Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Метод частичных функций распределения и асимптотические разложения 9
1. Функции распределения и корреляционные функции в равновесной статистической физике 9
2. Метод производящего функционала и асимптотические разложения 17
3. Модельные потенциалы взаимодействия 21
Глава 2. Асимптотические разложения решений уравнения Н.Н.Боголюбова 26
4. Введение малого параметра в уравнение Н.Н.Боголюбова. 26
5. Разложения, описывающие газовую фазу . 32
6. Асимптотические разложения для систем с большой плотностью 42
7. Уравнение Власова 50
Глава 3. Приближенные уравнения состояния для модельных систем 59
8. Термическое и калорическое уравнения состояния для бесконечных систем взаимодействующих частиц 59
9. Модель системы частиц с потенциалом взаимодействия типа Морса 62
10. Дискретная модель с фазовым переходом . 68
Глава 4. Ван-дер-ваальсовский предельный переход в методе производящего функционала 73
11. Ван-дер-ваальсовский предельный переход в уравнении Н.Н.Боголюбова 74
12. Предельные термодинамические функции 80
13. Термодинамический и ван-дер-ваальсовский предельный переход 85
14. Одномерные системы с фазовым переходом 89
Заключение 95
Литература 99
- Функции распределения и корреляционные функции в равновесной статистической физике
- Асимптотические разложения для систем с большой плотностью
- Термическое и калорическое уравнения состояния для бесконечных систем взаимодействующих частиц
- Ван-дер-ваальсовский предельный переход в уравнении Н.Н.Боголюбова
Введение к работе
В равновесной статистической механике наиболее трудной и интересной является проблема фазовых переходов. Описание СОСТОЯНИЙ систем взаимодействующих частиц во всем интервале температур и плотностей требует СЛОЖНОЙ и достаточно гибкой математической техники, позволяющей рассчитать любое состояние системы, даже вблизи критических точен. Поэтому в настоящее время большое число работ посвящено проблеме фазовых переходов. Представление о сложности создания такой техники и различных подходах к решению ЭТОЙ проблемы можно получить из хорошо известных монографий [1-4] С 9 J. В этих же монографиях даны многочисленные ссылки на оригинальные работы в ЭТОЙ области.
Существуют три наиболее разработанных метода изучения термодинамического поведения систем взаимодействующих частиц:
1) метод статистических сумм ансамблей Гкббса СИ , [5 3 , 2) метод частичных функций распределения и корреляционных функций [ 1 ],[ 5-8 ] ;
3) метод случайных гиббсовских полей 121 , [24] , [48] , [89-91].
Обычно за критерий фазового перехода в системе принимают появление особенностей у термодинамических функций в точнах фазового перехода. В методе статистических сумм все термодинамические функции выражаются через соответствующие статистические суммы или их логарифмы. в котором находятся частицы средняя плотность числа частиц в системе).
Наличие выше приведенного критерия фазового перехода приводят к необходимости совершать термодинамический предельный переход. Так как термодинамические функции конечных систем являются непрерывными функциями интенсивных термодинамических параметров и в окрестности критических точек имеют резкие колебания, которые лишь в термодинамическом пределе дают разрыв (скачок). Таким образом, для исследования фазовых переходов в реальных системах необходимо рассматривать бесконечные системы.
Термодинамические величины определяются как средние значения через частичные функции распределения. Эти средние при одних и тех же термодинамических параметрах могут иметь различные значения, если существуют различные пределы частичных функций распределения. Поэтому в методе частичных функций распределения критерий фазового перехода связывают с неоднозначной разрешимостью уравнений для этих функций. Однако, такие бесконечные системы зацепляющихся уравнений трудны для исследования.
Изучение этих систем упрощается использованием метода производящего функционала, начало которому было положено работой [8 J Н.Н.Боголюбова еще в 1946 году. В момент своего рождения метод производящего функционала не получил широкого признания, лишь с конца 60-х годов, благодаря работам [10-41] , [102 3 произошло его становление и математическое обоснование (в основном в работах Г.И. Назина). Ядром этого метода является уравнение Боголюбова, которое играет в равновесной статистической механике ту же роль, что и уравнение Шредингера в квантовой механике. Это уравнение точно решено для идеального газа, для других моделей уравнение Боголюбова решают приближенно [25] , [27] . Функционалы, удовлетворяющие уравнению Боголюбова, описывают состояние систе - 6 мы при заданных термодинамических параметрах и взаимодействии в системе. Состояния бесконечных систем описывают предельные функционалы, существование которых доказано в ПИ С другими методами описания бесконечных систем можно ознакомиться в работах С 43-481.
Критерий фазового перехода в методе производящего функционала был впервые сформулирован в работе С171 : если уравнение Боголюбова при заданных термодинамических параметрах и взаимодействии в системе имеет одно решение, то оно описывает однофазное состояние системы. Если же уравнение Боголюбова при одних и тех же термодинамических параметрах и взаимодействии имеет несколько решений, то система находится в многофазном состоянии. Этот критерий хорошо согласуется с общими представлениями о фазовых переходах, развитыми в последнее время (см. [1] стр.316). Те термодинамические параметры, при которых уравнение Боголюбова имеет несколько решений, отождествляются с точками фазового перехода.
В настоящее время метод производящего функционала имеет прочный математический фундамент, в его рамках выполнено большое число оригинальных работ, доказана эквивалентность метода производящего функционала и метода гиббсовских случайных полей [18-191 , но несмотря на это, его возможности далеко не исчерпаны.
В диссертации используется метод малого параметра в рамках регулярной теории возмущений для уравнения Боголюбова. Введение этого параметра различными способами позволяет построить асимптотические разложения решений уравнения Боголюбова, тем самым, по -лучить приближенные уравнения состояний некоторых модельных систем. Особый интерес представляют те способы введения малого параметра, при которых предельные уравнения, полученные из уравнения Боголюбова при стремлении малого параметра к нулю, разрешимы неоднозначно. В соответствии с критерием фазового перехода, системы, описываемые такими уравнениями, мы называем асимптотическими моделями с фазовым переходом. Хотя такие модели и не описывают реальных систем, но они проливают свет на механизм фазового перехода в реальных системах. Лучшей иллюстрацией этого являются математические модели, полученные с помощью ван-дер-ваальсовского предельного перехода Г49-681 . Таким образом, применение теории возмущений позволяет раскрыть дополнительные возможности метода производящего функционала.
В первой главе рассматривается метод частичных функций распределения и корреляционных функций. Основные понятия этого метода и уравнения, определяющие функции распределения даны в §1 . В §2 описаны основные положения метода производящего функционала и рассмотрена возможность разложения решения уравнения Боголюбова по малому параметру. В §3 рассмотрены некоторые модельные потенциалы взаимодействия между частицами.
Вторая глава полностью посвящена разложениям решений уравнения Боголюбова по малому параметру, который присутствует в уравнении или вводится каким-либо способом. Дана физическая интерпретация состояниям системы, которые получаются специальным предельным переходом при стремлении малого параметра к нулю. Полученные таким предельным переходом уравнения исследуются на неоднозначную разрешимость с учетом критерия фазового перехода.
В третьей главе рассмотрены модели систем частиц, взаимодействующих посредством бинарного потенциала типа Морса. При выводе приближенных уравнений состояния для таких систем используются результаты, полученные во второй главе.
Четвертая глава посвящена исследованию ван-дер-ваальсовского предельного перехода. Этому предельному переходу было уделено достаточно внимания в литературе [49-68J . В диссертации ван-дер-ваальсовский предельный переход рассматривается в уравнении Боголюбова, что позволило дать не только математическую, но и физическую интерпретацию механизма фазового перехода в системе взаимодействующих частиц. В ЭТОЙ главе рассмотрен совместный термодинамический и ван-дер-ваальсовский предельный переход. Данный подход дал возможность выявить общие черты поведения различных модельных систем при ван-дер-ваальсовском предельном переходе.
Функции распределения и корреляционные функции в равновесной статистической физике
Термодинамические величины определяются как средние значения через частичные функции распределения. Эти средние при одних и тех же термодинамических параметрах могут иметь различные значения, если существуют различные пределы частичных функций распределения. Поэтому в методе частичных функций распределения критерий фазового перехода связывают с неоднозначной разрешимостью уравнений для этих функций. Однако, такие бесконечные системы зацепляющихся уравнений трудны для исследования.
Изучение этих систем упрощается использованием метода производящего функционала, начало которому было положено работой [8 J Н.Н.Боголюбова еще в 1946 году. В момент своего рождения метод производящего функционала не получил широкого признания, лишь с конца 60-х годов, благодаря работам [10-41] , [102 3 произошло его становление и математическое обоснование (в основном в работах Г.И. Назина). Ядром этого метода является уравнение Боголюбова, которое играет в равновесной статистической механике ту же роль, что и уравнение Шредингера в квантовой механике. Это уравнение точно решено для идеального газа, для других моделей уравнение Боголюбова решают приближенно [25] , [27] . Функционалы, удовлетворяющие уравнению Боголюбова, описывают состояние систе - 6 мы при заданных термодинамических параметрах и взаимодействии в системе. Состояния бесконечных систем описывают предельные функ -ционалы, существование которых доказано в ПИ С другими мето -дами описания бесконечных систем можно ознакомиться в работах С 43-481.
Критерий фазового перехода в методе производящего функционала был впервые сформулирован в работе С171 : если уравнение Боголюбова при заданных термодинамических параметрах и взаимодействии в системе имеет одно решение, то оно описывает однофазное состояние системы. Если же уравнение Боголюбова при одних и тех же термодинамических параметрах и взаимодействии имеет несколько решений, то система находится в многофазном состоянии. Этот критерий хорошо согласуется с общими представлениями о фазовых переходах, развитыми в последнее время (см. [1] стр.316). Те термодинамические параметры, при которых уравнение Боголюбова имеет несколько решений, отождествляются с точками фазового перехода.
В настоящее время метод производящего функционала имеет прочный математический фундамент, в его рамках выполнено большое число оригинальных работ, доказана эквивалентность метода производящего функционала и метода гиббсовских случайных полей [18-191 , но несмотря на это, его возможности далеко не исчерпаны.
В диссертации используется метод малого параметра в рамках регулярной теории возмущений для уравнения Боголюбова. Введение этого параметра различными способами позволяет построить асимптотические разложения решений уравнения Боголюбова, тем самым, по -лучить приближенные уравнения состояний некоторых модельных систем. Особый интерес представляют те способы введения малого параметра, при которых предельные уравнения, полученные из уравнения Боголюбова при стремлении малого параметра к нулю, разрешимы неоднозначно. В соответствии с критерием фазового перехода, системы, описываемые такими уравнениями, мы называем асимптотическими моделями с фазовым переходом. Хотя такие модели и не описывают реальных систем, но они проливают свет на механизм фазового перехода в реальных системах. Лучшей иллюстрацией этого являются математические модели, полученные с помощью ван-дер-ваальсовского предельного перехода Г49-681 . Таким образом, применение теории возмущений позволяет раскрыть дополнительные возможности метода производящего функционала.
В первой главе рассматривается метод частичных функций распределения и корреляционных функций. Основные понятия этого метода и уравнения, определяющие функции распределения даны в 1 . В 2 описаны основные положения метода производящего функционала и рассмотрена возможность разложения решения уравнения Боголюбова по малому параметру. В 3 рассмотрены некоторые модельные потенциалы взаимодействия между частицами.
Вторая глава полностью посвящена разложениям решений уравнения Боголюбова по малому параметру, который присутствует в уравнении или вводится каким-либо способом. Дана физическая интерпретация состояниям системы, которые получаются специальным предельным переходом при стремлении малого параметра к нулю. Полученные таким предельным переходом уравнения исследуются на неоднознач -ную разрешимость с учетом критерия фазового перехода.
В третьей главе рассмотрены модели систем частиц, взаимодействующих посредством бинарного потенциала типа Морса. При выводе приближенных уравнений состояния для таких систем используются результаты, полученные во второй главе.
Четвертая глава посвящена исследованию ван-дер-ваальсовского предельного перехода. Этому предельному переходу было уделено достаточно внимания в литературе [49-68J . В диссертации ван-дер-ваальсовский предельный переход рассматривается в уравнении Бого - 8 любова, что позволило дать не только математическую, но и физи -чесную интерпретацию механизма фазового перехода в системе взаимодействующих частиц. В ЭТОЙ ге главе рассмотрен совместный термодинамический и ван-дер-ваальсовский предельный переход. Таной подход дал возможность выявить общие черты поведения различных мо -дельных систем при ван-дер-ваальсовском предельном переходе.
Асимптотические разложения для систем с большой плотностью
Для получения численных результатов необходимо знать все параметры, входящие в уравнение состояния, то есть необходимо рассматривать конкретные потенциалы. Остается открытым вопрос о сходимости рядов (8.14) и (8.15) при \/Л є Z o, і Ц . 10. Дискретная модель с фазовым переходом. Рассмотрим систему, частицы которой могут находиться в двух узлах и взаимодействуют посредством бинарного потенциала г Г# , если частицы в одном узле % - ) р (10.1) С , если частицы в разных узлах, где ее и вещественные постоянные. В принципе можно рассматривать и другие модели с потенциалом вида (10.1), например, систему частиц двух сортов: частицы одного сорта взаимодействуют посредством постоянного потенциала ее , частицы разных сортов взаимодействуют посредством потенциала в , вне зависимости от расстояния между частицами. Условие устойчивости (3.5) накладывает ограничения на пара -метры потенциала ос и 6 2t/Ot,tti) = iO- -i)0L + ( 4-1) +liVLtH.t -ік&} (10.2) где t/C / z) - потенциальная энергия системы, В - положительная постоянная, Ktm to-j. - числа заполнения узлов, a п = и4 + ц,, общее число частиц в обоих узлах. При а. О и i 0 потенциал (.10.1) устойчив, это очевидно. При а о и і с о потенциал устойчив, если квадратичная форма (по НІЙ к,, ) в левой части выражения (10.2) является положительно определенной. Тогда критерий Сильвестра [961 дает - 69 Таким образом, потенциал (ЮЛ) устойчив при наличии условий: 1) 0L о , і о ; 2) а о , I 4{ ка. (10.3) Теперь рассмотрим асимптотическую модель, полученную из исходной путем специального предельного перехода -» о , 7 — , 3? =сок то есть введение в уравнение Боголюбова параметра Л способом (4.16) случай 1). В дискретном случае уравнение Боголю -бова для такой системы рассматривалось в работе [98] . Как показано в 6, состояние предельной системы описывается уравнением Власова. Учитывая это, запишем уравнение Власова для данной системы: где Я і ( s 1, 2) пере нормированная унарная плотность. Сделаем в (10.4) замену, упрощающую запись Перепишем (10.4) в виде Эта система уравнений симметрична относительно инверсии X - Y . Отметим, что при 5C=Y =эс система (10.6) однозначно разрешима, поскольку сводится к одному уравнению зс = е х:/ / (A + e) j t (10.7) которое имеет единственное решение, так как из (10.5) (А + в) с0 . Если А = 6 , то это сразу же приводит к случаю X - Y . Покажем, что существуют Див такие, что система (10.6) имеет несколько решений. Система (10.6) есть система нелинейных уравнений, которая допускает "разделение переменных". Поделив одно уравнение на другое в (10.6), получим - 70 X e cp {-CA-&)X} = Yeocp {-CA-S)Y = (10.8) где S - произвольный параметр. Из (10.8) следует X = оср [ 4-(A-S)X} Y = eocf S" + (A-6)Y}. (10.9) Это позволяет заметить, что X и Y являются корнями одного и того же трансцендентного уравнения. Поэтому однозначная разрешимость уравнений (10.9) приводит опять к случаю X = Y . Нас будет интересовать, естественно, неоднозначная разрешимость уравнений (10.9). Это возможно при условии, что А -в о } но тогда в этом случае А - о , В о , а / А / Б / . Другими словами, неоднозначная разрешимость уравнения Власова возможна для данной модели (10..1), если отталкивание между частицами, находящимися в разных узлах, преобладает над отталкиванием между частицами, находящимися в одном узле. Решения уравнений (10.9) при произвольном & могут и не являться решениями системы (10.6) (например, при = о ), следовательно, необходимо определить те значения параметра S" , при которых (10.9) являлись бы решениями системы (10.6).
Термическое и калорическое уравнения состояния для бесконечных систем взаимодействующих частиц
Основным объектом исследования диссертационной работы было уравнение Боголюбова (4.9) с функционалом для перенормированных функций распределения, записанное для систем взаимодействующих частиц классической равновесной статистической механики. К уравнению Боголюбова применены методы теории возмущений (регулярный случай): 1) метод введение малого параметра с последующим устремлением этого параметра к нулю; 2) разложение решений уравнения Боголюбова в ряд по малому параметру; 3) получение уравнений для последующих приближений. При решении уравнений для приближений использовались методы функционального анализа и преобразования Фурье. Полученные результаты выделим в том порядке, в каком они следуют в тексте: 1. Для более широкого использования возможностей метода малого параметра уравнение Боголюбова записано для функционала, генерирующего перенормированные функции распределения. Установлена связь между перенормированными функциями и функциями распределения. 2. Рассмотрены различные варианты введения малого параметра в уравнение Боголюбова. При каждом способе введения параметра дается физическая интерпретация модели системы взаимодействующих частиц. Исследованы следующие модели: системы со слабым взаимодействием, системы с малой активностью (плотностью), системы сильно разогретые, системы сильно сжатые, но со слабым взаимодействием, системы сильно сжатые и сильно разогретые. 3. Получены разложения решений уравнения Боголюбова в ряд по малому параметру с точностью до второго порядка включительно. При каждом способе введения малого параметра эти разложения можно представить: как разложение по функциям Майера, разложение по активности, разложение по обратной температуре (высокотемпературное разложение). Показано, что эти разложения описывают только газовую фазу, не Охватывая фазового перехода. 4. Специальным введением малого параметра в уравнение Боголюбова получено разложение решения для систем с большой плотностью. Булевым приближением в этом разложении является решение уравнения Власова для равновесных систем. Показано, что при определенном значении термодинамических параметров системы уравнение Власова может иметь несколько решений, следовательно, может быть несколько разложений решения уравнения Боголюбова, что связывается с фазовым переходом в системе. 5. Доказана сходимость решений уравнения Боголюбова к решениям уравнения Власова для ограниченных интегрируемых потенциалов взаимодействия при предельном переходе Л — о , 6. Исследовано уравнение Власова на однозначную разрешимость. Определена граница значений термодинамических параметров, при которых уравнение Власова имеет единственное решение. 7. Получены приближенные уравнения состояния (калорическое и термическое) для систем частиц, взаимодействующих посредством бинарного потенциала из класса потенциалов типа Морса. 8. Исследована дискретная система частиц с бинарным взаимодействием специального вида. Для этой системы рассмотрена неоднозначная разрешимость уравнения Власова, которое получено из уравнения Боголюбова введением малого параметра в температуру и активность при стремлении этого параметра к нулю. Определены интервалы термодинамических параметров системы, при которых уравнение Власова неоднозначно разрешимо. 9. Рассмотрен класс потенциалов типа Каца и исследованы некоторые свойства таких потенциалов. 10. Изучен ван-дер-ваальсовский предельный переход в уравнении Боголюбова. При этом вскрыт механизм фазового перехода с физической точки зрения. 11. Приведены результаты ван-дер-ваальсовского предельного перехода для одномерной системы с потенциалом Каца. Записаны термодинамические функции для системы твердых стержней. Получено уравнение состояния для предельной системы. 12. Исследован одновременный термодинамический и ван-дер-вааль-совский предельный переход в уравнении Боголюбова. Изучен вопрос о возможности их перестановки. 13. Исследован ван-дер-ваальсовский предельный переход в одномерных системах частиц, взаимодействующих посредством бинарного потенциала типа Каца, типа Фулинского и Икеды-Такано. Записаны термодинамические функции и уравнения состояния для таких систем в ван-дер-ваальсовском пределе. Выявлена общность и различие систем Каца, Фулинского, Икеды-Такано.
Наиболее перспективным для дальнейшего исследования представляется изучение систем, находящихся в экстремальных условиях: сильно сжатые и разогретые системы, сильно сжатые, разогретые и с меняющейся структурой частиц (и как следствие с меняющимся потенциалом взаимодействия) при сжатии и разогреве. Такие объекты в природе существуют: белые карлики, нейтронные звезды и т.д. Следовательно, существует возможность проверки теоретических результатов на практике.
Ван-дер-ваальсовский предельный переход в уравнении Н.Н.Боголюбова
При решении многах задач статистической физики удобнее использовать метод частичных функций распределения, так как в этом методе термодинамические величины, характеризующие состояние системы частиц, выражаются как средние от динамических функций, вычисляемые с помощью равновесных частичных функций распределения. Таким образом, вся совокупность частичных функций распределения полностью определяет состояние системы.
Следует отметить, что в литературе одну и ту же функцию одни авторы называют функцией распределения [53 , [8 3, [ИЗ , а другое корреляционной Функцией [13 , [693 , да и обозначения этих функций довольно разнообразны. В связи с этим мы будем придерживаться терминолопіи, принятой в [5 3 , [83 , [ИЗ , а что касается обозначений, то мы приведем некоторые из них и выделим те, кото -рые будут нами использоваться.
Н.Н.Боголюбов [83 ввел в рассмотрение $ - частичные функции распределения для канонического ансамбля нормированное распределение Гиббса в конфигурационном пространстве, G - кт , Т - температура, V - объем системы, U(x±,.. „)- потенциальная энергия взаимодействия л/ частиц.
Для краткости функции (1.1) будем называть функциями Боголюбова и для канонического ансамбля введем их обозначение f (xlL)xz . . ,Х#,У, л/), где x - і -я точка ) - мерного пространства, в котором находится і -я частица. Наряду с функциями Боголюбова вводят в рассмотрение частичные функции распределения, которые называют "родовыми" 171 , С71]либо "приведенными" [5] : Функции (1.2) связаны с функциями Боголюбова соотношением Для канонического ансамбля обозначим их через $$ (жі,...,3,"% /) Для большого канонического ансамбля функции распределения получают усреднением частичных функций распределения канонического ансамбля по всем ансамблям 11 , [Щ ; статистическая сумма большого канонического ансамбля, & - активность системы: где = 0"1 J= (лГ) - "обратная температура", / г - масса частицы, к - постоянная Планка, У4 - химический потенциал, У - размерность пространства. Для изучения СВОЙСТВ систем, состоящих из большого числа частиц в статистической физике совершают термодинамический предельный переход: \г - о , л/- оэ, AJ/V = ? . Суть такого предельного - 11 перехода можно выразить словами Д. Л. Лебовица [70] : "... Это не потому, что мы интересуемся бесконечными системами как таковыми, это не так. Это просто правильный путь рассмотрения физических положений, при котором поверхностные (граничные) и зависящие от формы эффекты не имеют важного значения..."
