Содержание к диссертации
Введение
1 Адиабатическое представление 18
1.1 Введение 18
1.2 Двумерные точно решаемые модели для параметрической задачи 22
1.2.1 Построение точно решаемых моделей в подходе Марченко 26
1.2.2 Построение точно решаемых моделей в
подходе Гельфанда-Левитана 33
1.3 Точно решаемые модели для системы уравнений калибровочного типа 38
1.4 Двумерные точно решаемые модели, полученные в согласованной постановке 42
1.5 Выводы 46
2 Исследование проблемы пересечения уровней 48
2.1 Введение 48.
2.2 Проблема пересечения уровней для параметрической обратной задачи на полуоси 51
2.3 Проблема пересечения уровней для параметрической обратной задачи на всей оси 58
2.4 Выводы 61
3 Нестационарная задача в адиабатическом представлении 63
3.1 Введение 63
3.2 Построение нестационарных потенциалов и соответствующих волновых функций через стационарные потенциалы и волновые функции 65
3.2.1 Пример точно решаемой модели с временизависящим симметричным потенциалом 66
3.2.2 Пример точно решаемой модели с временизависящим несимметричным прозрачным потенциалом . 68
3.3 Адиабатически изменяющиеся системы 71
3.3.1 Пример исследования адиабатически изменяющейся системы 76
3.4 Геометрические фазы 77
3.5 Выводы 81
4 Точные решения нестационарного уравнения Шредингера и их применение 82
4.1 Введение 82
4.2 Гамильтонианы, допускающие точные решения нестационарного уравнения Шредингера 84
4.3 Геометрические фазы и динамическая локализация 89
4.4 Неадиабатические геометрические фазы 92
4.5 Квантовые вычисления 95
4.6 Выводы 104
Заключение 106
- Двумерные точно решаемые модели для параметрической задачи
- Проблема пересечения уровней для параметрической обратной задачи на полуоси
- Построение нестационарных потенциалов и соответствующих волновых функций через стационарные потенциалы и волновые функции
- Гамильтонианы, допускающие точные решения нестационарного уравнения Шредингера
Введение к работе
0.1 Введение
Задачи об эволюции динамических систем привлекают в настоящее время пристальное внимание исследователей в связи с последними достижениями в различных областях физики. Много интересных явлений таких как молекулярный Ааронов-Бом эффект [1], геометрическая фаза [2]-[4], проблема пересечения уровней [5], отождествляемая с Ландау-Зинер переходами [6, 7], динамическая локализация частиц в системах с ограниченной пространственной размерностью [9]—[12] было обнаружено в атомной и молекулярной физике, квантовой химии, квантовой оптике и физике твердого тела. Интенсивные исследования в области квантовых компьютеров (см., например, [13]—[20] и ссылки в этих работах) возобновили интерес к эффекту геометрической фазы в квантовой механике. Недавно было предложено конструировать голономный квантовый компьютер [21]—[23], используя неабелеву геометрическую фазу Берри [2]. Поэтому проблема моделирования динамических систем с заранее заданными свойствами, используя методы квантовой механики, не теряет своей актуальности. Точно решаемые стационарные и нестационарные модели в квантовой механике служат, на наш взгляд, для плодотворных исследований в этих областях науки, а также помогут в обнаружении новых свойств.
Большое количество точно решаемых моделей было получено на основе метода обратной задачи (03) в квантовой теории рассеяния. В частности, метод обратной задачи рассеяния позволяет исследовать широкий класс нелинейных задач методами линейной. К достижениям метода следует отнести возможность расширения числа моделей квантовой механики, допускающих решения в аналитическом виде. В этой связи, весьма актуальна
разработка точно решаемых моделей 03 для исследования сложных многомерных, мало- и много частичных квантовых систем как с постоянными, так и изменяющимися физическими характеристиками.
Основные принципы решения квантовой обратной задачи сформулированы в работах советских математиков И.М.Гельфанда и Б.М.Левитана [24], В.А.Марченко [25], М.Г.Крейна [27], Ю.М.Березанского [29], [28]. Дальнейшее развитие теории с учетом физический приложений было сделано в работах Л.Д.Фаддеева [30], Р.Г.Ньютона [31], П.Сабатье и К.Шадана [32], Кейя и Мозеса [33], Левитана [34]. Два подхода, данные Гельфандом, Левитаном и Марченко стали классическими и являются моделью для постановки других вариантов обратных задач. Это касается формулировок одномерной задачи на всей оси [30], [31], [32], [35], [36], многомерной задачи [30], [35] - [37], обратной задачи для одномерных и многомерных систем уравнений первого порядка [38], R- матричной теории рассеяния [38] -[42], дискретных конечно-разностных аналогов обратной задачи [38] - [45].
Перспективно также развитие адиабатического подхода, в котором естественным образом учитываются различные свойства и взаимное влияние медленной и быстрой квантовых подсистем. Одна из наиболее интересных особенностей адиабатического представления связана с возникновением калибровочных полей. Метод адиабатического представления может быть применен для исследования многих реальных квантовых систем со сложной динамикой, таких, как ядра, атомы, молекулы, металлические кластеры и т.д. Такие системы характеризуются взаимодействием коллективных, медленно изменяющихся внешних полей, и внутренних, быстро изменяющихся полей, что может приводить к возникновению монопольных калибровочных потенциалов и к таким интересным явлениям, как неинтегрируе-мые геометрические фазы, открытые Берри [2]- [4], молекулярный эффект Ааронова-Бома [1], нелинейные эффекты и хаос для коллективного движения [5]. Точно решаемые модели обратной задачи могут быть использованы для исследования монопольных калибровочных потенциалов и связанной с ними проблемы пересечения уровней [6, 7, 46, 47] в квантовых системах с несколькими степенями свободы и могут служить хорошим методом для
моделирования этих процессов.
Прямая задача рассеяния в адиабатическом подходе имеет богатую историю развития, которая восходит к первым исследованиям Борна и Оппен-геймера [48], Борна и Фока [49, 50] и впоследствии интенсивно развивалась многими авторами, такими, как Ландау [6] и Зинер [7, 8], Хилл и Уилер [51], Демков [52] и Мид [1] (некоторые дополнительные ссылки можно найти в работах [53] - [56]); в то время как постановка обратной задачи в адиабатическом представлении была предложена лишь относительно недавно [57]
- [64].
Процедура адиабатического представления может рассматриваться как вариант размерной редукции пространства М. — В х Л4, так как сводит решение всей задачи рассеяния к двум эффективным задачам в пространствах В и М. меньшей размерности, чем исходное М. [65]. Одна из них - параметрическая для уравнения Шредингера, описывающего быструю динамику при параметрической зависимости от "медленных"координатных переменных х Є В. Другая проблема формулируется для систем калибровочных уравнений с потенциалами, индуцированными процедурой адиабатического разложения полной волновой функции Ф(ж, у) — ^2 f фп(х', y)Fn(x) по собственным состояниям фп(х;у) самосопряженного параметрического гамильтониана.
Метод аналитического моделирования в таком подходе основан на согласованной формулировке в аналитическом виде двух взаимосвязанных задач: параметрической задачи и многоканальной, ассоциируемой с системой уравнений с ковариантной производной. Главная особенность параметрической 03 состоит в том, что потенциал и волновые функции определяются по данным рассеяния {n(x),M%(x),S(x,k)}, которые параметрически зависят от пространственных переменных. Обобщение техники баргманов-ских потенциалов на параметрическое семейство обратных задач основано на выборе функций Йоста. Они должны быть рациональными, как обычно, но при этом параметрически зависеть от адиабатических переменных, через зависимость от них спектральных характеристик. В одной из двух согласованных постановок эта зависимость определяется из решения об-
ратной задачи для системы калибровочных уравнений. Затем, используя полученные спектральные данные, необходимо решить параметрическую обратную задачу для определения потенциала V(x; у) и собственных функций фп(х;у)- В другой постановке предполагается, что функциональная зависимость в данных рассеяния {п(ж), M^ix), S(x, к)} от внешней адиабатической переменной задана заранее. Тогда вначале восстанов-ливается потенциал V(x,у) , и определяются базисные функции фп(х;у), зависящие от х как от параметра, затем по аналитическим базисным функциям вычисляются матричные элементы индуцированных векторного А(х) =< 4>(x;y)\Vx\Tp(x]y) > и скалярного V(х) =< ф(х;у)\У\'ф(х]у) > потенциалов и решается система калибровочных уравнений. Такой подход позволяет оценить влияние параметрических спектральных характеристик на поведение динамических квантовых систем.
Представим алгебраическую схему решения многоканальной обратной задачи в адиабатическом представлении: 1) используя технику вырожденных ядер, определим в явном аналитическом виде потенциальную матрицу V'(x) и отвечающую ей матрицу решений по данным рассеяния {S'(p), {Мд}, {Е\}}\ 2) перейдем от представления фиксированного базиса к представлению изменяющегося от слоя к слою базиса, используя обратное унитарное преобразование, это позволяет определить термы и соответву-ющие им функции нормировок; 3) используя алгебраическую процедуру решения параметрическеой обратной задачи, определим двумерный потенциал и двумерные волновые функции термов. Это замкнутая процедура полного согласованного получения в аналитическом виде двумерных решений и потенциалов.
Интересно отметить, что матричные элементы обменного взаимодействия Апт(х) сильно зависят от выбора нормировочных функций собственных состояний параметрического гамильтониана. Для пересечения уровней нормировки должны быть сингулярны [53, 54]. В адиабатическом представлении сингулярность нормировок получается естественным образом из постановки задачи [55]. Специальный выбор нормировочных функций, определяющих безотражательный симметричный по быстрым переменным у
потенциал, —со < у < со, приводит к нулевой связи между состояниями двухуровневой системы: Ауі{х) = 0 даже в точках вырождения. В то время как, при любых других нормировках и тех же термах получаем несимметричные по у потенциалы и ненулевую связь, А\2{х) ф 0, между теми же состояниями. Отметим также, что в случае параметрической задачи на всей оси потенциалы, собственные функции и матричные элементы обменного взаимодействия не сингулярны в точках вырождения двух состояний, как это имеет место для параметрической задачи на полуоси 0 < у < со. Таким образом, характерные особенности гамильтониана медленной подсистемы определяются природой параметрической задачи: а именно, она -радиальная, задана на полуоси или это задача на всей оси.
Предлагаемый подход позволяет также исследовать медленно эволюционирующие квантовые системы с предписанной зависимостью от адиабатической переменной x(t).
Точные модели имееют не только самостоятельную ценность, но и служат средством приближенного решения обратных задач в случаях, когда ядра интегральных уравнений не вырождены [66]. Аппроксимациям произвольного потенциала баргмановскими отвечает приближение функции рассеяния дробно-рациональными выражениями, при этом происходит регуляризация решений обратной задачи, благодаря сужению на подмножество потенциалов, зависящих от конечного числа параметров [67], [68].
Построение точно решаемых моделей в рамках 03 позволяет изучать нестационарную задачу. Обычно в качестве нулевого приближения задачи с гамильтонианом H(t) = h + h\(t) рассматривается система с гамильтонианом h, не зависящим от времени. Зависящая от времени часть гамильтониана hi предполагается малой hi <С h и рассматривается как возмущение, вызывающее переходы между собственными состояниями h. Однако, если hi не мало и периодически зависит от времени, hi(t + Т) = h\{t), то более целесообразно использовать другой подход [69]-[70], поскольку ни теория возмущений, ни адиабатическое приближение не применимы. Согласно теоретико-групповым представлениям, если H(t) периодически зависит от времени H(t-\-T) = H(t), то среди решений уравнения Шредингера мож-
но найти такие, которые периодически изменяются со временем - циклические решения. Эти решения воспроизводятся через период с точностью до фазового фактора ФДг, t + Т) — ехр(—гД/Т^ФДг, t). Помимо обычной динамической фазы этот фазовый фактор содержит еще и геометрическую часть, изучению которой посвящено много работ в последнее время. Периодические состояния Ф„(г, і) при данном t взаимно ортогональны и играют такую же роль как состояния с определенной энергией в обычной стационарной теории. Циклическая эволюция играет важную роль при описании квантовых систем в периодически изменяющихся средах. Наиболее хорошо изучены задача для квантового осциллятора под действием периодической внешней силы [70]-[79] и задача о движении частицы со спином в однородном периодическом магнитном поле [69, 70] (см. также относительно недавние публикации [80]-[83]). Для решения нестационарных задач был предложен метод разделения переменных [84] и метод суперсимметрии [85], которые расширяют класс точно решаемых нестацинарных задач. Однако на наш взгляд, более перспективным для конструирования точно решаемых динамических задач является метод преобразования от стационарных уравнений к нестационарным [55], [82], [86]-[90]. Обширен класс задач для которых могут быть использованы точно решаемые стационарные модели (см. например, [91] - [99] и ссылки в этих работах). Каждая из этих моделей с независящим от времени гамильтонианом может быть преобразована в семейство зависящих от времени гамильтонианов, допускающих точные решения.
При исследовании эволюции квантовых систем важную роль играет как выбор гамильтониана, так и начальных условий. Берри [2], имя которого носит топологическая фаза, при изучении циклической эволюции в качестве начальных использовал мгновенные собственные состояния Гамильтониана H(t = 0), которые адиабатически эволюционируют от t = 0 до t = Т по замкнутому контуру в параметрическом пространстве. Для того, чтобы обеспечить периодическую эволюцию с таким выбором начальных условий, пришлось прибегнуть к адиабатическому приближению. Ааронов и Анандан [4] отказались от адиабатического приближения, рассматривая
замкнутый контур в проективном гильбертовом пространстве; при этом вопрос выбора начальных условий не обсуждался. Чтобы обеспечить циклическую эволюцию, в работе [100, 101], начальные состояния были взяты как линейная комбинация решений для Н(1 = 0). Нами в статье [55], в качестве начальных состояний, были выбраны собственные состояния стационарного (реперного) уравнения и было показано, что эти состояния обеспечивают периодичность решений при определенном выборе преобразований от стационарной к нестационарной задаче.
Достижения последнего времени в таких областях как развитие информационных технологий, а также микро- и нанотехнологий, позволяют создавать низкоразмерные структуры с прогнозируемым и управляемым спектром носителей заряда. Этот технический прогресс делает перспективным и актуальным исследования одномерных и двумерных динамических квантовых ям, квантовых точек и решеток со свойствами локализации. Как было показано Паулем и Ратцем [9] и независимо от них Гапоновым и Миллером [10] в рамках классической электродинамики, заряженная частица может быть локализована в неоднородном электромагнитном поле высокой частоты. Отметим, что Пауль в 1989 году получил Нобелевскую премию за создание так называемой ловушки Пауля. Квантовомеханический анализ этого эффекта для потенциалов вида V(r,t) = V(r)cos(u)t), где V(r) выбирается в виде V(r) = V cosikr) или V(r) = аг2 был проведен несколькими авторами [11, 12, 102, 103].
Использование метода преобразования стационарных задач в нестационарные [55], [86]-[87] позволяет конструировать семейства потенциалов с более сложной зависимостью от временной и пространственной переменных, и, в частности, потенциалы, которые отвечают свойству динамической локализации частиц. Подход может быть с успехом использован в исследовании свойств низко-размерных структур (квантовых ям, проволок и квантовых точек).
Основной целью данной диссертации является исследование сложных динамических систем методами квантовой обратной задачи рассеяния, из которой вытекает ряд задач: разработка на основе 03 в адиабатическом
представлении техники восстановления зависящих и независящих от времени двумерных потенциалов и соответствующих решений с параметрической зависимостью от пространственной динамической переменной; исследование проблемы пересечения уровней; разработка методов нахождения точных и приближенных решений эволюционных задач квантовой механики; изучение циклической эволюция квантовых систем для гамильтонинов, периодически зависящих от времени.
Научная новизна и практическая ценность.
Впервые предложен метод изучения проблемы пересечения уровней на основе точно решаемых моделей 03 в адиабатическом представлении.
Показано, что матричные элементы обменного взаимодействия не имеют сингулярностей в точках пересечения двух уровней, если параметрическая задача определена на всей оси, в то время как для параметрической задачи на полуоси потенциал, собственные функции, матричные элементы обменного взаимодействия и нормировочные коэффициенты сингулярны в точках пересечения термов.
Исследовано влияние нормировочных функций на свойства динамических систем. Установлено, что для параметрической задачи на всей оси при специальном выборе нормировочных функций обменное взаимодействие между связанными состояниями двухуровневой системы отсутствует для всех значенияй параметрической пространственной переменной, даже в точках вырождения состояний.
Разработана техника решения в явном аналитическом виде нестационарных матричных уравнений Шредингера. Метод основан на стационарных точно решаемых задачах, определенном выборе начальных условий и специальном выборе зависящих от времени калибровочных преобразований, переводящих стационарные задачи в нестационарные. Показано, что каждая из стационарных точно решаемых моделей, может быть обобщена для получения семейств нестационарных точно решаемых моделей.
Научной ценностью обладают результаты исследования квантовых систем, открывающие возможность моделирования динамических систем со свойством локализации частиц. В диссертации показано, как использовать точно решаемые нестационарные модели для построения набора вентилей для квантовых компьютеров, а также обсуждается пример получения операторов запутывания. Результаты диссертации представляют интерес для широкого круга специалистов в области нерелятивистской квантовой механики, в частности, молекулярной и атомной физики, физики твердого тела, квантовой оптики, а также для специалистов, занимающихся исследованиями в области квантовых компьютеров.
Аппробация работы. Результаты исследований, вошедшие в данную диссертацию, докладывались на следующих конференциях:
XIV Международный семинар Int. Conf." Symmetries in Physics educated to the 90th anniversary of Professor Ya.A. Smorodinsky's birth. March 27 - 29, 2008, Dubna, Russia;
XIV Международный семинар "Нелинейные явления в сложных системах Минск, Май 22-25, 2007, Беларусь;
The V - th International Conference "Non-Euclidean Geometry in Modern Physics Minsk, October 10 - 13, 2006, Belarus; СААР - 2001, Dubna, Russia, June 28 - 30, 2001;
The XX IUPAP International conference on Statistic Physics, Paris, July 20-24, 1998;
APS Centennial Meeting, 16-20 March, Atlanta, GA Meeting of APS, 1998;
Int. Conf. on Quantum Systems, New Trends and Methods, Minsk, 4-6 June, 1996;
The VII Int. Conf. on Inverse and Algebraic Quantum Scattering Theory, Lake Balaton, Hungary, 3-7 September, 1996;
Int. Conf. on Few-Body Systems. Spain, June, 1995; The VII Int. Conf. on Symmetry Methods in Physics. Dubna 10-16 July, 1995.
Опубликованность результатов. Результаты диссертации опубликованы в 11 научных работах. Пять из них опубликовано в реферируемых журналах [2]-[6]. Одна работа [1] выполнена соискателем без соавторов.
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из четырех глав, введения и заключения. Общий объем диссертационной работы составляет 118 страниц, включая 17 рисунков, и список цитированной литературы из 107 наименований.
Во введении обоснована актуальность исследования сложных динамических систем методами 03 рассеяния. Сформулированы цели данной работы.
В первой главе исследуются стационарные двумерные модели в рамках метода адиабатического представления ОЗ. Приводятся примеры точно решаемых моделей на основе развиваемой техники баргмановских потенциалов для параметрического семейства обратных задач и для систем уравнений с ковариантной производной как при их согласованном решении в последовательном подходе, так и на основе только параметрической задачи. В подходах Гельфанда - Левитана и Марченко анализируются точно решаемые модели с заданной функциональной зависимостью поведения термов.
Во второй главе проблема пересечения уровней изучается на основе точно решаемых моделей обратной задачи. Используя технику баргмановских потенциалов, для параметрических уравнений, конструируются точно решаемые модели с предписанными спектральными свойствами. При заг данной функциональной зависимости термов исследуются матричные элементы оператора связности и скалярного потенциала при сближении уровней вплоть до пересечения и квазипересечения термов.
Показано, что основные черты обменного взаимодействия, существенно зависят от постановки параметрической задачи. Матричные элементы связи не имеют сингулярностей в точках вырождения двух уровней, если параметрическая задача определена на всей оси, в то время как при параметрической задаче радиальной или на полуоси они сингулярны. Исследуется влияние параметрических спектральных характеристик на свойства динамических систем. В частности, установлено, что при специальном выборе нормировочных функций нет переходов между состояниями двухуровневой системы.
В третьей главе на основе параметрической обратной задачи разрабатывается алгебраическая техника восстановления зависящих от времени двумерных потенциалов и соответсвующих волновых функций через стационарные потенциалы и волновые функции. Приводятся примеры точно решаемых моделей с зависящим от времени симметричным прозрачным потенциалом и несимметричным прозрачным потенциалом. Разрабатывается метод исследования адиабатически изменяющихся систем и вычисляется геометрическая фаза.
В четвертой главе предложена техника решения в явном аналитическом виде нестационарных матричных уравнений Шредингера. Метод основан на стационарных точно решаемых задачах, определенном выборе начальных условий и специальных зависящих от времени калибровочных преобразованиях, переводящих стационарные задачи в нестационарные. Показано, что каждая из стационарных точно решаемых моделей может быть обобщена так, чтобы получить целое семейство нестационарных точно решаемых моделей.
Получены семейства гамильтонианов с различной функциональной зависимостью от времени, допускающие решения систем уравнений Шредингера в явном виде. Метод применен для исследования неадиабатической эволюции нейтральной спин 1/2 частицы, обладающей магнитным моментом, во вращающемся неоднородном магнитном поле.
В качестве применения метода в явном виде представлены выражения для математического ожидания гамильтониана, полной, динамической и неадиабатической геометрической фаз, вычисленные в терминах полученных решений. В частности, получены периодически зависящие от времени гамильтонианы, математические ожидания для которых не зависят от времени. Метод позволяет моделировать квантовые динамические системы с предопределенными свойствами, например, со свойством локализации частиц. Исследуются квантовые фазы, возникающие при циклической эволюции квантовых систем.
Показано, как использовать полученные точно решаемые нестационарные задачи использовать для построения универсального набора вентилей
для квантовых компьютеров. Обсуждается способ получения операторов запутывания.
На защиту выдвигаются следующие результаты:
В рамках обратной задачи в адиабатическом представлении исследованы решения двумерного уравнения Шредингера. Получены точно решаемые модели для параметрической 03 и для систем уравнений калибровочного типа. Дан пример аналитического моделирования двумерной задачи, полученный при согласованном решении системы калибровочных уравнений и параметрической задачи.
Разработан метод изучения проблемы пересечения уровней на основе точно решаемых моделей параметрической 03 в адиабатическом
представлении.
На основе параметрической 03 разработана алгебраическая техника восстановления зависящих от времени двумерных потенциалов и соответствующих волновых функций через стационарные потенциалы и волновые функции и получены семейства потенциальных матриц с различной функциональной зависимостью от времени.
Получено семейство периодически зависящих от времени гамильтонианов, допускающих решение уравнения Шредингера в аналитическом виде. Исследована неадиабатическая эволюция нейтральной спин 1/2 частицы во вращающемся неоднородном магнитном поле
Построен зависящий от времени гамильтониан, отвечающий динамической локализации частиц.
Вычислены полная, динамическая и геометрическая фазы, возникающие при циклической эволюции квантовых систем.
Построен набор одно-кубитовых вентилей и оператор запутывания для квантовых компьютеров с использованием точно решаемых моделей нестационарного уравнения Шредингера.
Список публикаций:
1. Величєва Е. П. Решения зависящих от времени уравнений Шрединге-
ра методами обратной задачи рассеяния. // Ядерная физика. - 2000.
- Т. 63, N 4. - С. 661-663
2. Величєва Е.П., СузькоА.А. Точные решения нестационарных уравне
ний Шредингера и геометрическая фаза // Ядерная физика. - 1998.
- Т. 61, N 10. - С. 1884-1888.
Величєва Е.П., Сузько А.А. Точные решения нестационарного уравнения Шредингера // Теоретическая и математическая физика. - 1998.-Т. 115, N 3,. - С. 410-418.
Величєва Е.П., Сузько А.А. Точно решаемые модели и динамические системы // Теоретическая и математическая физика. - 1998.- Т. 61, N 1. - С. 106-131.
Величєва Е.П., Сузько А.А. Точно решаемые модели и исследование проблемы пересечения уровней // Физика элементарных частиц и атомного ядра. - 1996.- Т. 27, Вып. 4. - С. 923-964.
Величєва Е.П., Сузько А.А. Двумерные точно решаемые модели в адиабатическом представлении // Ядерная физика. - 1996.- Т.59, N 6.
- С. 1132-1148.
Suzko А.А.,Velicheva E.P. Level crossing for quantum systems with some degrees of freedom // Proc. of the Fourteenth Annual Seminar NPCS'2007 "Nonlinear Dynamics and Applications". Editors by L.F. Babichev, V.I. Kuvshinov, Minsk, Belarus, 2007, V. 14. P.217-227.
A.A. Suzko, G. Giorgadze, E.P. Velicheva, Time-dependent exactly solvable models and its applications // Proc. Of the 5-th Intern. Confer. Bolyai-Gauss-Lobachevsky "Non-Euclidean Geometry in Modern Physics Minsk, Belarus, 2006, p.239-247.
Suzko A.A., Velicheva E.P. Analytic Modelling for Inverstigation of Quantum Systems in the Adiabatic Representation // Computing Algebra and its
Application to Physics: Proc. Of the International Workshop. Edited by V. P. Ge'rdt, Dubna, Russia, 2001. - P.301-312.
Suzko A.A.,Velicheva E.P. Exactly Solvable Quantum Models for Inverstigation of Nonadiabatic Transitions // Inverse and Algebrac Quantum Scattering Theory: Lecture Notes in Physics. - Berlin Heidelberg: Springer - Verlag, 1997, P. 556-564.
Suzko A.A., Velicheva E.P., Two Dimensional Exactly Solvable Models with Time-dependent Potentials // Quantum Systems, New Trends and Methods: Proc. Int. Conf. - Minsk, 1996, P. 342-353.
Двумерные точно решаемые модели для параметрической задачи
Рассмотрим параметрическую задачу на примере восстановления двумерного потенциала. Пределы интегрирования в (1.22), (1.24) и знаки в (1.23) зависят от конкретного подхода обратной задачи. Пределы от у до со в (1.22), (1.24) и знак " — "в (1.23) отвечают формулировке Марченко. Пределы [0,?/] в (1.22), (1.24) и знак "+ "в (1.23) отвечают подходу Гельфанда-Левитана.
Применим технику баргмановских потенциалов [32],[40] к параметрическому семейству обратных задач для уравнений (1.14). Потенциалам Барг-мана соответствуют дробно-рациональные функции Иоста, однако теперь они параметрически зависят от координатной переменной х через зависимость от нее спектральных параметров
Параметрическая функция Иоста (1.29), имеет N простых полюсов в точках к = Щ{х) и N простых нулей при к — iaj(x). Отметим, что N простых полюсов и N простых нулей заданы не в отдельных точках комплексной /с-плоскости, а на кривых импульсов, определяемых как функции координатной переменной ж, внешней (параметрической) для этой задачи.
Наиболее простой случай в подходе Марченко отвечает безотражательным (солитонным) потенциалам. Безотражательным (прозрачным) потенциалам по быстрой переменной соответствует одномерная обратная задача на всей оси — со у со с равным нулю коэффициентом отражения Sr — 0.
Возможны разные варианты точно решаемых моделей: прозрачные потенциалы как по медленной и быстрой переменным; прозрачные вдоль одной из них; запирающие вдоль одной из координат либо вдоль обеих; запирающие вдоль одной из координат и прозрачные вдоль другой и другие подобные модели с дробно-рациональными функциями Йоста. Обратная задача на всей оси подобна двухкапальной с двумя расцепленными основными интегральными уравнениями.
Из соотношений (1.44) следует, что параметрическое уравнение Шре-дингера (1.2) для безотражательных по другой координатной переменной потенциалов нелинейно. Та же ситуация имеет место в отсутствии параметрической переменной.
Подчеркнем, что соотношения (1.44) получены для специфического случая нулевой функции отражения Sre (x\ к) — 0\/х. Отметим также, что симметричные прозрачные потенциалы и соответствующие волновые функции полностью определяются энергетическими уровнями, т. к. в этом случае нормировки функций связанных состояний выражаются следующим образом (1.40).
Приведем примеры двумерного потенциала и соответствующих ему аналитических решений параметрической задачи с двумя термами. В зависимости от конкретной постановки задачи термы могут иметь различное поведение. В представленном примере зададим их следующим образом: cosh\anx) где On, bn, сп некоторые константы, определяющие форму термов п(х) = —к (х). Нормировку выберем в виде (1.40), отвечающем случаю безотражательных симметричных потенциалов. Исследованию ситуации с пересечением и квазипересечением уровней посвящена вторая глава. Приведем также пример периодического изменения термов (Рис. 1.4, 1.5). Исследование ситуаций с периодическими потенциалами представляет интерес во многих разделах физики (в частности, физики твердого тела). Потенциал и волновые функции собственных состояний параметричесой задачи имеют четкую периодическую структуру по медленной переменной х, как и следовало ожидать из периодического поведения термов. Основной слой имеет максимальные значения, отвечающие наибольшему расхождению термов, в то время как последующие слои дают растущий вклад вблизи минимального расстояния между термами. Как видно из сравнения рисунков 1.46 и 1.56, сближение уровней влияет на возникшую по у структуру потенциала. Характер изменения центрального слоя не чувствителен к сближению уровней, в то время как роль второго и третьего слоя возрастает и становится сравнимой с основным слоем.
Проблема пересечения уровней для параметрической обратной задачи на полуоси
Точно решаемые модели обратной задачи могут быть использованы для исследования монопольных калибровочных потенциалов и связанной с ними проблемы пересечения уровней [6, 7] в квантовых системах с несколькими степенями свободы и могут служить хорошим методом для моделирования этих процессов.
Интересно отметить, что матричные элементы обменного взаимодействия Апт(х) сильно зависят от выбора нормировочных функций собственных состояний параметрического гамильтониана. Для пересечения уровней нормировки должны быть сингулярны [53, 54]. В адиабатическом представлении сингулярность нормировок получается естественным образом из постановки задачи [55]. Специальный выбор нормировочных функций, определяющих безотражательный симметричный по быстрым переменным у потенциал, — со у со, приводит к нулевой связи между состояниями двухуровневой системы: Ліг (ж) = 0 даже в точках вырождения состояний. В то время как при любых других нормировках и тех же термах получаем несимметричные по у потенциалы и ненулевую связь, А\2(х) ф О, между теми же состояниями. Отметим также, что в случае параметрической задачи на всей оси потенциалы, собственные функции и матричные элементы обменного взаимодействия не сингулярны в точках вырождения двух состояний, как это имеет место для параметрической задачи на полуоси 0 у оо. Таким образом, характерные особенности гамильтониана медленной подсистемы определяются природой параметрической задачи: а именно, является ли праметрическая задача радиальной, задана на полуоси, или это преметрическая задача па всей оси.
Основываясь на технике решения параметрической задачи (глава 1), рассмотрим процедуру восстановления двумерных баргмановских потенциалов V(x\y), для которых решение параметрического уравнения Шре-дингера -d2/dy2 + V(y) + V(x; у)] ф{х\ у) = є(х)ф(х; у) (2.1) могут быть найдены в аналитическом виде. Матричные элементы могут быть вычислены в терминах аналитических собственных функций ф(х;у) уравнения (2.1) при заданной функциональной зависимости данных рассеяния (єп(а;), М%(х), S(x,k)} от параметрической координатной переменной х. Параметрическая функция Йоста (2.5) имеет N кривых простых полюсов к = —i/3j(x) и iV кривых простых нулей к = —iotj(x). Для действительных потенциалов кривые Oij(x) и J3j(x) должны располагаться симметрично относительно мнимой оси в комплексной ;—плоскости.
Как следствие система интегральных уравнений обратной задачи сводится к системе алгебраических, после чего сферически-несимметричный потенциал и соответствующие ему решения могут быть выражены в замкнутом аналитическом виде через известные решения и спектральные характеристики при использовании параметрических уравнений 03 (1.23) - (1-24). Параметрическую 03 будем использовать для решения задачи исследования проблемы пересечения уровней.
Явная зависимость потенциалов от быстрых переменных у определяется решениями Йоста (2.16) при к = гкп(х), т. е. на кривых энергетических уровней, зависящих от параметрической переменной х. Изменение нормировочных функций М%(х) собственных состояний параметрического гамильтониана приводит к изменению в потенциалах, решениях Йоста, регулярных и базисных решениях параметрического уравнения.
Двум кривым полюсов функции S(x; к) из четырех соответствуют кривые нулей к — iKj(x) параметрической функции Йоста f+(x, fc), а двум другим кривым полюсов S(x;k) соответствуют полюса /_(#,&) при к = i@j(x). Для того, чтобы функция Йоста f+(x, к) была аналитической в верхней к - полуплоскости для всех х, необходимо, чтобы (3j(x) 0. Если Kj(x) 0, имеем кривые связанных состояний - термы Sj(x) = —Kj(x). Если Kj(x) 0 Vx, то связанных состояний нет. В общем случае функции а(х) в (2.5), (2.6) могут изменяться от отрицательных значений а{х) — —f{x) (траектории антисвязанных состояний) до положительных значений а(х) = к(х). Если же OCJ(X) = —Vj(x) 0 Vrs, то потенциал недостаточно глубок и широк, чтобы создать связанные состояния, и соответствует матрице рассеяния S(x\ к) с кривыми полюсов при к — i(3j(x).
Таким образом, потенциал V(x, у) определяется только спектральными характеристиками Kj{x) И (3J(X), И соответствует одному из семейств потенциалов, характеризуемому одними и теми же уровнями энергии и одной и той же параметрической S(x; к)- матрицей (2.21) с четырьмя кривыми полюсов.
Из положительной определенности нормировочных множителей Mj(x) следует условие /?г(ж) к,2(х), Рі(х) кі(х) / ). Это означает, что Єг(я) 0і(х) і{х)- Если уровни Єі(а:) и Є2{х) сближаются, то в какой-то точке х — х один из них или оба становятся равными /3( )- Из соотношения (2.22) легко видеть, что когда к.і(х ) = /Зг(# ) или К2(х ) — {х1), соответствующая нормировочная функция Mf(x) или М х) становится сингулярной. Если кі(х ) = @2{х ) — К2(х ), обе нормировочные функции М"1{х) и M ix) имеют полюсы второго порядка в точке пересечения X = х . Тогда из соотношений (2.11) и (2.14) следует, что потенциал V{x\y) и соответствующие нормировочные функции фі,2{х,у) также имеют полюс второго порядка кратности в точке х = х при всех значениях у. Как можно видеть из соотношения (2.9), такие же исследования с сингулярным поведением нормировочных функций справедливы для потенциалов с произвольным числом уровней при сближении каких-то двух из них.
Построение нестационарных потенциалов и соответствующих волновых функций через стационарные потенциалы и волновые функции
Преобразуем процедуру обратной задачи так, чтобы иметь возможность непосредственно выразить зависящие от времени потенциал и решения параметрического уравнения (3.3) через не зависящие от времени потенциал и решения. Решение этой задачи достигается в два этапа. На первом этапе решается стационарная задача в соответствии с (1.22) - (1.24), а именно о восстанавливаются, например, потенциал V{x\ у) и соответствующие реше о ния ф(х; к, у) в начальный момент времени t = t0. о На втором этапе, используя полученные решения ф(х\ к, у) как исходные, по аналогии с (1.23) - (1.24) определяем зависящие от времени потенциал и решения из обобщенных соотношений V{x{;ty,y) = V(x]y) T2—K{x{t)]y,y), (3.11) ф(х(і);к,у) = ф(х(і);к,у) + / K(x(t);y,y ) ф(х(і)-к,у )сІу . (3.12) Jy(o) Ядро K(x(t);y,y ) находится из основных уравнений Марченко или Гельфанда-Левитана (1.22), в которых ядро Q(x(t);y:yf) вычисляется по двум наборам спектральных данных: {S{x;k),sn{x),-fl{x)} и {S{x(t);k),En(x(t)), (x(t))}.
В полной аналогии с рассмотренной в первой главе процедурой решений параметрических уравнений (1.25) - (1.27), когда функция Иоста выбирается в виде (1.29), интегральные уравнения обратной задачи сводятся к набору алгебраических. Например, для безотражательных потенциалов (Sref(k) — 0) ядро Q(y}y ) рассчитывается по потенциальным кривым єп{х) и En{x(t)) и нормировочным функциям 7 ( )) in(x(f))t отвечающим о потенциалам V(x\y) и У(ж();у), соответственно: No о Q(x(t);y,y ) = 7пМ ))0( «п(а:( )), у)Ф(гкп(х(г)),у ) о П о (3-13) Е 7n W Ф{гкп{х),у) ф(тп(х),у ). п о Базовые функции ф(у) взяты при энергиях еп(х) и en(x(t)). Это возмож о но, т. к. функции ф(к,у) определены при всех значениях к. Очевидно, что о при t = tQ имеем Рпт = 5пт и Tpn(x(t);y) = фп(х;у). Матричные элементы Bnm(x(t)) (3.10) могут быть записаны в терминах не зависящих от t о решений ф(ік,п(х(ї)),у), взятых, однако, при к = ікп(х(і)). Эта постановка особенно удобна для исследования систем с медленно изменяющимися со временем спектральными функциями.
Приведем конкретный пример двумерной точно решаемой модели для двухуровневой системы с прозрачными симметричными по у потенциалами и с периодической зависимостью х от времени. Определим два терма следующим образом: Кі(х) — (l/ch(x/2) + 0.25), Кч(х) = (l/ch(x/3)) с x(t) = x(l — cos(cut)), где х соответствует независящему от времени случаю. Потенциал и соответствующие нормированные собственные функции представлены при значениях cot, равных 0,7г/6,7г/3,7г/2,7г, на рис. 3.1, 3.2 и 3.3, соответственно. Их поведение зеркально симметрично относительно линии cot Є (0,7г). Легко видеть, что потенциал и функции изменяются от очень простых одномерных для tot = 0 (рис. 3.1а, 3.2а и 3.3а к довольно сложным двумерным при всех других значениях cot -ф 0. Функции x(t) при uot = 7г/2 и cot = 37Г/2 совпадают с ж, не зависящими от і, и мы получаем двумерную стационарную задачу. При значениях cot = 2-к система вновь становится одномерной с первоначальными состояниями \фп{х(Ь)\у)) = \фп{у))- Собственные функции фі(х\ у) \/х симметричны (см. рис. 3.2), а фч(ж; у) Ух антисимметричны по у (см. рис. 3.3). Матричные элементы обменного вза s д
Покажем, что при выборе нормировочных функций 7п(ж) не удовлетворяющих условию (1.40), теряется симметрия по у и возникает обменное взаимодействие Апт(х) между состояниями. Определим два энергетических терма Єї (ж) и Єг(ж), как и в предыдущем случае, но нормировочные функции определим в виде 7п(ж) = 2кп(х). Потенциал V(x(t), у) и соответствующие нормированные собственные функции представлены на рис. 3.4, 3.5 и 3.6 для значений cot, равных 0, тг/4,7г/3,7г/2,7г, соответственно.
Легко видеть, что потенциал и функции теряют свою симметрию по у, которая имела место при выборе нормировочных функций согласно (1.40). В результате возникает связь между состояниями, А\2(х) ф 0, и существуют переходы между уровнями. Поведение матричных элементов неадиабатической связи Ai2(x(t)) и Bi2{x{t)) (3.6) и (3.7), вычисленных в различные моменты времени, представлено на рис. 3.7 левый и правый столбик соответственно. Для cot = 0 коэффициенты Aij и В{3 отсутствуют, поскольку нет зависимости от х. Для всех cot ф 0 функции Ayiix) = — Ап{—х) антисимметричны относительно начала координат вследствии нашего выбора спектральных данных и зависимости x(t). Для всех cot ф 0 функции В\2(х) = В\2{—х) симметричны по х, поскольку получены как произведение двух антисимметричных функций: А{х) и x(i). Напомним, что матричные элементы A\2(x(t)) = —A2\{x{t)) и B\2{x{t)) — —B2i(x(t)) антисимметричны по индексу состояния (здесь 1 и 2). Тенденция изменения Ai2 как функции cot следующая: амплитуды изменения А\2 тем больше, чем меньше cot. Если cot мало, второй пик справа сравним с первым пиком.
Собственные функции -02(х(); у) симметричные по у при каждом значении параметрической переменной х, вычисленные для tot = 0,7г/4,7г/3,7г/2,7г, соответственно . друг к другу на большом интервале, чем при больших значениях cot. Интересно отметить, что В\2(х) равно нулю при cot = 7г, несмотря на то, что связь Аі%(х) ф 0, a x(t) = 0. В результате нашего анализа можно сделать заключение о том, что выбор нормировочных функций собственных состояний параметрического гамильтониана сильно влияет на поведение динамических квантовых систем. Решение исходной задачи (3.1) получается после решения систем многоканальных уравнений (3.5) или (3.9) относительно коэффициентов разложения. В общем случае решения этой системы не обязательно точные.
Гамильтонианы, допускающие точные решения нестационарного уравнения Шредингера
Рассмотрим задачу по восстановлению в явном виде изменяющегося со временем гамильтониана H(t) H(t) - (p2x + q(x))! + B(t,x)-3, (4.14) используя независящие от времени гамильтонианы, допускающие аналитические решения стационарного уравнения (4.10). Здесь q{x) - стационарный потенциал; В(, х) - изменяющейся со временем потенциал, который часто можно трактовать как магнитное поле; j = (іі,І2,Із) _ оператор спина и ji = (2j7 -Ы) х (2j + l) - соответствующие ему матричные компоненты; рх = —ih\7x - оператор импульса; I - единичная матрица. Рассмотрим в качестве модельной стационарной задачи двухканальное уравнение Шредингера с действительной и симметричной потенциальной матрицей V(x), Vi2(x) = V2\{x) Н{х)\Ф(х) = \Ф{х) , Н{х) =fx + V(X). (4.15) Как хорошо известно, по спектральным характеристикам в обратной задаче рассеяния определяют потенциал и соответствующие ему решения.
Гамильтониан двухканальной задачи соответствует трехмерной задаче с координатами, зависящими от параметра х, например, коллективные координаты ВІ(Х), зависящие от внутренних координат х (в данном случае компонента (ж) — 0). Такой гамильтониан может отвечать проблеме двухуровневого атома или движению спин-1/2 частицы в переменном магнитном поле В (ж).
Действительно, собственные значения стационарного уравнения Шредингера с гамильтонианом Н известны, поскольку они являются исходными данными в обратной задаче. Используя процедуру алгебраических преобразований Баргмана или Дарбу, по спектральным характеристикам, в явном виде восстанавливаются потенциал V и решения Ф .
Пусть V(x) - баргмановская потенциальная матрица, позволяющая находить в явном аналитическом виде решения системы уравнений (4.15). Здесь индексы v и Л отвечают связанным состояниям, характеризующимся энергиями и и нормировочными матрицами 7Jl в то время как для обозначения каналовых индексов использованы индексы i,j. Следует отметить, класс точно решаемых многоканальных задач далеко не ограничивается приведенным примером. Использование техники вырожденных ядер при решении интегральных уравнений обратной задачи рассеяния как на всей оси, так и на полуоси или радиальной задачи в подходах Гельфанда-Левитана и Марченко позволяет конструиповать многочисленные примеры точно решаемых стационарных задач, которые могут быть использованы для исследования нестационарных задач.
Отметим, что при отсутствии зависимости от х задача упрощается и переходит в задачу для спин-1/2 частицы в изменяющемся со временем, но однородном в пространстве магнитном поле [83]. В адиабатическом пределе, когда uj/Vt —+ О, как видно из формул (4.23) Г2 — Q, cos в —» cos в.
В данном разделе, мы детально рассмотрели двухканальную точно решаемую нестационарную задачу, используя достаточно простой оператор канонического калибровочного преобразования S(i). Очевидно, как предлагаемый подход обобщается на случаи других выборов операторов S(t) и классов стационарных точно решаемых задач. 4.3 Геометрические фазы и динамическая локализация
Покажем как в данном подходе могут быть вычислены такие физические величины как динамические фазы, математическое ожидание ev(t) гамильтонианов H(t) (4.1) и геометрические фазы, которые ассоциируются с эволюцией циклических решений [2].
Из (4.35) - (4.37) следует, что нестационарное уравнение Шредингера (4.1), для полученного семейства зависящих от времени потенциальных матриц, обладает решениями и свойствами, подобными стационарным. Такие свойства присущи так называемому эффекту динамической локализации, открытому для классических систем Паулем и Ратцем [9], Гапоновым и Миллером [10].
Квантовомеханический анализ эффекта динамической локализации для потенциалов разных типов был проведен несколькими авторами [11, 12 , 102, 103]. В работах [11, 102, 103] исследовались потенциалы вида V(r,t) = V(r) cos tot, где зависимость от пространственной переменной определялась параболическим потенциалом, V{r) = аг2 и периодическим потенциалом вида V(г) — V cos кг.
Отметим, что исследованиям по точно решаемым нестационарным моделям предшествовали работы Фока [50], Ландау [6] и Джонсона и Липпма-на [107] в пространственно однородном магнитном поле. Проблема ионной ловушки в однородном магнитном поле и зависящем от времени квадру-польном электрическом была точно решена в [12] посредством сведения к осцилляторному потенциалу.
В нашем подходе, основанном на преобразовании стационарных точно решаемых задач в нестационарные, зависимость как от пространственной так и от временной переменной более сложная, класс стацинарных точно решаемых задач весьма обширен. Каждый из соответствущих гамильтонианов может быть источником для целого семейства зависящих от времени гамильтонианов, допускающих точные решения. При этом существует возможность коиструровать гамильтонианы с заданными свойствами. В частности, в главе 3 мы рассмотрели примеры гамильтонианов с различной функциональной зависимостью от времени, для которых математические ожидания и плотность вероятности не зависят от времени. Это свойства, характерные для динамической локализации. Таким образом, одно РІЗ применений данного подхода - это моделирование квантовых систем таких как потенциальные ямы, проволоки со свойством динамической локализации. Другое важное применение, которое будет представлено в разделе 4.5, -это квантовые вычисления на основе точно решаемых моделей. Покажем, как можно использовать подход для изучения геометрических фаз.
Очевидно, что геометрическая фаза определяется средним значением спина &1 вдоль оси вращения. Имеет место, так называемое, выстраивание спина. Если alv = 0, изменение угла динамической фазы через период определяется как Д, = EVT\ соответственно, геометрическая фаза есть (рги = тг. (Например, во втором случае прямое вычисление дает а% = 0). То есть изменение геометрической фазы через п периодов равно тт. Это означает, что для четного числа периодов п — 2,4,6,..., tp), кратно 2-к, PI геометрическая фаза Берри не оказывает влияния на зависящие от времени периодические решения. Это свойство - стационарных решений. Как видно из (4.54) для нечетного числа периодов волновая функция меняет знак. Если через период агу = 1/2, то геометрическая фаза іргр для нечетного числа периодов п = 1,3,5,... кратна 7г/2, то есть p\, = п7г/2; а для четного числа периодов п = 2,4, 6,... (рги = птт кратна 7г, и для п = 4, 8,12... геометрическая фаза снова не влияет на периодические решения. Так что квантование фазы Берри связано с квантованием спинового выстраивания и важно для физики с высокими значениями спинов (см. [82, 105]).
Похожие диссертации на Исследование динамических квантово-механических систем методами обратной задачи рассеяния
