Введение к работе
Актуальность работы.
Описание процесса теплопереноса остается одной из фундаментальных проблем кинетической теории газов. Изучение указанного явления представляет интерес, как с теоретической точки зрения, так и в плане практического приложения. Анализ распределения температуры и плотности газа необходим, к примеру, при исследовании теплофизических свойств вещества, разработке и моделировании различных технологических процессов, проектировании оборудования и т.п. Данные, полученные по измерению потока тепла от нагретого тела, могут быть использованы для определения характера взаимодействия молекул газа с его поверхностью. Интенсивные космические исследования, совершенствование авиационной и ракетно-космической техники вызвало повышенный интерес к проблеме механики разреженного газа, в частности, к более глубокому исследованию законов тепло-массообмена при больших степенях разрежения газа. Изучение теплопереноса в разреженных газах требуют также многие отрасли современной промышленности - электронная, радиотехническая, атомная, оптическая, металлургическая и др.
Определяющую роль при теоретическом описании указанного явления играет число Кнудсена Кп = A/L, здесь Л - средняя длина свободного пробега
молекул газа, L - характерный размер задачи. При L» А состояние газа определяется уравнениями динамики сплошной среды, для решения которых разработан широкий арсенал аналитических и численных методов. В случае, когда средняя длина свободного пробега молекул газа сравнима или больше характерной длины, фигурирующей в задаче, необходим учет дискретности строения газа, что требует рассмотрения кинетического уравнения.
Впервые математически корректный способ решения этого уравнения в приложении к задачам теплопереноса был предложен Лизом [1]. Основу данного метода составляет идея о сведении кинетического уравнения к системе уравнений переноса, для замыкания которой Лиз использовал двухстороннюю (четы-рехмоментную) функцию распределения. Такой алгоритм позволяет удовлетворить всем необходимым законам сохранения при использовании в функции распределения минимального числа моментов и делает возможным решение задачи в аналитической форме. Однако стандартный подход к реализации этого метода дает заниженное значение коэффициента скачка температуры. Другим принципиальным недостатком метода Лиза является произвол в выборе моментов функции распределения с одной стороны и составлении системы момент-ных уравнений - с другой. Можно показать, что использование различных наборов функций скорости может приводить к разным, а иногда и просто бессмысленным результатам. Более последовательным в данном отношении следует признать использование одного и того же набора разрывных функций скорости для составления функции распределения и моментных уравнений, как в методе полупространственных моментов [2].
В настоящее время для решения рассматриваемого класса задач также используется вариационный принцип, метод квадратур, непосредственное чис-
ленное интегрирование и прямое моделирование. Недостатком перечисленных методов является отсутствие в большинстве случаев объективного критерия точности получаемых результатов.
Необходимо отметить, что многие авторы ограничиваются рассмотрением атомарных газов, тогда как большинство реальных экспериментов проводится в молекулярных газах, что требует учета внутренних степеней свободы.
Указанные обстоятельства определяют актуальность разработки иного подхода к решению кинетического уравнения, применимого к молекулярным газам и наиболее оптимального с точки зрения точности и вычислительных затрат.
В представленной диссертации развивается аналог метода полупространственных моментов. Критерием точности является сходимость результатов при последовательном увеличении числа моментов, удерживаемых в функции распределения, а также возможность вычисления коэффициента скачка температуры и сравнение его с точным значением.
Следует заметить, что определение коэффициента скачка температуры (задача Смолуховского) представляет самостоятельный интерес. В настоящее время эта задача достаточно детально исследована для одноатомных газов. В приложении к молекулярным газам аналитическое решение получено только для модельного кинетического уравнения релаксационного типа [3].
Дополнительно следует отметить и тот факт, что все численные расчеты проводятся для конкретных значений коэффициентов аккомодации энергии, что затрудняет сравнение с экспериментом. Поэтому особую актуальность представляет определение аналитических выражений, которые задают зависимость потока тепла от характера аккомодации энергии.
Целью работы является разработка метода решения кинетического уравнения, обеспечивающего необходимую точность вычислений, и его приложение к теоретическому описанию процесса теплопереноса в молекулярных газах во всем диапазоне значений числа Кнудсена.
Научная новизна работы.
Развит метод решения кинетического уравнения в приложении к задачам вычисления потока тепла в молекулярном газе для случая плоской, сферической и аксиальной геометрии.
Предложен алгоритм построения функции распределения, позволяющий получить необходимую точность результатов.
Для задач теплопереноса между параллельными пластинами и от одиночной сферы получены общие (не зависящие ни от формы кинетического уравнения, ни от способа его решения) соотношения, определяющие в линейном приближении зависимость потока тепла молекулярного газа от коэффициентов аккомодации энергии.
Впервые из решения уравнения Ван Чанга - Уленбека с интегралом столкновений в форме Хансона - Морзе получены значения коэффициентов скачка температуры для конкретных молекулярных газов.
Достоверность результатов определяется корректностью постановки и решения рассматриваемых задач. Все аналитические выкладки проведены в па-
кете Maple с использованием тщательно выверенных и протестированных процедур. При численных расчетах использованы стандартные вычислительные алгоритмы с контролем точности. Полученные результаты согласуются между собой, а также с экспериментальными и теоретическими данными других авторов.
Практическая значимость.
Предложенный алгоритм решения кинетического уравнения может быть использован для решения других задач физической кинетики, в частности при описании состояния электронов в твердых телах и плазме, изучении переноса нейтронов в ядерных реакторах, фононов в сверхтекучих жидкостях и т.п.
Результаты диссертации могут найти непосредственное применение при обработке экспериментальных данных по измерению потока тепла от нагретого тела и определении коэффициентов аккомодации энергии.
Полученные в диссертации значения коэффициентов скачка температуры для конкретных газов могут быть использованы при теоретическом изучении явления термофореза, обтекания нагретого тела разреженным газом, процессов тепломассопереноса и т.п.
Положения, выносимые на защиту:
метод решения кинетического уравнения, позволяющий получить необходимую точность результатов;
результаты решения кинетического уравнения в задачах теплопере-носа в плоском, сферическом и цилиндрическом слоях молекулярного газа во всем диапазоне числа Кнудсена;
соотношения, определяющие зависимость потока тепла от характера аккомодации энергии;
значения коэффициента скачка температуры для конкретных молекулярных газов.
Апробация работы.
Результаты диссертации представлялись на IX Международной научно-практической молодежной конференции "Человек и космос. 50-летие космической эры". (Украина, Днепропетровск, 2007 г.); X, XI Международных молодежных научно-практических конференциях "Человек и космос" (Украина, Днепропетровск, 2008, 2009 гг.); 14 и 15 Всероссийских научных конференциях студентов-физиков и молодых ученых (ВНКСФ - 14, 15), (Уфа, 2008, 2009); Всероссийской конференции по математике и механике (Томск, 2008); Международной конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложений, посвященной 70-летию В.А. Садовничего" (Москва, 2009). А также докладывались и обсуждались на заседаниях и на научных семинарах кафедры "Теоретической физики и математического моделирования" Орловского государственного университета, кафедре "Высшей математики" Орловского государственного технического университета и кафедре "Теоретической физики" Московского государственного областного университета.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 15 работ, включающих 9 статей в научных журналах и сборниках научных работ, 6 тезисов докладов на научных конференциях как всероссийского, так и международного уровня; в
том числе работ, опубликованных в ведущих рецензируемых журналах, определенных ВАК РФ, - 3.
Личный вклад автора в публикациях состоит в следующем: выполнены теоретические исследования, проведено сравнение теоретических и экспериментальных данных, предложена интерпретация полученных результатов, подготовлен материал для публикации в открытой печати и на конференциях.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 127 наименований и приложений. Содержит 26 рисунков и 4 таблицы. Объем работы составляет 104 страницы.
