Введение к работе
Актуальность темы, Линейные и нелинейные дифференциальные уравнения являются, как известно, основным инструментом математи-* ческого описания разнообразных физических явлений. Резвитие методов решения и анализа дифференциальных уравнений, в особенности нелинейных уравнений, представляет поэтому одну из важнейших задач математической физики.
Особую роль в теории нелинейных волн играют системы уравнений, которые принято называть универсальными. Среди одномерных гамильтоновых систем к универсальным относятся уравнения Лорте-вега - де Фриза, нелинейное уравнение Шредингэра и системі трехволнового резонансного взаимодействия.
"Универсальность" этих систем означает, что они описывают подклассы решений волновых уравнений общего типа, когда последние удовлетворяет весьма слабым ограничениям. Так, например, нелинейное уравнение Шредингера описывает эволюцию во времени кваэи-монохроматической волны малой амплитуды в среде с дисперсией. По этой причине понятен интерес, который вызывают универсальные системы.
Изучению одномерных интегрируемых систем посвящена обширная литература. Эти системы оказались вполне интегрируемыми и попали под действие классического метода обратной задачи рассеяния. Это обстоятельство закономерно. Напротив, удивительным фактом была бы их неинтегрируемость,так как интегрируемость универсальных систем следует из существования одной единственной интегрируемой системы достаточно общего положения [1]..
Универсальные системы существуют в пространстве любой размерности. В двумерном случае прямыми аналогами вышеупомянутых одномерных систем являются, соответственно, уравнения Кадомцева-Петвиашвили СКТО, системы уравнений Дэви-Стюартсона СДО и система уравнений трехволнового резонансного взаимодействия. Их изучение следовало бы провести с той же степенью подробности, что и в случае их одномерных аналогов.
В последнее время получен ряд результатов, относящихся к вопросу о решении задачи Коши для двумерных нелинейных уравнений. Двумерный «етод обратной задачи получил формулировку столь жэ эффективную как в одномерной ситуации, если задача Коши решается в
- і -
классе достаточно быстроубывающих ка бесконечности функций. Открытыми оставались вопросы редукций вспомогательных спектральных задачах, вопрос о полной интегрируемости. Не была решена задача о"тождествах следов" и задача об асимптотическом поведении решений на больших временах и связи этих решений с начальным:! условиями задачи Коши.
В настоящей диссертации получены асимптотические при больших временах решения уравььчия КП-1 и систем уравнений ДС. Предложен метод вычисления скоблк Пуассона в пределе |t|* оо. Показано, что уравнение КП-1 и система уравнений ДС-ІІ являются вполне интегрируемыми гамильточовыми системами. Для них предъявляются переменные типа действие-угол. Це).ь работы. Целью диссертации является:
-
Получение асимптотических при больших временах решений уравнения уравнения КП-1 и систем уравнений ДС.
-
Построение переменных действие-угол вышеупомянутых систем нелинейных уравнений -по полученным асимптотическим решениям.
-
Изучение редукций во вспомогательных спектральных задачах, приводящих к решениям нелинейных уравнений с заданными свойствами Снапример, вещественные решения уравнения КП-1 ).
-
Решение задачи о тождествах следов во вспомогательных спектральных задачах. Получение производящих функций счетных наборов интегралов движения нелинейных систем уравнений, ассоциированных с этими вспомогательными задачами.
3. Построение производящего функционала канонического преобразования, описывающего процессы рассеяния в 1+1-мерной системе трех-волнового резонансного взаимодействия. . Научная новизна.
-
Получены асимптотические решения при больших временах, отвечающие в достаточной степени произвольным начальным условиям. Эти решения получены в терминах данных рассеяния, относящихся к моменту времени L = 0.
-
Доказана полная интегрируемость в гамильтоновом смысле уравнения Кадомцева-Петвиашвили - I и системы уравнений Дэви-Стюарт-сона -11. Переменные действие-угол получены методом временных асимптотик.
-
Изучены редукции вспомогательных спектральных задач, ассоциированных с нелинейными системами уравнений, исследованными в
- s -
диссертации.
4. Изучены особенности матричной 2x2 нелокальной задачи сопряжения, ассоциированной с ДС-1.
3. Найдены производящие функции интегралов движения рассмотренных систем нелинейных уравнений.
6. Производящий функционал канонического преобразования, описывающий процессы рассеяния в 1+І-мерной системе трех-волнового резонансного взаимодействия получен в явном виде. Кваэиклассическая N-частичная S-матрица частицеподобных решений -солптонов факторизуется по двухчастичным.
Практическая и теоретическая ценность работы. Результаты диссертации применимы для анализа широкого круга нелинейных явлений в диспергирующих средах, поскольку получены в рамках нелинейных уравнений, имеющих универсальный характер. Методы получения спектральных данных вспомогательных линейных задач и тождеств следов в этих задачах могутбыть применимы к другим спектральным задачам. Разработанный математический аппарат может быть использовзн для развития теории плазмы, гидродинамики, нелинейной оптики, Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на Всесоюзной конференции "'Комплексный анализ и дифференциальные уравнения" в Черноголовке 1985, 1987 гг., Рабочем совещании "Со-литоны" в Юрмале в 1986 г., на третьем международном совещании но нелинейным эволюционным уравнениям и динамическим системам в Италии в 1985 г.
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав с раздельной нумерацией параграфов, заключения и списка литературы из 65 наименований. Объем диссертации - 92 страницы. Публикации. По теме диссертации опубликованы три научные работы.
