-матрицы, то, как известно, такая волновая функция не является квадратично интегрируемой. Это не позволяет вычислять средние значения от операторов уже в первом порядке теории возмущения. Использование метода комплексного вращения координат и следующей теоремы, доказанной Саймоном в [57], позволяют обойти эту трудность.
Теорема 4. Пусть Н — гамильтониан системы частиц с кулоновским вза имодействием, и W(9) — дилатационно аналитическое возмущение. Пусть EQ — изолированное простое комплексное собственное значение оператора Н{9). Тогда для малых значений параметра (5 существует в точности одно собственное значение оператора H(9)+p\V(9) в окрестности Еп и функция Е{р) = Е0 + а1р + а2р2 + ... (2.9) является аналитической в окрестности /3 = 0. В частности, a, = E (Q) = {%\W{0)\%) I {%, Фв) (2.10) Использование этой теоремы может быть проиллюстрировано следующим примером. Релятивистские поправки на связанный электрон в ведущем порядке описываются оператором гамильтониана Брейта-Паули: Яс = а2("Й + 8 [ нЖГНе)+ (Гг5)])- (2Л1) Оба оператора входящие в (2.11) дилатационно аналитичны, 6v(v) = S(r)e- , PJ = p4e-44 .
Однако они не являются малыми возмущениями в смысле требований теоремы Саймона. Это является общей практикой в квантовой электродинамике регуляризировать такие операторы тем или иным образом. Единственное требование — сохранить свойство "дилатациошюй аналитичности". И затем, после того как все вычисления выполнены, регуляризация должна быть снята для получения конечных результатов.
Для примера рассмотрим состояние (n, /) = (38,33) атома антипротонного гелия 4Не+р. Здесь квантовые числа (п, I) определяют орбиталь антипротона относительно ядра гелия, в то время как электрон находится в основном состоянии.
Собственная энергия электрона во внешнем поле
Удивительно, но для основного состояния атома гелия один из ранних расчетов, выполненный Ч. Шварцем [83] в 1961 г., оставался самым точным более 30 лет!
В данном разделе излагаются два подхода для вычисления логарифма Бете. В качестве численного примера, иллюстрирующего метод, в обоих случаях будет использоваться расчет логарифма Бете Для основного состояния атома гелия.
Первый из них [84] близко следует методу Шварца [83]. Отправной точкой в этом подходе является прямая формула интегрирования по импульсам поперечных фотонов (см. (19.7) из монографии Бете и Солпитера [81]): Первый член в окончательном выражении соответствует ренормализации массы, второй отвечает за логарифмический вклад a3 log а в уравнение (3.41), а функция w(k) определяет вклад в логарифм Бете "мягких" фотонов. для значений к от нуля до бесконечности. Данное уравнение решается вариационным методом. Решение ф\ затем используется для вычисления J(k) = ( oJ i), которое должно удовлетворять вариационному свойству, а именно, вычисленное значение J(k) является оценкой снизу для точного значения. Это позволяет определить оптимальные вариационные параметры для численного решения фу.
Вариационная волновая функция ф , Описывающая исходное состояние атома (молекулы) задается разложением (1.28). Волновая функция возмущения фу разлагается по тому же базису, но но состояниям с U = L— 1, L, L+1 и пространственной четностью 7г = — 7Г.
По мере того как к приближается к бесконечности, решение уравнения (3.45) содержит компоненты, которые ведут себя как e "nJ, при малых г , где v А;1//2. Это следует из решения дифференциального уравнения для U: (Е0-Н-к)и= [Н,3]фо, (3.47)
Таблица 3.1: Сходимость величины J (к) в зависимости от числа базисных функций и сравнение с вычислениями Ч. Шварца. N — число базисных функций в l\)\. Как только Гу — 0, главным членом в правой части (3.47) становится оператор Vljl(2nij) — к и таким образом к очевидному частному решению уравнения (3.47) (при больших к) добавляется приближенное решение однородного уравнения (для к - со, г — 0): и Ь Е - - ЕDaZiZ&e-w(1 + ), (3.48) где fjj = (2А7%) 2. Константы Д7- выбираем таким образом, чтобы сингулярность типа г-2 в С/ сократилась. Таким образом, .для получения точного решения задачи (3.45) необходимо верхний предел вариационного интервала выбирать, возрастающим пропорционально к1/2. При использовании экспоненциального вариационного разложения не возникает необходимости устанавливать верхний предел интервала точно по закону А;1/2, так как сходимость остается удовлетворительной и при грубом выборе этого параметра, это хорошо видно из таблиц 3.1 и 3.2.
В работе [83] при к в интервале от 50 до 1000 вычислялась величина w(k). Однако, для того чтобы получить w(k) требуется решить уравнение: {Е0-Н-к)и=- [Н,Ч]ф0, которое определяет функцию U сингулярную при ГІ — 0. Это значительно снижает скорость сходимости и требует вводить в пробную вариационную N й(50)/4 «)(300)/4 й(3000)/4 500 700 900 4.837599 7 4.837599 7 2.604 851 3 2.604 852 0 1.002 786 1.002 800 1.002 802 [83] 4.8370 2.6045 0.94 Таблица 3.2: Сходимость величины w(k) в зависимости от числа базисных функций и сравнение с вычислениями Ч. Шварца. N — число базисных функций в ф1ш Кабир, Солпитер (1953) 4.39(20) Сравнение теоретических расчетов la[Ko(l1S)/R00] для основного состояния атома гелия. а) приближенное аналитическое выражение, основанное на разложении по Z-1: ЫКо/Roo = In [19.769 267{Z - 0.00615)2]. функцию для \\}\ сингулярные члены, что существенно усложняет вычисления. Вместе с тем даже для больших значений к вычисление J {к) устойчиво и сохраняет высокую точность, и не смотря на сильное сокращение слагаемых при вычислении w(k) через уравнение (3.44), значение гГ;(3000), полученное через J (к), оказывается много более точным, чём при прямом вычислении гй(к) (см. таблицу 3.2). В ассимптотической области для вычисления интеграла до к — со применяется фитирование 5-7 неизвестных параметров Сп в разложении (3.46) чтобы получить более точную экстраполяцию w(k) за границы табулируемой области.
В таблице 3.3 представлены расчеты разных лет логарифма Бете для основного состояния атома гелия по состоянию на начало 1999 года. Как видно из таблицы, результат полученный описанным выше методом и с использованием экспоненциального базиса в [84] существенно улучшает теоретическое значение In [/ 0(1 )/ 00].
Идея другого метода была предложена в [90]. Он основан на прямой диа-гонализации гамильтониана и использовании дипольных матричных элементов в "acceleration" gauge. Ключевым местом в этом подходе является то, что базис конструируется таким образом, чтобы включить широкий диапазон линейных масштабов. Для промежуточных Р-состояний помимо обычных базисных функций как в (1.28) добавляется множество состояний с экспоненциально растущими экспонентами. Далее рассматривается реализация этого метода [91] с использованием экспоненциального разложения.
Релятивистские и радиационные поправки к 2pau(v=l) состоянию молекулярного иона
Высокая мультипольность перехода приводит к тому, что Оже распад в таких состояниях сильно подавлен. С другой стороны, благодаря нейтральности атома и значительной разности энергий между уровнями состояний системы с одинаковым п, главным квантовым числом орбитали антипротона, эти состояния остаются устойчивыми к дсвозбуждению и штарковскому смешиванию в столкновениях с другими атомами. Таким образом радиационное девозбуждение этих состояний с п 38 является основным процессом девозбуждения и определяет их время жизни: Вместе с тем скорость, радиационных переходов со столь высоким тг мала [154, 155, 156], порядка микросекунды. Это и объясняет существование долгоживущей фракции р, наблюдаемой в эксперименте.
В таблице 5.1 для удобства сравнения приведены времена жизни мета-стабильных состояний антипротонного гелия и известных атомных систем. Из этой таблицы ясно видно что состояния антипротопного гелия живут достаточно долго для того, чтобы их можно было исследовать с помощью прецизионной спектроскопии.
Вместе с тем, существование долгоживущей фракции антипротонов в гелии еще не доказывает гипотезы Кондо и лишь прецизионная спектроскопия может однозначно ответить на этот вопрос.
В последующих экспериментах [157, 158] была предложена новая техника исследования антипротопного гелия, использующая индуцированные лазером переходы из долгоживущих метастабильных (радиационных) состояний в короткоживущие (Оже) состояния с преобладанием Оже механизма распада. Если частота лазера совпадает с энергией перехода, то во временном спектре аннигиляции (DATS, Delayed Annihilation Time Spectrum) наблюдается пик в момент включения лазера, вследствии возростания числа корот-коживущих состояний Не+р. Данная техника позволяет прямые измерения частоты перехода с очень высокой точностью. Если скорость Оже распада конечного состояния достаточно высокая, тогда Оже ширина может превышать ширину полосы лазерного излучения и может быть эксперименталэно определена из уширения профиля пика интенсивности, как функции частоты лазера [158]. Эта техника далее развивалась в нескольких направлениях, а именно, были использованы дважды резонансные лазерые переходы из дол-гоживущего состояния в короткоживущсс через промежуточное долгоживу-щее состояние [159], а также мишени с примесью молекул водорода [160] для уменьшения времени жизни метастабильных состояний, чтобы наблюдать новые переходы недоступные в первоначальном подходе.
Сравнение полученных прецизионных измерений с теоретическими расчетами [161], полученными автором диссертации, позволили идентифицировать квантовые числа всех измеренных переходов и тем самым однозначно подтвердить гипотезу Кондо.
Последние эксперименты достигли точности, которая чувствительна к значению отношения масс антипротона (протона) к электрону. Это позволяет надеяться, что с помощью этих экспериментов в скором времени относительная масса антипротона будет измерена с более высокой точностью, чем относительная масса протона.
В этой главе для классификации состояний атома антипротошюго гелия будут употребляться как атомная схема (п, /), основанная на квантовых числах аитипротонной орбитали, так и молекулярная, в которой используются точные квантовые числа, L — полный орбитальный момент системы трех частиц ни— квантовое число вибрационного возбуждения (число узлов у функции амплитуды относительного движения тяжелых частиц в адиабатическом приближении). Прм этом квантовые числа в различных представлениях связаны соотношением: I = L и v — п — I — 1.
Итак, рассматриваемая система состоит из трех кулоновских частиц, электрона массы те, антипротона массы Мр и ядра атома гелия массы Мце. Нерелятивистский гамильтониан (в атомных единицах е = h = те = 1) после отделения движения центра масс имеет вид: где R и г — радиус-вектора антипротона и электрона относительно ядра гелия, в то время как Т и V обозначают операторы кинетической и потенциальной энергии.
Рассматриваемые состояния характеризуются очень высокими значениями полного орбитального момента системы (L 35) но, вместе с тем, об ладают адиабатическим поведением (vp С ve). Уже приближение Борна-Оппенгеймера дает хорошее качественное описание уровней метастабильных состояний атома Не+р [154]. Высокие значения L приводят к необходимости решать большую систему уравнений (L+1 уравнений) которые связывают компоненты F (R,r,9), зависящие от внутренних степеней свободы (Eq. (1.19)). Учитывая тот факт, что эти состояния являются резонансами, то есть лежат в непрерывном спектре, это делает задачу прецизионных расчетов практически неразрешимой. Однако, свойство адиабатичности позволяет воспользоваться формализмом Фешбаха, [162], и найти проекционные операторы на пространство закрытых каналов. Ограничивая оператор Гамильтона на подпространство закрытых каналов, мы сможем пользоваться стандартными вариационными методами, что позволит получить оптимальные вариационные параметры и как следствие точное вариационное решение для волновой функции. Одновременно это помогает сократить число компонент F (R, г, в) до разумных значений.
Применительно к метастабильным состояниям антииротопного гелия это было проделано в работах [1G3, 1G4].
Прежде чем перейти к построению проекционных операторов, напомним основные положения формализма Фешбаха для исследования резонансов. Единичный оператор гильбертова пространства состояний системы расщеп ляется в виде
