Содержание к диссертации
Введение
2 Точные рациональные решения уравнения Нижника- Веселова-Новикова. Случай простых полюсов 33
2.1 Применение схемы метода <9-одевания к уравнению NVN 33
2.2 Рациональные решения уравнения NVN при а = 1 40
2.3 Рациональные решения уравнения NVN в случае а = г 52
3 Новые точные решения двумерного интегрируе мого уравнения синус-Гордон, генерируемые нетри виальными сингулярными границами . 68
3.1 Точные решения одномерного уравнения Клейна- Гордона 71
3.2 Локализованные решения двумерного уравнения синус-Гордон (2DSGI), генерируемые нетривиальными сингулярными границами 75
4 Точные рациональные решения уравнения Веселова- Новикова. Случай кратных полюсов 81
4.1 Рациональные несингулярные решения с полюсами второго порядка уравнения Веселова- Новикова 85
4.2 Рациональные сингулярные решения с полюса ми второго порядка уравнения Веселова-Новикова 89
- Рациональные решения уравнения NVN при а = 1
- Рациональные решения уравнения NVN в случае а = г
- Локализованные решения двумерного уравнения синус-Гордон (2DSGI), генерируемые нетривиальными сингулярными границами
- Рациональные сингулярные решения с полюса ми второго порядка уравнения Веселова-Новикова
Рациональные решения уравнения NVN при а = 1
Все такие решения, очевидно, сингулярны. В простейшем случае N = 1, (Лі, Лг) = (Лі, —Лі), Х(±\{) = Х(Х\) из (2.2.38) получается следующее выражение для матрицы Apq: Для решения (2.29) в этом случае получается очень простая формула (2.41) Полученное решение при t = 0 иллюстрирует Рисунок 2.1. Оно имеет сингулярность типа полюса второго порядка на прямой -Х (Лі) = 0, которая перемещается в плоскости (,77) в направлении If — (1, e/Xi) с постоянной скоростью Общее решение (2.29) при Л/" 1 является суперпозицией простых решений вида (2.41) с сингулярностями типа полюса второго порядка, которые упруго взаимодействуют друг с другом. Продемонстрируем это на примере взаимодействия двух XI Рис. 2.1. Простейшее сингулярное решение (2.41); є = 1, простейших решений вида (2.41), рассмотрим для этого ядро (2.33) в виде суммы двух пар членов (N = 2): этом матрица (2.38) имеет вид Путём несложных вычислений для определителя матрицы А в этом случае получается следующее выражение: Решение уравнения Нижника находится по общей формуле (2.29):
Очевидно, что решение (2.2.41а) описывает упругое взаимодействие двух простейших решений (2.2.41), локализованных вдоль линий Х(Х{) = 0 и Х(А2) = 0. Другое простейшее дельтаобразное ядро RQ д -проблемы (1.1), удовлетворяющее условию вещественности (2.22), имеет вид (2.42) с N парами (iaK, —iaK) чисто мнимых (щ = ак) точек, расположенных симметрично относительно начала координат на мнимой оси комплексной плоскости. Здесь Ак — АК1 В к = Вк - некоторые вещественные постоянные, произвол в выборе которых может быть использован для удовлетворения условия потенциальности (2.24) или (2.30). Удобно записать ядро RQ (2.42) в компактной форме типа (2.25), где наборы констант А и точек А вводятся согласно формулам: В этом случае можно показать, что условие потенциальности (2.30) удовлетворяется, если константы Ак и Вк в выражении (2.42) связаны условием: Это условие (2.44) автоматически выполняется при следующем выборе вида констант: 1/Ак = ак — 1/(2ак), l/BK = ак + 1/(2ак) с произвольными вещественными постоянными ак] в терминах наборов Л и Л последние соотношения принимают вид: Рациональные решения, как и в предыдущем случае, могут быть представлены в простой детерминантной форме (2.29) с матрицей А следующего вида: где и постоянные ар образуют набор В простейшем случае N = 1, Л = (гаї, —Ш\) по формуле (2.46) получаем : и Это решение при t = 0 иллюстрирует Рисунок 2.2. Оно, как и в предыдущем случае, имеет сингулярность типа полюса второго порядка на прямой X{Xi) = О, которая перемещается в плоскости (,77) в направлении rt = (1, —є/af) с постоянной скоростью Как и в предыдущем случае, общая формула (2.29) при N 1 даёт суперпозицию простых решений (2.49), которые упруго взаимодействуют между собой. В результате применения метода d-одевания помимо точных решений уравнения NVN (2.1) также вычисляются собственные функции - точные решения линейных вспомогательных задач (2.16), первая из которых является классическим уравнением Клейна-Гордона. Для собственных функций, удовлетворяющих этому уравнению в соответствии с (2.15) имеем следующие выражения: или где х(Л) удовлетворяет уравнению (2.19) и х(Лр) удовлетворяет системе (2.27). Точными решениями линейных задач являются также произвольные линейные комбинации решений вида (2.50) и/или (2.51). В обоих вышеописанных простейших случаях ядра RQ (2.33) и (2.42) собственные функции, удовлетворяющие уравнению Клейна-Гордона, могут быть представлены, в соответствии с (2.32), в виде: для первого (Ai-вещественные) и второго (гаї- чисто мнимые) случаев соответственно.
Для рассмотренных выше ядер 7 (2.33) и (2.42) соответствующие решения уравнения (2.1) и собственные функции tjj сингулярны. Для построения несингулярных решений необходимо выбрать более сложный набор Л = (Лі,Л2, ) точек комплексной плоскости, в которых дельтаобразное ядро RQ отлично от нуля. Идея выбора такого ядра достаточно проста и очевидна. Стартуем с двух членов Ак 5 (/і — А ) 8(Х — Хк) + Вк5(/л + Хк) 8(Х + Хк) в ядре і?о, которое имеет при этом отличные от нуля значения в двух точках комплексной плоскости "Ак"и "—Хк". Затем добавим новые члены таким образом, чтобы полученное ядро удовлетворяло условию вещественности (2.22). Условие вещественности (2.22), очевидно, удовлетворяется при добавлении к ядру RQ ещё двух членов Ак 8(/л + Хк) 5(Х + Аге) + Вк 5(/i - Хк) 5(Х - Хк). Рассмотрим полученное таким образом дельтаобразное ядро, более сложное, чем (2.33) и (2.42), удовлетворяющее условию вещественности (2.22): с N квартетами точек комплексной плоскости (Ал, — Ак, — Хк, +АК), причём точки каждого квартета расположены симметрично относительно начала координат и/или относительно вещественной и мнимой осей. Очевидно, ядра (2.33) и (2.42) являются частными (вырожденными) случаями ядра (2.54). Постоянные Ак и Вк в (2.54) опять-таки могут быть выбраны таким образом, чтобы удовлетворялось условие потенциальности (2.24) (или (2.30)). И в этом случае возможно и удобно переписать выражение для ядра (2.54) в компактной форме типа (2.25), при этом наборы констант А и точек Л задаются формулами: Достаточно длинные и трудоёмкие вычисления показывают, что условие потенциальности (2.30) для ядра (2.54) удовлетворяется, если постоянные Ак и Вк в (2.54) связаны условием: В свою очередь, условие (2.56) автоматически выполняется, если константы выбраны в виде с произвольными вещественными ак. В более компактных терминах наборов А и Л, определённых формулой (2.55) а также с помощью набора а, который введём по формуле
Рациональные решения уравнения NVN в случае а = г
Совершенно аналогично случаю а = і предыдущего раздела можно исследовать версию Веселова-Новикова (а = і) уравнения Нижника-Веселова-Новикова. Кроме а = г, в этом случае для получения из (2.1) уравнения Веселова-Новикова принимается также, что к\ = 7 = к- Условию вещественности (2.23) удовлетворяет, например, следующее дельтаобразное ядро RQ Э-пробл емы (1.1): Для упрощения вычислений наложим дополнительные условия на расположение точек Хк: В этом случае для ядра Щ (2.63) получается более простое выражение: До(м,Р;А,Л) = 1:{Ак8(11-Хк)5(Х-Хк)+ 5(1л+Хк)5(Х+Хк)], которое входят N пар точек комплексной плоскости (Ак, — Ак), расположенных симметрично относительно начала координат. Величины Ак в (2.65) представляют собой некоторые произвольные комплексные постоянные, произвол в выборе которых может быть использован для удовлетворения условия потенциальности (2.24) (или (2.30)).
Ядро RQ может быть записано в более удобной компактной форме (2.25) со следующими наборами постоянных А и точек Л: где Хк должны удовлетворять условию (2.64). Довольно просто убедиться, что условия потенциальности (2.24) или (2.30) для ядра (2.65) удовлетворяется, если постоянные Ак и Вк := ХКАК/ХК в (2.65) связаны следующим условием: Соотношения (2.67) удовлетворяются при следующей удобной параметризации постоянных 1/AK, l/BKJ приводящей к выпол нению условия потенциальности: Здесь ак - комплексные постоянные, удовлетворяющие (вследствие определения Вк := ХКАК/ХК) условию акХк/Хк = ак. Соответственно, в терминах наборов А, Л и набора а, который определяется согласно формуле соотношения (2.68) могут быть представлены в виде Матрица Apq (2.28), входящая в общую детерминантную формулу решения (2.29), в соответствии с (2.5), (2.28) и (2.70) имеет вид: являются вещественными в соответствии с соотношением (2.64) и тем фактом, что акХк/Хк = ак. Рациональные решения, соответствующие ядру RQ типа (2.65), по-прежнему вычисляются по общей формуле (2.29), в которой f = z = х + гу, г] — z — х — iy: В простейшем случае N = 1 и (Лі,Л2) = (Ль —Лі) из (2.71) для матрицы А и её детерминанта получаются следующие выражения: где, в соответствии с (2.64) и (2.72), AiX(Ai) := X- z + X\Z + 3(/ Л + кЛі )t — йіЛі. Для решения (2.73) в этом случае получается достаточно простая формула : Полученное решение при = 0 иллюстрирует Рисунок 2.4.
Оно имеет сингулярность типа полюса второго порядка на прямой Х(Х\) = 0, которая перемещается в плоскости (ж, у) в направлении с постоянной скоростью Соответствующая волновая функция ip(z,z: t) двумерного стационарного уравнения Шрёдингера (первой линейной вспомогательной задачи (2.16)) Решение (2.75) и волновая функция (2.77) являются сингулярными с сингулярностью вдоль линии Х{\\) = 0 в плоскости {хуу). Сингулярность волновой функции (2.77) имеет характер полюса первого порядка и распространяется в плоскости (ж, у) с постоянной скоростью, совпадающей со скоростью движения решения U (2.75). Отметим, что волновая функция (2.77) содержит произвольный комплексный параметр Л. Более общие решения уравнения NVN, получаемые по формуле (2.73) (при N 1) являются суперпозицией простых, сингулярных вдоль некоторых линии, упруго взаимодействующих решений типа (2.75). Продемонстрировать этот факт можно вполне аналогично тому, как это сделано в предыдущем разделе для случая Нижника (а2 = 1) уравнения NVN. Другое простейшее дельтаобразное ядро RQ, удовлетворяющее условию вещественности (2.23), может быть получено следующим образом. Стартуем с простейшего члена RQ = Ак 5(fi— \к)5(\ — АД требование удовлетворения условия вещественности (2.23) добавляет к нему следующий член:
Локализованные решения двумерного уравнения синус-Гордон (2DSGI), генерируемые нетривиальными сингулярными границами
В этом разделе, используя общие формулы (3.7),(3.8) и точные выражения для ip(z:t) (Х(,), Y(?],)), взятые из простейших примеров, рассмотренных в предыдущем разделе 3.1, получим соответствующие точные решения двумерного уравнения синус-Гордон (2DSGI). Начнём с нетривиальных границ (внешних полей) Ui(r],t), 1/2( , t) в уравнении (3.3), которые в соответствии с соотношениями (3.9) и (3.13) задаются формулами: Соответствующие волновые функции, решения уравнений (3.6), в силу (3.12) могут быть выбраны в виде: которое, очевидно, представляет собой локализованное решение уравнения синус-Гордон (2DSGI) бризерного типа. Бризер движется в плоскости (,77) с постоянной скоростью V = (—е2/А2, — єі/Af). На Рисунке 3.1 приведён вид этого бризерного решения при t = 0. Для внешних полей (границ) Ui(rj,t), /г(, ) уравнения (3.3), задаваемых в соответствии с (3.9), (3.16) формулами волновые функции - решения уравнений (3.6), выбираем в виде (3.14): Выбирая k, ctk(k = 1,2) в (3.26) таким образом, чтобы выполнялось условие из (3.26) получаем решение уравнения 2DSGI в следующем виде: где введены волновые переменные := — єг/се , f) := rj — Єї/aft. Эта формула представляет собой точное решение уравнения 2DSGI в виде настоящего двумерного кинка. Этот кинк движется в плоскости (,77) с постоянной скоростью Рисунок 3.2 демонстрирует данный двумерный кинк (3.28) в момент времени t = 0. Рис. 3.2. Двумерный кинк - решение (3.28) уравнения 2DSGI; р
В качестве последнего в этом разделе, более сложного примера рассмотрим границы (внешние поля) U\{,t) и U2(rj,t) в (2.1) вида (3.18): где х — Лг/Лі, у = /іг/ і и ь И определены по формулам, в точности повторяющим (3.19): (3.31) Соответствующие этим границам (внешним полям) решения Х(,),У(?7, t) уравнений (2.3) выберем вещественными - как специальные линейные комбинации четырёх функций, задаваемых формулами (3.20): с Vk и W , определёнными формулами (3.28). Решение уравнения 2DSGI (3.3) с нетривиальными краевыми условиями (3.29) и (3.30) в соответствии с формулами (3.7) и (3.8) имеет вид: где функции X(,t) и Y(?7,) заданы формулами (3.32). Это решение является нелинейной суперпозицией четырёх простых решений бризерного типа вида (3.23). Рисунок 3.3 иллюстрирует взаимодействие четырёх бризеров - решений уравнения 2DSGI в момент времени t — О, значения параметров, входящих в (3.33) приняты такими: р = l,oi = 62 = —Ь\ = —»2 — 50, Л2 = Ц2 = 2, Лі = jii = 1. Таким образом, в данной главе построены новые локализованные точные решения уравнения 2DSGI, представляющие в простейших случаях кинки и бризеры, а в более сложном случае - их нелинейную суперпозицию. Точные рациональные решения уравнения Веселова-Новикова. Случай кратных полюсов Проблема исследования решений, соответствующих кратным полюсам волновой функции линейных вспомогатеьных задач, или просто, решений с кратными полюсами, является классической. Эта проблема рассматривалась для 1+1-мерных нелинейных уравнений в целом ряде работ: для фокусирующего нелинейного уравнения Шрёдингера ещё в ранней работе Захарова и Шабата [5] и позже в работе [55], для mKdV уравнения - в работе [56], для уравнения синус-Гордон - в [57, 70]. В случае 2+1-мерных интегрируемых нелинейных уравнений: модель киральных полей в 2+1-измерениях анализировалась с этой точки зрения в [71, 72], в работе [73] обсуждались решения с кратными полюсами для KP-I уравнения, наконец, в работе [74] были получены решения с кратными полюсами, с произвольной рациональной локализацией в плоскости, для DS-II уравнения. Известно несколько подходов для построения решений с кратными полюсами. Популярный трюк при вычислении таких решений, исходя из известных решений с простыми полюсами, состоит в рассмотрении слияния простых полюсов [5]. Решения с кратными полюсами получали с помощью метода Хи-роты и с помощью детерминантов Фредгольма [57], а также с использованием техники Вронскианов [74]. В рамках МОЗ эти решения были получены решением интегральных уравнений Гельфанда-Левитана-Марченко [55, 56, 70] или сингулярных интегральных уравнений проблемы Риман а-Гильберта [5, 73]. Данная глава диссертации показывает на примере уравне ния Веселова-Новикова, насколько удобным и перспективным является вычисление точных решений с кратными полюсами для 2+1-мерных нелинейных уравнений с помощью метода д-одевания Захарова и Манакова (см. [40, 41, 42] и [43, 44, 45], а также [46, 47]).
Вернёмся к изложенной в первой главе общей схеме метода 5-одевания применительно к NVN уравнению. В данной главе рассматривается случай Веселова-Новикова (VN) (1.48): Ut + KUZZZ + ШІтва + Зфд; + m{UdqlUz)z = 0, (4.1) где U(Z)Z, t)- скалярная функция, НІ - произвольная комплексная константа; z = х + гу, z = х — гу, dz \= \{дх — idy), dz .= \{дх + іду), дх := -, ду := -, операторы д 1,д 1 означают операторы, обратные dz, с\, то есть d ldz = ct" -1 = 1, при этом, как и во второй главе диссертации, общая схема метода 9-одевания Захарова и Манакова применена к вычислению точных рациональных решений этого уравнения с постоянными асимптотическими значениями на бесконечности (1.49): \z\— oo К рациональным решениям уравнения VN (4.1) с кратными полюсами волновой функции линейных вспомогательных задач приводит, например, ядро RQ «9-проблемы (1.1) в виде суммы произведений комплексных дельта-функций и их производных (1.18): (4.2) Подстановкой ядра RQ (4.2) в общие формулы (1.16) и (1.17) для коэффициентов Х0: Х-1 разложений функции х в ряды Тейлора получаются простые детерминантные формулы (1.20), (1.21). Приведём их здесь ещё раз:
Рациональные сингулярные решения с полюса ми второго порядка уравнения Веселова-Новикова
В данном разделе представлены результаты вычисления рациональных сингулярных локализованных решений с кратными полюсами второго порядка и постоянными асимптотическими значениями —с на бесконечности уравнения Веселова-Новикова (4.2) и соответствующих точных рациональных сингулярных потенциалов u(x,y,t) = U(x,y,t) + є двумерного стационарного уравнения Шрёдингера (2.16) для случая є О (или положительных значений энергии Е = — є 0 в терминологии квантовой механики). Ядро RQ -проблемы (2.1), удовлетворяющее условию вещественности (2.23), зададим, как и в предыдущем разделе 3.3, формулой (4.2). Для упрощения вычислений, как и в предыдущем разделе, введём дополнительные ограничения на точки Xk множества Л, но теперь вида: (4.21) соответствующие расположению всех точек множества Л (4.11) на окружности радиуса J\e\. Очевидно, введённые ограничения соответствуют положительным значениям энергии Е = —е = Afc 0 стационарного уравнения Шрёдингера. В этом случае, как и в разделе 3.3, удаётся получить в явном виде довольно простые формулы для точных рациональных решений с кратными полюсами второго порядка уравнения Веселова-Новикова (4.1) и соответствующих точных рациональных потенциалов и = U + є двумерного стационарного уравнения Шрёдингера (2.16).
Проделав, как и в разделе 3.3, довольно громоздкие вычисления, можно показать, что условие потенциальности (4.9) выполняется для ядер типа (4.10) с ограничениями (4.21), если константы Ак и Вк ядра і?о (4-Ю) удовлетворяют следующим условиям: Вк Ak 2 Ak Bk Важно подчеркнуть, что соотношения (4.22) сохраняются при изоспектральных деформациях оператора L\ первой линейной вспомогательной задачи (2.16), задаваемых второй линейной вспомогательной задачей (2.16) Ьуф — 0. Из (4.22) можно получить следующее удобное представление для параметров Ak и Вк ядра R0: г с вещественными константами тк- Для простейшего случая одного квартета (N = 1) в сумме (4.10) вычисления по формулам В последних формулах Лі = Ад + А/, и, как и в предыдущем разделе, в силу имеющегося произвола в определении функции F(X) (1.6) в ядре « -проблемы (1.5), вместо координат х и у введены сдвинутые на постоянные величины переменные х — XQ И у уо- Скорости Ki, и 1 2 в (4.27), определяемые выражениями: в силу (4.25) являются чисто вещественными. Из (4.26) по формуле (4.8) получается следующее рациональное сингулярное решение уравнения Весел ова-Новикова (4.1), соответствующее волновым функциям линейных вспомогательных задач (2.16) с полюсами второго порядка и имеющее постоянное асимптотическое значение — є на бесконечности: Это решение также терпит разрыв в точке z = х + гу = О и перемещается в плоскости (х,у) со скоростью V = (14,). Иллюстрация решения (4.29) приведена на Рисунке 4.2. Соответствующий точный рациональный сингулярный потенциал двумерного стационарного уравнения Шрёдингера (2.16) даётся формулой и = U(x, у, t) 4- б. Заметим, что волновые функции уравнения Шрёдингера, соответствующие всем построенным в этой главе точным решениям уравнения Веселова-Новикова, могут быть вычислены, как было показано в первой главе, по формуле (1.37).
Таким образом, в данной главе диссертации с помощью метода (9-одевания разработана схема получения точных рациональных решений двумерного уравнения Веселова-Новикова и точных рациональных потенциалов двумерного стационарного уравнения Шрёдингера, соответствующих волновым функциям уравнения Шрёдингера с кратными полюсами. В качестве примера вычислены новые точные рациональные несингулярные и сингулярные решения уравнения Веселова-Новикова и соответствующие точные рациональные потенциалы двумерного стационарного уравнения Шрёдингера с волновыми функциями с полюсами второго порядка. Кратко сформулируем основные результаты, полученные в диссертации. 1. С помощью метода -одевания, основанного на нелокальной -проблеме, построены точные решения уравнения NVN, соответствующие волновым функциям линейных вспомогательных задач с простыми полюсами, именно, рациональные несингулярные и сингулярные решения, представляющие собой локализованные лампы [76, 77]. 2. В то же время полученные решения являются точно решаемыми потенциалами двумерного стационарного уравнения Шрёдингера и одномерного уравнения Клейна-Готрдона. Найдены соответствующие собственные (волновые) функции указанных уравнений [76, 77]. 3. Построены новые точные решения двумерного нелинейного эволюционного уравнения синус-Гордон, генерируемые нестационарными границами [69]. 4. С помощью метода 9-одевания разработана схема получения точных рациональных решений двумерного уравнения Веселова-Новикова и точных рациональных потенциалов двумерного стационарного уравнения Шрёдингера, соответствующих волновым функциям уравнения Шрёдингера с кратными полюсами. [84, 83, 81, 82]. 5. В качестве примера вычислены новые точные рациональные несингулярные и сингулярные решения уравнения Веселова-Новикова и соответствующие точные рациональные потен
