Введение к работе
Актуальность темы
Большинство моделей классической механики не может быть решено точно. Редкими исключительными случаями моделей, допускающих точные решения, являются так называемые интегрируемые системы (или, просто, точно решаемые модели).
До середины 60-х годов прошлого века было известно лишь небольшое количество интегрируемых систем с фазовым пространством размерности больше двух. Интегрируемость отвечает наличию достаточно большой "скрытой"группы симметрии системы, что приводит к существованию нужного количества независимых интегралов движения. Несколько позднее были открыты примеры интегрируемых систем многих тел в одномерном пространстве, описывающих движение п частиц, взаимодействующих с некоторыми выделенными потенциалами.
В работе А. Переломова и М. Олынанецкого было показано, что в основе интегрируемости известных на тот момент систем многих тел лежат скрытые симметрии этих моделей, образующие алгебры Ли. Данное замечание позволило авторам построить новые примеры интегрируемых систем, обобщающих эти системы на случай произвольной системы корней. Метод построения интегрируемых систем, предложенный в данных работах, состоял в редукции свободной динамики на некотором фазовом пространстве большой размерности к фа-
зовому пространству меньшей размерности, динамика на котором становилась нетривиальной. При этом изначально явная симметрия системы становилась "скрытой"на редуцированном пространстве.
Бурное развитие теории интегрируемых систем началось с открытием метода обратной задачи рассеяния в работе К.Гарднера, Дж. Грина, М. Крус-кала и Р. Миуры, преобразованного позднее к алгебраическому виду в работе П. Лакса. Основная идея данного метода состоит в переписывании уравнений движения системы в следующем виде:
где L и М некоторые конечномерные матрицы (пара Лакса), зависящие от динамических переменных системы. Решение данного уравнения, очевидно, имеет вид преобразования сопряжения:
L(t) = g(t)L(0)g-\t), М = ^д.
Таким образом, спектр матрицы L(t) не зависит от времени, и характеристические полиномы оператора Лакса
Нк = tr Lk
могут быть выбраны в качестве базиса интегралов движения.
Следующим важным шагом в развитии теории стало обобщение уравнений Лакса на случай бесконечномерных алгебр петель, появившихся впервые в работах И. Кричевера и С. Новикова . В этом случае матрицы пары Лакса
начинают зависеть от дополнительного спектрального параметра z:
jtL(z) = [L(z),M(z)}.
Подобная запись уравнений движения оказалась исключительно полезной и позволила подключить к исследованию теории методы алгебраической геометрии. Было показано, что уравнения движения системы, записанной в таком виде, определяют линейный поток на торе (Абелевом комплексном многообразии), являющимся якобианом римановой поверхности, заданной в СР2 характеристическим уравнением
det(A - L{z)) = 0. (1)
Данное обстоятельство позволяет взглянуть на интегрируемые системы с совершенно другой точки зрения. Последнее уравнение позволяет трактовать оператор Лакса как мероморфную функцию на римановой поверхности (1), принимающей значение в матрицах, или, более точно, как сечение голоморфного векторного расслоения над римановой поверхностью.
Важным шагом в развитии геометрического подхода к интегрируемым системам стала работа Н. Хитчина, в которой было обнаружено, что кокасатель-ные расслоения пространств модулей стабильных векторных расслоений над римановыми поверхностями являются естественными фазовыми пространствами некоторых интегрируемых систем. Несмотря на отсутствие в данной работе явных примеров интегрируемых систем (в виде дифференциальных уравнений), использование методов алгебраической геометрии позволило сформулировать ряд важных результатов. В частности, наличие нужного количества ин-
тегралов движения в инволюции следует в данном подходе из теоремы Римана-Роха.
Первые явные примеры интегрируемых систем Хитчина были построены в работах Н.Некрасова, Э.Д'Хокера, Д.Фонга и др. В частности, в работе Н. Некрасова была построена эллиптическая модель Годена, обобщающая эллиптическую систему Калоджеро-Мозера. В работах Д'Хокера и Фонга была описана спиновая система Калоджеро-Мозера как система Хитчина. Таким образом, подход Хитчина предлагает ясную программу классификации интегрируемых систем: интегрируемые системы, связанные с кривыми рода д: находятся во взаимнооднозначном соответствии с классами топологически неэквивалентных голоморфных расслоений на данных кривых. В частности, кривые рода д = 1 ведут к интегрируемым системам с эллиптическим потенциалом.
Объединение метода редукции М. Олынанецкого и А. Переломова с алгебро-геометрической конструкцией Н. Хитчина позволило описать интегрируемые системы на пространствах модулей расслоений сразу в терминах пары Лакса со спектральным параметром. Исходная нередуцированная динамика свободной системы в данном подходе задается на пространстве сечений голоморфного G-расслоения Е над кривой Sn с n-отмеченными точками, слоем которого служит алгебра Ли д структурной группы G. Для этого рассматриваются поля Ф(г) Є ^00(Sn,E') и связность A(z), которая задает на Е комплексную структуру. Данные поля преобразуются в присоединенном представлении группы G. Симплектическая форма на исходном пространстве определяется функциона-
лом:
ш= /(>Ф,>Д),
где (, )-форма Киллинга на д. Гамильтонианы системы имеют вид:
Нг= [ ViP0),
где ^-некоторые (і — 1,1)-дифференциалы на кривой и Р^-инвариантные полиномы на алгебре Ли. При этом гамильтонианы коммутируют:
u(dHi, dHj) = 0, і Ф j
и динамика исходной системы оказывается свободной:
где tj-время, соответствующее гамильтониану i^. Можно заметить, что после калибровочного преобразования Ф' = д~1Фд последнее уравнение приводится
к форме Лакса:
Иф'
— =[Ф',М<], Мг = д-%д.
Гамильтонианы и симплектическая форма, определенные выше, являются инвариантными относительно калибровочных преобразований:
Ф -> д-гФд, Л -> д~Чд + д~1Ад.
Данное обстоятельство позволяет провести симплектическую редукцию относительно калибровочной группы, после чего мы получаем конечномерную систему, а поле Ф превращается в оператор лакса L(z) со спектральным параметром (роль которого играет локальная координата на Еп) который определяется
из условия фиксации моментов
/і(Л,Ф) = ^Ф + [Д,Ф] =0.
Заданный таким образом оператор Лакса полностью фиксируется следующими данными: вычетами в отмеченных точках и глобальной топологией расслоения Е1, которая определяет монодромии оператора Лакса вокруг фундаментальных циклов кривой Еп. При обходе вокруг цикла сц оператор Лакса преобразуется следующим образом:
L{z + a,) = QlL{z)Q~\
где Qi Є G - так называемые операторы переклейки расслоения. Последнее уравнение играет роль граничных условий, которые вместе с фиксированными вычетами в отмеченных точках позволяют, в принципе, выписать оператор Лакса явно в терминах тэта-функций с характеристиками.
В нашей работе мы будем рассматривать только случай эллиптических кривых д = 1 с одной отмеченной точкой z = 0. Эллиптическая кривая имеет два фундаментальных цикла, и голоморфные линейные расслоения задаются двумя операторами переклейки Q, Л Є G, удовлетворяющими условию коцикла
QKQ-lK~l = 1.
Если заменить условие коцикла на более общее
QKQ-lK~l = С,
где ( Є Z{G) - некоторый центральный элемент группы, то, хотя данные операторы переклейки не дают G-расслоение, они, очевидно, определяют некоторое
Qad _ G/Z(С)-р8ьСслоепж. Как будет обсуждаться ниже, элемент ( є Z(G) естественно понимать как характеристический класс, представляющий препятствие для поднятия Сасі-расслоения до G-расслоения. Мы будем говорить, что расслоение, отвечающее данным операторам переклейки, имеет нетривиальный характеристический класс (.
Первые примеры систем Хитчина для 5Х(АГ)-расслоений с нетривиальным характеристическим классом были построены в работах А.Левина и А.Зотова. Как оказалось, структура пространства модулей и вид соответствующих интегрируемых систем для разных ( отличается. Например, для ( = 1 система Хитчина совпадает с известной эллиптической системой Калоджеро-Мозера, описывающей систему А^-частиц, взаимодействующих с потенциалом в виде функции Вейерштрасса
N
г=1 i^j
В случае, когда ( является генератором группы Z(SL(N)) о± Z^r, мы получаем так называемый эллиптический волчок Эйлера-Арнольда, обобщающий классическую интегрируемую задачу о движении твердого тела в трехмерном пространстве на произвольную размерность
Htop = tr (SpS),
где тензор инерции волчка ф выражается через значения функции Вейерштрасса. В промежуточной ситуации, когда ( порождает некоторую нетривиальную подгруппу центра, мы приходим к спиновой системе Калоджеро-Мозера, описывающей движение взаимодействующих волчков.
В нашей работе мы обобщаем данную картину на случай произвольной простой группы Ли. Эллиптические интегрируемые системы, таким образом, классифицируются выбором простой группы Ли G и характеристическим классом ( Є H2(ET,Z(G)) ~ Z{G)1. Для каждого набора (G,() мы явно строим соответствующие расслоения, определяем пространства модулей, выписываем явные формулы для соответствующих матриц Лакса, классических r-матриц и гамильтонианов интегрируемых систем. Интегрируемость систем доказывается в главе 4 проверкой того, что определенные r-матрицы удовлетворяют классическому уравнению Янга-Бакстера. Таким образом, в данной работе мы пополняем список эллиптических классических r-матриц и получаем явное представление для произвольной системы Хитчина для д = 1, п = 1.
Кроме того, что полученные здесь r-матрицы удовлетворяют уравнению Янга-Бакстера, мы доказываем более общий результат. В главе 4 будет доказано, что данные r-матрицы удовлетворяют уравнениям согласованности для связности Книжника-Замолодчикова- Бернарда. Данные уравнения появляются следующим образом: рассмотрим теорию Весса-Зумино-Виттена над кривой Tig рода д с калибровочной группой G. Произвольному выбору п точек Zi,..,zn Є Tig на кривой и некоторому выбору представлений группы G для каждой точки Vi,...,Vn в теории сопоставляется пространство конформных
-'-Заметим, что в исходном теоретико-групповом подходе А. Переломова и М. Олыпанецкого интегрируемые системы классифицировались выбором системы корней, и глобальная топология группы О не учитывалась. В подходе, рассматриваемом здесь, интегрируемые системы для групп О и Oad неэквивалентны, хотя данные группы имеют одинаковые алгебры Ли. Таким образом, выбор характеристического класса соответствует выбору некоторой группы из набора групп с одинаковыми алгебрами Ли.
блоков E(zi,..., zn). Данное пространство оказывается конечномерным и может быть отождествлено со слоем голоморфного расслоения над пространством положений отмеченных точек на кривой X. Связность в данном расслоении называется связностью Книжника-Замолодчикова и описывает монодромию конформных блоков при изменении положения отмеченных точек.
Например, в случае сферы Римана д = 0, пространство положений отмеченных точек имеет вид: X = CPn\diagonals, т.е. множество положений каждой отдельной точки образует СР, и мы исключаем положения, когда две произвольные точки совпадают. Монодромия конформного блока ^(^ь > zn) E(zi,..., Zn) при изменении положения г-ой точки описывается известным уравнением Книжника-Замолодчикова:
Vtt/j{zh...,zn) = О,
где Та - ортонормальный базис в соответствующей алгебре Ли, ф Є V\...Vn и Т' действует в г-той тензорной компоненте. Легко проверить, что система уравнений Книжника-Замолодчикова представляет собой компоненты плоской голоморфной связности над X:
[Vi,Vj]=0.
Последние уравнения мы называем уравнениями совместности для связности Книжника-Замолодчикова. Данная связность характеризует расслоение конформных блоков в случае нулевого рода.
В случае рода д = 1 аналоги данных уравнений были впервые рассмотрены в работах Бернарда. Пространство конфигураций отмеченных точек в данном случае имеет следующий вид: рассмотрим верхнюю полуплоскость Н+ = {г Є C|Imr > 0} и для г Є Н+ рассмотрим решетку L(r) = Z + rZ, тогда
X = {(z1,z2,...,zn,r),Zi Є С,г Є H+\z% ф z3 mod L(r)}.
Связность Книжника-Замолодчикова-Бернарда в расслоении конформных блоков над X задается системой
Wi^{z1,z2,...,zn,r) = 0, г = l,...,n, Wr^{zi,z2,...,zn,r) = 0,
где операторы Vj и VT имеют вид:
Va = dZa + da + ^rac, VT = 2mdT + A + і Y,fM
ефа b,d
(см. раздел 4.1 для введенных обозначений). Было показано, что в некоторых частных случаях оператор гаЬ представляет классическую r-матрицу эллиптической системы Калоджеро-Мозера, действующую в a-том и 6-том пространствах, а оператор fab однозначно восстанавливается по rab. Система уравнений совместности в данном случае имеет вид
[Vi,Vj]=0, [VT,V,]=0,
при этом уравнения [Vj,Vj] = 0 сводятся к уравнению Янга-Бакстера для r-матрицы гаЬ. Уравнения типа [VT,Vj] = 0 представляют собой некоторые дополнительные условия на эллиптическую r-матрицу системы Калоджера-Мозера.
Классические г - матрицы, построенные здесь, являются естественными обобщениями г - матриц для системы Калоджеро-Мозера на случай нетривиального характеристического класса. Естественно предположить, что данные г - матрицы также удовлетворяют системе совместности уравнений Книжника-Замолодчикова-Бернарда. Данное предположение проверяется явным вычислением в главе 4.
Естественным шагом к классификации рациональных и тригонометрических r-матриц является изучение вырождений полученных нами эллиптических r-матриц. Вырождения соответствуют случаю, когда один или оба периода эллиптической кривой стремятся к бесконечности. Эллиптические функции при этом имеют тригонометрические или рациональные пределы соответственно. Как известно, вырождение эллиптических r-матриц не является однозначной процедурой. Например, из эллиптической r-матрицы системы Калоджеро-Мозера могут быть получены r-матрицы для тригонометрической системы Калоджеро-Мозера, открытой цепочки Тоды и замкнутой цепочки Тоды.
В данной работе, на примере SL(N) эллиптического волчка мы показываем, что полученные г матрицы для нетривиальных характеристических классов допускают некоторый дополнительных класс тригонометрических и рациональных вырождений. В частности, будет получено описание некоторых тригонометрических и рациональных волчков. Мы находим также квантовые R-матрицы для данных систем. Данные Л-матрицы обобщают стандартные рациональные и тригонометрические решения квантового уравнения Янга-Бакстера, являясь их однопараметрическими деформациями.
Конструкция данных пределов такова: рассмотрим оператор Лакса эллиптической системы Le(z). Кроме стандартного тригонометрического предела
L\z) = lim Le(z)
Т—И 00
может быть построен новый калибровочно неэквивалентный тригонометрический предел:
L\(z) = lim А(т)Ье(г)А-1(т),
Т—И 00
где А(т) - матрица некоторого калибровочного преобразования, зависящая от параметра вырождения т, лежащая в калибровочной группе для любого значения г так, что det А(т) = 1, но являющаяся сингулярной в пределе г = гоо. Если рассмотреть множество преобразований А(т): имеющих данные свойства, то условие того, что предел для L\{z) конечен (т.е. пределы всех матричных элементов оператора Лакса являются конечными выражениями), оказывается довольно сильным. В случае SL(N) волчка нам удалось построить некоторое однопараметрическое семейство таких калибровочных преобразований.
Сингулярность калибровочного преобразования в точке г = ioo приводит к тому, что предельные операторы Лакса Ь*(г) и I\{z) оказываются калибровочно неэквивалентными и, таким образом, описывают разные системы.
Аналогичная процедура вырождения квантовой эллиптической R - матрицы позволяет получить некоторые новые тригонометрические и рациональные Л-матрицы. В тригонометрическом пределе мы приходим к Л-матрицам, появившимся впервые в работе А. Антонова, К. Хасегавы и А.Забродина. В рациональном случае мы приходим, по-видимому, к новым, ранее не рассматривав-
шимся, Л-матрицам. Например, в N = 2 случае мы приходим к 11-вершинной квантовой Л-матрице:
^ 0 0 0
Rr{u) =
-u(u + 2V)f3 f-v 1 0
-u(u + 2V)f3 1 f-v 0
-uf32{u + 2r]){Arf + 2ur] + u2) u{u + 2r])f3 u{u + 2r])(3 ^
решающей квантовое уравнение Янга-Бакстера
Щ2(и - V) Щ3(и) R^(v) = Щ3(у) Щ3(и) Щ2(и - v)
для любого значения параметра /3 и совпадающей со стандартной рациональной Л-матрицей в пределе /3 = 0.
Цель работы
Целью данной диссертации является классификация и построение классических интегрируемых систем типа Хитчина связанных с голоморфными расслоениями над эллиптическими кривыми.
Целью диссертации является явное построение операторов Лакса и классических r-матриц интегрируемых систем на пространствах модулей голоморфных эллиптических расслоений. Данные интегрируемые системы однозначно определяются следующим набором данных: структурной группой расслоения G и характеристическим классом расслоения ( є H2(T,T,Z(G)) ~ Z(G).
Целью диссертации является описание локальной геометрии пространств
модулей голоморфных расслоений для произвольной структурной группы и характеристического класса расслоений.
Целью предложенной работы является изучение свойств полученных г-матриц и операторов Лакса. В подходе Н.Хитчина интегрируемость динамических систем на кокасательных расслоениях к пространствам модулей голоморфных расслоений (т.е. системы рассматриваемые в нашей работе) неявно гарантирована: гамильтонианы являются коммутирующими по самой конструкции, а наличие нужного количества гамильтонианов следует из теоремы Римана-Роха. Это свидетельствует о том, что полученные здесь г-матрицы являются решениями уравнения Янга-Бакстера, что гарантирует интегрируемость в алгебраическом подходе. В нашей работе было показано, что полученные г-матрицы удовлетворяют более общей системе уравнений Книжника-Замолодчикова-Бернарда.
Целью данной работы является обобщение базиса синус-алгебры на случай произвольной системы корней. Данный базис является естественным обобщением базиса матриц Паули в s/(2) случае и матриц Геллмана в s/(3) случае. Выделенным свойством данного базиса является диагональный вид в нем операторов переклейки соответствующих расслоений над эллиптической кривой, что в итоге позволяет выписать явные выражения для операторов Лакса и r-матриц в терминах тэта-функций.
Целью диссертации является изучение тригонометрических и рациональных пределов эллиптических систем. Одна и та же эллиптическая система может иметь несколько таких пределов. Например, эллиптическая система
Калоджеро-Мозера может быть вырождена в тригонометрическую систему Калоджеро-Мозера-Сазерленда в пределе т —> оо или в цепочки Тоды в случае более сложного предела Иноземцева. Исследование в данном направлении является естественным шагом к классификации тригонометрических и рациональных систем Хитчина.
Научная новизна
Основные результаты работы являются новыми. Перечислим их.
Получены явные выражения для операторов Лакса, r-матриц и гамильтонианов интегрируемых систем отвечающих произвольному выбору структурной группы и характеристического класса голоморфного расслоения над эллиптический кривой.
Построено семейство базисов в простых алгебрах Ли, находящихся во взаимнооднозначном соответствии с множеством топологически неэквивалентных расслоений.
Доказана алгебраическая интегрируемость полученных систем: прямым вычислением проверено, что полученные r-матрицы удовлетворяют уравнениям совместности Книжника-Замолодчикова-Бернарда и, как частный случай, решают уравнения Янга-Бакстера.
Построены однопараметрические деформации стандартных тригонометрического и рационального решений квантового уравнения Янга-Бакстера.
Практическая и научная ценность
Предложено конструктивное описание голоморфных расслоений над эллиптическими кривыми в терминах операторов переклеек: получено алгебраическое уравнение на данные операторы и найдены его решения для произвольного выбора структурной группы и характеристического класса расслоения.
Предложен метод явного построения эллиптических интегрируемых систем типа Хитчина для произвольных характеристик голоморфного расслоения.
Апробация диссертации и публикации
Результаты диссертации докладывались на международных конференциях: XVI международная летняя школа-семинар по современным проблемам теоретической и математической физики "Петровские чтения" (Казань, 2004 г.); IV,V,VI,VII международные школы ИТФ-ИТЭФ по теоретической и математической физике для одаренной молодежи (Киев, 2004, 2005, 2007,2008гг.); 4th International Workshop "Quantum Particles and Fields" (Baku, September 19 - 24, 2005 ); 47rd International School of Subnuclear Physics (Erice, Sicily, Italy, 29 August - 7 September 2009 ); Second International Conference on String Field Theory and Related Aspects (Moscow, April 2009); 2nd Workshop on Geometric Methods in Theoretical Physics (Trieste, Italy, July 2009). 3nd Workshop on Geometric Methods in Theoretical Physics (Trieste, Italy, July 2010). Classical and Quantum Integrable Systems (Protvino, Russia, January 21-24, 2008); Workshop on Classical and Quantum Integrable Systems (CQIS-2011 January 24-27 ); Conformal Field Theory, Integrable Models and Liouville gravity (Chernogolovka June 27- Jule 2009)
По материалам диссертации опубликовано 6 научных работ.
Структура и объем диссертации
